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Vectores de Posicin
El vector de posicin r se define como un vector fijo que ubica un punto en el espacio en relacin a otro
punto.
A.- r se puede expresar en forma de
Vector cartesiano
B.- Vector de posicin dirigido de A hasta B
Z
X
Y
k zjy i x r
kz
ixo
r
P (x, y, z)
Z
X
Y o
r
r A
r B
)z,y,x(A AAA
)z,y,x(B BBB
BA rrr
ABAB rrrr
)kzjyix()kzjyix(rrr AAABBBAB
k)zz(j)yy(i)xx(r ABABAB
Roberto Gil Aguilar
jY
x
A
B r
y
z
F
u
r
r FF
u FF
2AB
2AB
2AB
ABABAB
zzyyxx
kzzj)y.y(i)xxF F
1.- Un vector de posicin localiza un punto
en el espacio con respecto a otro
2.- La manera mas fcil de formular las
componentes de un vector de posicin consiste
en determinar la distancia y la direccin que
debe recorrerse a lo largo de las direcciones x,
y, z desde la cola hasta la cabeza del vector
3.- Una Fuerza F que acta en la direccin de
un vector de posicin r puede ser representada
en forma cartesiana si se determina el vector
unitario u del vector de posicin y ste se
multiplica por la magnitud de la fuerza
2
19/06/2012 Roberto Gil Aguilar 3
16.- (2.86) Determine el vector de posicin r dirigido
desde el punto A hasta el punto B y la longitud de la
cuerda AB. Considere z = 4 m.
Solucin
Vector de Posicin, teniendo en cuenta las coordenadas
A(3, 0, 2)m y B(0, 6, 4)
= 0 3 + 6 0 + 4 2 = 3 + 6 + 2
La longitud:
= 3 2 + 6 2 + 2 2 = 7
19/06/2012
21.- (2.90) Determine la magnitud y los ngulos
directores coordenados de la fuerza resultante.
Determinaremos los vectores unitarios para cada fuerza:
= 0 0 + 0 2 + (0 4) = 2 4 ; = 4.472
=
= 2 4
4.472 = 0.447 0.894
Entonces: = = 600 0.447 0.894 = 268.33 536.66
= 4 + 6 4 ; = 8.246
=
=
4+6 4
8.246 = 0.485 + 0.728 0.485
Entonces: = = 500 0.485 + 0.728 0.485 = 242.54 + 363.80 242.54
= + = 242.54 + 95.47 779.20
= 242.542 + 95.472 + (779.20)2= 821.64 = 822
Ahora calculemos los ngulos:
= 1242.54
821.64= 72.80
= 195.47
821.64= 83.30
= 1779.20
821.64= 1620
18.- (2.91) Determine la magnitud y los ngulos directores
coordenados de la fuerza resultante que acta en A.
k 0.8 - j 0.4243 - i 0.4243 6)-(00)-cos45 5.4()0sen45 5.4(
k)60(j)0cos45 5.4(i )045sen 5.4(
r
ru
22020
00
B
B
B
01
R
zR1-
01
R
yR1-
01
R
xR1-
14495.1377
1120cos
F
)F(cos
12595.1377
84.781cos
F
)F(cos
,4.8295.1377
84.181cos
F
)F(cos
Solucin
Nk 720 - j 381.84 - i 381.84 k) 0.8 - j 0.4243 - i 0.4243( 900u FF BB
B
kN38.11120) - (781.84) (- (181.84) F
Nk 1120 - j 781.84 - i 181.84
Nk 400 - j 400 - i 200-Nk 720 - j 381.84 - i 381.84FFF
222
R
CBR
k
3
2 - j
3
2 - i
3
1 -
6)-(00)-6 ()03 -(
k)60(j)06(i03
r
ru
222
C
C
C
Nk 400 - j 400 - i 200- k)3
2 - j
3
2 - i
3
1 ( 600u FF C
CC
19/06/2012 6
17.- (2.93) El candelabro est sostenido por tres cadenas que son
concurrentes en el punto O. Si la fuerza en cada cadena tiene una
magnitud de 60 lb, exprese cada fuerza como un vector cartesiano
y determine la magnitud y los ngulos directores coordenados de la
fuerza resultante.
Solucin
= 604 cos 300 4 300 6
4300 2+ 4300 2+ 6 2 = 28.81 16.6 49.9
= 604 cos 300 4 300 6
4300 2+ 4300 2+ 6 2 = 28.81 16.6 49.9
= 604 6
4 2+ 6 2 = 33.3 49.9
= + + = 149.8
= 150
= 900, = 900, = 1800
19/06/2012 7
La placa cilndrica est sometida a las fuerzas de tres cables que concurren
en el punto D. Exprese cada fuerza ejercida por los cables sobre la placa
como un vector cartesiano, y determine la magnitud y los ngulos directores
coordenados de la fuerza resultante.
Solucin
Para expresar cada fuerza debemos calcular los vectores unitarios
r AD = 0 0.75 i + 0 0 j + (3 0)k m ; = 0.75 + 0 + 3 rA = 3.0923 m
uA =r ArA
= 0.75 i + 3k
3.0923 = 0.2425 i + 0.97015 k
Entonces: FAD = FADuAD = 6 0.2425 i + 0.97015 k = 1.46 i + 5.82k RPTA
Calculemos ahora: r BD = 0 0.75sen300 i + 0 0.75cos 300 j + (3 0)k m ; = 0.375 0.649 + 3 , rB = 3.0923 m
u =r r
= 0.375 i 0.649 j + 3k
3.0923 = 0.121 i 0.2098 j + 0.97015 k
Entonces: FBD = FDuBD = 8 0.121 i 0.2098 j + 0.97015 k = 0.968 i 1.679 j + 7.761 k RPTA
Calculemos ahora r D = 0 0.75sen450 i + 0 0.75cos 450 j + (3 0)k m ; = 0.530 + 0.530 + 3 , rB = 3.0923 m
u =r r
= 0.530 i + 0.530 j + 3k
3.0923 = 0.171 i + 0.171 j + 0.97015 k
Entonces: FCD = FDuD = 5 0.171 i + 0.171 j + 0.97015 k = 0.855 i + 0.855 j + 4.8507 k RPTA
= + +
= 1.46 i + 5.82k + 0.968 i 1.679 j + 7.761 k + 0.855 i + 0.855 j + 4.8507 k
= (0.363 0.824 + 18.4317 )
Ahora su mdulo ser:
= 0.3632 + 0.8242 + 18.43172 = 18.4536 = 18.5
Determinaremos la direccin del vector resultante:
= 10.363
18.454= 88.870, = 1
0.824
18.454= 92.560 ,
= 118.43
18.454= 2.920 19/06/2012 8
Bibliografa
1.- VECTOR MECHANICS
FOR ENGINEERS
Statics and Dynamics 2010
2.- Principles of
Foundation Engimeering, SI
Seventh Edition
BRAJA M. DAS 2011
3.- FSICA I Teora y Problemas Resueltos
Lic. HUMBERTO LEYVA N. 2009
3.- Ingeniera Mecnica. ESTATICA R. C. HIBBELER
Decimosegunda Edicin 2010