Vector: Cantidad que está totalmente definida por su magnitud dirección y sentido.

Se representa geométricamente es un segmento dirigido.

O

P

A

Este segmento dirigido está delimitado por un punto inicial y uno final.

La combinación lineal aA+bB, reproduce todos los vectores del plano que contiene a los vectores A y B, con una apropiada selección de los escalares a y b.

AB

C

A

B

C

aA

bB

aA

bB

A

En particular, la combinación lineal de dos vectores unitarios aA+bB, reproduce todos los vectores del plano que los contiene.

B

C

A

B

C

aA

bB

aA

bB

Un vector es unitario proporciona una dirección, esto es, la inclinación de una recta que pasa por el origen, medida desde la horizontal.

A

B

Entonces, dos vectores unitario proporcionarán dos recta que, sin pérdida de generalidad, pueden pasar por el mismo punto , en particular, por el origen de los dos vectores.

A

En particular, dos vectores unitario pueden ser perpendiculares.

Y también generan los vectores del plano que los contiene.

A

B

C

A

B

C

aA

bB

aA

bB

Sin pérdida de generalidad, podemos seleccionar uno de los vectores unitarios horizontalmente

A

B

, por lo que el otro quedaría vertical.

Este par de vectores unitarios definen dos direcciones mutuamente perpendiculares.

Esto nos permite asociar a los vectores con un sistema de referencia cartesiano. formado por dos rectas numéricas, una horizontal, llamada abscisa, y otra vertical, llamada ordenada, que se cruzan en su origen.

abscisa

ordenada

Las coordenadas, en el plano, de un punto P dado, se representan por una y sólo una pareja ordenada (a ,b).

La a representa la distancia del origen al punto P a lo largo de la abscisa y la b la del origen al punto a lo largo de la ordenada.

x

y

a

bP

De esta manera, el origen tiene coordenadas (0,0) y cualquier otro punto coordenadas (a ,b).

x

y

P( , )a b-aP( , )b

-a P( , )a -b-bP( , )

Un punto sobre la abscisa a la derecha del origen tiene coordenadas (a ,0), con a>0, mientras que a la izquierda tiene coordenadas (-a ,0), con a>0. Un punto sobre la ordenada hacia arriba del origen tiene coordenadas (0, b), con b>0, mientras que hacia abajo tiene coordenadas (0, -b), con b>0.

x

y

x>0

y>0

(x,y)

x

y

y>0

x<0

(x,y)

x

y

x<0

(x,y)

y<0x

y

(x,y)

x>0

y<0

En el primer cuadrante ambas coordenadas tienen valores son positivos.

En el segundo cuadrante el valor en la abscisa es negativo y en la ordenada positivo.

En el cuarto cuadrante el valor en la abscisa es positivo y en la ordenada negativo.

En el tercer cuadrante el valor de ambas coordenadas es negativo.

Un vector puede colocarse en un sistema de coordenadas cartesiano, de manera que su origen coincida con él del sistema de coordenadas y su punta con algún otro punto en el plano.

x

y

r

Si los ejes se definen con dos vectores unitarios perpendiculares, digamos, jyi

x

y

i

j

r

Entonces, la combinación lineal corresponde a la pareja ordenada (x,y) jyixr

x

y

i

j

ix

jyr

(x,y)

La pareja ordenada (x,y) se conoce como coordenadas rectangulares del vector

Ahora tenemos diferentes formas de representar un vector:

Geométrica: Segmento dirigido.

r

Coordenadas polares: (magnitud, ángulo con la horizontal)=(r,)

r

Combinación lineal: jyixr

x

y

i

j

ix

jyr

Coordenadas rectangulares: (x,y)

x

y

r

(x,y)

,ry,xjyixr

x

y

i

j

ix

jyr

(x,y)

Relación entre las representaciones vectoriales: ,ry,xjyixr

x

y

i

j

ix

jyr

(x,y)

y,xrjyixr

Combinación lineal y coordenadas rectangulares

Coordenadas rectangulares a coordenadas polares

,ry,x

22222 yxryxr

xy

arctanxy

tan

Coordenadas polares a coordenadas rectangulares

y,x,r

cosrxrx

cos

senryry

sen

Ejemplo 1. Una fuerza de 800 N se ejerce sobre un perno A como se muestra en la figura. Determine las componentes horizontal y vertical de la fuerza

14518035

Respuesta: Del diagrama de fuerzas, mostrado en la firgura podemos observar que el ángulo correcto es el que parte del lado positivo de las x’s, que es suplementario del ángulo dado:

N655145cos800F800

F145cos x

x

N459145sen800F800

F145sen y

y x

y

35°

F

x

y

35°

F

Entonces, las coordenadas polares de la fuerza son (800 N, 145°), por lo tanto,

Ejemplo 2. Un hombre jala una cuerda atada a un edificio con una fuerza de 300 N, como se muestra en la figura. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por la cuerda en el punto A?

m10m8m6AB 22

Respuesta:

Entonces,

N1805

3N300senFF

N2405

4N300cosFF

vertical

horizontal

5

4

m10

m8cos

5

3

m10

m6sen

vsenhcosAB

Ejemplo 3. Dos fuerzas perpendiculares, una horizontal de 700 N y otra vertical de 1500 N, se aplican a un perno A. Escriba el vector en coordenadas rectangulares y como una combinación lineal de dos vectores unitarios perpendiculares que representen las direcciones horizontal y vertical. Determine la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo que ésta forma con la horizontal.

Respuesta: La figura ilustra el problema.

N1655N1500N700

FFF

22

2y

2x

jN1500iN700jFiFF yx

N1500,N700F,F yx

657

15arctan

N700N1500

arctan

F

Farctan

x

y

4. Se utiliza una garrocha para abrir una ventana como se muestra en la figura. Si la garrocha ejerce sobre la ventana una fuerza dirigida a lo largo de la garrocha, y la magnitud de la componente vertical de es de 125 N, determine (a) la magnitud de la fuerza y (b) su componente horizontal.

y

x

P

110º

y

Py=125 N

º110,PP

N01.133º110sen

N125

º110sen

PP

º110senPP

y

y

N50.45º110tan

N125

º110tan

PP

P

Pº110tan

yx

x

y

20ºPPv=125 N

Ph

N01.133º20cos

N125

º20cos

PP

º20cosPP

v

v

paredlahaciaN50.45º20tanPP

P

Pº20tan

vh

v

h