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8/19/2019 5. Energía Magnetica
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Energía Magnética
EE-521 Propagación y
Radiación Electromagnética I
Miguel Delgado León
MSc Ing Miguel Delgado León
8/19/2019 5. Energía Magnetica
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Introducción
Miguel Delgado León
(1)V iR
Establecer un campo magnético requiere un gasto de energía. Si una fuente de
tensión se aplica a un circuito, entonces la corriente puede expresarse como:
es la tensión inducida y la resistencia del circuito de
corriente. El trabajo realizado por para mover el
incremento de carga a través del circuito es:
se obtuvo con la ley de Faraday. representa
la conversión irreversible de la energía eléctrica en calor.
V
RV
dq i dt
2 2(2)V dq V idt idt i Rdt i d i Rdt
2i Rdt
es el trabajo efectuado contra la tensión inducida en el circuito. Es laparte del trabajo realizado por la fuente para alterar el campo magnético.
Despreciando el término (implica considerar el circuito conductor
perfecto). Escribimos:
i d
2i Rdt
(3)b
d W i d
i d
Donde el subíndice indica que es el trabajo realizado por la fuente de
energía externa (baterías)
b
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Cambio de la energía magnética y energía
magnética de circuitos acoplados
Miguel Delgado León
Para un circuito rígido estacionario que no tenga otras pérdidas por efecto Joule
(es decir, no hay histéresis) , el término es igual al cambio de la energíamagnética del circuito.
Si hay n circuitos, entonces, según (3), el trabajo eléctrico
hecho en contra de la tensión inducida está dado por:
1 (4)
n
b k k k
d W i d
bdW
El flujo en el circuito k es debido a él y los otros circuitos:
1 2
1
(5)n
k k k k k n k j k
j
Diferenciando (5) llegamos a:
1 1
(6)n n
j k
k j j k j
j j j
d d d i M d i
d i
Reemplazando (6) en (4):
1 1
(7)n n
b j k k j
k j
d W M i d i
Las corrientes e son instantáneas. La relación con las corrientes máximas
e alcanzadas es: (donde ) que
reemplazado en (7) e integrando obtenemos:
k i
ji
k k j j j ji f I i f I d i I df k I j I 0 1 f
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Energía magnética de circuitos acoplados
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M L
La energía magnética para dos circuitos (n=2) es:
1
1 1 1 1 1 10
1
2
n n n n n n
b j k k j b j k k j j k k jk j k j k j
d W M I I f df W M I I f df M I I
Por lo tanto la energía magnética de n circuitos acoplados es:
1 1
1(8)
2
n n
m j k k j
k j
W M I I
Para n=1 ( k=j=1, ). La energía magnética será:21 (9)
2m
W L I
Es decir, puede obtenerse la inductancia de un circuito a partir
de la energía magnética.
2
2(10)m
W L
I
2 2
1 1 1 2 2 2
1 1(11)
2 2m
W L I M I I L I
De aquí:
El flujo sobre el circuito k es:1 1
n n j k
j k j j k
j j j
M I I I
Reemplazando en (8) resulta:
1
1
(12)2
n
m k k k W I
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Energía magnética en función de los campos
magnéticos
El flujo magnético sobre el circuito k es conocido como que
reemplazando en (12) obtenemos (ten en cuenta que: ):
( )
k
k k
C
A r d r
1
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) (13)
2 2 2k
n
m k k k k
k C todo el todo el espacio espacio
W A r d r I A r d r I A r J r dV
k k I dr J dV
Teniendo en cuenta que entonces (13) cambia a: H J 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) (14)2 2mtodoel todoel espacio espacio
W A r J r dV A r H r dV
Aplicando la identidad conocida (considerando ) B A
A H H A A H H B A H A partir de está identidad (14) se transforma en:
0
1 1 1 1ˆ( )
2 2 2 2m
todoel todoel todoel Superficietodoespacio espacio espacio el espacio S
W H B dV A H dV H B dV A H n dS
La integral de superficie es cero, entonces: 1 (14)2
m
todoel espacio
W H B dV
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Ejemplos
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Ejemplo 1
Dos circuitos superconductoresaislados conducen ciertas
corrientes cuando se colocan de tal
manera que sus inductancias
mutuas sean cero. Posteriormente
se mueven hasta que su
inductancia mutua es M. Si loscircuitos son idénticos con auto
inductancia L y tienen las
corrientes iniciales Io encuentre las
corrientes finales I
Ejemplo 02
Encontrar la energía, la inductanciainterna y externa de una línea de
transmisión coaxial formada por dos
conductores. El conductor interno tiene
un radio a y el conductor externo es una
cascara de radio b (b>a).
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Fuerzas y momentos de rotación sobre circuitos
magnéticosLa fuerza magnética puede calcularse mediante la ley de fuerzas de Ampere.
Está fuerza puede también calcular mediante energía magnética.Supongamos que “permitimos” (desplazamiento virtual) que la
fuerza magnética desarrolle un trabajo mecánico:
. (15)mec md W F d r
Este trabajo tiene dos contribuciones: . (16)mec b md W d W d W
Es decir la diferencia de la variación de la energía de la fuenteexterna (batería) y la variación de la energía magnética.
A corriente constante: El circuito está conectado a la fuente. La variación de la
energía magnética según (12) es: 1 1(17)
2 2m m
W I d W d I
La variación de la energía de la fuente externa es según (3): (18)bd W i d Es decir es el doble que reemplazando en (16) y luego en (15):2
b md W d W
(19)m m m m I d W F d r F W El subíndice indica a corriente constante
Si el circuito se desplaza en una dirección ejemplo x ˆ (20)mm
I
W F x
x
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Fuerzas y momentos de rotación sobre circuitos
magnéticosSi el circuito gira (rota) en lugar de desplazarse, tenemos el momento de rotación
ˆ (21)m
I
W n
A flujo constante: El circuito está aislado de la la fuente. La
variación de la energía magnética según (12) es:
1 1 (22)2 2
m mW I d W d I
0 (23)b
d W i d De la ecuación (3) se obtiene:
Reemplazando (23) en (16) y luego en (15) obtenemos:
(24)
m m m m
d W F d r F W
El subíndice indica a flujo constante
Si el circuito se desplaza en una dirección ejemplo x ˆ (25)mm
W F x
x
Si el circuito gira (rota) en lugar de desplazarse,
tenemos el momento de rotación ˆ (26)m
W n
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Energía propia y de interacción
2 2
1 1 1 2 2 2
1 1(27)
2 2mW L I M I I L I
Como ya sabemos, la energía magnética de dos
circuitos es
El primer término es la energía propia del circuito 1, el
tercer término es la energía propia del circuito 2 y el
segundo término es la energía de interacción.
Suponiendo que las corrientes son constantes y en el caso de un desplazamientovirtual la única cantidad que varia es M. Entonces la fuerza magnética sobre el
circuito 2 será: 1 2 (28)m m I I F W I I M
Está fórmula puede modificarse. Recurriendo a la definición de la inductancia
mutua: que reemplazado en (28) tenemos:1 21 2 1
1
M M I I
1 2 2 1 2 1 2 2 (29)m externo I I F I I M I I M I I
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Ejemplos
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Ejemplo 1
Una corriente recta de longitudinfinita lleva una corriente I1. Otra
espira circular de radio a conduce
una corriente I2 como se muestra
en la figura. Si los dos circuitos
están en el mismo plano. Determine
al fuerza magnética sobre la espira.
Ejemplo 2
Un conductor circular en forma dealambre de diámetro d, resistividad r y
densidad de masa rm cae desde una
gran altura en medio de un campo
magnético Bz=Bo(1+kz) donde. El
diámetro D siempre es paralelo al plano
XY. Determine la velocidad final.
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Interacción de un cuerpo magnético con un campo
externo (cambio de energía)Cuando se introduce un material magnético en un campo inicial, el
campo cambia como se observa en la figura. El cambio de energía
es:
0 0 0
1 1
2 2m m m
todoel todoel espacio espacio
W W W B H dv B H dv
No es difícil demostrar que este cambio de energía es igual a:
0 0
1
2c
m m m
v
W W W M B dv
es la variación del volumen del cuerpo. La fuerza magnética
sobre el cuerpo en una situación a flujo constante será:cv
0
1
2c
m m
mv
W W
F M B dv y y y
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Ejemplos
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Ejemplo 1
El campo de inducción magnética
entre los polos de un electroimán esrelativamente uniforme y se mantiene
en un valor constante Bo. Una placa
paramagnética delgada que solo
puede moverse verticalmente se
coloca en el campo como se muestra
en la figura . La susceptibilidad de la
placa es cm y su area de sección
transversal es A
a) Calcule la fuerza sobre la placa
b) Obtenga el valor numérico si
Bo=0.25 T y A=1 cm2
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Pérdidas por corrientes de Foucault y pérdidas por
histéresis
Los núcleos de material ferro magnético son construidos con laminas para disminuir
las perdidas por corrientes parasitas
Cuya solución es
ˆ ˆ ˆ
0
00 0
x
y
B x y z z
x y z
E
y x E B
z t
( ) x y B
E z z k t
( ) x y
B E z z t
2
F y
V
P E dv Potencia disipada
en la placa por
efecto de JouleV, es el volumen de la placa V= lx ly e
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2 / 2
2
0 0 / 2
lylx e
x F
e
B
P z dz dx dyt
2 2
2
12 12
x x F
B B P lx ly e e v
t t
Suponiendo que Bx varíe senoidalmente cos x m B B t
2 2 2 2
12 F m
P B sen te v
Calculando el valor medio de potencia, teniendo en cuenta que para el cálculo
de perdidas interesa en particular el valor instantáneo.El valor medio de
2 sen t Es 1/2
F F
P p
V
La potencia por unidad e volumen es
2 2 21
24 F m p e B
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•De la expresión anterior se puede concluir que pf depende del cuadrado de la
espesura de la lamina.
• pf depende de ω2 (frecuencia)
• Los materiales que presentan baja conductividad presentan pequeñas pérdidas
Por lo general una frecuencia es impuesta por condiciones de funcionamiento del
Dispositivo.
Se debe de adaptar una espesura de la lamina a la pulsación del campo.
Cuanto mayor sea la frecuencia mas delgada debe ser la lamina.
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Pérdidas por Histéresis
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Otra pérdida en forma de calor son lasasociadas con el mantenimiento de la curva de
histéresis
Llamando Ph a la potencia asociada al ciclo de
histéresis.
Wh la energía consumida en un ciclo.
h hW P T
1h hW P
f
h h P W f
0
B
hw HdB Densidad volumétricade energía magnética
h hW w vDonde v es el volumen
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h P A v f
hW A v
Se demuestra que la energía por unidad de volumen es el área encerrada
por la curva de histéresis, es decir
0
B
hw HdB A
Entonces la energía consumida en un ciclo es:
La pérdida en todo el núcleo debido a la histéresis será