Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez

Combinatoria y definiciones básicas de

probabilidad

Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez

Definiciones de probabilidad

• Probabilidad como intuición

• Probabilidad como la razón de resultados favorables

• Probabilidad como medida de la frecuencia de ocurrencia

• Definición axiomática de la probabilidad

Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez

Probabilidad como intuición

En este modelo, la probabilidad intenta predecir eventos con

base en la intuición. Por ejemplo, “mañana lloverá” o “él

está manejando muy rápido”.

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Probabilidad como la razón de

resultados favorables

En esta línea de razonamiento, la cual es no experimental, la

probabilidad de un evento puede ser calculada a priori a

través del cálculo del número de maneras en que un

determinado evento E puede ocurrir seguido por el cálculo de

la razón NE/N, donde N representa el conjunto de todos los

resultados posibles. Este modelo supone que todos los

resultados son igualmente probables.

Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez

Probabilidad como medida de la frecuencia

de ocurrencia

Sea E una colección de resultados que poseen un cierto

atributo. Suponga que un experimento o juego es repetido N

veces y que NE representa el número de veces que el

resultado E fue obtenido. La razón

para N suficientemente grande se define como la

probabilidad de A.

n

nAP E

n lim)(

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Definición axiomática de la

probabilidad

La probabilidad P[·] asigna a cada evento E en el universo de

posibilidades un número P[E], llamado la probabilidad

de E, tal que:

1. P[E] ≥ 0

2. P[] = 1

3. P[EF] = P[E] + P[F] si EF = .

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Definición axiomática de la

probabilidad

Los tres axiomas básicos de la probabilidad son suficientes

para establecer toda una serie de definiciones básicas. En

particular:

4. P[] = 0

5. P[E] = 1 - P[EC]

6. P[EFC] = P[E] - P[EF]

7. P[E F] = P[E] +P[F] - P[EF]

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Definición axiomática de

la probabilidad

ji

n

i

i

n

i

i EEEPEP si 11

El último resultado de la lámina anterior nos permite escribir

la cota superior del operador unión como sigue:

Por lo que,

n

i

i

n

i

i EPEP11

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Probabilidad conjunta

Suponga que se realizan experimentos del estado del tiempo

en la ciudad de México. En particular estamos interesados

en tres eventos A, B, C, tales que:

• A es el evento en que en un cierto día la temperatura

ambiente estuvo por encima de los 15C;

• B es el evento en que en un determinado día haya caído

una precipitación pluvial superior a los 8 milímetros y;

• C es el evento en que en un determinado día tanto A como

B hayan acontecido.

Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez

Probabilidad conjunta

Puesto que C es un evento, P[C] es su probabilidad de

ocurrencia de acuerdo a las definiciones axiomáticas dadas

anteriormente. Pero P[C] = P[AB]. Por lo que definimos el

número P[AB] como la probabilidad conjunta de los

eventos A y B.

Claramente, la probabilidad conjunta puede ser extendida a

más de dos eventos, por ejemplo, P[EFG] es la

probabilidad conjunta que E, F, y G ocurran

simultáneamente.

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Probabilidad conjunta

Suponga ahora que ni denota el número de días (veces) que el

evento i ha ocurrido. Entonces, a través de un período de 1000

días (n = 1000) se hicieron las siguientes observaciones: nA =

811, nB = 306, nAB = 290. Utilizando el modelo de frecuencia de

eventos de la probabilidad concluimos:

811.01000

811

n

nAP A

306.01000

306

n

nBP B

29.01000

290

n

nABP AB

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Probabilidad Condicional

AP

ABP

nn

nn

n

n

A

AB

A

AB /

/

Considere ahora el cociente nAB/nA. Este valor representa la

frecuencia con la cual el evento C = AB ocurrió cuando A

aconteció. En palabras, es el número de días en que la cantidad

de lluvia excedió 8 milímetros en aquellos días en los cuales la

temperatura excedió los 15C. Note que:

Por lo que se puede definir el concepto de probabilidad condicional

P[B|A] como:

0,| APAP

ABPABP

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Probabilidad incondicional

n

i

iA1

• En muchos problemas de ingeniería conviene calcular

probabilidades incondicionales, P[B], de un evento B en

términos de la suma ponderada de probabilidades condicionales.

Teorema Suponga que A1, A2, …, An son n eventos mutuamente

excluyentes, esto es, . Entonces, con P[Ai]0 para toda

i, se tiene

nn APABPAPABPBP || 11

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Probabilidad incondicional:

ejemplo

Para El canal simétrico binario mostrado en la figura, calcule

P[Y=0] y P[Y=1].

X=0, P[X=0]=1/2 0.9

Y = 0

X=1, P[X=1]=1/2 0.9

Y = 1

0.1

0.1

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Probabilidad incondicional:

ejemplo

Para El canal simétrico binario mostrado en la figura, calcule

P[Y=0] y P[Y=1].

P[Y = 0] = P[Y = 0|X = 0]P[X = 0] + P[Y = 0|X = 1]P[X = 1]

= (0.9)(0.5) + (0.1)(0.5) = 0.5 = P[Y=1]

X=0, P[X=0]=1/2 0.9

Y = 0

X=1, P[X=1]=1/2 0.9

Y = 1

0.1

0.1

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Independencia

Se dice que dos eventos A, B con P[A] > 0 y P[B] >0 son

independientes, si y sólo si P[AB] = P[A]P[B]. Puesto que

en general, P[AB] = P[B|A]P[A] = P[A|B]P[B], se

concluye que para eventos independientes se cumple que:

P[A|B] = P[A] y P[B|A] = P[B]

Tres eventos son independientes si y sólo si:

P[ABC] = P[A]P[B]P[C] y P[AB] = P[A]P[B];

P[AC] = P[A]P[C]; P[BC] = P[B]P[C]

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Nuevamente el canal binario

simétrico

Para el canal simétrico binario mostrado en la figura, sabiendo que

un 1 ha sido recibido ¿Cuál es la probabilidad que un 1 fue

transmitido?

X=0, P[X=0]=P0

1- Y = 0

X=1, P[X=1]=1- P0=P1 1-

Y = 1

Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez

Nuevamente el canal binario

simétrico

Sabiendo que un 1 ha sido recibido ¿Cuál es la probabilidad que un 1

fue transmitido?

X=0, P[X=0]=P0

1- Y = 0

X=1, P[X=1]=1- P0=P1 1-

Y = 1

01

1

1

1

00|111|1

11|1

1

1,11|1

PP

P

XPXYPXPXYP

XPXYP

YP

YXPYXP

Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez

Nuevamente el canal binario

simétrico

01

1

1

1

00|111|1

11|1

1

1,11|1

PP

P

XPXYPXPXYP

XPXYP

YP

YXPYXP

Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez

Ejemplo: prueba de cáncer

Suponga que existe una prueba de cáncer con las siguientes

propiedades. Sea:

– A := Evento que la prueba dictamine que el paciente tiene cáncer

– B := Evento que la persona tiene cáncer

– AC := Evento que la prueba dictamine que el paciente está sano

– BC := Evento que la persona está sana

Se conoce que P[A|B] = P[AC|BC] =0.95 y P[B] = 0.005.

¿Es la prueba confiable?

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Ejemplo: prueba de cáncer

Suponga que existe una prueba de cáncer con las siguientes

propiedades. Sea:

– A := Evento que la prueba dictamine que el paciente tiene cáncer

– B := Evento que la persona tiene cáncer

– AC := Evento que la prueba dictamine que el paciente está sano

– BC := Evento que la persona está sana

Se conoce que P[A|B] = P[AC|BC] =0.95 y P[B] = 0.005.

¿Es la prueba confiable?

087.0

95.005.095.0005.0

95.0005.0

||

||

CC BPBAPBPBAP

BAPBPABP

¡Sólo en el

8.7% de los

casos se da

el diagnóstico

correcto!

Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez

Combinatoria

• Considera una población de n elementos a1, a2,…, an.

Cualquier arreglo ordenado ak1, ak2,…,akr de r símbolos se

conoce como una muestra ordenada de tamaño r.

• Considera una urna genérica que contiene n pelotas

numeradas.

Pregunta ¿De cuántas maneras se pueden formar muestras

ordenadas de tamaño r?

Se consideraran dos casos.

Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez

Muestras con reemplazo

• Después que se extrae una pelota de la urna su número es

anotado y después la pelota es regresada a la urna.

• Note que para la primera muestra hay n opciones, y para la

segunda, también n opciones.

• Por lo tanto para una población de n elementos, existen nr

muestras ordenadas de tamaño r que pueden ser formadas.

• Ejemplo: ¿Cuántas contraseñas se pueden formar

utilizando el alfabeto inglés [26 letras] y un tamaño fijo de

8 caracteres? 268.

Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez

Muestras sin reemplazo

• Después que cada pelota es extraída, no se vuelve a

regresar a la urna.

• Note que para la primera muestra hay n opciones, para la

segunda, n-1 opciones, etc.

• Por lo tanto para una población de n elementos, existen

.

• Ejemplo: ¿De cuántas maneras se puede seleccionar tres

libros de un total de 10? (10)3 = 10*9*8= 720.

!

!121),(

rn

nrnnnnnrnP r

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Combinaciones

Pregunta frecuente en probabilidad: ¿Cuántos grupos, esto es,

sub-poblaciones de tamaño r pueden ser formados de una

población total de tamaño n?

Por ejemplo, suponga que se tienen 6 pelotas numeradas,

¿cuántos grupos de tamaño 2 pueden ser formados?

12 23 34 45 56

13 24 35 46

14 25 36

15 26

16

Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez

Combinaciones

Note que el resultado anterior es diferente del número de

muestras ordenadas que pueden ser formadas sin

reemplazo:

12 21 31 41 51 61 11 21 31 41 51 61

13 23 32 42 52 62 12 22 32 42 52 62

14 24 34 43 53 63 13 23 33 43 53 63

15 25 35 45 54 64 14 24 34 44 54 64

16 26 36 46 56 65 15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66

Con reemplazo

Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez

Combinaciones

• Una fórmula general para el número de subpoblaciones

C(n, r) de tamaño r en una población de tamaño n puede

ser calculada como sigue.

• Ya convinimos que el número de muestras ordenadas de

tamaño r que se pueden formar es P(n,r). Considere una

subpoblación específica de tamaño r. Para este grupo hay

r! diferentes muestras ordenadas, por lo tanto se puede

escribir: C(n, r) r! = P(n,r). Es decir:

r

n

rrn

n

r

nrnC r

!)!(

!

!,

Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez

Teorema del Binomio

n

k

knknba

k

nba

0

• Una fórmula muy famosa que se remonta a los tiempos de

Newton se conoce como el teorema del binomio:

• Con ayuda del teorema del binomio se puede demostrar

[pero, ¿cómo?]

n

k

n

k

n

0

2

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Distribución binomial Bernoulli

Suponga que la probabilidad que un evento ocurra es p y que

no ocurra es q = 1-p. Considere además que se realizan

un total de n experimentos Bernoulli, de los cuales k son

exitosos y el resto son fracasos.

Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de observar exactamente k

éxitos?

Una posibilidad sería: ppp…pqqq…q = pkqn-k

¿Pero cuántas posibilidades hay en total?

Respuesta en la próxima lámina

Introducción a la Probabilidad Francisco Rodríguez Henríquez

Distribución binomial Bernoulli

knkknk qpk

nqpknCpnkb

),(),;(

N = 10;

P= 2/3.