Construcciones geometricas RECTAS Y ARCOS TARGENTES, PERFIL DE GOLA

CONSTRUCCIONES GEOMETRICASTrazar una recta tangente a unacircunferencia y a dos circunferencias.

Trazar un arco tangente a dos rectas.

Trazar un arco tangente a una recta y a unacircunferencia.

Trazar un arco tangente a dos circunferencias.

Trazar un arco con doble curvatura o perfil de GOLA.

Trazar una recta tangente a la circunferencia de centro O y radio R, por el punto T de dicha circunferencia.

Solución:

1.- Se traza el radio OT.

2.- Con centro en T y radio r = TO se traza un arco que corta a la circunferencia en el punto A.

3.- Con centro en A y radio r se trazaun arco que corta al primero en el punto B.

4.- Se traza dos arcos de radio r con centros en A y B respectivamente, loscuales se cortan en C.

5.- Se traza la recta TC, tangente a la circunferencia en el punto T.

Trazar la recta tangente a un arco de circunferencia en un punto T de él, sin conocer el centro.

Solución:

1.- En el arco dado, seleccionamos el punto A arbitrariamente.

2.- Con centro en A y radio r = AT se traza un arco que corta al arco dado en B.

3.- Con centro en A y radio r = AB, se traza un arco.

4.- Con centro en T y radio r = TB se un arco, que corta al arco trazado con centro en A, en el punto C.

5.- Se traza la recta TC, tangente al arco dado.

Trazar una recta tangente a la circunferenciade centro O y radio R, desde el punto P, exterior a ella.

Solución:

1.- Se traza una recta del punto P al centro O.

2.- Se traza la mediatriz del segmentoOP y se determina el punto M.

3.- Con centro en M se traza una circunferenciade radio r = OM = MP, la cual corta a la circunferencia dada en los puntos T y T’, siendoéstos, los puntos de tangencia.

4.- Se traza las rectas tangentes PT y PT’.

5.- Se trazan los radios OT y OT’, (ya quetoda recta tangente es perpendicular al radio).

6.- Se hace el acabado primero del arco y luego se traza la recta tangente.

TRAZAR UNA RECTA TANGENTE A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS

Cuando se traza una recta tangente a dos circunferencias se presentan dos casos:

1.- Que la recta tangente sea exterior a las dos circunferencias dadas.

2.- Que la recta tangente sea cruzada o interior a las dos circunferencias dadas.

Problema 1.- Trazar una recta tangenteexterior a las circunferencias de centros O1, O2 y radios R1, R2 respectivamente.

Solución:

1.- Se restan los radios R1 – R2, con centro en O1 y un radio r = R1 – R2, se traza unacircunferencia.

2.- Desde el centro O2 se traza una recta tangente a la circunferencia de radio r = R1 – R2, obteniéndose las tangentes O2T y O2T’.

3.- Se traza el radio O1T y se prolonga hastacortar la circunferencia dada en T1. Luegodesde el centro O2 se traza una recta paralelaa O1T1, obteniéndose la recta O2T2.

4.- Se traza la recta T2T1, paralela a la recta O2T, siendo T1T2 la tangente pedida.

5.- Se hace el acabado de los arcos.

6.- Se completa el acabado trazando la recta tangente.

Problema 2.- Trazar una recta tangente interior o cruzada a las circunferencias de centros O1, O2, de radios R1y R2 respectivamente.

Solución:

1.- Se suman los radios, con centro en O1 y radio r = R1+R2, se traza una circunferencia.

2.- Desde el centro O2 se traza una recta tangente a la circunferencia de centro O1 y radio r = R1 + R2.

3.- Se traza la recta O1T el cual corta a la circunferencia de radio R1 en T1. Luego por el centro O2 se traza una recta paralela a O1T y se determina T2.

4.- Se traza la recta tangente T1 T2 paralelaa la recta O2T.

6.- Se completa el acabado trazando la recta tangente.

TRAZAR UN ARCO TANGENTE A DOS RECTAS

Cuando se traza un arco tangente a dos rectas se presentan dos casos:

1.- Cuando se da el radio del arco tangente.

2.- Cuando se da un punto de tangencia en una de las rectas.

1.- Cuando se dá el radio R del arco.

Trazar un arco de circunferencia de radio R tangente a las rectas L1 y L2.

SOLUCIÓN:1.- Se elige un punto arbitrario 1 en L1, por 1 se traza una recta perpendicular a la recta L1, sobre ella se mide R y se traza una recta paralela a L1.

2.- Se elige un punto arbitrario 2 en L2, por 2 se traza una recta perpendicular a la recta L2, sobre ella se mide R y se traza una recta paralela a L2. Estas rectas paralelas se cortan en el punto O, centro del arco pedido.

3.- Una vez determinado el centro O se determinan los puntos de tangencia T1 y T2, trazando desde el centro O rectas perpendiculares a las rectas L1 y L2.

4.- Con centro O y radio R se traza el arco entre los puntos de tangencia T1 y T2.

5.- Primero se hace el acabado del arco con centro O y radio R.

6.- Se completa el acabado trazando lasrectas tangentes.

2.- Cuando se da un punto de tangenciaTrazar un arco de circunferencia tangente a las rectas L1 y L2, que pase por T2, siendo T2 un punto de tangencia .

SOLUCIÓN:1.- Desde T2 se traza una recta perpendicular a la recta L2. Luego se traza la bisectriz de L1 y L2, que a continuación detallamos.

2.- Se eligen dos puntos cualesquiera 1 y 2 y se trazan dos semi-circunferencias y se traza la tangente L1’ paralela a la recta L1.

3.- Se se eligen los puntos cualesquiera 3 y 4 y se trazan dos semi-circunferencias y se traza la tangente L2’ paralela a la recta L2.

L1' L2'

4.- Se traza la bisectriz del ángulo formadopor las tangentes L1’ y L2’, la cual corta en el punto O, a la perpendicular trazada por T2 .

L2'L1'

5.- Desde O se traza la perpendicular a la recta L1 para determinar el punto de tangenciaT1.

L2'L1'

6.- Se traza el arco con centro en O y radio r = OT1 = OT2.

L2'L1'

7.- Primero se hace el acabado del arco de centro O y radio r = OT1= OT2.

L2'L1'

6.- Se hace el acabado de las rectastangentes L1 y L2.

L2'L1'

TRAZAR UN ARCO TANGENTE A UNA RECTA Y A UNA CIRCUNFERENCIA

Cuando se traza un arco tangente a una recta y a una circunferencia, se presentan dos casos:

1.- El primer caso es cuando se da el radio del arco, es de dos tipos:

1a.- Cuando el arco es tangente a la recta y la circunferencia dada resulta tangente exterior al arco que se va a trazar.

1b.- Cuando el arco es tangente a la recta y la circunferencia dada resulta tangente interior al arco que se va a trazar.

2.- El segundo caso es cuando se da un punto de tangencia, es de dos tipos:

2-1.- Cuando el arco es tangente a la recta y la circunferencia dada resulta tangente exterior, también es de dos tipos:2-1 a.- Cuando el punto de tangencia

esta en la recta.2-2 b.- Cuando el punto de tangencia

esta en la circunferencia.

2-2.- Cuando el arco es tangente a la recta y la circunferencia dada resulta tangente interior al arco que se va a trazar, también es de dos tipos:

2-2 a.- Cuando el punto de tangencia esta en la recta.2-2 b.- Cuando el punto de tangencia

esta en la circunferencia.

Problema 1a.- Trazar un arco de circunferencia de radio R, tangente a una recta L y que sea tangente exterior a la circunferencia de centro O1 y radio R1.

SOLUCIÓN:1.- En la recta L se elige un punto arbitrario 1, por el cual se traza una recta perpendicular a la recta L, sobre ella se mide R y se traza una recta paralela a L.

2.- Con centro en O1 y r = R1 + R se traza un arco de circunferencia, que corta a la recta paralela a L, en los puntos O y O’, siendo estos los centros de los arcos pedidos

r = R1 + R

3.- Se traza la recta perpendicular desde el centro O a la recta L y se obtiene el punto de tangencia T, se unen los centros O y O’ y se determina el punto de tangencia T1.

r = R1 + R

4.- Con centro O y radio R se traza el arco entre los puntos de tangencia T y T1.

r = R1 + R

5.- Para hacer el acabado primero se trazan los arcos de centros O y O’.

r = R1 + R

T1O O'

6.-Luego se completa el acabado trazando la recta L.

r = R1 + R

Problema 1b.- Trazar un arco de circunferencia de radio R, tangente a una recta L y tangente interior a la circunferencia de centro O1 y radio R1,

SOLUCIÓN:1.- En la recta L se elige un punto arbitrario 1, por el cual se traza una recta perpendicular a la recta L, sobre ella se mide R y se traza una recta paralela a L.

2.- Con centro en O1 y r = R1 + R se traza un arco de circunferencia, que corta a la recta paralela en los puntos O y O’, siendo estos los centros de los arcos pedidos.

r = R-R1

3.- Se traza la recta perpendicular desde el centro O a la recta L y se obtiene el punto de tangencia T, se unen los centros O y O’ y se determina el punto de tangencia T1.

r = R-R1

4.- Con centro O y radio R se traza el arco entre los puntos de tangencia T y T1.

r = R - R1

r = R-R1

6.-Luego se completa el acabado trazando la recta L.

R T1O1

r = R-R1

Problema 2-1 a.- Trazar un arco de circunferencia que pase por el punto T, tangente a una recta L y que sea tangente exterior a la circunferencia de centro O1 y radio R1. El punto T esta contenido en la recta L.

SOLUCIÓN:1.- Por el punto T se traza una recta perpendicular a la recta L.

2.- Por el centro O1 se traza una recta paralela a la recta perpendicular que pasa por T, la cual corta a la circunferencia en los puntos 1 y 2.

3.- Por ser tangente exterior se elige el punto 2 (más alejado de la recta L), y se traza el segmento 2T , este corta a la circunferencia de centro O1 en el punto T1 (punto de tangencia).

4.- Como la línea que une los centros contiene el punto de tangencia, se traza la recta O1 T1 que corta a la perpendicular en O, centro del arco pedido.

r = OT = OT1

5.- Con centro en O y radio r = OT = OT1 se traza el arco.

6.- Se hace el acabado de los arcos con centros en O y O1.

7 .- Se completa el acabado trazando la recta L.

Problema 2- 1 b.- Trazar un arco de circunferencia que sea tangente a una recta L y que sea tangente exterior a la circunferencia de radio R1. El punto T1 esta contenido en la circunferencia de centro O1.

SOLUCIÓN:1.- Se traza la recta que pase por los puntos O1 y T1 ya que la línea que une los centros contiene el punto de tangencia.

2.- Por el centro O1 se traza una recta perpendicular a la recta L, la cual corta a la circunferencia en los puntos 1 y 2.

3.- Por ser tangente exterior se elige el punto 2 (más alejado de la recta L), y se traza recta que pase por los puntos 2 y T1, esta recta corta a la recta dada L en el punto T (punto de tangencia).

4.- Por el punto T se traza la perpendicular a la recta L , la cual corta a la recta que pasa por los puntos O1 y T1 en O, siendo o en centro del arco pedido.

5.- Con centro en O y radio r = OT = OT1 se traza el arco pedido.

r = OT = OT1

r = OT1 = OTT

1r = OT1 = OTT

Problema 2-2 a.- Trazar un arco de circunferencia que pase por el punto T, tangente a una recta L y que la circunferencia de centro O1 y radio R1 resulte tangente interior al arco que se a trazar. El punto T esta contenido en la recta L.

SOLUCIÓN:1.- Por el punto T se traza una recta perpendicular a la recta L.

3.- Por ser tangente interior se elige el punto 1 (más cerca de la recta L), y se traza la recta que pasa T y 1 y se prolonga hasta que corte a la circunferencia de centro O1 en el punto T1 (punto de tangencia).

4.- Como la línea que une los centros contiene el punto de tangencia, se traza la recta T1 O1 que corta a la perpendicular en O, centro del arco pedido.

r = OT = O

Problema 2- 2 b.- Trazar un arco de circunferencia que pase por el punto T1, tangente a una recta L y que la circunferencia de centro O1 y radio R1 resulte tangente interior al arco que se va a trazar.

SOLUCIÓN:1.- Se traza una recta que pasa por los puntos O1 y T1.(lugar geométrico del centro)

3.- Por ser tangente interior se elige el punto 1 (más cerca de la recta L), y se traza la recta que pasa por T1 y 1 y se prolonga hasta que corte a la recta L en el punto de tangencia T.

4.- Se traza la perpendicular a la línea L por el punto T, esta corta la recta que pasa por los puntos T1 y O1 en el punto O, centro del arco pedido.

TRAZAR UN ARCO TANGENTE A DOS CIRCUNFERENCIAS

Cuando se traza un arco tangente a dos circunferencias, se presentan dos casos:1.- Que se de el radio del arco tangente, es de tres tipos:

1a.- Que las dos circunferencias dadas resulten tangentes exteriores al arco que se va a trazar.

1b.- Que las dos circunferencias dadas resulten tangentes interiores al arco que se va a trazar.1c.- Que una de las circunferencias dadas resulte una tangente exterior y la otra tangente interior al arco que se va a trazar.

2.- Que se de el punto de tangencia en una de las circunferencias dadas, es de tres tipos:

2a.- Que las dos circunferencias dadas sean tangente exteriores al arco que se va a trazar.2b.- Que las dos circunferencias dadas sean tangente interiores al arco que se va a trazar.2c.- Que una de las circunferencias dadas sea una tangente exterior y la otra tangente interior al arco que se va a trazar.

Problema 1a.- Trazar un arco tangente exterior de radio R, a las circunferencias dadas de centros O1 y O2.

Solución:1.- Haciendo centro en O1 y con un radio r = R1 + R, se traza un arco. (Se suman los radios por ser tangente exterior)

2.- Haciendo centro en O2 y con un radio r = R2 + R, se traza un arco que corta al arco que se ha trazado con centro en O1, en los puntos O y O’, centros de los arcos pedidos.

3.-Se une el punto O con los centros O1 y O2, y se obtiene los puntos de tangencia T1 y T2 respectivamente. (En dos circunferencias tangentes, la línea que une los centros, contiene el punto de tangencia)

4.- Con centro en O y radio R se traza el arco pedido T1 O T2.

5.- Se hace el acabado de los tres arcos.

Problema 1b.- Dadas las circunferencias de centro O1 y O2, las cuales sean tangentes interiores al arco de circunferencia de radio R.

Solución:1.- Haciendo centro en O1 y con un radio r = R – R1, se traza un arco. (Se restan los radios porque una de las circunferencias es tangente interior)

2.- Haciendo centro en O2 y con un radio r = R – R2, se traza otro arco, que al primero en los puntos O y O’, siendo estos los centros de los arcos pedidos.

3.- Se trazan las líneas que unen los centros O y O1, se determina T1 y la que une los centros O y O2, determinando T2

4.- Con centro en O y radio R se traza el arco T1 O T2.

5.- Se hace el acabado de los arcos con centros O1, O y O2.

Problema 1c.- Trazar un arco tangente a las circunferencias dadas de centro O1 y O2, de tal manera que circunferencia de centro O1 resulte tangente interior y la circunferencia de centro O2 resulte tangente exterior al arco de circunferencia de radio R.

Solución:1.- Haciendo centro en O1 y con un radio r = R – R1, se traza un arco. (Se restan los radios porque la circunferencia de centro O1 es tangente interior)

2.- Haciendo centro en O2 y con un radio r = R + R2, se traza otro arco, que corta al primero en los puntos O y O’, siendo estos los centros de los arcos pedidos.

3.- Se traza la línea que pasa por los centros O y O1, la cual corta a la circunferencia de centro O1 y se determina T1 y la línea que pasa por los centros O y O2, corta a la circunferencia de centro O2 determina T2. Siendo T1 y T2 lo s puntos de tangencia.

4.- Con centro en O y radio R se traza el arco T1 O T2.

Problema 2a.- Trazar un arco tangente exterior a las circunferencias de centros O1 y O2, que pase por el punto de tangencia T1.

Solución:1.- Se traza una recta que pase por el centro O1 y por el punto de tangencia T1. (Porque la línea que une los centros de dos circunferencias tangentes se encuentra el punto de Tangencias entre ellas)

2.- Por el centro O2 se traza una recta paralela a la recta que pasa por los puntos O1 y T1, la cual corta a la circunferencia de centro O2 en los puntos 1 y 2.

R2O212

O2 2R2

3.- Se traza la línea que une los punto T1 y 2, esta línea corta a la circunferencia de centro O2 en el punto de tangencia T2.

4.- Se traza la recta que pasa por los puntos O2 y T2, esta recta corta a la recta que pasa por los puntos O1 y T1 en el punto O.

R2O2 2

T1 R2O212

5.- Con centro en el punto O y radio OT1 se traza el arco T1 O T2.

R1 OT1

Problema 2a’.- Dadas las circunferencias de centros O1 y O2, trazar un arco tangente exterior a la circunferencia de centro O1, que pase por el punto de tangencia T1 y que la circunferencia de centro O2 resulte tangente interior .

Solución:1.- Se traza una recta que pase por el centro O1 y el punto de tangencia T1.

2.- Por el centro O2 se traza una recta paralela a la recta que pasa por los puntos O1 y T1, determinando los puntos 1 y 2.

R2O212

3.- Se traza una línea que pasa por los puntos T1 y 1, la cual corta a la circunferencia de centro O2 en el punto de tangencia T2.

4.- Se traza la recta que por el punto T2 y el centro O2, que corta a la recta que por los puntos O1 y T1 en el punto O, centro del arco pedido.

r = OT1 = OT2R1 T1

5.- Con centro en O y radio r = OT1 = OT2, se traza el arco T1 O T2.

r = OT1 = OT2

6.- Se hace el acabado trazando los arcos con centros O1, O y O2.

Problema 2b.- Trazar un arco en donde las circunferencias de centros O1 y O2 resulten tangentes interiores al arco que pasa por el punto de tangencia T1.

Solución:1.- Se traza una recta que pase por el centro O1 y por el punto de tangencia T1.

2.- Por el centro O2 se traza una recta paralela a la recta que pasa por los puntos O1 y T1, la cual corta a la circunferencia de centro O2 en los puntos

3.- Se traza la línea que pasa por los punto T1 y 1, esta línea corta a la circunferencia de centro O2 en el punto de tangencia T2.

4.- Se traza la recta que pasa por los puntos T2 y O2, esta corta a la recta que pasa por los puntos T1 y O1 en el punto O, centro del arco pedido.

O2T2R2

5.- Con centro en el punto O y radio r = OT1 se traza el arco pedido T1 O T2.

R2O O2

Problema 2c.- Dadas las circunferencias de centros O1 y O2, trazar un arco tangente exterior a la circunferencia de centro O2, que pase por el punto de tangencia T1 y que la circunferencia de centro O1 resulte tangente interior.

Solución:1.- Se traza una recta que pase por el centro O1 y el punto de tangencia T1.

2.- Por el centro O2 se traza una recta paralela a la recta que pasa por los puntos O1 y T1, esta recta corta a la circunferencia de centro O2 en los puntos 1 y 2.

3.- Se traza una línea que pasa por los puntos T1 y 2, la cual corta a la circunferencia de centro O2 en el punto de tangencia T2.

R1 OO1

4.- Se traza la recta que pasa por el punto T2 y el centro O2, y corta a la recta que pasa por los puntos O1 y T1 en el punto O, centro del arco pedido.

5.- Con centro en O y radio r = OT1 , se traza el arco T1 O T2.

R1 OO1

CURVA INVERSA O CURVA EN PERFIL DE GOLA

La curva inversa o en perfil de GOLA estaformada por dos arcos de circunferencia, unoconvexo seguido de otro concavo que son tangentes a dos rectas, se presentan lossiguientes casos:

1.- Perfil de Gola entre dos rectas paralelas. 2.- Perfil de Gola entre dos rectas no paralelas. 3.- Perfil de Gola a tres rectas secantescualquiera.

1.- Construir una curva inversa o en perfil de Gola entre las rectas paralelas AB y CD.

Solución:

1.- Se traza la recta BC y se elige un puntoarbitrario P entre B y C llamado punto de paso.

2.- Se traza la mediatriz del segmento BP.

3.- Se traza la mediatriz del segmento PC.

4.- Se trazan las perpendiculares por B y C, las cuales cortan a las mediatrices en O y O’, centros de los arcos pedidos.

5.- Con centros en O y O’ se trazan los arcos con centro en O y radio r = BO y con centroen O’ y radio r = O’P respectivamente.

6.- Primero se hace el acabado de los arcos.

7.- Luego se hace el acabado de las rectas.

2.- Construir una curva inversa o de Golaentre las rectas no paralelas AB y CD, conociendo el radio en B.

Solución:

1.- Se traza un círculo con centro O y radio R.

2.- Por el punto C se traza una recta perpendicular a la recta CD.

3.- Por el centro O se traza una recta paralelaa la perpendicular trazada por C.

4.- Se une el punto 2 (el punto másalejado de C) con el punto C, la recta 2C corta a la circunferencia en el punto T.

5.- Se traza la recta OT, la cual corta a la perpendicular trazada por C en el punto O.

6.- Con centro en O y radio r = OC = OT se traza el arco CT.

7.- Se hace el acabado de los arcos desde B hasta C.

8.- Se hace el acabado de las rectas AB y CD.

3.- Trazar una curva inversa o de Gola a tres rectas secantes cualquieras AB, BC y CD.

Solución:

1.- Se elige un punto X cualquiera en la recta BC. X punto de paso.

2.- Con centro en B y radio BX se traza un arco que corta a la recta AB en T1.

3.- Con centro en C y radio CX se traza un arco que corta a la recta CD en T2.

4.- Por T1 se traza una perpendicular a la recta AB y también por X se traza unaperpendicular a la recta BC cortándose en en el punto O.

5.- Se traza una perpendicular por T2 hastaque corte a la perpendicular que pasa por X en O’.

6.- Con centro en O y radio r = OT1 = OX se traza el arco T1X.

7.- Con centro en O’ y radio r = O’X = O’T2 se traza el arco XT2.

9.- Luego se hace el acabado de las rectas.

Ejemplo.- Reproducir la siguiente figura: siendo los puntos A, B, C, D y E puntos de tangencia.

20 40 2040 30 50

Solución:1.- Se completan todas las circunferencias.

20 40 2040 30 50

2.- Se dibujan todos los extremos de las rectas y centros, según sus medidas

R30R20

R30 R20

3.- Por los centros se trazan las circunferencias

4.- Se determinan los puntos de tangencia D y E.

5.- Se puede empezar por cualquier tipo de construcción, en este caso el arco tangente a las recta AP y PQ.

6.- Segunda construcción un arco tangente a la recta PQ y a la circunferencia de centro R

7.- Tercera construcción: un arco tangente exterior a la circunferencia de centro R y la circunferencia de centro S que resulta tangente interior.

8.- Cuarta construcción: Un arco tangente exterior a dos circunferencias conociendo el punto de tangencia E.

9.- Quinta construcción: Un arco tangente interior a la circunferencia de centro T y a la recta que pasa por el punto C.

R30R20

10.- Sexta construcción: Trazar una recta desde el punto B a la circunferencia dada cuyo punto de tangencia es el punto C.

R30R20

11.- Sétima construcción: Trazar un arco en perfil de Gola entre las rectas AP y la recta tangente que pasa por el punto B.

12.- Para hacer el acabado primero se trazan los arcos.

13.- Luego se trazan las rectas y se completa el acabado.

Construcciones geometricas RECTAS Y ARCOS TARGENTES, PERFIL DE GOLA

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