ESCUELA POLITECNICA NACIONAL

JONATHAN NARANJOGR4

GRUPO 5

Vectores Ortogonales

DEFINICIÓN

• Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha definido el producto interno( / ).

• Sean son ortogonales ssi: .

• Si , entonces S se dice ortogonal si todo par de elementos distintos de S son ortogonales

OBSERVACIONES• El Ov es ortogonal a cualquier vector pues .

• S debe tener por lo menos dos vectores para verificar si es un conjunto ortogonal

• Al comprobar si todos los productos internos son cero entre los vectores de S, para tener un conjunto S de vectores ortogonales.

• Si un conjunto es ortogonal entonces es LI

• Si es ortogonal, si a cada vector le multiplicamos por cualquier escalar, siempre en nuevo conjunto va a ser ortogonal.

EJEMPLO:• Dados los vectores que son

ortogonales obtener un tercer vector “w” ortogonal a “u” y “v”.

Hacemos el producto cruz para encontrar el tercer vector

Conjunto Ortogonal

DEFINICION• Un conjunto de vectores es llamado ortogonal,

si cada uno de sus elementos son vectores ortogonales, es decir, que son perpendiculares entre si o que su producto interno es igual a cero.

• Sea (V, K, +, . ) un espacio vectorial, definido con producto interno, T es un subconjunto de V.

T es un conjunto ortogonal si y solamente si:

Para todo vector que pertenezca a T y sean distintos tienen que cumplir que su producto interno sea 0.

• )=0

Propiedades Conjunto Ortogonal

PROPIEDADES:

• S es Ortogonal es L.I• S={ß1U1, ß2U2, …, ßnUn} => Es Ortogonal

Base Ortogonal

DEFINICIÓN

Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se ha definido el producto interno ( / ) y S un sub espacio vectorial de V.Es una base ortogonal si:

• Sea S base de V

• Sean los productos internos de dos a dos ortogonales, es decir todos sus vectores ortogonales entre si.

• Sea LI

Norma de un Vector

DEFINICIÓN

• La longitud, norma o modulo de un vector es igual a la raíz cuadrada del producto interno del mismo vector.

Es decir:

OBSERVACIONES• Sea (V, k, +,*) en e.v. sobre el cual se

ha definido el producto interno( / ).

• llamamos desigualdad triangular

EJEMPLOS :• Calcular la Norma de los siguientes

vectores:– u

•   

•  

•  •  

Conjunto Ortonormal

DEFINICION:

• Un conjunto de vectores es ortonormal si es a la vez un conjunto ORTOGONAL y la NORMA de cada uno de sus vectores es igual a 1. Esta definición sólo tiene sentido si los vectores pertenecen a un espacio vectorial en el que se ha definido un producto interno.

EJEMPLOS CONJUNTOS ORTONORMALES

¿CÓMO LOGRAR ORTONORMALIZACIÓN ?

• Usar el proceso de GRAM-SCHMIDT.

• Dada una base ortogonal de un espacio es trivial hallar una base ortonormal a partir de la primera dividiendo cada vector de la base ortogonal original por el valor de su norma.

Propiedades Conjunto Ortonormal

PROPIEDADES:

• S es OrtogonalS={w1, w2, …, wn}

• = 1

Proceso de GRAM-SCHMIDT

DEFINICIÓN• Sea (V, K, +, *) un espacio vectorial en un

campo k con producto interno y externo, W es subespacio vectorial de V. DimV =n, entonces W tiene una base ORTONORMAL.

• Todo subespacio V con producto interno tiene al menos una base ortogonal y una base ortonormal.

• Si S={u1;u2;…;un} es una base de V , entonces W={w1;w2;…;wn} es una base ortogonal donde:

• Para calcular la base S2 ortonormal partimos de la base S1 ortogonal.

• Sea, S2={r1;r2;…;rn} la base ortonormal buscada, entonces procedemos así:

Ejemplo: Encontrar una base B1 ortogonal del sub

espacio vectorial W.

Primero encontramos una base de W

Tenemos S de la forma: B={u1;u2;…un}Ahora aplicamos el proceso de Gram-Schmidt, para en contra una base B1={w1;w2;…wn}

Bases Canónicas

PROPIEDADES

•Todas las bases canonícas son: a) Ortogonales b) orto normales• Esta base tiene siempre que cumplir: a)LI b)Genera a e.v. c)Dim(B) = Dim(e.v.)

ESPACIO VECTORIAL

BASE CANONÍCA