[ Sistemas Operativos ]

Präsentation

Universidad de MagallanesFacultad de Ingeniería

Departamento de Ingeniería en Computación

MIC3181Algebra de Boole… continuación

Eduardo Peña J.

Edopena 1 Microprocesadores

[ Algebra de Boole ]

PräsentationEdopena 2

Microprocesadores

Indice

Temario:

Métodos de minimizaciónMétodo mapas de KarnaughMétodo tabular Quine McCluskey

Información extraída de:http://www.cic.unb.br/docentes/jacobi/ensino/circuitos/DoisNiveis/sld001.htm

Suma de productos es una forma de representación de funciones booleanas

constituida por operaciones lógicas o sobre un conjunto de términos formados por la operación.

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Suma de Productos

SUMA DE PRODUCTOS

El producto de sumas es otra forma de representación de funciones booleanas

caracterizadas por la aplicación de operación sobre un conjunto de operaciones o sobre las

entradas

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Producto de Suma

PRODUCTO DE SUMA

•Un minterm es un término producto que vale 1 en al menos un punto del dominio de una función booleana.

•Es definido por un producto (AND) donde cada variable aparece al menos una vez directa o complementada.

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Minterms

MINTERMS

•Un maxterm es un término suma que vale 0 en al menos un punto del dominio de la función.

•Es determinado por una adición (OR) donde cada variable aparece al menos una vez, directa o complementada.

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Maxterms

MAXTERMS

•Una tabla de verdad es una firma que identifica inequívocamente una función booleanas.

•Expresiones booleanas diferentes pueden representar una misma función booleana.

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Formas canónicas

FORMAS CANÓNICAS

•Las formas canónicas son representaciones únicas de funciones booleanas.

Ej. Una suma de productos es una forma canónica.

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Formas canónicas

FORMAS CANÓNICAS DE DOS NIVELES

•Las formas canónicas son representaciones únicas de funciones booleanas.

Ej. Un producto de sumas es otra forma canónica.

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Formas canónicas

•Notación para suma de minterms.

•Notación para producto de maxterms.

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Formas canónicas

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SIMPLIFICACION DE SUMAS DE MINTERMS

Formas canónicas

•Es posible obtener un producto de maxterms a partir de una suma de minterms o viceversa aplicando De Morgan sobre el complemento de la función.

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MINTERMS X MAXTERMS

Formas canónicas

•Estas son las funciones para las cuales algunas combinaciones de valores de entrada nunca ocurren.

Ej. Decodificador de display de 7 segmentos para dígitos BCD.

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FUNCIONES INCOMPLETAS

Funciones Incompletas

•Las funciones incompletas mapean puntos del dominio de una función en tres valores posibles.

•Los dominios de puntos donde F vale {0 , 1 X} son denominados, respectivamente, de:

•F puede ser descrita definiendo dos de sus tres conjuntos.

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Funciones Incompletas

Manipulación Algebraica:

•Difícil de determinar un orden y qué transformaciones aplicar.

•Cómo sabes si se localizó una mejor solución.

Herramientas de auxilio:

•No consiguen tratar problemas de forma exacta.

•Se basan en heurísticas y criterios de costo.

Métodos manuales, al menos para fines didácticos y funciones muy simples

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Minimización lógica de dos niveles

MINIMIZACIÓN LÓGICA DE DOS NIVELES

•Idea base: Aplicación de distribución y complemento.

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Minimización lógica de dos niveles

•Un espacio booleano n-dimensional puede ser visualizado espacialmente.

•Los productos de literales son llamados cubos.

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Cubos

CUBOS

•Puntos adjacentes difieren en un bit.

•Todos los puntos de la función están en una cara.

•Y y Z varían mientras que X permanece inalterable: Y y Z pueden ser eliminados de la expresión.

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Cubos

VISUALIZACIÓN DE CUBOS

•Visualización del dominio de una función en forma matricial.

•Puntos del dominio están dispuestos siguiendo el código Gray, pares adjacentes difieren en un bit.

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Mapas de Karnaugh

MAPAS DE KARNAUGH

•Los elementos extremos de las columnas y filas son adjacentes.

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Mapas de Karnaugh

ADJACENCIA DEL MAPA DE KARNAUGH

•El cubo obtenido es definido por las variables que no cambian de cara en todos sus minterms.

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Mapas de Karnaugh

•La agrupación obtenida es definida por las variables que no cambian de cara en todos sus minterms.

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Mapas de Karnaugh

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Mapas de Karnaugh

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Mapas de Karnaugh

COMPLEMENTO DE UNA FUNCIÓN

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Mapas de Karnaugh

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Mapas de Karnaugh

KARNAUGH DE CUATRO VARIABLES

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Mapas de Karnaugh

•Los puntos irrelevantes pueden ser considerados como un 1 o un 0 en el mapa de Karnaugh.

•Son utilizados para formar agrupaciones mayores, simplificando una función.

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Mapas de Karnaugh

MINIMIZACIÓN CON IRRELEVANTES

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Mapas de Karnaugh

EJEMPLO COMPARADOR DE DOS BITS

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Mapas de Karnaugh

EJEMPLO COMPARADOR DE DOS BITS

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Mapas de Karnaugh

EJEMPLO COMPARADOR DE DOS BITS

•La minimización de dos niveles busca obtener las sumas del producto con un número mínimo de productos y literales.

• Minimizándose el número de productos se está reducido la altura de la implementación y, por consiguiente, su área.

• Estando reducido el número de literales, se reduce el número de transistores de la implementación digital, lo que minimiza la potencia disipada.

Ej Sumador de 1 bit

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Mapas de Karnaugh

MINIMIZACIÓN LÓGICA EN DOS NIVELES

Conceptos Básicos

• Implicante: una agrupación c es un implicante de una función f si para todo vector x donde c(x) = 1, tenemos que f(x) = 1. O sea c f

•En álgebra Booleana “²” es una relación de orden parcial, análoga a relación "está contenido en" entre conjuntos. Puede ser definida como “un conjunto de minterms de c está contenido en f”.

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Mapas de Karnaugh

Conceptos Básicos•Implicante primo: es una agrupación que no está contenida en ninguna otra agrupación de la función (o, no puede ser mas expandido)

•Implicante primo esencial: es un implicante primo que contiene al menos un minterm que no está contenido en ningún otro implicante de la función.

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Mapas de Karnaugh

•Una cobertura de una función f y una suma de productos que contienen todos los minterms de f (cobre f) Una cobertura prima es aquella compuesta apenas por implicantes primos

• Una cobertura irredundante es aquella en que ninguno de las dos agrupaciones puede ser removida sin alterar la función.

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Mapas de Karnaugh

Ejemplos

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Mapas de Karnaugh

1. Seleccione un minterm mi de la función.

2. Expanda mi en todas las direcciones posibles, generando así todos los implicantes primos que cubren mi .

3. Repita los pasos anteriores para todos los minterms de la función, generando todos los implicantes primos posibles.

4. Identifique y separe los implicantes esenciales. Los minterms cubiertos por ellos pueden ser considerados como puntos irrelevantes.

5. Seleccione un conjunto mínimo de implicantes que cubra los minterms restantes.

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Mapas de Karnaugh

COBERTURA MÍNIMA CON MAPA DE KARNAUGH

Ejemplo

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Mapas de Karnaugh

Continuación Ejemplo

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Mapas de Karnaugh

•Tome los minterms de la función y expanda sucesivamente los minterms en todas direcciones posibles (variables en espacio Booleano).

• Obtener así todos los implicantes primos de la función.

• Seleccione un subconjunto que cubra la función que tenga un costo mínimo.

• Detección y remoción de primos esenciales.

• Dominancia de línea y de columna.

• Branch and bound cuando no hay dominancia.

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Quine McClusky

MÉTODO DE QUINE McCLUSKY

McCluskey:

•Representar los implicantes en notación binaria :

X= {x1, x2, x3}

•Tabular los implicantes en grupos de mismo peso (1's) para reducir el número de comparaciones .

x1·x3' -> 1-0

x3 -> --1

x1'·x2'·x3 -> 001

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Quine McClusky

Expansión de minterms

Ejemplo: F =

Expansión de los minterms de los implicantes.

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Quine McClusky

Implicantes Primos:

p1 = x1·x0 p3 = x2'·x1 p5 = x3·x1'·x0'

p7 = x3·x2·x1'

p2 = x2·x0 p4 = x3'·x0 p6 = x3·x2'·x0'

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Quine McClusky

Cobertura de función

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Quine McClusky

Cobertura de función

•Dominancia de Línea: si todos los minterms de una línea lx están contenidos en una línea ly, entonces ly domina a lx y lx puede ser removida de la tabla esto indica que el implicante py cubre al implicante px

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Quine McClusky

Cobertura de función•Dominancia de columna: si todos los minterms de una columna cx están contenidos en una columna cy, entonces cy domina a cx y cy puede ser removida de la tabla cubriendo el minterm mx automáticamente se cubre my

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Quine McClusky

Problemas con el método de Quine:

• Computacionalmente es ineficiente

• Genera todos los implicantes primos

Complejidad de: (3 ^ n)/n

• Parte de los minterms de la función

Complejidad de: 2n-1

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Quine McClusky

CAD PARA MINIMIZACIÓN

•Punto de partida: una suma de productos (no mintermos)

• Respete iterativamente la secuencia de operaciones:

Expand: Expande los implicantes hasta su tamaño máximo

Extraer esenciale primos

Cobertura Irredundante: generar una cobertura irredundante

Reducir: reduzca los implicantes hasta su tamaño mínimo

Respete los pasos anteriores hasta no obtener ganancias

Last gasp: la inserción de un primo cualquiera no puede llevar a eliminación de dos primos de la cobertura

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Resumen

RESUMEN

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