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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de Matematica
1er Certamen MAT02129 de abril de 2014
Primer Certamen de Matematica I (MAT021)Calculo
1er Semestre 201429 de abril 2014
NOMBRE:
RUT: PARALELO:
1. 25 pt. Resuelva la siguiente inecuacion en R:
x3 − x|x− 1| − 1
≥ 0.
Solucion: En primer lugar, distinguimos dos casos:
Caso 1: Si x ∈ [1,∞) (es decir, si x ≥ 1), entonces |x− 1| = x− 1 y la inecuacion se convierte en
x(x+ 1)(x− 1)
x− 2≥ 0.
Esta expresion no tiene sentido si x = 2. Los ceros del numerador (-1, 0 y 1) son soluciones pues ladesigualdad no es estricta. En los intervalos restantes el signo es
(−∞,−1) (−1, 0) (0, 1) (1, 2) (2,∞)x+ 1 − + + + +x − − + + +
x− 1 − − − + +x− 2 − − − − +
x(x+ 1)(x− 1)
x− 2+ − + − +
Por lo tanto, el conjunto de soluciones para el caso 1 es
S1 = [1,∞) ∩[(−∞,−1] ∪ [0, 1] ∪ (2,∞)
]= {1} ∪ (2,∞).
Caso 2: Si x ∈ (−∞, 1) (en otras palabras, si x < 1), entonces |x− 1| = 1− x y la inecuacion es
x(x+ 1)(x− 1)
−x≥ 0.
Esta expresion no esta definida si x = 0. Si x 6= 0, ella es equivalente a
(x+ 1)(x− 1) ≤ 0.
El conjunto de soluciones para el caso 2 es
S2 = (−∞, 1) ∩ [−1, 1]− {0} = [−1, 0) ∪ (0, 1).
Combinando toda la informacion deducimos que el conjunto de soluciones es
S = S1 ∪ S2 = [−1, 0) ∪ (0, 1] ∪ (2,∞).
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2. 35 pt. Considere la funcion f : dom(f)→ rec(f), definida mediante la asignacion
f(x) =
∣∣∣∣2x+ 1
x− 1
∣∣∣∣ .a) Determine dom(f).
b) Elabore el grafico de f .
c) A partir del grafico, encuentre rec(f).
d) Compruebe que f no es inyectiva.
e) Verifique que la funcion g : [− 12 , 1)→ rec(f), definida por g(x) = f(x), es biyectiva y calcule g−1.
Solucion:
a) La funcion esta definida salvo en aquellos puntos donde se anula el denominador. En consecuencia,dom(f) = R− {1}.b) Obtendremos el grafico de f a partir de otros graficos conocidos. Para ello notemos que
f(x) =
∣∣∣∣2x+ 1
x− 1
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2x− 2 + 3
x− 1
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2(x− 1) + 3
x− 1
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣2 + 3
x− 1
∣∣∣∣ .
y = 1x
y = 3x−1
1
y = 2 + 3x−1
1
2
y =∣∣∣2 + 3
x−1
∣∣∣
1
2
− 12
c) A partir del grafico se observa que rec(f) = [0,∞).
d) Basta encontrar dos elementos de dom(f) que tengan la misma imagen por f . Por ejemplo,
f(−2) = 1 = f(0), o bien f(25
)= 3 = f(4).
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e) En el intervalo senalado, se tiene que
g(x) =
∣∣∣∣2x+ 1
x− 1
∣∣∣∣ = −2x+ 1
x− 1= −
[2 +
3
x− 1
].
Para la inyectividad, simplemente notemos que
g(x1) = g(x2)⇐⇒ −[2 +
3
x1 − 1
]= −
[2 +
3
x2 − 1
]⇐⇒ 3
x1 − 1=
3
x2 − 1⇐⇒ x1 = x2.
Para la sobreyectividad (usaremos esto tambien en el calculo de la inversa), dado y ∈ [0,∞) = rec(f),tenemos que
y = g(x) ⇐⇒ y =2x+ 1
1− x⇐⇒ y − yx = 2x+ 1
⇐⇒ y − 1 = (y + 2)x
⇐⇒ x =y − 1
y + 2.
Por lo tanto, y ∈ rec(g), y g es sobreyectiva.
Finalmente. la funcion g−1 : [0,∞)→ [− 12 , 1) esta definida mediante la relacion
y = g(x) ⇐⇒ x = g−1(y)
para x ∈ [− 12 , 1) e y ∈ [0,∞). En vista de lo anterior, concluimos que
g−1(y) =y − 1
y + 2.
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Primer Certamen de Matematica I (MAT021)Complemento
1er Semestre 201429 de abril 2014
NOMBRE:
RUT: PARALELO:
3. 25 pt.
a) Compruebe quesen(A+B) + sen(A−B) = 2 sen(A) cos(B).
b) Encuentre todas las soluciones en R de la ecuacion:
sen(7x) + sen(x) = sen(4x).
Solucion:
a) De acuerdo con las formulas para el seno de la suma y diferencia de angulos tenemos:
sen(A+B) + sen(A−B) = sen(A) cos(B) + sen(B) cos(A) + sen(A) cos(B)− sen(B) cos(A)
= 2 sen(A) cos(B).
b) Utilizaremos la formula de la parte anterior. Para ello resolvemos el sistema{A+B = 7xA−B = x,
obteniendo A = 4 y B = 3. Concluimos que
sen(7x) + sen(x) = 2 sen(4x) cos(3x).
Por lo tanto, la ecuacion a resolver es
2 sen(4x) cos(3x) = sen(4x),
que es equivalente asen(4x)
[2 cos(3x)− 1
]= 0.
Esta igualdad se cumple en cualquiera de los siguientes casos:
sen(4x) = 0, lo cual ocurre cuando 4x = kπ, con k ∈ Z. Es decir, cuando x = kπ4 , con k ∈ Z.
cos(3x) = 12 , lo cual se tiene cuando 3x = ±π3 + 2kπ, con k ∈ Z. En otras palabras, cuando x =
±π9 + 2kπ3 , con k ∈ Z.
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4. 15 pt. A partir de la informacion contenida en la figura, determine el valor de x e y:
π3
π6
y
x 1
Solucion: Por una parte, tenemos que
y
x+ 1= tan
(π6
)=
1√3.
Por otra,y
x= tan
(π3
)=√3.
Por lo tanto,x+ 1√
3= y = x
√3,
o, de manera equivalente,x+ 1 = 3x.
Finalmente,
x =1
2y, por lo tanto, y =
√3
2.
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