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Clase 2: Teorıa Macroeconomica II
Carlos Rojas Quiroz
UNI
3 de abril del 2017
Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 2 3 de abril del 2017 1 / 36
Fechas importantes
10 de abril Practica calificada Nro. 18 de mayo Practica calificada Nro. 215 de mayo Examen parcial5 de junio Practica calificada Nro. 326 de junio Practica calificada Nro. 410 de julio Examen final
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Modelo de Solow
Contenido
1 Modelo de SolowFuncionamiento del modeloCambios en la tasa de ahorro, sImplicancias cuantitativasLa contabilidad del crecimientoConvergencia
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Modelo de Solow Funcionamiento del modelo
Modelo de SolowFuncionamiento del modelo
k
f(k)
k∗
sf(k(t))
(δ + n+ g)k(t)
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Modelo de Solow Funcionamiento del modelo
Modelo de SolowFuncionamiento del modelo
k
f(k)
k∗
sf(k(t))sf(k∗)
f(k(t))f(k∗)
(δ + n+ g)k(t)
consumo
inversion
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Modelo de Solow Funcionamiento del modelo
Modelo de SolowFuncionamiento del modelo
k
k
k∗
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Modelo de Solow Funcionamiento del modelo
Modelo de SolowFuncionamiento del modelo
Hallando k∗
Recordemos ecuacion 22 de la clase anterior:
k = skα − (δ + n+ g)k (1)
En estado estacionario k∗ = 0, entonces:
s(k∗)α = (δ + n+ g)k∗ (2)
k∗ =
(s
δ + n+ g
) 11−α
(3)
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Modelo de Solow Funcionamiento del modelo
Modelo de SolowFuncionamiento del modelo
Luego, se puede obtener facilmente y∗:
y∗ = (k∗)α =
(s
δ + n+ g
) α1−α
(4)
Asimismo la inversion en Estado Estacionario serıa:
inv∗ = s(k∗)α = s1
1−α ×(
1
δ + n+ g
) α1−α
(5)
Y tambien podemos hallar el consumo de Estado Estacionario:
c∗ = (1− s)(k∗)α = (1− s)×(
s
δ + n+ g
) α1−α
(6)
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Modelo de Solow Funcionamiento del modelo
Modelo de SolowFuncionamiento del modelo
Senda de crecimiento sostenido (k → k∗):
K = AL× k∗. Aplicando logaritmos y derivando respecto al tiempo:∂lnK∂t = ∂lnA
∂t + ∂lnL∂t + ∂lnk∗
∂t ⇒ KK = n+ g
Y = Kα(AL)1−α. Aplicando logaritmos y derivando respecto altiempo:
∂lnY∂t = α∂lnK
∂t +(1−α)∂lnA∂t +(1−α)∂lnL
∂t ⇒YY = α K
K +(1−α)(n+g)
⇒ YY = α(n+ g) + (1− α)(n+ g) = n+ g
KL = A× k∗. Aplicando logaritmos y derivando respecto al tiempo:
∂ln(KL )
∂t = ∂lnA∂t + ∂lnk∗
∂t ⇒˙(K/L)
(K/L) = g
YL . Aplicando logaritmos y derivando respecto al tiempo:
∂ln(YL )
∂t = ∂lnY∂t −
∂lnL∂t ⇒
YY −
LL = n+ g − n = g
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Modelo de Solow Funcionamiento del modelo
Modelo de SolowFuncionamiento del modelo
Algunas conclusiones importantes:
No hay crecimiento en el largo plazo si no hay crecimiento de laproductividad ni de la poblacion.
Los paıses mas pobres respecto de su Estado Estacionario crecen masrapido que aquellos que tienen un ingreso mas cerca de su EstadoEstacionario.
En el largo plazo, el progreso tecnico hace crecer el producto percapita de los paıses.
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Modelo de Solow Funcionamiento del modelo
Modelo de SolowFuncionamiento del modelo
La regla doradaUn nivel de ingreso mayor no significa necesariamente un mayor nivel debienestar.
max{k∗}
c∗ = f(k∗)− (n+ g + δ)k∗ (7)
La solucion es:f ′(kRD) = n+ g + δ (8)
Donde kRD es el capital de la regla dorada. Si sabemos que f(k) = kα,entonces:
kRD =
[α
n+ g + δ
] 11−α
(9)
kRD es el nivel de capital que maximiza el consumo. ¿Como se comparacon la ecuacion 3?
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Modelo de Solow Funcionamiento del modelo
Modelo de SolowFuncionamiento del modelo
k
f(k)
k∗kRD
sf(k(t))
sRDf(k(t))
f(k(t))
(δ + n+ g)k(t)
consumo
inversion
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Modelo de Solow Cambios en la tasa de ahorro, s
Modelo de SolowCambios en la tasa de ahorro, s
k
f(k)
k∗viejo k∗nuevo
sviejof(k(t))
snuevof(k(t))
(δ + n+ g)k(t)
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Modelo de Solow Cambios en la tasa de ahorro, s
Modelo de SolowCambios en la tasa de ahorro, s
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Modelo de Solow Cambios en la tasa de ahorro, s
Modelo de SolowCambios en la tasa de ahorro, s
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Modelo de Solow Cambios en la tasa de ahorro, s
Modelo de SolowCambios en la tasa de ahorro, s
¿Que sucede con el consumo, c?En estado estacionario c = c∗, sabemos que c∗ = (1− s)f(k∗). Ademas lainversion en estado estacionario es sf(k∗) = (δ + n+ g)k∗, luego elconsumo en estado estacionario es:
c∗ = f(k∗)− (n+ g + δ)k∗ (10)
De la ecuacion 13 sabemos que k∗ = k∗(s, n, g, δ), entonces:
c∗ = f(k∗(s, n, g, δ))− (n+ g + δ)k∗(s, n, g, δ) (11)
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Modelo de Solow Cambios en la tasa de ahorro, s
Modelo de SolowCambios en la tasa de ahorro, s
Encontramos la derivada de c∗ respecto de la tasa de ahorro s:
∂c∗
∂s= [f ′(k∗(s, n, g, δ))− (n+ g + δ)]
∂k∗(s, n, g, δ)
∂s(12)
El efecto final de un movimiento en la tasa de ahorro sobre el consumo delos hogares dependera de dos factores:
f ′(k∗(s, n, g, δ)): producto marginal del capital.
(n+ g + δ): inversion de reposicion.
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Modelo de Solow Implicancias cuantitativas
Modelo de SolowImplicancias cuantitativas
Efectos sobre la produccion en el largo plazoSea y∗ = f(k∗), entonces:
∂y∗
∂s= f ′(k)
∂k∗(s, n, g, δ)
∂s(13)
Sabiendo que k∗ aparece cuando k = 0, entonces, k∗ satisface:
sf(k∗(s, n, g, δ)) = (n+ g + δ)k∗(s, n, g, δ) (14)
Derivando ambos lados respecto a s:
sf ′(k∗)∂k∗
∂s+ f(k∗) = (n+ g + δ)
∂k∗
∂s(15)
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Modelo de Solow Implicancias cuantitativas
Modelo de SolowImplicancias cuantitativas
Reordenando:∂k∗
∂s=
f(k∗)
(n+ g + δ)− sf ′(k∗)(16)
Reemplazando la ecuacion 16 en la ecuacion 13 se tiene:
∂y∗
∂s=
f ′(k∗)f(k∗)
(n+ g + δ)− sf ′(k∗)(17)
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Modelo de Solow Implicancias cuantitativas
Modelo de SolowImplicancias cuantitativas
Reinterpretando la ecuacion 17 en terminos de elasticidad:
s
y∗∂y∗
∂s=
s
f(k∗)
f ′(k)f(k∗)
(n+ g + δ)− sf ′(k∗)(18)
Luego, tomando en cuenta el hecho que sf(k∗) = (n+ g + δ)k∗, entoncesla ecuacion 18 se convierte en:
s
y∗∂y∗
∂s=
k∗ f′(k∗)f(k∗)
1−[k∗ f
′(k∗)f(k∗)
] (19)
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Modelo de Solow Implicancias cuantitativas
Modelo de SolowImplicancias cuantitativas
Si k∗ f′(k∗)f(k∗) = αk(k
∗) es la elasticidad de la produccion respecto al capital
en k = k∗, entonces la ecuacion 19 se convierte en:
s
y∗∂y∗
∂s=
αk(k∗)
1− αk(k∗)(20)
Si αk(k∗) ≈ 0,3 entonces s
y∗∂y∗
∂s ≈ 0,5.
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Modelo de Solow La contabilidad del crecimiento
Modelo de SolowLa contabilidad del crecimiento
Sea Y (t) = F (K(t), A(t)L(t)), entonces:
Y (t) =∂Y (t)
∂K(t)K(t) +
∂Y (t)
∂L(t)L(t) +
∂Y (t)
∂A(t)A(t) (21)
˙Y (t)
Y (t)=K(t)
Y (t)
∂Y (t)
∂K(t)︸ ︷︷ ︸αK(t)
K(t)
K(t)+L(t)
Y (t)
∂Y (t)
∂L(t)︸ ︷︷ ︸αL(t)
L(t)
L(t)+A(t)
Y (t)
∂Y (t)
∂A(t)
A(t)
A(t)︸ ︷︷ ︸R(t)
(22)
Y (t)
Y (t)= αK(t)
K(t)
K(t)+ αL(t)
L(t)
L(t)+R(t) (23)
Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 2 3 de abril del 2017 22 / 36
Modelo de Solow La contabilidad del crecimiento
Modelo de SolowLa contabilidad del crecimiento
Teniendo en cuenta que αK(t) + αL(t) = 1, la ecuacion 23 se transformaa lo siguiente:
Y (t)
Y (t)− L(t)
L(t)= αK(t)
[K(t)
K(t)− L(t)
L(t)
]+R(t) (24)
Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 2 3 de abril del 2017 23 / 36
Modelo de Solow La contabilidad del crecimiento
Modelo de SolowLa contabilidad del crecimiento
El residuo de Solow, R(t), es interpretado como una medida de lacontribucion del progreso tecnico al crecimiento de la produccion.
Pero refleja realmente la contribucion de todos los demas factores queno sean capital y trabajo.
OJO! contabilidad del crecimiento solo estudia factores determinantesdirectos del crecimiento economico y en que medida la acumulacion,las mejoras en la calidad y otros factores contribuyen al crecimientoeconomico. No estudia que causas se hallan tras la evolucion delos mismos.
Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 2 3 de abril del 2017 24 / 36
Modelo de Solow La contabilidad del crecimiento
Modelo de SolowLa contabilidad del crecimiento
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Modelo de Solow Convergencia
Modelo de SolowConvergencia
k
kk
k∗k1 k2
sf(k(t))k(t)
− (δ + n+ g)
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Modelo de Solow Convergencia
Modelo de SolowConvergencia
¿Paıses mas pobres tienden a crecer mas rapidamente que los ricos?
El modelo de Solow predice que los paıses convergen hacia un estadoestacionario, k∗.
Tasa de rendimiento del capital es menor en paıses con mayor capitalpor trabajador, por lo que habrıa un incentivo para trasladarse de unpaıs rico a uno pobre.
Si la difusion de conocimientos tecnologicos es desigual, lasdiferencias internacionales de la renta se debe a que no se estaexplotando las mejoras tecnicas disponibles.
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Modelo de Solow Convergencia
Modelo de SolowConvergencia
ln
[(Y
N
)i,1979
]− ln
[(Y
N
)i,1870
]= α+β× ln
[(Y
N
)i,1870
]+ εi (25)
ln
[(Y
N
)i,2010
]− ln
[(Y
N
)i,1870
]= α+β× ln
[(Y
N
)i,1870
]+ εi (26)
Si existe convergencia entonces β serıa negativo. Si β ≈ 1 entoncesconvergencia serıa perfecta. Si β ≈ 0, entonces crecimiento economico noesta correlacionado con el valor de la renta inicial y no existirıaconvergencia.
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Modelo de Solow Convergencia
Modelo de SolowConvergencia
Figura 1: PBI per capita inicial y crecimiento economico posterior, BaumolSample
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Modelo de Solow Convergencia
Modelo de SolowConvergencia
Dos grandes problemas:
Seleccion de muestra.
Error de medicion.
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Modelo de Solow Convergencia
Modelo de SolowConvergencia
Figura 2: PBI per capita inicial y crecimiento economico posterior, DeLongSample
Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 2 3 de abril del 2017 31 / 36
Modelo de Solow Convergencia
Modelo de SolowConvergencia
Figura 3: PBI per capita inicial y crecimiento economico posterior, All MadisonSample
Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 2 3 de abril del 2017 32 / 36
Modelo de Solow Convergencia
Modelo de SolowConvergencia condicional
k
kk
k∗1 k∗2
Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 2 3 de abril del 2017 33 / 36
Modelo de Solow Convergencia
Modelo de SolowConvergencia condicional
Figura 4: PBI per capita inicial y crecimiento economico posterior, BaumolSample + Latam
Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 2 3 de abril del 2017 34 / 36
Modelo de Solow Convergencia
Ahorro-Inversion
En economıa abierta y con perfecta movilidad de capitales, lasdecisiones de ahorro e inversion estan separadas.
Dada la tasa de interes internacional r∗, los hogares deciden cuantoahorrar y las empresas cuanto invertir.Si graficaramos para todos los paıses del mundo su tasa de ahorrocontra su tasa de inversion, no deberıamos encontrar ningunacorrelacion.
Habra paıses que ahorren poco, pero inviertan mucho, y tengan ungran deficit en la cuenta corriente.Habra otros paıses que inviertan poco, pero tal vez ahorren mucho ytengan superavit en su cuenta corriente.
Feldstein y Horioka graficaron para dieciseis paıses desarrollados (dela OECD) la tasa de inversion y la tasa de ahorro: encontraron unaalta correlacion positiva entre ambas variables.
Por cada 1 p.p. que suba la tasa de ahorro en un paıs, lainversion lo hara en 0,9 p.p.
Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 2 3 de abril del 2017 35 / 36
Modelo de Solow Convergencia
Ahorro-Inversion
(I
Y
)= 0,035 + 0,887
(S
Y
)(27)
Carlos Rojas Quiroz (UNI) Clase 2 3 de abril del 2017 36 / 36