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INTRODUCCIN
MODELO DE OPTIMIZACIN
Estn diseados para proporcionar los "mejores" valores de diseo del sistema y las variables de
poltica operativa - valores que conduzcan a los ms altos niveles de rendimiento del sistema.
Conformados por:
Funciones objetivo
Variables de decisin
Restricciones
CLASIFICACIN
1. Estticos y Dinmicos: Sucesin de decisiones para periodos mltiples.
2. Lineales y no lineales. Las variables de decisin aparecen en la funcin objetivo y
restricciones, estn multiplicadas por constantes y acomodadas en forma de suma.
3. Modelo enteros y no enteros: Una o ms variables de decisin son enteras o
fraccionarias.
4. Modelo determinstico y estocstico: Se conoce con certeza el valor de la funcin
objetivo, cumpliendo o no las restricciones.
MTODOS
1. Programacin lineal: Planeacin de las actividades para obtener un resultado ptimo
2. Programacin entera: Los mtodos de ramificar y acotar encuentran la solucin ptima
para un problema de programacin entera.
3. Mtodo de transporte: Analiza los costos de transporte tanto de la materia prima como
de los productos terminados
4. Mtodo de asignacin: El objetivo es asignar los trabajos a las mquinas (un trabajo por
mquina) con el costo mnimo total.
5. Programacin no lineal: Los problemas no lineales se caracterizan por tener relaciones no
lineales; es decir, no existe una relacin directa y proporcional entre las variables que
intervienen.
6. Mtodo de sustitucin directa: Es un mtodo en donde la funcin objetivo est sujeta a
una o dos restricciones de igualdad lineales o no lineales, con en la cual se resuelve
explcitamente una variable y dicha variable se elimina en la formulacin del problema.
En la teora puede ser fcil de aplicar, sin embargo, no es conveniente su uso desde el
punto de vista prctico. La razn para esto es que las restricciones sern no lineales para la
mayora de los problemas prcticos, y muchas veces son muy complicados de resolver.
7. Programacin Cuadrtica: Es un mtodo usado para determinar la cartera de inversiones
ptima de un conjunto dado. Este tipo de problemas de optimizacin se caracterizan por
que la funcin objetivo de n variables es minimizado sujeto a m restricciones de
desigualdades o igualdades lineales.
8. Mtodo de LaGrange: Este mtodo se usa para resolver PNL en los que las restricciones,
son las restricciones igualdades.
Normalmente se usa un factor o multiplicador para su resolucin. Tambin suele
presentarse en problemas con dos variables y una sola restriccin
9. Mtodo de Fibonacci: Mtodo iterativo irrestricto basado en la serie de Fibonacci. Es
considerado uno de los mtodos ms exactos. Es usado para encontrar el mnimo de una
funcin univariable, aunque la funcin no sea continua.
Programacin Lineal Consiste en optimizar una funcin lineal, denominada funcin objetivo que esta sujeta a una serie
de restricciones. Se vern 3 mtodos para resolver un problema de programacin lineal
MTODO GRFICO
El mtodo grfico se emplea para resolver problemas que presentan slo 2 variables de decisin.
El procedimiento consiste en trazar las ecuaciones de las restricciones en un eje de coordenadas
X1, X2 para tratar de identificar el rea de soluciones factibles (soluciones que cumplen con todas
las restricciones). La solucin ptima del problema se encuentra en uno de los vrtices de esta
rea de soluciones creada, por lo que se buscar en estos datos, el valor mnimo o mximo del
problema.
Clculos analticos para graficar el sistema de inecuaciones lineales, incluyendo la condicin de no
negatividad (NN [ ]), que nos indica que solamente trabajaremos en el primer
cuadrante del plano cartesiano, cuadrante donde X1 y X2 son positivas.
El valor de la funcin objetivo en cada una de las esquinas del rea de soluciones factible es:
La funcin objetivo se maximiza cuando y ;
Algoritmo Simplex
Algoritmo del mtodo simplex para un problema de maximizacin
1. Convierta el PL en una forma estndar.
2. Encuentre una solucin factible bsica (sfb), si es posible, a partir de la forma estndar.
3. Determinar si la sfb actual es ptima.
4. Si la sfb actual no es ptima, entonces se determina cul variable no bsica se debe
transformar en variable bsica y cul variable bsica se debe transformar en variable no
bsica con el objeto de hallar una nueva sfb.
5. Aplicar Operaciones de rengln (OER) para encontrar la nueva sfb. Regresar al paso 3.
La Dakota Furniture Company fabrica escritorios, mesas y sillas. Para la manufactura de cada
tipo de mueble se requiere madera y dos tipos de manos de obra calificada: acabado y carpintera.
La cantidad de recursos necesarios para elaborar cada tipo de muebles se proporciona en la tabla
1.
Se cuenta en la actualidad con 48 ft tabln de madera, 20 horas de acabado y 8 horas de
carpintera. Un escritorio se vende en 60 dlares, una mesa en 30 dlares y una silla en 20 dlares.
Dakota opina que la demanda de escritorios y sillas es ilimitada, pero cuando mucho se pueden
vender 5 mesas. Puesto que los recursos disponibles ya se compraron, Dakota quiere maximizar el
ingreso total.
Definimos las variables: x1, x2 y x3.
X1: Nmero de escritorios fabricados.
X2: Nmero de mesas fabricadas.
X3: Nmero de sillas fabricadas
Para comenzar con el paso dos, se eligen las variables bsicas (VB) y las variables no bsicas
(VNB). Quedando de la siguiente manera:
De esta manera obtenemos nuestra primera solucin factible (con x1, x2 y x3 igual a cero), pero no
ptima.
Variable bsica que sale:
VB x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4 Solucin RMC
z -60 -30 -20 0 0 0 0 0
s1 8 6 1 1 0 0 0 48
s2 4 2 1,5 0 1 0 0 20
s3 2 1,5 0,5 0 0 1 0 8
s4 0 1 0 0 0 0 1 5
Para determinar la variable saliente se sigue la siguiente regla:
La restriccin con el cociente ms pequeo se denomina ganador de la prueba de cociente, este
indicar que variable bsica deber salir
Las operaciones que hacemos despus son:
1. Dividir toda la fila pivote entre el elemento pivote.
2. Para las dems filas se sigue la siguiente ecuacin:
La solucin ptima es:
VB x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4 Solucin RMC
z -60 -30 -20 0 0 0 0 0
s1 8 6 1 1 0 0 0 48 6
s2 4 2 1,5 0 1 0 0 20 5
s3 2 1,5 0,5 0 0 1 0 8 4
s4 0 1 0 0 0 0 1 5 -
VB x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4 Solucin RMC
z 0 15 -5 0 0 30 0 240
s1 0 0 -1 1 0 -4 0 16
s2 0 -1 0,5 0 1 -2 0 4
x1 1 0,75 0,25 0 0 0,5 0 4
s4 0 1 0 0 0 0 1 5
VB x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4 Solucin RMC
z 0 15 -5 0 0 30 0 240
s1 0 0 -1 1 0 -4 0 16 -16
s2 0 -1 0,5 0 1 -2 0 4 8
x1 1 0,75 0,25 0 0 0,5 0 4 16
s4 0 1 0 0 0 0 1 5 -
VB x1 x2 x3 s1 s2 s3 s4 Solucin RMC
z 0 5 0 0 10 10 0 280s1 0 -2 0 1 2 -8 0 24 -16
x3 0 -2 1 0 2 -4 0 8 8
x1 1 1,25 0 0 -0,5 1,5 0 2 16
s4 0 1 0 0 0 0 1 5 -
Si el caso hubiese sido de minimizacin, tomamos como referencia que todos los coeficientes de la
fila cero sean negativos.
Mtodo de 2 fases o Ms
En la fase 1 se agregan variables artificiales y se resuelven por mtodo simplex normal.
En la fase 2 se quitan las variables artificiales y se vuelve a utilizar el mtodo simplex.
z 280
x1 2
x2 0
x3 8
Programacin Lineal
(Problemas de ejercitacin)
1. La SAVE IT COMPANY opera un centro de reciclado que recoge 4 tipos de materiales de desecho
slido y lo trata para amalgamarlo en un producto comercializable. (El tratamiento y el
amalgamiento son dos procesos diferentes). Se puede hacer tres grados diferentes de este
producto (Vea la Tabla 1), segn la mezcla de materiales que se use. Aunque existe alguna
flexibilidad para esta mezcla en cado grado, los estndares de calidad especifican una cantidad
mnima y mxima para la proporcin de los materiales permitidos en ese grado. (Esta proporcin
es el peso del material expresado como un personaje del peso total del producto de ese grado).
Para los dos grados ms altos se especifica un porcentaje fijo de uno de los materiales. Estas
especificaciones se dan en la Tabla 1 junto con el costo de amalgamado y el precio de venta de
cada producto.
El centro de reciclado recoge los materiales de desecho slido de ciertas fuentes habituales por lo
que casi siempre puede mantener una tasa de produccin estable para tratarlos. En la Tabla 2 se
dan las cantidades disponibles para la recoleccin y tratamiento semanal, al igual que el costo de
proceso para cada tipo de material.
La Sav-It Co. Es propiedad de Green Earth, una organizacin dedicada a asuntos ecolgicos. Esta
organizacin ha logrado contribuciones y apoyos por la cantidad de $30,000 semanales, que
deben usarse slo para cubrir el costo del tratamiento completo de los desechos slidos. El
consejo directivo Green Earth ha girado instrucciones a la administracin de la Save-It para que
divida este dinero entre los materiales de manera tal que se recolecte y se trate al menos la mitad
de la cantidad disponible de cada material. Esta restriccin se muestra en la Tabla 2.
Dentro de las restricciones especificas en las Tablas 1 y 2, la administracin desea determinar la
cantidad que debe producir de cada grado y la mezcla exacto de materiales que usar para cada
uno, de manera que maximice la ganancia semanal neta (ingresos totales por ventas, menos costo
total de amalgamiento).
Solucin
Variable de decisin
Xij= proporcin del material j usado por semana en el producto de grado i producido por semana
(i=A=1, B=2, C=3; j=1, 2, 3, 4)
Funcin objetivo
Max z=Costos - Utilidades
Max z=8.5(X11+ X12+ X13+ X14)+ 7.0(X21+ X22+ X23+ X24)+ 5.5(X31+ X32+ X33+ X34)-3.0 (X11+ X12+ X13+
X14)- 2.5(X21+ X22+ X23+ X24)- 2.0(X31+ X32+ X33+ X34)
Restricciones
Especicificaciones de la mezcla
Disponibilidad de materiales
Restricciones sobre las cantidades tratadas
Restricciones sobre costos de tratamiento
3.0 (X11+ X21+ X31)+ 6.0(X12+ X22+ X32)+ 4.0(X13+ X23+ X33)+ 5.0 (X14+ X24+ X34)=30,000
Restricciones de no negatividad
N,N
La solucin en Lindo se muestra a continuacin:
2. Cierta empresa produce dos tipos de gasolinas, grado normal y grado extra, estas se producen
mezclando tres tipos de componentes de petrleo. La gasolina grado normal, puede venderse a
$0.50 de dlar por galn, y la de grado extra en $0.54 de dlar por galn.
Los compromisos actuales con los distribuidores requiere que se fabriquen cuando menos 10 000
galones de gasolina normal.
Los costos y ofertas de petrleo se muestran en las siguientes tablas:
Variable de decisin.
Funcin objetivo
Restricciones
Disponibilidad de componentes.
Requerimiento de gasolina normal.
Especificaciones para gasolina normal y extra.
3. Tecnologa Agrcola S.A. es una compaa fabricante de fertilizantes. El gerente desea planear la
combinacin de sus dos mezclas a fin de obtener la mayor de sus utilidades. Las mezclas son:
El mayorista comprara cualquier cantidad de ambas mezclas de fertilizante que la compaa pueda
fabricar. Esta dispuesto a pagar a $71.50 la tonelada de (5.5.10) y a $69 la tonelada de (5.10.5).
En este mes la disponibilidad y costos de materia prima son:
Hay un costo de $15 por tonelada por mezclado de fertilizantes.
Objetivo: Maximizar las utilidades
Variables de decisin
Funcin objetivo:
Restricciones
Corrida en lindo:
Mtodo de Ramificar y Acotar
Programacin Entera: Los programas lineales enteros son aquellos en los que algunas o
todas las variables estn restringidas a tener valores enteros (o discretos).
La empresa Telfa Corporation se dedica a la fabricacin de mesas y sillas. Para la fabricar una mesa
se requieren una hora de mano de obra y 9 pies de tabln de madera, en tanto que para una silla
se necesitan 1 hora de mano de obra y 5 pies de tabln de madera. En la actualidad, estn
disponibles 6 horas de mano de obra y 45 pies de tabln de madera al mes. Cada mesa contribuye
con 8 dlares a las utilidades y cada silla con 5 dlares. Formule y resuelva un PE para maximizar
las utilidades de Telfa .
Paso 1.- Definir las variables.
Paso 2.- Establecer funcin objetivo.
Max
(
) (
) (
) (
)
Paso 4.- Establecer Restricciones.
Restriccin de la madera
(
) (
) (
) (
)
Restriccin de mano de obra
(
) (
) (
) (
)
Si todas las variables de decisin asumieran valores enteros la solucin ptima del
problema de PL sera la solucin ptima del problema de PE.
Como no sucede lo antes mencionado en este caso se debe continuar al paso nmero 6.
Paso 6.-Dividir la regin factible de la relajacin del PL.
La solucin ptima del PL es
Como es maximizar, el valor ptimo no debe de ser mayor a 41.25
Se elige de modo arbitrario una variable fraccionaria de la solucin ptima del problema de PL
para generar dos zonas de posibles soluciones. En este caso se elige y a continuacin se
presentan 2 opciones diferentes.
Paso 7.-Se realiza un rbol (que es la representacin de todos los subproblemas que se
proponen).
Nodo: sub problema i (1, 2, 3.N)
Arco: Lnea que une los nodos
Restriccin: Se suma con el subproblema anterior
t = Indica el orden en el cual se resuelve el problema
S 2 Subproblema 1 + restriccin
S 3 Subproblema 1 + restriccin
A esto se le conoce como ramificacin sobre
Paso 8.- Escoger un subproblema y resolverlo
La solucin optima del subproblema 2 no ofreci una solucin de enteros nicamente por
lo cual se reptela metodologa del paso 6.
Paso 9.- Se repite la ramificacin sobre la variable fraccionaria
S 4 Subproblema 2 + restriccin
S 5 Subproblema 2 + restriccin 1
Paso 10.- Escoger un subproblema y resolverlo.
El subproblema 4 no es factible.
Al resolver el subproblema 5 se obtiene la solucin:
Z= 365/9
X1=40/9
X2=1
Como el valor de continua siendo fraccionario esta variable se vuelve a ramificar
Paso 11.- Escoger un subproblema y resolverlo.
S 6 Subproblema 5 + restriccin
S 7 Subproblema 5 + restriccin
Paso 12.- Escoger un subproblema y resolverlo
Para el Subproblema la solucin es:
Z= 37
X1=4
X2=1
Dado que los valores de la solucin son enteros, estos representan una solucin factible
para el problema de PE.
Ejemplos
Forme el rbol de ramificacin y acotamiento para el siguiente problema:
Sujeto a
0 y enteros
Se escoge a como la variable de ramificacin.
Se tienen dos nuevos PL: PL1 y PL2
PL1:
Sujeto a
0
PL2:
Sujeto a
0
An se puede hacer un PL3 ya que en el PL2 no se cumple que las variables sean
nmeros enteros, entonces:
Sujeto a
0
rbol de ramificacin y acotamiento
Min z= -5x1-8x2
St
X1+x2
Lo resolvemos obteniendo la siguiente solucin ptima: z0 = 41,25; x1 = 2,25 y x2 = 3,75
2. Notamos que las 2 variables son fraccionarias por lo que podemos tomar cualquiera de
ellas como variable de ramicacin. Escojamos la variable x2 para ramicar generndose
as los siguientes problemas:
Tenemos ahora que la lista est compuesta por 2 problemas pendientes: L={(P1),(P2)}. Sin
embargo, an no encontramos una solucin entera por lo que no actualizamos el
incumbente.
Resolviendo primero (P1), se tiene que z1 = 41; x1 = 1,8 y x2 = 4, que tampoco es
solucin entera por lo que ramicamos nuevamente por variable x1, dando origen a los
problemas:
Tenemos como problemas pendientes L={(P2),(P3),(P4)} y aun ninguna solucin entera.
Escogemos (P3) para ser resuelto obteniendo que es infactible. Esto signica que
eliminamos a (P3) sin ser ramicado.
Primera solucin entera: z5 = 37; x1 = 1 y x2 = 4 por lo que actualizamos el incumbente: z
= 37.
Ahora la lista es L=,(P2),(P6)-. Resolviendo (P6) se tiene que z6 = 40; x1 = 0 y x2 = 5,
que es una solucin entera mejor que la anterior por lo que actualizamos el incumbente:
z = 40.
Resolviendo nalmente el ultimo problema de la lista: (P2) se obtiene que z2 = 39; x1 =
3 y x2 = 3, que es una solucin entera peor que la del incumbente por lo cual no es
necesario ramicar.
Como no quedan problemas en la lista, hemos encontrado que el ptimo entero del
problema viene dado por z = 40; x 1 = 0 y x 2 = 5
Programacin entera binaria
La California Manufacturing Company est analizando su expansin mediante la
construccin de una nueva fbrica en Los Angeles, en San Francisco, o en ambas ciudades.
Tambin se piensa en construir, a los ms, un nuevo almacn; pero esta decisin est
restringida a la ciudad donde se construya la nueva fbrica.
A continuacin se muestran los datos para tomar la decisin, incluido el valor presente
neto de cada alternativa y el capital requerido para sus respectivas inversiones. El objetivo
es encontrar la combinacin factible de alternativas para maximizar el valor presente neto
total.
El objetivo es encontrar la combinacin factible de alternativas que maximice el valor
presente neto total.
Solucion:
Se trata de un modelo de programacin entera, en el que las variables de decisin tienen
la forma binaria [slo pueden tomar dos valores: xito (1) y fracaso (0) segn sea el caso]
{
Y la funcin objetivo es valor presente neto de estas decisiones.
Si se hace la inversin para la construccin de lo dado [ ], el VPN est dado en la
tabla anterior. Si no se hace [ ], el VPN es 0.
*VPN total+
st
1. .
2. La compaa quiere construir cuando mucho un almacn nuevo.
3. Las decisiones 3 y 4 dependen de la 1 y 2 [decisiones contingentes/condicionales]. La
compaa considerara la construccin de un almacn si la empresa nueva tambin estar
ah.
4. La condicin para que las variables de decisin sean binarias.
es binaria, para
Ramificacin. Al manejarse variables binarias, la forma ms sencilla de partir el conjunto
de soluciones factibles es fijar el valor de una variable. Hecho esto, el problema completo
se divide en dos sub-problemas. [En este caso, se fijar la variable ]
Acotamiento. Hay que obtener una cota que muestre qu tan buena puede ser la
solucin factible, resolviendo una soltura [aquella que elimina restricciones que hacen que
el problema sea difcil; en este caso son aquellas que hacen que las variables sean
enteras].
Problema Completo:
Soltura: Sustituir que es binaria, para por y para los
mismos valores de j.
Sub-problema 1 y Sub-problema 2:
Soltura: Sustituir que es binaria, para por y para los mismos
valores de j.
Una vez hecho el acotamiento, se resuelve el problema y los sub-problemas por mtodos
de programacin lineal
Sondeo. Es cuando un sub-problema ya no se toma en cuenta en base a ciertos
parmetros dados en el modelo . Un sub-problema se sondea si:
1. Su cota z*
2. Su soltura no tiene soluciones factibles
3. La solucin ptima es entera
A partir de este punto, se contina ramificando a partir del sub-problema 2, evaluando
cada una de las variables restantes y considerando los pasos anteriores, hasta llegar a una
solucin ptima.
Problemas de Transporte
Una compaa tiene cuatro enlatadoras que abastecen a cuatro almacenes y la gerencia
quiere determinar la programacin de envo de costo mnimo para su produccin mensual
de latas de tomate. La oferta de las enlatadoras, las demandas de los almacenes y los
costos de envo por caja de latas de tomate se muestran en la Tabla 1.
Minimizar
Z = 25 x11+ 35 x12 + 36 x13 + 60 x14 + 55 x21 + 30 x22 + 45 x23 + 38 x24 +
40 x31+50 x32 + 26 x33 + 65 x34 + 60 x41 + 40 x42 + 66 x43 + 27 x4
Variables
Z=costo a minimizar.
xij=cantidades de productos enviadas de cada centro de suministro a cada centro
de demanda.
y xij0 (i = 1,2,3,4; j = 1,2,3,4)
P2. Una compaa tiene 4 fabricas (F1, F2, F3, F4) que envan su produccin a 4 almacenes
(A1, A2, A3, A4). Los costos y capacidades de produccin, en cada una de las 4 fbricas son:
Las demandas mensuales del producto en cada uno de los 4 puntos de distribucin son:
Los costos del transporte, en $/unidad, entre las diversas combinaciones de fbricas y
almacenes son:
Formule un problema de programacin lineal para minimizar los costos de transporte y
produccin
Xij = Unidades de producto a enviar desde la fbrica i-sima (i=1, 2, 3, 4) al almacn j-
simo (j=1, 2, 3, 4)
Funcin objetivo:
Restricciones
Resolviendo en lindo
El entrenador de un equipo de natacin debe asignar competidore4s para la prueba de
200 metros de relevo combinado que irn a las Olimpiadas Juveniles. Como muchos de sus
mejores nadadores son rpidos en ms de una estilo, no es fcil decidir qu nadador
asignar a cada uno de los cuatro estilos. Los cinco mejores nadadores y sus mejores
tiempos (en segundos) en cada estilo son los siguientes:
El entrenador quiere determinar cmo asignar cuatro nadadores a los cuatro estilos de
nado para minimizar la suma de los mejores tiempos correspondientes.
a) Formule este problema como uno de asignacin
b) Obtenga una solucin ptima.
Solucion:
El nmero de asignados (cinco) debe ser igual al nmero de estilos (cuatro) as que se
introduce una asignacin ficticia (estilo) como Crol. El papel de esta asignacin es
proporcionar un estilo a la persona adicional. No se incurre en tiempos del estilo as que
sern ceros.
Variables de decisin
Funcin Objetivo
Minimizar
Restricciones:
Asignados Asignacin
No negatividad
Resolviendo en lindo:
GRADOS DE LIBERTAD
Los grados de libertad son un indicador para identificar los casos en los que probablemente el
problema de balance de materia no producir una solucin.
Redefiniendo:
(Composiciones o flujos)
Posibilidades:
Si , el problema puede resolverse
, problema subespeficado (puede realizarse una optimizacin al proceso)
, no hay solucin
Relacin de ecuaciones
Las variables desconocidas de las corrientes de proceso pueden derivarse de lo siguiente:
-Balance de materia
-Balance de energa
-Especificaciones del proceso
-Propiedades y leyes fsicas
-Restricciones fsicas (fracciones molares)
-Relaciones estequiomtricas
BIBLIOGRAFA
Thomas F. Edgar, David M. Himmelblau; OPTIMIZATION OF CHEMICAL PROCESSES;Ed
McGraw-Hill; EUA 2001; 2da ed.
Wayne L. Winston; INVESTIGACIN DE OPERACIONES, Algoritmos y Aplicaciones; Ed.
Thomson; Mxico 2005; 4 ed.
N.V.S. Raju;OPTIMIZATION METHODS FOR ENGINEERS