UNIVERSIDAD DE SANUNIVERSIDAD DE SANMARTIN DE PORRESMARTIN DE PORRES

BIOESTADISTICABIOESTADISTICA20052005Prof.: DR. LUIS ROBLE ALEMANDR. LUIS ROBLE ALEMAN

Análisis de Regresión

y Correlación

1. Introducción

En ciencias de la salud y en otras áreas con mucha frecuencia conviene saber algo de la fuerza o intensidad de la relación entre variables como: edad y presión arterial, remuneración mensual y rendimiento en el trabajo, talla y peso, ingreso familiar y gastos médicos, edad y frecuencia cardiaca, edad y talla, etc; observar que estos ejemplos involucran variables numéricas medidas en escala de intervalo o de razón.

Cuando tanto X como Y son variables aleatorias, se tiene lo que se conoce como modelo de correlación. Típicamente, bajo el modelo de correlación se selecciona una muestra probabilística de unidades de asociación (que pueden ser personas, lugares, animales, puntos en el tiempo o cualquier otro elemento) luego, de cada una de las unidades se toma una medida de X y una medida de Y.

Una correlación puede ser positiva (cuando, por ejemplo tanto X como Y aumentan), o negativa (cuando por ejemplo, al aumentar una variable la otra disminuye). Por otra parte, si la variación de X y la variación de Y no se corresponden en absoluto, entonces no existe ninguna asociación y por tanto, ninguna correlación, entre las dos variables.

2. Diagrama de puntos

Para iniciar un análisis de correlación (y también el de regresión) se elabora el diagrama de puntos o de dispersión, el cual proporciona un indicio, no sólo de la forma de la relación entre las variables, sino también del grado de correlación. Dicho gráfico permite representar, con un punto en el plano cartesiano, cada par ordenado (X,Y). Así por ejemplo:

Diagrama de dispersión

X

YXi Yi

X1 Y1

X2 Y2

. . .

Xn Yn

0

3. Coeficiente de correlación de Pearson

Para determinar el grado de correlación entre las variables X e Y en la población que es objeto de estudio, se utiliza el coeficiente de correlación de Pearson (Rho), denotado por . El recorrido de está entre –1 y 1.

Para estimar el parámetro , se recurre a una muestra aleatoria de n unidades . De cada una de ellas, se determinan los valores: (x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn).

El estimador del parámetro , es el coeficiente de correlación muestral r, definido como:

El rango para r es:

r2 = coeficiente de determinación

-1 r 1

Guía para la interpretación de r:

Valor de r Interpretación

0.00 Ausencia de correlación lineal

± 0.1 a ± 0.19 Correlación lineal insignificante

± 0.2 a ± 0.39 Correlación lineal baja-leve

± 0.4 a ± 0.69 Correlación lineal moderada

± 0.7 a ± 0.99 Correlación lineal alta a muy alta

± 1.0 Función lineal perfecta

4. Significación estadística de r Para evaluar la significación estadística de r, se tiene

que contrastar la siguiente hipótesis: Ho: =0

H1: 0 La estadística de prueba es:

t0 sigue una distribución t de Student con (n-2) grados de libertad, si Ho es verdadera.

2x0r12n

r=t 2x0r12n

r=t

Ejemplo 1: Se tomó información en cuanto a la talla

(cm) y peso (Kg) de 10 alumnos del primer año de medicina el día 11 de setiembre del 2005.

TALLA

(cm) X

150

155 180160

170 165185

175

160

165

PESO(kg)

Y 55 50 85 65 75 60 80 70 65 60

Se desea:a. Obtener el diagrama de puntosb. Calcular el coeficiente de correlación

de Pearson e interpretar el valorc. Determinar la significación estadística

del coeficiente de correlación de Pearson (r)

d. Obtener e interpretar el coeficiente de determinación

Solución:a. Diagrama de puntos:

0

20

40

60

80

100

120 160 200

x

y

b. Coeficiente de correlación: De los datos, obtenemos lo siguiente:

n = 10 Σx=1665 Σy=665 Σxy=111700 Σx2=278325

Σy2=45325ΣxΣy=1107225 (Σx)2=2772225

(Σy)2=442225 nΣxy=1117000 nΣx2=2783250

nΣy2=453250

Reemplazando en la fórmula, tenemos:

1117000 - 1107225r = ________________________________

(2783250-2772225)(453250-442225)

9775r = ________________ = 0.886621315

(11025)(11025)

r 0.89

Interpretación: Existe una alta correlación lineal directa

entre las dos variables

c. Significación estadística de r Ho: =0

H1: 0

to = 5.52

to = t(10-2) = t(8) = 5.52

Valor de p: p < 0,001 Por consiguiente, se rechaza la hipótesis nula y se concluye que el coeficiente de correlación obtenido es estadísticamente significativo. Hay una relación positiva entre talla y peso.

d. Coeficiente de determinación: r2 = (0,89)2 = 0,79 = 79%

El 79 % de la variabilidad total de los pesos de los alumnos está siendo explicada por la relación lineal existente entre talla y peso.

Análisis de Regresión

Objetivo

Estudio de la relación funcional entre dos variables.

Establecer una relación cuantitativa entre dos o más variables relacionadas.

Se trata de PREDECIR y/o EXPLICAR el valor de una variable (v. Dependiente), dado el valor de otra(s) variable(s) relacionada(s) (v. Independiente(s)).

Las variables X e Y deben ser de naturaleza cuantitativa y de preferencia continua.

Regresión Lineal Simple

•Para resolver el problema tenemos que AJUSTAR una línea entre los puntos observados, a fin de usarla para predecir el valor de Y (variable dependiente) a partir de un valor conocido de X (variable independiente).

•Para cada valor de X hay una subpoblación de valores Y.

•Cada subpoblación de los valores de Y tiene distribución normal.

Línea de Regresión

Como todos los puntos no están exactamente sobre una línea recta, se cometen errores en el ajuste.

Línea de Regresión

Suposiciones de regresión y correlación• a) Normalidad: los valores de Y estarán

distribuidos normalmente a cada valor de X.

• b) Homoscedasticidad: la variación alrededor de la línea de regresión será constante para todos los valores de X.

• c) Independencia de error: el error (diferenciaresidual entre un valor observado y uno

estimado de Y) sea independientemente de cada valor de X.

• d) Linealidad: la relación entre las variables es lineal.

Estimadores Mínimo-Cuadráticos

Ejemplo 2

Se tiene una relación de 33 pacientes de los cuales se registró la presión sistólica. Se desea conducir un estudio para determinar la relación entre la edad de los pacientes y la presión registrada

Paciente

Edad

PS

1 22 131

2 23 128

3 24 116

4 27 106

5 28 114

… … …

33 81 217

Análisis de Regresión

Objetivo

Estudio de la relación funcional entre dos variables.

Establecer una relación cuantitativa entre dos o más variables relacionadas.

Se trata de PREDECIR y/o EXPLICAR el valor de una variable (v. Dependiente), dado el valor de otra(s) variable(s) relacionada(s) (v. Independiente(s)).

Las variables X e Y deben ser de naturaleza cuantitativa y de preferencia continua.

Regresión Lineal Simple

•Para resolver el problema tenemos que AJUSTAR una línea entre los puntos observados, a fin de usarla para predecir el valor de Y (variable dependiente) a partir de un valor conocido de X (variable independiente).

•Para cada valor de X hay una subpoblación de valores Y.

•Cada subpoblación de los valores de Y tiene distribución normal.

Línea de Regresión

Como todos los puntos no están exactamente sobre una línea recta, se cometen errores en el ajuste.

Línea de Regresión

Suposiciones de regresión y correlación• a) Normalidad: los valores de Y estarán

distribuidos normalmente a cada valor de X.

• b) Homoscedasticidad: la variación alrededor de la línea de regresión será constante para todos los valores de X.

• c) Independencia de error: el error (diferenciaresidual entre un valor observado y uno

estimado de Y) sea independientemente de cada valor de X.

• d) Linealidad: la relación entre las variables es lineal.

Estimadores Mínimo-Cuadráticos

Ejemplo 2

Se tiene una relación de 33 pacientes de los cuales se registró la presión sistólica. Se desea conducir un estudio para determinar la relación entre la edad de los pacientes y la presión registrada

Paciente

Edad

PS

1 22 131

2 23 128

3 24 116

4 27 106

5 28 114

… … …

33 81 217

Diagrama de Dispersión

Según el diagrama de dispersión, se espera una relación positiva o directa entre ambas variables.

Modelo de regresión:

y = a + b x

Cálculos Estadísticos

Variable dependiente: la presión sistólica Variable independiente: la edad  n = 33   Σx = 1542 (sumatoria de las edades)               Σy = 4575  (sumatoria de las presiones)               Σxy = 223.144 (productos cruzados) Σx2 = 79.176 Σy2 = 656.481

Σ(x – )2 = Σx2 – (Σx)2 / n = 79.716 – (1542) 2 / 33 = 7662,6 Σ(y – )2 = Σy2 – (Σy)2 / n = 656.48116 – (4575) 2 / 33 = 22.219,6 Σ(x – ) (y – ) = Σxy – (Σx)(Σy) /n = 223.144 – (1542)(4575)/33

= 9.366,7

x = 46,73  y = 138,64

x

x

yy

Estimación de la Recta de Regresión

Por consiguiente el modelo de Regresión Estimado es:

2

(x - x) (y - y)

b = - - -- - - - - - - - - - - - - = 9366,7 / 7662,6 = 1.22 mm Hg / año de edad

(x - x)

y = a + bx

a = y - b

x = 138,64 - (1,22)(46,73) = 81,54

y = 81,54 + 1,22 x

Que significa:

• Por cada año de incremento en la edad la presión aumenta en promedio en 1,22 mmHg.

• Es importante interpretar los resultados obtenidos en función de las unidades en que se encuentran expresadas nuestras variables en estudio (y).