7/18/2019 Bases

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Ejercicios de Bases (Respuestas)

Ejercicio 1   Sea  V   un espacio vectorial sobre  F.

1. Sean   B     A     V . Demuestra que si   A   es linealmente independiente entonces   B

también es linealmente independiente.

Sean v1;:::;vn 2  B  tales que

1v1 + ::: + nvn = 0,

donde  i   2   F. Como   v1;:::;vn   2  B    A   y  A   es linealmente independiente, tenemos quei = 0  para toda  i. Por lo tanto,  B  es linealmente independiente.

2. Sea  B     V    linealmente independiente y   v   2   V   n hBi. Demuestra que  B  [ fvg   eslinealmente independiente.

Sean v1;:::;vn 2  B  [ fvg  tales que

1v1 + ::: + nvn = 0,

donde  i  2  F. Si  vi  6=  v  para toda  i, la independencia lineal de  B  implica que  i  = 0  paratoda  i. Sin pérdida de generalidad, supongamos que  v1 =  v . Si  1 6= 0, tenemos que

v = 2

1

v2 + ::: + n

1

vn 2 hBi ,

lo cual es una contradicción. Luego,  1 = 0 y la indepenencia lineal de B  implica que i = 0

para toda i   2. Por lo tanto,  B [ fvg  es linealmente independiente.

3. Sea  B    V   y  v 2 hBi. Demuestra que  hBi = hB [ fvgi.

Claramente  hBi hB [ fvgi. Sea  u 2 hB [ fvgi. Entonces,

u =  v  + 1v1 + ::: + nvn

donde ; i 2 F,  vi 2  B . Como  v 2 hBi, tenemos que

v =   1b1 + ::: +  mbm,

donde  i 2 F,  bi 2  B . Por lo tanto,

u   =   ( 1b1 + ::: +  mbm) + 1v1 + ::: + nvn

=    1b1 + ::: +  mbm + 1v1 + ::: + nvn 2 hBi .

Esto demuestra que hB [ fvgi hBi.

4. Sea  S   V  . Demuestra que  dim (S )   dim (V ).

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Sea B  una base para S . Entonces, B  es un subconjunto de  V   linealmente independiente.Como las bases de   V    son conjuntos linealmente independientes maximales, tenemos quejBj = dim (S )   dim (V ).

Ejercicio 2  Determina si las siguientes a…rmaciones son verdaderas o falsas. Justi…ca de-

talladamente tu respuesta.

1.   dim(Z5

3) = 5.

VERDADERO. Una base para  (Z5

3) es

  (1; 0; 0; 0; 0) ; (0; 1; 0; 0; 0) ; (0; 0; 1; 0; 0)

(0; 0; 0; 1; 0) ; (0; 0; 0; 0; 1)

.

2.   dim(Fun (R)) <  1.

FALSO. El espacio   Fun (R)   es de dimensión in…nita. Para cada      2   R, de…namosg  : R ! R, como

g  (x) =

  1, si x =   

0, si x 6=    .

Entonces, el conjuntoG = fg  :   2 Rg

es linealmente independiente in…nito. Para demostrar la independencia lineal, supongamosque

1g 1 + ::: + ng n

 = 0.

Evaluando esta función en   i  obtenemos que

1g 1 + ::: + ng 

n

( i) =   0 ( i) ;

1g 1 ( i) + ::: + ig i ( i) + ::: + ng 

n ( i) = 0;

i   = 0.

3.   dim(Fun (Z2)) = 2, donde  Fun (Z2) es el conjunto de functiones  f   : Z2 ! Z2.

VERDADERO. Los elementos de  Fun (Z2) son

f 0;0   :   0 ! 0

1 ! 0

  ,   f 1;1 :   0 !  1

1 !  1

  .

f 0;1   :

  0 ! 01 ! 1

  ,  f 1;0 :

  0 ! 11 ! 0

  .

Como  f 1;1 =  f 0;1 + f 1;0, podemos veri…car que ff 1;0; f 0;1g es una base de  Fun (Z2).

4. Si dim (V ) = n, cualquier subconjunto de V  de cardinalidad mayor que n es linealmenteindependiente.

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FALSO. Por el Teorema de De…niciones Equivalentes de Base, una base es un conjun-to linealmente independiente maximal, así que no pueden existir un conjunto linealmenteindependiente con cardinalidad mayor que  n.

5. Si dim (V ) = n, cualquier subconjunto de  V  de cardinalidad mayor que  n  genera a  V  .

FALSO. No necesariamente cualquier conjunto de cardinalidad mayor que  n  genera aV ; por ejemplo, sea  v 2  V  ,  v 6= 0. Si n   2, entonces el conjunto

f0; v; 2v; 3v; :::;nvg

no es generador.

Ejercicio 3  Encuentra la dimensión de los subespacios  hAii R3, donde 

A1   =   f(3; 0; 0)g ,

A2   =   f(2; 0; 0); (0; 0; 0); (1; 0; 0); (0; 0; 1)g ,

A3   =   f(1; 0; 0); (1; 1; 0); (1; 1; 1)g .

Las dimensiones son:

dim(hA1i) = 1,   dim(hA2i) = 2,   dim(hA3i) = 3.

Ejercicio 4   Sea  V  un espacio vectorial sobre  F  y  S   un subespacio de  V . Demuestra que si 

dim(S ) = dim (V ), entonces  S  = V .

Sea   n   = dim(S ) = dim(V ). Sea  B   una base de   S , así que   jBj   =   n. Como  B   es unsubconjunto de   V   linealmente independiente, debe estar contenido en una base  B0 de   V (Teorema Existencia de Bases 1.). Sin embargo, también tenemos que   jB0j   =   n. Luego,B   B 0 y jBj =  jB0j implica que  B  =  B 0. Por lo tanto,  S  = hBi =  hB0i =  V .

Ejercicio 5   Sea  V  un espacio vectorial sobre  F. Usa el Lema de Zorn para demostrar que 

cualquier conjunto generador de  V   contiene a una base de  V .

Sea G   V   un conjunto generador. Consideremos el conjunto

G = fS   G  :  S  es linealmente independienteg .

Consideremos una cadena de  GC = fC i :  i  2  I g .

Como demostramos en el Teorema de Existencia de Bases, la unión

U  = Si2I 

C i.

también es linealmente independiente y  U   G. Por lo tanto, U  2 G es una cota superior deC. Así, podemos aplicar el Lema de Zorn para conlcuir que existe un elemento maximal  B  enG. Por de…nición,  B   G  y  B   es linealmente independiente. Para demostrar que  hBi =  V  ,primero demostraremos que  G  hBi. Por reducción al absurdo, supongamos que  G & hBi,y sea  g  2  G n hBi. Entonces, por el Ejercicio 1 (2.),  B [ fgg   es linealmente independiente.Además, B [ fgg  G, así que B [ fgg 2 G. Esto contradice la maximalidad de B  en G. Porlo tanto,  G  hBi. Por la Observación 2.27, tenemos que V   = hGi hBi, así que  hBi =  V  .Esto demuestra que B  es una base de  V .

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