Matemática VTema: Funciones

Ing. Santiago Figueroa Lorenzo

PREMISASComprender

la clase recibida

Afianzar ese conocimiento a través de ejercicios prácticos

Resultados satisfactori

os

+ =

¿ Cómo ganar ?

1. Compresión de la Clase Teórica.

2. Estudio Sistemático (Si realiza todas las Tareas Extralclase: GANA).

3. Entrega impecable de Trabajos y Tareas Extraclase (seguir formato de presentación colocado en sitio web).

HERRAMIENTAS Sitio Web de la asignatura

http://coleita.jimdo.com

Google Drive (necesario hacerse una cuenta en gmail y enviarme un correo desde el menú de acceso de la página).

Derive (versión 6.1)

Bibliografía auxiliar, Sullivan, Álgebra y Trigonometría, 7ma Edición.

UNIDAD I. PlANO CARTESIANO

1- Rectas:

• Incrementos

• Pendiente

• Rectas Paralelas y Perpendiculares

• Ecuaciones lineales

• Gráficas

2- Funciones:

• Introducción a las funciones

TEMAS

Analizar el comportamiento de las rectas y sus propiedades.

Conocer el concepto de funciones, así como sus propiedades y su representación en la plano cartesiano.

OBJETIVOS

Álgebra y Trigonometría, Sullivan, Séptima Edición.

BIBLIOGRAFÍA

En estudios anteriores usted analizó que dos rectas que se intersectan entre si forman un plano. Y que en matemática es un concepto fundamental el de plano cartesiano, que son dos rectas que se intersectan de manera perpendicular, es decir formando un ángulo de 90 grados entre ellas. La recta horizontal se llama eje de las abscisas y al vertical Eje de las ordenadas.

INTRODUCCIÓN

En un plano cartesiano se pueden representar:

• Infinitos puntos

• Infinitas rectas

• Funciones

INTRODUCCIÓN

Qué es una recta?

Es una línea que une dos o más puntos en un plano.

A(x1;y1)

B(x2;y2)

RECTAS

Incrementos

Si A(x1 ; y1) y B(x2 ; y2) son dos puntos cualesquiera en el plano, se define el incremento de x como la diferencia de las abscisas

y el incremento y como la diferencia de las ordenadas

A(x1;y1)

B(x2;y2)

Analizando coordenadas de A y B

∆ 𝑦=𝑦2−𝑦1

∆ 𝑥

∆ 𝑦

RECTAS

La recta tiene Pendiente

Toda recta tiene un ángulo de elevación con respecto a los ejes coordenados.

𝜶

RECTAS

Si A(x1 ; y1) y B(x2 ; y2) son dos puntos cualesquiera en el plano, se define la pendiente de la recta se define como el cociente.

A(x1;y1)

B(x2;y2)

∆ 𝑥

∆ 𝑦

Pendiente de la RectaRECTAS

Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos:

a) (6 , 3), (-2 , 5)

A(x1;y1)

B(x2;y2)

∆ 𝑥

∆ 𝑦

EjemploRECTAS

A(x

1;y

1)B(x

2;y

2)

∆ 𝑥=0

∆ 𝑦

Pendiente de la Recta. Casos especialesPendiente Indefinida

A(x1;y1)

B(x2;y2)

∆ 𝑥

∆ 𝑦=0

Pendiente Cero

RECTAS

L1 y L2 son rectas paralelas si y solo si m1 = m2.

L1 y L2 son rectas perpendiculares si y solo si m1 m2 = - 1.

𝐿1

Rectas paralelas y perpendiculares

𝐿2

Rectas Paralelas

𝐿2𝐿1

Rectas Perpendiculares

RECTAS

RECTAS¿ Por qué las Rectas Paralelas tienen igual pendiente ?

𝐿1 𝐿2𝐿1‖𝐿2

𝛼 𝛽

𝛼=𝛽

Rectas perpendiculares

Demostración

𝐿2𝐿1

B(x1;y1)

A(x0;y0)

C(x2;y2)

𝑚2=∆ 𝑦∆ 𝑥

=𝑦 2− 𝑦0

𝑥2−𝑥0𝑚1=

∆ 𝑦∆ 𝑥

=𝑦1− 𝑦0

𝑥1−𝑥0

cb

a

𝑏2=𝑐2+𝑎2

(𝑥1−𝑥2)2+(𝑦 1− 𝑦2)

2=(𝑥1−𝑥2)2+(𝑦1− 𝑦2)

2+(𝑥1−𝑥2)2+(𝑦1− 𝑦2)

2

𝑦2−𝑦 0

𝑥2−𝑥0

×𝑦1− 𝑦0

𝑥1−𝑥0

=−1

𝑚1×𝑚2=−1

RECTAS

Se obtiene con solo un punto.

A(x1;y1)

B(x2;y2)

∆ 𝑥

∆ 𝑦

Ecuaciones de Recta

𝑚=𝑦−𝑦1

𝑥−𝑥1

𝑚(𝑥− 𝑥1)=𝑦− 𝑦1

RECTAS

Encontrar una ecuación de la recta que pase por (6 ; - 2) y tenga pendiente 4

A(x1;y1)

B(x2;y2)

∆ 𝑥

∆ 𝑦

Ejemplo

𝑚=𝑦−𝑦1

𝑥−𝑥1

4(𝑥−6)=𝑦−(−2)

4=𝑦−(−2)

𝑥−6

4 𝑥−24=𝑦+24 𝑥−24=𝑦+2𝑦=4 𝑥−26

RECTAS

Forma general de la ecuación

𝑦=𝑚 𝑥+𝑏

A(x1;y1)

B(x2;y2)

∆ 𝑥

∆ 𝑦 A(x1;y1)

B(x2;y2)

∆ 𝑥

∆ 𝑦=0

A(x1;y1)

B(x2;y2)

∆ 𝑥=0

∆ 𝑦

𝑦=𝑦1

𝑥=𝑥1

RECTAS

Encontrar una ecuación para la recta que pasa por (2 , - 3), (-4 , 1)

A(-4 ; 1)

B(2 ; -3)

Ejemplo

𝑚=∆ 𝑦∆ 𝑥

=𝑦 2− 𝑦1

𝑥2−𝑥1

=1−(−3)−4−2

= 4−6

=− 23

𝑦=𝑚 𝑥+𝑏

𝑦=−23

𝑥+𝑏

Evaluando para (-4 , 1)

1=−23(−4)+𝑏

𝑏=−53

𝑦=−23

𝑥−53

RECTAS

Toda ecuación

En la que x, y aparecen a la primera potencia y a, b, c, son constantes.

Ecuación lineal

Caso 1 Recta Vertical

Caso 2 Recta Vertical

Caso 3 Recta

• C con

RECTAS

• Ejercicios propuestos en el Sitio Web Tarea Extraclase 1

TAREA EXTRACLASE

Se analizaron las rectas, así como las propiedades de las mismas, llevando el análisis hasta poder construir gráficas de ecuaciones lineales.

Se comenzó a introducir el concepto de función.

CONCLUSIONES