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ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA

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•EXPERIMENTACIÓN EN MECÁNICADE FLUIDOS •ADIMENSIONALES EN MECÁNICA DE FLUIDOS •SEMEJANZA DE MODELOS

Ensayos con modelos Leyes de semejanza Semejanza de Froude Semejanza de Reynolds Semejanza de Mach

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA

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EXPERIMENTACIÓN EN MECÁNICADE FLUIDOS

Las ecuaciones fundamentales de un flujo noson generalmente suficientes para una solucióncompleta del problema.

En Mecánica de fluidos que pueden intervenirhasta 9 magnitudes físicas. Parece imposible la experimentación. Afortunadamente, en un problema concreto, no influirán más de 6;pero todavía es excesivo.

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Mediante el análisis dimensional podemos formaragrupaciones adimensionales y trabajar con ellasen lugar de con las magnitudes físicas reales. Conello se reduce el número de variables a (n−m):

n = número de magnitudes físicas que intervienenm = número de magnitudes básicas que intervienen

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Cuantas menos agrupaciones resulten, menosexperiencias hay que hacer: una agrupaciónrequeriría una experiencia; dos agrupacionesvarias experiencias (10 por ejemplo) para construir una curva, y tres nos llevaría a varias(10 curvas y/o 100 experiencias, por ejemplo).

Una ventaja adicional que nos proporciona lateoría dimensional es la de predecir los resultadosde un proyecto, en base a los obtenidos ensayandocon un modelo a escala.

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ADIMENSIONALES EN MECÁNICA DE FLUIDOS

Para establecer los posibles adimensionales, supongamos que intervienen a la vez todas las posibles fuerzas sobre el flujo: de presión, de gravedad, de fricción, de elasticidad y de tensión superficial.

),( FΣ),( iF

22212

23

)(

)()(

ultlltllamFF i

⋅⋅=⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅=⋅==Σ−

−

ρρ

ρ

Expresemos la resultante o fuerza deinercia que provoca la aceleración delflujo, en función de la velocidad u:

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Fuerza de presión (p):

µ

Fuerza elástica (K):

)(σFuerza tensión superficial

Fuerza de gravedad (g):

Fuerza viscosa ( ):

Fp = l 2 · p

Fg = l 3 ·ρ ·g

Fr = l 2 ·τ = l · u · µ

Fσ = l · σ

FK = l 2 · K

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Sumando las cinco fuerzas e igualándolas a la de inercia:22232 ullKlulglpl ⋅⋅=⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅ ρσµρ

expresión que relaciona 8 magnitudes físicas:

Si hubiera dos longitudes características, lo que ocurre confrecuencia, resultarían 9 magnitudes físicas en lugar de 8.

Dividamos la primera ecuación por la fuerza de inercia:

en la que intervienen 5 variables (adimensionales), en lugarde las 8 (dimensionales).

f (l, p, ρ, g, u, µ, K, σ) = 0

0 , , , , 2222 =

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅ uluK

ulugl

up

ρσ

ρρµ

ρϕ

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Coeficiente de presión

Número de Froude gl

u⋅

=Fr

Número de Reynolds νµ

ρ ulul ⋅=

⋅⋅=Re

Número de Mach au

Ku

==ρ

Ma

Número de Weber l

u⋅

=ρσ

We

0 , , , ,2

2 =

⋅

⋅⋅ l

uKuul

glu

up

ρσρνρϕ

0 , , , , 2222 =

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅ ulu

Kulu

glu

pρ

σρρ

µρ

ϕ

22up ρ

=

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=22u

p ρ

Si hubiera dos longitudes características en el problema, l y l', el cociente l/l', ó l'/l, sería otra variable adimensional:

En cada caso se eliminarán aquellos adimensionales cuyaintervención sea nula o poco importante.

=22u

p ρ

f (Fr, Re, Ma, We)

f (Fr, Re, Ma, We, l/l’)

0 , , , ,2

2 =

⋅

⋅⋅ l

uKuul

glu

up

ρσρνρϕ

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Wiliam FroudeInglaterra (1810-1879)

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Osborne ReynoldsBelfast (1842-1912)

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Ernst MachAustria (1839-1916)

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Moritz WeberAlemania (1871-1951)

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Ensayos con modelos

No es necesario ensayar con el mismo fluidoque utilice el prototipo. El agua y el aire sonlos fluidos que generalmente se utilizan.

Los modelos se hacen de materiales diversosmadera, escayola, metales, hormigón, plásticoetc.

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Los ensayos de canalizaciones, puertos,presas, aliviaderos, etc, se hacen en loslaboratorios de hidráulica.

Los ensayos de modelos de aviones, y engeneral de cuerpos sumergidos, se hacen entúneles de viento y en túneles de agua.

Los ensayos de barcos se hacen en los llamadoscanales hidrodinámicos.

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Leyes de semejanzaDos corrientes fluidas son semejantes cuando laslíneas de flujo de una lo sean respecto a lashomólogas de la otra; diremos entonces que existesemejanza cinemática. Para ello es necesario,

33m

3p2

2m

2p

m

p ; ; λλλ ===l

l

l

lll

Rep = Rem; Frp = Frm; Map = Mam; Wep = Wem

a) Semejanza geométrica

b) Semejanza dinámica. Las fuerzas en puntos homólogoshan de ser semejantes:

siendo λ la escala.

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a) Cuando el flujo presenta una superficie libre la fuerza predominante es la de gravedad: semejanza de Froude,

Frp = Frm

b) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo subsónico la fuerza predominante es la de viscosidad: semejanza de Reynolds,

Rep = Rem

c) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo supersónico la fuerza predominante es la compresibilidad: semejanza de Mach,

Map = Mam

d) En láminas de líquido muy delgadas prima la tensión superficial: semejanza de Weber,

Wep = Wem

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mp FrFr =

mm

m

pp

p

glu

glu

⋅=

⋅m

p

m

p

gg

uu

⋅= λ

21

m

p λ=uu

Semejanza de Froude

y si gp = gm, como es lo habitual:

Por ejemplo, si λ = 25 , up /um = 5.

Relación de velocidades

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)( uSQ ⋅=

m

p

m

p

m

p

uu

SS

QQ

⋅= 25

m

p λ=QQ

)( 3lF ⋅= γ

3

m

p

m

p λγγ

⋅=FF 3

m

p λ=FF

Relación de caudales

Para λ = 25, Qp/Qm = 3125.

Fp/Fm = 15625.

Relación de fuerzas

Si γp = γm,

Para λ = 25,

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)( uFP ⋅=

213

m

p

m

p

m

p λλ ⋅=⋅=uu

FF

PP

27

m

p λ=PP

Relación de potencias

Pp/Pm = 78125.

Si γp = γm,

Para λ = 25,

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mp ReRe =

mpm

p

m

p

m

mm

p

pp 1 ;llu

uulul⋅=

⋅=

⋅

νν

νν

λνν 1

m

p

m

p ⋅=uu

Semejanza de Reynolds

up/um = 1/25.

Relación de velocidades

Por ejemplo, si λ = 25, νp = νm, y

Con la semejanza de Froude, había que ensayar con una velocidad 5 veces menor, y con la Reynolds con una velocidad 25 veces mayor, por lo que no es posible que se cumplan las dos a la vez,a menos que la escala sea la unidad.

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)( uSQm ⋅⋅=⋅= ρρ&

λνν

λρρ

ρρ 1

m

p2

m

p

m

p

m

p

m

p

m

p ⋅⋅⋅=⋅⋅=uu

SS

mm&

&

λµµ

λνν

ρρ

⋅=⋅⋅=m

p

m

p

m

p

m

p

mm&

&

Relación de caudales

Podemos ensayar desde luego con un fluido diferente al del prototipo, y algo podríamos compensar. Menos mal que lo frecuente es que sólo intervenga una.

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)( µ⋅⋅= ulF

mm

pp

m

p

m

p

m

p

m

p

m

p 1ρνρν

λνν

λµµ

⋅

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=

uu

ll

FF

m

p2

m

p

m

p

ρρ

νν

⋅

=

FF

Relación de fuerzas

Si se tratara del mismo fluido y en el mismo estado, Fp = Fm:

el mayor esfuerzo cortante en el modelo contrarresta sumenor superficie de rozamiento.

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mp MaMa =

mm

m

pp

p

ρρ Ku

Ku

=

mm aa

uu pp =

)( SuQm ⋅⋅=⋅= ρρ&

m

p

m

p

m

p

m

p

SS

uu

mm

⋅⋅=ρρ

&

&

2

m

p

m

p

m

p λρρ

⋅⋅=aa

mm&

&

Semejanza de Mach

Relación de caudales

Relación de velocidades

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)( SKF ⋅=

ρλ Ka

KK

SS

KK

FF

=⋅=⋅= comoy ;2

m

p

m

p

m

p

m

p

22

m

p

m

p

m

p λρρ

⋅

⋅=

aa

FF

Relación de fuerzas

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