Post on 08-Jul-2015
EJERCICIOS RESUELTOS:
Series numéricas
Matemáticas 1
1
Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Universidad de Cantabria
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Ejercicios: Series numéricas Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
2
1 Calcular la suma de las siguientes series:
(a) 2 3 4
1 1 1 1 14 ... ...
2 2 2 2 2nπ+ − + + + + + (b)
3 21
3 2
3 2n
n
n n n
∞
=
+
+ +∑
Solución:
(a) 2
1
1 24 42 1
12
π π+ − + = +−
(b) Descomponiendo en fracciones simples
3 2
3 2 1 1 2
1 23 2
n
n n nn n n
+= + −
+ ++ +
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 21 ... ... ...
2 3 2 3 1 3 4 1 21 1 1 2 2 1 2
1 22 2 1 1 2 1 2
nSn n n n n n
n n n n n
= + + + + + + + + + − + + + + + = + + + = + + + − + = − − + + + + +
1 2lim 2 2
1 2nS
n n→∞
= − − = + +
2 Dada la serie
1n
n
∞
=∑ . Se pide:
• Determina su carácter
• Encuentra una sucesión sencilla del mismo orden que la sucesión de sus sumas parciales.
Justificar los pasos seguidos.
• Demuestra que la sucesión obtenida en el apartado anterior es del mismo orden que su suma
parcial n-ésima.
Profesora: Elena Álvarez Sáiz S
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I Ejercicios: Series numéricas
3
Indicación: Utilizar que si la función es creciente y positiva en )1, ∞ se verifica
( ) ( ) ( ) ( )11 1
n nn
k
f x dx f k f x dx f n=
< < +∑∫ ∫
Forma 1:
En general para una función f decreciente y positiva en ( )1,∞ la sucesión ( )1
n
k
f k=∑ es
del mismo orden que ( )1
n
f x dx∫ .
Si la función f es creciente se verifica
( ) ( ) ( ) ( )11 1
n nn
k
f x dx f k f x dx f n=
< < +∑∫ ∫
En este caso ( )f x x= es creciente por lo que:
( ) ( )3/2 3/2 1/2
11 1
2 21
3 3
n nn
k
n xdx S n k xdx n n n=
− = < = < + = +∑∫ ∫
Como el infinito 3/2n es de orden superior a 1/2n se tiene que:
( ) 3/22
3S n n≈
En efecto,
( )( )3/2 3/23/23/2
3 1 2 3 ... 3lim lim lim
2 1 2 13
n n Stolz n
S n n n
n n nn→∞ →∞ →∞
+ + + += =
− −
( )( )( )
3/23/2
33
13
lim2 1Multiplicando n
por el conjugado
n n n
n n→∞
+ −= =
− −
( )( ) 2
3/2
3/22 1/2
3 3 2 2
11 1
13 3lim lim 1
2 23 3 1 3 3 1n Dividiendo npor n
n n n n
n n n n n n→∞ →∞
+ + + − = = =
− − + − − +
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4
Luego son asintóticamente equivalentes.
Forma 2:
Basta considerar la equivalencia:
1
1 2 3 ...1
kk k k k n
nk
++ + + + ≈
+
En nuestro caso 1
2k = .
3 Determinar la suma parcial enésima que permite calcular
( )31
1
2 1n n
∞
= +∑ con un error menor
que 210−
Solución:
Consideramos la serie ( )3/2
1
1
2 1n
S
n
∞
=
=+
∑ que es convergente (por comparación con la
serie armónica generalizada: 1
1p
n n
∞
=∑ con p=3/2>1) y nS la suma parcial n-ésima de
la serie.
Teniendo en cuenta que ( )( )3/2
1
2 1f x
x
=+
es decreciente y positiva en )1, ∞ se
cumple
( ) ( )( ) ( )
3/2 3/21
1 1... lim
2 3 2 5
h
nh
k n n
S S f k f x dx
n n
∞
→∞= +
− = + + = ≤+ +
∑ ∫
Como
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5
( )( ) ( ) ( )3/2
1 1 1 1lim lim lim
2 1 2 1 2 12 1
h h
h h hn n
f x dx dxh n nx
→∞ →∞ →∞
= = − + =
+ + + + ∫ ∫
Por lo tanto, el error al considerar como suma de la serie la suma parcial n-ésima
está acotado por
1
2 1nerror S S
n= − ≤
+
Si queremos ahora que este error sea menor que una centésima basta encontrar el
valor de n cumpliendo: 4
2
1 1 999910 2 1
2102 1n n
n< ⇔ < + ⇔ <
+. Basta tomar
entonces los 5000 primeros sumandos
( )
5000
5000 3/21
1
2 1n
S S
n=
≈ =+
∑
4 Utilizando el criterio integral demuestra que la serie
1
n
n
r
∞
=∑ es convergente para valores
0 1r< < .
Solución:
Vamos a acotar la sucesión de sumas parciales por dos sucesiones convergentes.
En este caso la función ( ) 1x
f xr
= es positiva y decreciente en ( )1,∞ .
En primer lugar observamos que la serie solo puede ser convergente o
divergente ya que se trata de una serie de términos positivos. Utilizando el
criterio integral se tiene la siguiente acotación
21 1
1 1 1 1 1 1...
n n
nx n xdx S dx
r rr r r r≤ = + + + ≤ +∫ ∫
Como
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6
( )1 1
1 1 1 1 1
log loglog
nn
x x ndx
r r rr r r r
− −= = +∫
se cumple que la suma parcial n-ésima está acotada
( ) ( )2
1 1 1 1 1 1 1...
log loglog lognn n nS
r r r r rr r r r r r
− −+ ≤ = + + + ≤ +
Como tanto la cota superior como la cota inferior son sucesiones convergentes
la sucesión de sumas parciales también lo será y por lo tanto la serie 1
1n
n r
∞
=∑ es
convergente.
5 (a) Determinar el carácter de las siguientes series:
(i) 1
1
3 nn e
∞
=∑ (ii)
( )( )1 2n
Ch n
Ch n
∞
=∑
(b) Calcular el valor exacto de la serie 2 3
11
2
9
n
nn
∞ +
+=∑
(c) Determinar el número de términos que es necesario considerar para obtener el valor
aproximado de 2 3
11
2
9
n
nn
∞ +
+=∑ con un error menor que 0.01
Solución:
(a) Teniendo en cuenta
1 1
1 1 1
33
n
nn ne e
∞ ∞
= =
= ∑ ∑
la serie es geométrica de razón 1
1re
= < , luego es convergente.
Para la segunda serie se tiene en cuenta la expresión de Ch(n) en función de la
exponencial:
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7
( )( )
( )2
2 3
2 2 4 4 41 1 1 1 1
2
11
22 1 1 1
2
nn n
n n n nn
n n n n nn n n n n
n
ee ee eCh n e ee
Ch n e e e e e
e
−∞ ∞ ∞ ∞ ∞
−= = = = =
+++ +
= = = =+ + + +
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
Comparamos esta serie con 1
1n
n e
∞
=∑ y como el límite
3 4 2
4 4
1lim : lim 1
1 1
n n n n
n n nn n
e e e e
e e e→∞ →∞
+ + = = + +
es distinto de cero y de infinito ambas series tienen el mismo carácter, es decir,
convergentes.
(a) Como la serie es geométrica el valor de la suma es:
2 3
11 1
42 8 4 8 329
9 9 9 4 459 19
nn
nn n
∞ ∞+
+= =
= = = −
∑ ∑
(b) Teniendo en cuenta que ( ) 8 4
9 9
x
f x =
es continua, decreciente y positiva
en )1, ∞ y llamando ( ) 8 4
9 9
n
na f n = =
se tiene que:
1 2
4 4
8 4 8 9 8 9...
9 9 9 4 9 9log log
9 4
x n
x
n n n
n
n
R a a dx
∞
∞
+ +
= + + ≤ = =
∫
Basta encontrar n cumpliendo:
1
4
8 9 80 910
9 9 9 4log 9 og
4 4
n
n
l
−
< ⇔ <
Dando valores se ve que bastaría considerar n=3 para conseguir obtener el
valor de la serie con el error considerado. El valor aproximado será:
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8
2 3
3 2 3
8 4 4 4 42560.6487
9 9 65619 9S
= + + = ≈
6 (a) Demostrar que: 2
1 1 1 1...
3 15 35 2 14 1
nn
nn+ + + + = ∀ ∈
+−�
(b) Determinar el valor de 2
1
1
4 1n n
∞
= −∑
Solución:
(a) Demostramos la igualdad por inducción
Para n=1 la igualdad es cierta: 1 1
3 2 1 1=
⋅ +
Suponiendo cierta para n veamos si se cumple:
( ) ( )2 2
1 1 1 1 1 1...
3 15 35 2 1 14 1 4 1 1
n
nn n
++ + + + + =
+ +− + −
Por hipótesis de inducción:
( ) ( )2 2 2
2 1
1 1 1 1 1 1...
3 15 35 2 14 1 4 1 1 4 1 1n
n
n
nn n n
=+
+ + + + + = ++− + − + −�����������������������������
Operando:
( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )( )( )( )( )
2
2
1 1
2 1 2 1 2 1 2 34 1 1
2 3 1 1 2 12 3 1 1
2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 3
n n
n n n nn
n n n nn n n
n n n n n n n
+ = + =+ + + ++ −
+ + + ++ + += = = =
+ + + + + + +
(b) La serie es convergente por comparación con la serie armónica generalizada
21
1
n n
∞
=∑ . Para calcular el valor tenemos en cuenta el apartado (a):
2
1 1 1 1...
3 15 35 2 14 1n
nS
nn= + + + + =
+−
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9
1lim lim
2 1 2nn n
nS
n→∞ →∞= =
+
Luego, 2
1
1 1
24 1n n
∞
=
=−
∑
7 Sea { }1n n
a∞
= una sucesión de números reales monótona creciente.
(a) Demostrar que la sucesión de término general nS
n es también monótona creciente
siendo 1 2 ...n nS a a a= + + + .
(b) Si además 1n
n
a
∞
=∑ es convergente, calcular lim n
n
S
n→∞, siendo 1 2 ...n nS a a a= + + + .
Solución:
(a) Se quiere probar
( ) ( ) ( )11 11 1
1n n
n n n n n
S
n
SS n nS S n n S a
n
++ +< ⇔ + < ⇔ + < +
+
1 1 2 1...n n n nS na a a a na+ +⇔ < ⇔ + + + <
Esta última desigualdad es cierta ya que 1 1,...,k na a para k n+< = por ser
{ }1n n
a∞
=monótona creciente
(b) Aplicando el criterio de Stolz se tiene que ( )
1lim lim lim1
n n n
nn n n
S S Sa
n n n
−
→∞ →∞ →∞
−= =
− −
que es cero ya que 1n
n
a
∞
=∑ es convergente.
8 Estudiar el carácter de la serie en función del parámetro a ∈ �
1
1a
n
n senn
∞
=
∑
Solución:
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10
El término general es :
1
1 1 1a an aa n sen n
n n n −
= ≈ =
Aplicando el criterio de comparación por paso al límite se concluye que:
• Si 1 1a− ≤ la serie es divergente
• Si 1 1a− < la serie es convergente
9 Estudiar el carácter de la serie siguiente en función de los posibles valores de x
( )( )1
02 5
n
nn
xx
n n x
∞
=
>+ +
∑
Solución:
Como x es mayor que cero se trata de una serie de términos positivos con término
general
( )( )2 5
n
n n
xa
n n x=
+ +
Aplicando el criterio del cociente:
( )( )
( )( )
( )( )( )( )
1
11
3 1 5 2lim lim lim
5 3 1 5
2 5
n
nn
nn n nn
n
x
n n x x n n xa x
a n n xx
n n x
+
++
→∞ →∞ →∞
+ + + + += = =
+ + +
+ +
se concluye que:
• Si 5x < la serie es convergente
• Si 5x > la serie es divergente
• Si x=5 la serie es:
( )( ) ( )( )1 1
5 1
22 5
n
nn n n n xn n x
∞ ∞
= =
=+ ++ +
∑ ∑
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11
que es convergente por comparación con la serie armónica generalizada para p=2:
( )( ) ( )( )1 1
5 1
22 5
n
nn n n n xn n x
∞ ∞
= =
=+ ++ +
∑ ∑
10 Estudiar la convergencia absoluta y condicional de la serie:
( )1
1,1
n
nn
xa x a
n a
∞
=
> ≠+
∑
Solución:
Se trata de una serie que para valores de x positivos es de términos positivos y para
valores de x negativos es de términos negativos. Estud¡amos por ello la convergencia
absoluta mediante el criterio de la raíz:
( ) ( )lim lim
1 1
n
nn nn n n
x xL
n a n a→∞ →∞= =
+ +
como
( )1
( (log ) log )
lim 1 lim lim 1nnn nn
n n n
atomar tomararimtos arimtos
n a n a a→∞ →∞ →∞
= =
+ = + =��������� �������������
se tiene que: x
La
=
• si x a< , la serie es convergente
• Si x a> , la serie es divergente
11 Estudiar la convergencia de la serie
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12
( )2 2
2
1
12 1
4
11 cosn
n senn
n
∞
=
− −
∑
Solución:
El término general de la serie es
( )2 2
2
12 1
4
11 cos
n
n senn
a
n
− =
−
que es equivalente a ( ) ( )
22
2 22
2 4
12 1
2 14
16 21
2!
n
nn nn
bn
n
− − = =
⋅
ya que
2
2 2
1
1 1 11 cos
24 4
nsen
nn n
≈ − ≈
Por lo tanto la serie no es convergente ya que el término general de la serie no
tiende a cero (condición necesaria de convergencia). Como además es una serie de
términos positivos es divergente.
12 (a) Calcular el siguiente límite: 2 2 2
1 1 1lim ...
1 4 2 4 4n n n n n→∞
+ + + + + +
(b) Estudiar el carácter de la serie:
2 2 21
1 1 1...
1 4 2 4 4n n n n n
∞
=
+ + + + + +∑
Solución:
(a) Se cumple que:
2 2 2 2 2
1 1 1...
4 1 4 2 4 4 1 4
n n
n n n n n n n≤ + + + ≤
+ + + + +
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13
Por otro lado
2
2
1lim
241
lim21 4
n
n
n
n nn
n
→∞
→∞
=+
=+
Luego, aplicando el teorema del encaje
2 2 2
1 1 1 1lim ...
21 4 2 4 4n n n n n→∞
+ + + = + + +
(b) Como el término general no tiende a cero la serie no es convergente. Por ser una
serie de términos positivos al no ser convergente debe ser divergente.
13 Determinar el carácter de las siguientes series:
(1) 3
11
2
3
n
nn
∞ +
−=∑ (2)
1
2 9log
7n
n
n
∞
=
+ +∑ (3) 2
21
2 5
3 8n
nsen
n
∞
=
+ +∑
Solución:
• La serie (a) es una serie geométrica de razón 2/3<1, luego es convergente.
3 4 5 6
1 21
2 2 2 2...
33 3 3
n
n on
∞ +
−=
= + + +∑
• La serie 1
2 9log
7n
n
n
∞
=
+ +∑ es una serie de términos positivos ya que 2 9
17
n
n
+>
+
cuyo término general no tiende a cero (condición necesaria de convergencia):
( )2 9og log 2
7n n
na l
n →∞
+ = → +
Se trata entonces de una serie divergente.
• La serie 2
21
2 5
3 8n
nsen
n
∞
=
+ +∑ es una serie de términos positivos, teniendo en
cuenta además que
2 22
2 2 2
2 5 2 5 2 4
33 8 3 8 9
n nsen
nn n n
+ + ≈ ≈ = + +
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14
la serie tiene el mismo carácter que 2
1
1
n n
∞
=∑ (criterio de comparación por paso
al límite) se trata de una serie convergente.
14 Determinar el carácter de las siguientes series:
(1) ( )
( )22
1
log
n
n n n
∞
=
−∑ (2)
( )3
1
1
1
n
n n
∞
=
−
+∑
Solución:
• La serie ( )
( )22
1
log
n
n n n
∞
=
−∑ es una serie alternada convergente por el criterio de
Leibnitz:
o ( )2
1lim lim 0
logn
n na
n n→∞ →∞= =
o { }na es monótona decreciente:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )22
2 2 log
1 1log 1 log 1
log1 log 1 el aritmoes una funcióncreciente
n n n nn nn n
< ⇔ < + ++ +
Estudiamos ahora la convergencia absoluta, es decir, la convergencia de la serie:
( )22
1
logn n n
∞
=∑ . Como ( ) ( )2 2log 2 logn n n≤ se tiene que
( ) ( )2 2
1 1
log log 2n n n≤
⋅
y, por el criterio de comparación es convergente. Luego la serie es absolutamente
convergente.
• La serie ( )3
1
1
1
n
n n
∞
=
−
+∑ es una serie alternada convergente por el criterio de
Leibnitz:
o 3
1lim lim 0
1n
n na
n→∞ →∞= =
+
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15
o { }na es monótona decreciente:
( )3 3
33
1 11 2
1 1 1n n
n n< ⇔ + < +
+ + +
Estudiamos ahora la convergencia absoluta, es decir, la convergencia de la serie:
31
1
1n n
∞
= +∑ . Como
3 1/3
1 1
1 nn≈
+
por el criterio de comparación es divergente. Luego la serie no converge
absolutamente.
15 Calcular el carácter de las siguientes series:
(a) 1
1 1
n
senn n
∞
=∑ (b)
( )1
1
1 11 ...
2
n
n
n
∞
=
−
+ + +∑
Solución.-
(a) Convergente por comparación con 2
1
1
n n
∞
=∑ .
(b) Convergente por Leibniz 1
1 11 ...
2
na
n
=+ + +
es monótona decreciente y
tiende a cero porque en el denominador se tiene la suma parcial enésima de la
serie armónica.
16 Estudia el carácter de las siguientes series. Justifica adecuadamente las respuestas.
(a) 1
1,
an
n na
n
∞
=
+ −∈∑ � (b)
2
21
2 1log
2n
n n
n n
∞
=
+ + +∑
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16
Solución:
(a) En primer lugar analizamos la condición necesaria de convergencia. Cuando n
tiende a infinito el numerador presenta una indeterminación luego el término
general de la serie lo escribimos como
( )( )( ) ( )
1 11 1
1 1n a a a
n n n nn na
n n n n n n n
+ − + ++ −= = =
+ + + +
El denominador es un infinito del mismo orden que 1
2a
an n n+
= (ver *)
� En el caso de que 1 1
02 2
a a−
+ ≤ ⇒ ≤ el término general no tiende a
cero luego la serie, por ser de términos positivos al no converger, será
divergente.
� En el caso de que 1
2a
−> el término general tiende a cero.
Comparando con la serie 1
12
1
ann
∞
+=∑ se tiene que como:
( ) 1
2
1
2
1
2
1 1lim lim lim 0,
1 21 11 1a
a
n
an n dividiendo n
por na
a n
n n n
nn
+
+
→∞ →∞ →∞
+
= = = ≠ ∞ + + + +
(*)
aplicando el criterio de comparación por paso al límite las series
1
1a
n
n n
n
∞
=
+ −∑ y 1
12
1
ann
∞
+=∑ tienen el mismo carácter.
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17
Como la segunda serie es la armónica generalizada se tiene que:
� Para 0 1p< ≤ la serie 1
1p
n n
∞
=∑ es divergente. Luego la serie
11
2
1
ann
∞
+=∑ es divergente si
10 1
2a< + ≤ . En consecuencia para
1 1
2 2a
−< ≤ la serie
1
1a
n
n n
n
∞
=
+ −∑ es divergente.
� Para 1p < la serie 1
1p
n n
∞
=∑ es convergente. Luego la serie
11
2
1
ann
∞
+=∑ es convergente si
11
2a< + . Concluimos que para
1
2a< la serie
1
1a
n
n n
n
∞
=
+ −∑ es convergente.
17
Estudiar la convergencia de la serie 1
2a
n
nsen
n
π
∞
=
∑ para 1a = y 2a = .
Solución:
Observar que ( )( )1 1
12
2 1
n
a an n
nsen
n n
π
∞ ∞
= =
− =
−∑ ∑ . Es convergente por Leibniz.
18 Se considera la sucesión ( )( )1 2
n n
na
n n b=
+ + con b ∈ � . Se pide:
a) Estudiar la convergencia de la serie 1n
n
a
∞
=∑
b) Encontrar el valor de la suma 1n
n
a
∞
=∑ para 1b = .
c) Consideramos Sn la suma parcial n-ésima de la serie
1n
n
a
∞
=∑ para 1b = . Sin obtener la
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18
expresión exacta de Sn encontrar una sucesión equivalente y demostrar que la expresión
obtenida realmente es equivalente a Sn.
Solución:
(a) Por el criterio del cociente
( )( )
( )( )
( )( )
1 2
1
1
2 3 1 1lim lim lim
3
1 2
n
n
n n nn
n
n
n n b na
a n b n n b
n n b
+
+
→∞ →∞ →∞
+
+ + += = =
+
+ +
• si 1b > la serie converge absolutamente y por tanto es convergente.
• Si 1b < la serie no converge porque el término general no tiende a
cero, ya que:
( )( ) 2
1
1 2 n n
n
n n b n b≈
+ +
y por comparación de infinitos
( )( )
21 /lim lim
1 2 n nn n
nn
n n b b→∞ →∞= = ∞
+ +
el término general tiende a infinito.
• Para b=-1 la serie es convergente por Leibniz. Para
• b=1 la serie es divergente comparándola con la serie 1
1
n n
∞
=∑ .
(b)
• Para b=1 es divergente comparándola con la serie 1
1
n n
∞
=∑ por lo tanto la
suma de la serie es infinito.
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Fundamentos Matemáticos I Ejercicios: Series numéricas
19
(c) Por el criterio integral ( ) ( )2 2
1
2 2log log
1 1n
n nK S K
n n
+ + + ≤ ≤ + + + donde K y K1
son constantes. Por lo tanto,
( )( )
22
log log1
n
nS n
n
+ ≅ + �
19 Dada la serie
2
1
( 1) , 0, 0,n n
n
n
a ba b
n
∞
=
− > >∑ estudiar su convergencia y convergencia absoluta
según los valores de a y b.
Solución:
(a) Convergencia absoluta
Se trata de estudiar la convergencia de la serie 2
1
, 0, 0n n
n
a ba b
n
∞
=
> >∑ . Puesto que
esta serie es de términos positivos, se puede estudiar aplicando el criterio de la
raíz,
2
1/lim lim
n n nn
nn n
a b ab
n n→∞ →∞= =
0 si 0 1 convergente
si 1 divergente
si 0 1, convergente
si 1 si 1, divergente
si 1 ?
b
b
a
a b a
a
< < ⇒∞ > ⇒ < < = ⇒ > =
En el caso 1a b= = , se obtiene la serie armónica 1
1
n n
∞
=∑ , que es divergente.
Por tanto la serie es absolutamente convergente para los valores
{ } { }0, 0 1 1, 0 1a b b a> < < ∪ = < < .
b) Convergencia
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20
Para los valores de a y b para los que la serie es absolutamente convergente, la
serie alternada es convergente. Se trata de estudiar, por tanto los demás casos.
• b = 1, a = 1. Se obtiene las serie1
1( 1)n
n n
∞
=
−∑ , que es convergente ya que la
sucesión 1
n
es decreciente y convergente a 0 (Criterio de Leibnitz).
• b = 1, a > 1 . Se obtiene las serie ( 1)n
n a
n−∑ , que no es convergente ya que
la sucesión ( 1)n
n a
n
− es oscilante y por tanto no se cumple la condición
necesaria de convergencia.
• b > 1, la serie no es convergente por la misma razón que en el caso anterior.
Por tanto la serie es convergente para los valores
{ } { }0, 0 1 1, 0 1a b b a> < < ∪ = < ≤
20 Estudiar la convergencia y convergencia absoluta de la serie
1
cosn
an
x
n
∞
=∑ con 0, ,x aπ ∈ ∈ �
según los valores de x y a.
Solución:
Se trata de una serie de términos que según los valores de x puede ser de
términos positivos o alternada. Por ello estudiamos la convergencia absoluta y
aplicamos el criterio de la raiz para la serie de los valores absolutos:
cos 1lim cos lim cos
n
na n an n
xx x
n n→∞ →∞= = a∀ ∈ �
por tanto
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21
• La serie converge absolutamente (y por tanto es convergente) para
valores tales que que cos 1x < , es decir,
cos 1x < ; (0, )x π∈
Los casos 0x = y x π= hay que estudiarlos por separado
• 0x = , se obtiene la serie 1
1a
n n
∞
=∑ que por ser una serie armónica es
convergente si a>1
divergente si a 1
≤
• x π= , se obtiene la serie 1
( 1)n
an n
∞
=
−∑ , serie alternada. Estudiamos según
los diferentes valores de a ∈ �
o Si 0a < , /∃( 1)
limn
an n→∞
− ya que �
0
lim ( 1)n a
na
n−→∞ − >
− = ±∞
o Si 0a = , { }( 1)1,1, 1,1,...
n
an
− = − − luego lim
n→∞/∃
En estos casos no se verifica la condición necesaria de convergencia
por lo que la serie no es convergente.
o Si 0a > , la sucesión 1an
es decreciente y tiende a cero por lo que,
según el criterio de Leibnitz, la serie 1
( 1)n
an n
∞
=
−∑ es convergente.
Luego,
convergente si a 0
a 0no convergente
> ≤
21 Se considera para cada número natural n ∈ � la ecuación:
6 2 13 5
2 2n x − =
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22
y se define para cada natural n ∈ � el número na como la suma de las raíces positivas de esta
ecuación. Se pide:
Apartado 1.- Encontrar el supremo, ínfimo, máximo y mínimo del conjunto formado por
los números reales na , es decir, el conjunto
{ }/na n ∈ �
Apartado 2.- Calcular la suma aproximada de la serie 1n
n
a
∞
=∑ con un error menor que una
décima.
Solución:
Apartado 1:
Para cada número natural n consideramos la ecuación 6 2 13 5
2 2n x − = . Las raíces de
esta ecuación son los valores x que cumplen:
6 2 13 5
2 2n x − = ó 6 2 13 5
2 2n x − − =
Nota: En este paso aplico la definición de valor absoluto. Si el valor absoluto
de A es 5/2 es porque A es 5/2 ó A es –5/2. También podría haber elevado al
cuadrado y resolver la ecuación pero me quedaría de grado cuatro y habría que
realizar más cálculos.
� Resolviendo 6 2 6 2 2
6 3
13 5 9 39
2 2n x n x x x
n n− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±
� Resolviendo 6 2 6 2 2
3 3
13 5 4 24
2 2n x n x x x
n n
− − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±
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23
Para cada n la suma de las raíces positivas de la ecuación 6 2 13 5
2 2n x − = es
3 3
3 2
n n+ .
El conjunto para el que hay que calcular el supremo, ínfimo, máximo y mínimo es
3
5/A n
n
= ∈ � se cumple que el supremo es 5 y el ínfimo es 0. Como el supremo
está en el conjunto (para n=1) se trata del máximo pero el ínfimo no es mínimo
porque no es un elemento del conjunto A.
Apartado 2:
Consideramos la serie 3
1
5
n
Sn
∞
=
= ∑ que es convergente (es una serie armónica
generalizada 1
5p
n n
∞
=∑ con p=3>1) y nS la suma parcial n-ésima de la serie.
Teniendo en cuenta que ( )3
5f x
x= es decreciente y positiva en )1, ∞ se cumple
( ) ( )( ) ( )
3 31
5 5... lim
1 2
h
nh
k n n
S S f k f x dx
n n
∞
→∞= +
− = + + = ≤+ +
∑ ∫
Como
( )3 2 2 2
5 5 5 5lim lim lim
2 2 2
h h
h h hn n
f x dx dxx h n n→∞ →∞ →∞
= = − + =
∫ ∫
Por lo tanto, el error al considerar como suma de la serie la suma parcial n-ésima
está acotado por
2
5
2nerror S S
n= − ≤
Si queremos ahora que este error sea menor que una décima basta encontrar el valor
de n cumpliendo: 2
2
5 125
102n
n≤ ⇔ ≤ . Basta tomar entonces los cinco primeros
sumandos
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24
3 3 3 3
5 5 5 5 5
1 2 3 4 5S ≈ + + + +
22
Hallar los valores de a ∈ � para los que la serie ( )2
2
1
21
3
n
nn
aa sen
n∞
=
+ +∑ sea convergente. Dar la
solución en términos de intervalos justificando la respuesta.
Solución:
Por el criterio del cociente
( )
( )( )
( )
( )
( )( )
2
22 2
2 2
2 2
21 2
2
23 1 21lim lim 1 2 332 3
1 13 1 1
n
n
nn n
n
a aasen
an anL a
aa asen
nn
−→∞ →∞
−
+ + + ++= = = < ⇔ + < + − + − +
Luego la serie es absolutamente convergente, y por lo tanto, convergente siempre que
( )2 3 2 3, 2 3a a+ < ⇔ ∈ − − − +
En los casos en los que ( )22
1 2 33
aa
+> ⇔ + > el término general no tiende a
cero luego no es convergente.
Estudiamos los valores de a en los que el criterio del cociente nos da duda.
Caso 1: 2 3a = − − , la serie es:
( ) ( )2 2
2 2
21 1 1
2 3 2 32 3 2 3
1 1 2 3
3 3 1
n n
n nn n n
sen senn n
senn
∞ ∞ ∞
= = =
− − − − − − + − + + − − = = + ∑ ∑ ∑
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25
Como 2 2 2
2 3 2 3 1
1 1sen
n n n
− − − − ≈ ≈ + + la serie
21
2 3
1n
senn
∞
=
− − + ∑ es convergente por
comparación con la serie armónica generalizada.
Caso 2: 2 3a = − + , la serie es:
( ) ( )2 2
2 2
21 1 1
2 3 2 32 3 2 3
1 1 2 3
3 3 1
n n
n nn n n
sen senn n
senn
∞ ∞ ∞
= = =
− + − + − + + + + − + = = + ∑ ∑ ∑
Como 2 2 2
2 3 2 3 1
1 1sen
n n n
− + − + ≈ ≈ + + la serie
21
2 3
1n
senn
∞
=
− + + ∑ es convergente por
comparación con la serie armónica generalizada.
Luego el conjunto donde la serie es convergente es el intervalo 2 3, 2 3 − − − + .
23 (a) ¿Es convergente la serie 3 3
1
sen
cosn
n
n n
∞
= +∑ ? Justificar adecuadamente la respuesta.
(b) Determinar la suma parcial enésima que permite calcular
( )31
1
2 1n n
∞
= +∑ con un error menor
que 210−
Solución:
(a) Se tiene que:
3
3 3 3
3 3 3 3 31 cos1 cos
1 11
cos cos 1nn n n
sennn
n n n n n − ≤ − ≤ +
≤ ≤ ≠+ + −
La serie 3
1
1
1n n
∞
= −∑ es convergente por ser del mismo tipo que la serie
3/21
1
n n
∞
=∑ ya
que:
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26
3/23
3
3/2
1
1lim lim 11 1n n
nn
n
n
→∞ →∞
− = =−
Por lo tanto, la serie dada es absolutamente convergente y por lo tanto es
convergente.
(b) Consideramos la serie ( )3/2
1
1
2 1n
S
n
∞
=
=+
∑ que es convergente (por comparación
con la serie armónica generalizada: 1
1p
n n
∞
=∑ con p=3/2>1) y nS la suma parcial n-
ésima de la serie.
Teniendo en cuenta que ( )( )3/2
1
2 1f x
x
=+
es decreciente y positiva en )1, ∞ se
cumple
( ) ( )( ) ( )
3/2 3/21
1 1... lim
2 3 2 5
h
nh
k n n
S S f k f x dx
n n
∞
→∞= +
− = + + = ≤+ +
∑ ∫
Como
( )( ) ( ) ( )3/2
1 1 1 1lim lim lim
2 1 2 1 2 12 1
h h
h h hn n
f x dx dxh n nx
→∞ →∞ →∞
= = − + =
+ + + + ∫ ∫
Por lo tanto, el error al considerar como suma de la serie la suma parcial n-ésima
está acotado por
1
2 1nerror S S
n= − ≤
+
Si queremos ahora que este error sea menor que una centésima basta encontrar el
valor de n cumpliendo: 4
2
1 1 999910 2 1
2102 1n n
n< ⇔ < + ⇔ <
+. Basta tomar
entonces los 5000 primeros sumandos
( )
5000
5000 3/21
1
2 1n
S S
n=
≈ =+
∑
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27
24 Se considera la serie de números reales ( )1 2
n
n
xx
n n
∞
=
∈+∑ � . Se pide:
(a) Estudiar para qué valores de x es convergente dicha serie
(b) Calcular su suma para x=1.
Solución:
(a) Como x es un número real estudiamos en primer lugar la convergencia
absoluta, es decir la convergencia de la serie de los valores absolutos
( )1 2
n
n
xx
n n
∞
=
∈+∑ �
Aplicando a esta última serie el criterio del cociente:
( )( )
( )
( )( )( )
1
21 3lim lim
1 3
2
n
nn n
x
x n nn nx
n nx
n n
+
→∞ →∞
++ += =
+ +
+
Si 1x < La serie ( )1 2
n
n
x
n n
∞
= +∑ converge absolutamente y por lo tanto es
convergente
Si 1x > La serie ( )1 2
n
n
x
n n
∞
= +∑ diverge absolutamente. Sin embargo el término
general no tiende a cero:
( )1
lim12
n
n
si xx
No existe si xn n→∞
∞ >= < −+
por lo tanto la serie ( )1 2
n
n
x
n n
∞
= +∑ no es convergente.
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28
Si x=1 , La serie ( )1
1
2n n n
∞
= +∑ es convergente por el criterio de comparación por paso
al límite sin más que compararla con 2
1
1
n n
∞
=∑
Si x=-1 , La serie ( )( )1
1
2
n
n n n
∞
=
−
+∑ es convergente por el criterio de Leibniz (la sucesión
( )1
2na
n n=
+ es monótona decreciente y tiende a cero).
(b) Calculamos la suma para x=1, es decir, el valor de ( )1
1
2n n n
∞
= +∑ .
Descomponiendo el término general de la serie en fracciones simples:
( )1 1 1
,2 2 2 2
n
A Ba con A B
n n n n
−= = + = =
+ +
La suma parcial n-ésima es:
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1... 1 ... ...
2 2 3 4 2 3 4 1 2n nS a a a
n n n n
= + + + = + + + + + − + + + + + = + +
1 1 1 1 11
2 2 2 1 2n n
= + − + + +
Luego
1 1 1 1 1 1 1 3lim 1 1
2 2 2 1 2 2 2 4n n n→∞
+ − + = + = + +
y entonces
( )1
1 3
2 4n n n
∞
=
=+∑
Nota: Si en la solución de algún ejercicio crees que hay algún error ponte en contacto con la
profesora para su corrección.
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29