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Ecuaciones Diferenciales
Muchas de las leyes de la naturaleza –en física, química, biología, ingeniería y astronomía- encuentran su expresión más natural en el lenguaje de las
ecuaciones diferenciales. Dicho de otra forma las ecuaciones diferenciales son el lenguaje de la naturaleza.
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I UNIDADEcuaciones Diferenciales
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DefiniciónUna ecuación diferencial (ED) es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida de una o varias variables.
EjemploLas siguientes expresiones son ejemplos de ED’s:
1 INTRODUCCIÓN
0232
2
ydxdy
dxyd ky
dtdy
Conocida como Ley de Crecimiento Exponencial
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En base a la definición anterior se tiene que:
a) Si la función desconocida depende de solo una variable la ecuación se llama Ecuación Diferencial Ordinaria.
b) Si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama Ecuación Diferencial Parcial.
1 INTRODUCCIÓN
xdxdy 2 yxy 2'
vyv
xv
2
2
2
2
2
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Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse por su orden y grado.
OrdenEl orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada mas alta que aparece en la ecuación.
EjemploDeterminar el orden de las ecuaciones diferenciales:
1 INTRODUCCIÓN
87 53
xdxdy xsen
dxyd 352
2
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Solución
La ecuación diferencial:
Es de primer orden dado que la derivada mas alta que figura en la ecuación diferencial es la primera derivada.
La ecuación diferencial:
Es de segundo orden dado que la derivada más alta que figura en la ecuación diferencial es la de la segunda derivada.
1 INTRODUCCIÓN
87 53
xdxdy
xsendx
yd 352
2
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Ejercicios para resolver en clase
Determinar el orden de las siguientes ecuaciones:
a)
b)
1 INTRODUCCIÓN
735 25
2
22
4
4
xdxdy
dxyd
dxyd
3
2
22
6
2
2
7
dxydx
dxdyx
dxyd
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GradoEl grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su derivada de mayor orden, es decir, el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la derivada que nos dio el orden de la ecuación diferencial.
EjemploEl grado de la ecuación diferencial es:
de tercer grado, dado que la primera derivada está elevada cubo.
1 INTRODUCCIÓN
87 53
xxydxdy
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Ejercicios para resolver en clase
Determinar el grado de las siguientes ecuaciones:
a)
b)
1 INTRODUCCIÓN
735 25
2
22
4
4
xdxdy
dxyd
dxyd
3
2
22
6
2
2
7
dxydx
dxdyx
dxyd
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NOTA: cuando alguna derivada este dentro de un radical o en polinomio, el cual este elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que eliminar dicho radical para después determinar el grado de la ecuación diferencial.
1 INTRODUCCIÓN
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Ejercicios para resolver en clases
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:
a)
b)
1 INTRODUCCIÓN
17 2 xdxdy
32
2
dxdyx
dxyd
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Ejercicios de Tarea
Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) b)
c)
d)
1 INTRODUCCIÓN
ydxdyx
dxyd 533
3
5
3
33
3
3
818
dxydx
dxyd
dxdy
dxdyx
dxyd 853
3
53
3
2
2
3dx
ydxdx
yd
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2 SOLUCIÓN DE UNA EDSolución general. La solución general es una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. Es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita de curvas, etc). Solución particular. Si fijando cualquier punto por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto , que recibe el nombre de condición inicial.Solución singular. La solución singular es una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general. Es solución de la ecuación no consistente en una particular de la general.
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Una solución de una ED es cualquier función que satisface la ED, este es, la reduce a una identidad.
EjemploLa función definida por es una solución de la ecuación diferencial:
puesto que:
y al sustituir en la ED se obtiene una identidad
2 SOLUCIÓN DE UNA ED
2x9y
yxy'
2
212
929
21y'
xxxx
22 99 xx
xx
33 x
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Una solución particular de una ED es toda solución obtenida asignando valores específicos a las constantes que intervienen en la solución general.
EjemploVerificar que es solución de la ecuación diferencial
Hallar la solución particular sujeta a la condición inicial:
2 SOLUCIÓN DE UNA ED
03' yxy
2)3( y
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SoluciónDerivando tenemos que , luego, sustituyendo en la ED:
de esta manera es solución de la ED.
Para obtener la solución particular, apliquemos la condición inicial en la solución general esto es:
La solución particular es:
2 SOLUCIÓN DE UNA ED
033 32 CxCxx
CC 2732 3
272
C3x
272y
03' yxy
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Para comprobar que una ecuación es o no la solución de una ecuación dada, se aplica el siguiente método:Método1. Observemos que derivada o derivadas aparecen en la
ecuación diferencial.2. Estas derivas las encontramos al derivar la ecuación que
se supone solución.3. La ecuación será solución cuando al sustituir el valor de
las derivadas encontradas (paso 2) dentro de la ecuación diferencial, aparezca una identidad (donde aєR) al reducir la ecuación ya sustituida.
2.1 COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA ED
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EjemploComprobar que la no es solución de la ecuación diferencial
Solución1. Observando la ecuación diferencial vemos que aparece
una derivada por lo tanto, encontramos su valor derivando la supuesta solución.
2. Derivando tenemos
2.1 COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA ED
xdxdy
xdxdy 2
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Solución3. Sustituyendo el valor de la derivada encontrada en la
ecuación diferencial tenemos:
Por lo tanto no es solución de la ecuación diferencial
2.1 COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA ED
122
xx
xdxdy
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Ejercicios para resolver en claseDetermine si cada ecuación es solución o no de la ecuación diferencial dada:
1.
2.
3.
2.1 COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA ED
yxdxdyxCxxy
22 ;
025);5cos()5( 2
2
ydx
ydxBxAseny
084; 23
2
y
dxdyxy
dxdyCxCy
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Ejercicios de tareaDetermine si cada ecuación es solución o no de la ecuación diferencial dada:
1.
2.
3.
2.1 COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA ED
2412 ''; yxxyyCxCy
senxysenxdxdysenyCye x
cos;cos1cos
32
225 1606;38 x
dxydCxxy
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Para obtener la EDO a partir de su solución general, aplicaremos el siguiente método:
1. Observemos el número de constantes de integración que aparecen en la solución general dada.
2. Derivemos la solución general tantas veces como el número de constantes de integración aparezcan en ella. En otras palabra, si la solución general tienen n constantes de integración diferentes, entonces derivaremos n veces tal solución.
3 OBTENCIÓN DE LA EDO A PARTIR DE LA SOLUCIÓN GENERAL
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3. Tomando en cuenta el resultado de la última derivada obtenida, se nos pueden presentar los siguientes casos:a) Si en la última derivada ya no aparecen constantes de
integración, esta será la ED que de la solución general dada.
b) Si la última derivada contiene constantes de integración, habrá que eliminarlas, pudiendo utilizar para esto, las ecuaciones de las derivadas encontradas, así como también la solución general dada. En la ED NO deben aparecer constantes de integración.
3 OBTENCIÓN DE LA ED A PARTIR DE LA SOLUCIÓN GENERAL
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EjemploEncuentre la EDO cuya solución general es
SoluciónObservemos que sólo aparece una constante de integración, de manera que derivamos una sola vez la solución general . Así
Como en esta derivada no aparecen constantes de integración, quiere decir que esta es la ED de la solución general presentada al inicio.
3 OBTENCIÓN DE LA EDO A PARTIR DE LA SOLUCIÓN GENERAL
xdxdy 2
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EjemploEncuentre la ED cuya solución general es
SoluciónObservemos que sólo aparece una constante de integración, de manera que derivamos una sola vez la solución general . Así
Se va a despejar C de la solución general y se sustituye el valor encontrado en la ED.
3 OBTENCIÓN DE LA ED A PARTIR DE LA SOLUCIÓN GENERAL
Cxdxdy 2
xxy
dxdy
222x
yC
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SoluciónPor lo tanto:
Es la ED de la solución general puesto que ya no aparecen constantes de integración.
3 OBTENCIÓN DE LA ED A PARTIR DE LA SOLUCIÓN GENERAL
ydxdyx 2
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Ejercicios para resolver en clase
Encuentre la ED de las siguientes soluciones generales
1.
2.
3 OBTENCIÓN DE LA ED A PARTIR DE LA SOLUCIÓN GENERAL
;21xx eCeCy
)2cos()2( 213 xCxsenCey x
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Ejercicios de tarea
Encuentre la ED de las siguientes soluciones generales
1.
2.
)3tan( Cxy
22
221 CyCx
3 OBTENCIÓN DE LA ED A PARTIR DE LA SOLUCIÓN GENERAL
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CLASIFICACIÓN SEGÚN TIPO, ORDEN, GRADO y LINEALIDADCLASIFICACIÓN DE LAS EDOs
ORDENPRIMER ORDEN
SEGUNDO ORDEN
TERCER …….
GRADOPRIMER GRADO
SEGUNDO GRADO
TERCER ……
LINEALIDADLINEALES
NO LINEALES
SEGÚN EL TIPO
ORDINARIAS EDO
PARCIALES EDP
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Según su linealidad se clasifican en lineales (EDL) y no lineales (EDNL), siempre y cuando la ecuación diferencial esté dada en forma de polinomio.
Ecuación Diferencial Lineal (EDL): Esta ecuación diferencial tiene dos características que la distinguen del resto:
a. La variable dependiente “y” y todas sus derivadas son de primer grado.
b. Los coeficientes de la variable “y” y de sus derivadas dependen sólo de la variable independiente “x”, o bien son constantes.
Su forma general es:
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Nota: Si el término g(x) es igual a cero, se trata de una Ecuación Diferencial Lineal Homogénea, de lo contrario es No Homogénea. Ecuación Diferencial No Lineal (EDNL): Todas las ecuaciones que no sean lineales, son no lineales, por ejemplo:
Donde las ecuaciones tienen coeficientes que no son sólo función de la variable independiente x, y por lo tanto no son Ecuaciones Diferenciales Lineales.
Por ejemplo:
32CETI ECUACIONES DIFERENCIALES
Interpretación geométrica de la diferencialGeométricamente la diferencial representa el incremento de la variable dependiente, pero no hasta la curva si no hasta la tangente.
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Trayectorias ortogonales a una familia de curvas.
Las trayectorias ortogonales de la familia de parábolas es la familia de elipses .
• Las familias y • La Animación muestra el movimiento sobre la superficie
siguiendo las trayectorias de máxima pendiente.• La Animación muestra el movimiento sobre la superficie
siguiendo las trayectorias de máxima pendiente.
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Las trayectorias ortogonales en el espacio.
Vista la superficie desde "arriba", el movimiento se muestra sobre las trayectorias ortogonales en el plano
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Existencia y unicidad Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación física, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, con seguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única, pues si repetimos el experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinístico. Por lo tanto, al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarse por:
• Existencia: ¿Existirá una solución al problema ?
• Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única ?
• Determinación: ¿En caso de que exista solución, como la determinamos ?
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Campos direccionales. Mallado del recinto del campo. Se suele considerar una red para determinar una nube de puntos en el recinto. Retícula para campo direccional en En la Figura puede verse un campo direccional sobre la red anterior, en el que se han destacado dos segmentos:
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Campo direccional de en
La Figura muestra que los segmentos del campo direccional permiten "intuir" las soluciones, no construirlas exactamente:
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Determinación de las isoclinas en el recinto. Las isóclinas son curvas que determinan una misma pendiente para las soluciones de la EDO, pero no se deben confundir con las soluciones mismas, como muestran las figuras siguientes...
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41
GRACIAS