Post on 01-Mar-2016
description
7/18/2019 Bases
http://slidepdf.com/reader/full/bases-56d59f68be9f3 1/3
Ejercicios de Bases (Respuestas)
Ejercicio 1 Sea V un espacio vectorial sobre F.
1. Sean B A V . Demuestra que si A es linealmente independiente entonces B
también es linealmente independiente.
Sean v1;:::;vn 2 B tales que
1v1 + ::: + nvn = 0,
donde i 2 F. Como v1;:::;vn 2 B A y A es linealmente independiente, tenemos quei = 0 para toda i. Por lo tanto, B es linealmente independiente.
2. Sea B V linealmente independiente y v 2 V n hBi. Demuestra que B [ fvg eslinealmente independiente.
Sean v1;:::;vn 2 B [ fvg tales que
1v1 + ::: + nvn = 0,
donde i 2 F. Si vi 6= v para toda i, la independencia lineal de B implica que i = 0 paratoda i. Sin pérdida de generalidad, supongamos que v1 = v . Si 1 6= 0, tenemos que
v = 2
1
v2 + ::: + n
1
vn 2 hBi ,
lo cual es una contradicción. Luego, 1 = 0 y la indepenencia lineal de B implica que i = 0
para toda i 2. Por lo tanto, B [ fvg es linealmente independiente.
3. Sea B V y v 2 hBi. Demuestra que hBi = hB [ fvgi.
Claramente hBi hB [ fvgi. Sea u 2 hB [ fvgi. Entonces,
u = v + 1v1 + ::: + nvn
donde ; i 2 F, vi 2 B . Como v 2 hBi, tenemos que
v = 1b1 + ::: + mbm,
donde i 2 F, bi 2 B . Por lo tanto,
u = ( 1b1 + ::: + mbm) + 1v1 + ::: + nvn
= 1b1 + ::: + mbm + 1v1 + ::: + nvn 2 hBi .
Esto demuestra que hB [ fvgi hBi.
4. Sea S V . Demuestra que dim (S ) dim (V ).
1
7/18/2019 Bases
http://slidepdf.com/reader/full/bases-56d59f68be9f3 2/3
Sea B una base para S . Entonces, B es un subconjunto de V linealmente independiente.Como las bases de V son conjuntos linealmente independientes maximales, tenemos quejBj = dim (S ) dim (V ).
Ejercicio 2 Determina si las siguientes a…rmaciones son verdaderas o falsas. Justi…ca de-
talladamente tu respuesta.
1. dim(Z5
3) = 5.
VERDADERO. Una base para (Z5
3) es
(1; 0; 0; 0; 0) ; (0; 1; 0; 0; 0) ; (0; 0; 1; 0; 0)
(0; 0; 0; 1; 0) ; (0; 0; 0; 0; 1)
.
2. dim(Fun (R)) < 1.
FALSO. El espacio Fun (R) es de dimensión in…nita. Para cada 2 R, de…namosg : R ! R, como
g (x) =
1, si x =
0, si x 6= .
Entonces, el conjuntoG = fg : 2 Rg
es linealmente independiente in…nito. Para demostrar la independencia lineal, supongamosque
1g 1 + ::: + ng n
= 0.
Evaluando esta función en i obtenemos que
1g 1 + ::: + ng
n
( i) = 0 ( i) ;
1g 1 ( i) + ::: + ig i ( i) + ::: + ng
n ( i) = 0;
i = 0.
3. dim(Fun (Z2)) = 2, donde Fun (Z2) es el conjunto de functiones f : Z2 ! Z2.
VERDADERO. Los elementos de Fun (Z2) son
f 0;0 : 0 ! 0
1 ! 0
, f 1;1 : 0 ! 1
1 ! 1
.
f 0;1 :
0 ! 01 ! 1
, f 1;0 :
0 ! 11 ! 0
.
Como f 1;1 = f 0;1 + f 1;0, podemos veri…car que ff 1;0; f 0;1g es una base de Fun (Z2).
4. Si dim (V ) = n, cualquier subconjunto de V de cardinalidad mayor que n es linealmenteindependiente.
2
7/18/2019 Bases
http://slidepdf.com/reader/full/bases-56d59f68be9f3 3/3
FALSO. Por el Teorema de De…niciones Equivalentes de Base, una base es un conjun-to linealmente independiente maximal, así que no pueden existir un conjunto linealmenteindependiente con cardinalidad mayor que n.
5. Si dim (V ) = n, cualquier subconjunto de V de cardinalidad mayor que n genera a V .
FALSO. No necesariamente cualquier conjunto de cardinalidad mayor que n genera aV ; por ejemplo, sea v 2 V , v 6= 0. Si n 2, entonces el conjunto
f0; v; 2v; 3v; :::;nvg
no es generador.
Ejercicio 3 Encuentra la dimensión de los subespacios hAii R3, donde
A1 = f(3; 0; 0)g ,
A2 = f(2; 0; 0); (0; 0; 0); (1; 0; 0); (0; 0; 1)g ,
A3 = f(1; 0; 0); (1; 1; 0); (1; 1; 1)g .
Las dimensiones son:
dim(hA1i) = 1, dim(hA2i) = 2, dim(hA3i) = 3.
Ejercicio 4 Sea V un espacio vectorial sobre F y S un subespacio de V . Demuestra que si
dim(S ) = dim (V ), entonces S = V .
Sea n = dim(S ) = dim(V ). Sea B una base de S , así que jBj = n. Como B es unsubconjunto de V linealmente independiente, debe estar contenido en una base B0 de V (Teorema Existencia de Bases 1.). Sin embargo, también tenemos que jB0j = n. Luego,B B 0 y jBj = jB0j implica que B = B 0. Por lo tanto, S = hBi = hB0i = V .
Ejercicio 5 Sea V un espacio vectorial sobre F. Usa el Lema de Zorn para demostrar que
cualquier conjunto generador de V contiene a una base de V .
Sea G V un conjunto generador. Consideremos el conjunto
G = fS G : S es linealmente independienteg .
Consideremos una cadena de GC = fC i : i 2 I g .
Como demostramos en el Teorema de Existencia de Bases, la unión
U = Si2I
C i.
también es linealmente independiente y U G. Por lo tanto, U 2 G es una cota superior deC. Así, podemos aplicar el Lema de Zorn para conlcuir que existe un elemento maximal B enG. Por de…nición, B G y B es linealmente independiente. Para demostrar que hBi = V ,primero demostraremos que G hBi. Por reducción al absurdo, supongamos que G & hBi,y sea g 2 G n hBi. Entonces, por el Ejercicio 1 (2.), B [ fgg es linealmente independiente.Además, B [ fgg G, así que B [ fgg 2 G. Esto contradice la maximalidad de B en G. Porlo tanto, G hBi. Por la Observación 2.27, tenemos que V = hGi hBi, así que hBi = V .Esto demuestra que B es una base de V .
3