Arcotangente hiperbólica.José de Jesús García Ruvalcaba.

UABC

Recordatorio. Tangente hiperbólica.

La tangente hiperbólica es:

tanh𝑥 =sinh 𝑥

cosh 𝑥=𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥

Su imagen es −1,1

Es estrictamente creciente, por lo tanto es inyectiva.

Tangente hiperbólica.

tanh: −∞,+∞ → −1,1

Es biyectiva.

Su inversa es:

arctanh: −1,1 → −∞,+∞

Gráfica de la arcotangentehiperbólica.

arctanh: −1,1 → −∞,+∞

Es una función impar; y estrictamente creciente.

Fórmula explícita para la arcotangentehiperbólica.

𝑦 = arctanh𝑥

−1 < 𝑥 < 1

𝑥 = tanh𝑦

𝑥 =𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦

𝑒𝑦 + 𝑒−𝑦

Hay que despejar 𝑦

Continuación.

𝑥 =𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦

𝑒𝑦 + 𝑒−𝑦

𝑥 𝑒𝑦 + 𝑒−𝑦 = 𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦

𝑥𝑒𝑦 + 𝑥𝑒−𝑦 = 𝑒𝑦 − 𝑒−𝑦

𝑥𝑒𝑦 − 𝑒𝑦 = −𝑥𝑒−𝑦 − 𝑒−𝑦

𝑥 − 1 𝑒𝑦 = −𝑥 − 1 𝑒−𝑦

Continuación.

𝑥 − 1 𝑒𝑦 = −𝑥 − 1 𝑒−𝑦

𝑥 − 1 𝑒2𝑦 = −𝑥 − 1

𝑒2𝑦 =−𝑥 − 1

𝑥 − 1

𝑒2𝑦 =𝑥 + 1

−𝑥 + 1

𝑒2𝑦 =1 + 𝑥

1 − 𝑥

Conclusión.

𝑒2𝑦 =1 + 𝑥

1 − 𝑥

2𝑦 = log1 + 𝑥

1 − 𝑥

𝑦 =1

2log

1 + 𝑥

1 − 𝑥

arctanh 𝑥 =1

2log

1 + 𝑥

1 − 𝑥

Para 𝑥 ∈ −1,1

Después de la conclusión.

arctanh 𝑥 =1

2log

1 + 𝑥

1 − 𝑥

arctanh𝑥 =1

2log 1 + 𝑥 − log 1 − 𝑥

Se puede separar de esta manera debido a que

−1 < 𝑥 < 1

implica que

1 + 𝑥 > 0

y1 − 𝑥 > 0

Para resumir.

arctanh: −1,1 → −∞,+∞

arctanh 𝑥 =1

2log

1 + 𝑥

1 − 𝑥

arctanh 𝑥 =1

2log 1 + 𝑥 − log 1 − 𝑥