“Lógica Fuzzy”

Controlo Avançado

Lógica Fuzzy

nas traduções para o português costumam chamar deLógica difusa ou Lógica nebulosa

A Lógica Fuzzy surgiu nos Estados Unidos.

Teve um grande desenvolvimento, e muito rápido, no Japão.

Nos nossos dias os Estados Unidos e a Europa tentam alcançaro Japão

Lógica Fuzzy

Lotfi Zadeh, 1921-2017(Azerbaijão)

A Lógica Fuzzy foi introduzida em 1965 por LotfiZadeh, um matemático, engenheiro eletrônico e cientista da computação estadunidense nascido no Azerbaijão, e professor da Universidade de Berkeley na Califórnia.

Lógica Fuzzy

A natureza dos conjuntos, grupos de objetos, números e de muitas classes é Fuzzy mas são tratadas como precisas.

Lógica Fuzzy

Torna-se necessário generalizar isto, introduzindo classescujos limites não são nítidos, são Fuzzy.

Lógica Fuzzy

Frio/quente, alto/baixo, leve/pesado ou… a classe das ‘small apples’, são exemplos de conceitos Fuzzy.

Lógica Fuzzy

Frio/quente, alto/baixo, leve/pesado ou… a classe das ‘small apples’, são exemplos de conceitos Fuzzy.

Lógica Fuzzy

Lógica Fuzzy

A fuzzycação é usada para converter um valor numérico em um conjunto fuzzy.

Esta conversão é feita usando-se as função de pertença (ou função de pertinência)

O conjunto fuzzy, que reflete a lógica fuzzy, é formado por paresonde um elemento do par representa a variável em estudo e o outro elemento uma função cuja imagem está contida no intervalo [0 , 1] e que caracteriza o grau de pertinência da variável.

Fuzzycação e Conjuntos Fuzzy?

Conjuntos Fuzzy?

Lógica Fuzzy

Um conjunto Fuzzy A em X é expresso como um conjunto de pares ordenados

O grau de pertinência µA

está no intervalo [0 , 1]

A = x, μ� ∶ x ∈ X

conjunto Fuzzy A função de pertinência

Universo X ou Universo de discurso X

0% 100%

µA

Exemplo de Função depertinência

0

1

x

Exemplos de Conjuntos Fuzzy

Lógica Fuzzy

Na matemática clássica os conjuntos são definidos da seguinte forma:

Conjunto S = [0, 10] com um subconjunto A = [5, 8]

Os valores de S pertencentes ao subconjunto A assumem o valor 1 (100%), os restante assumem o valor 0 (0%).

Exemplo Conjunto Fuzzy

Lógica Fuzzy

µ(x) abaixo se chama função de pertença (ou função de pertinência, ou ‘membership function’) do subconjunto A = [5, 8].

Ou seja, probabilidade de número ∈ S = [0, 10] pertencer ao subconjuntoA = [5, 8] é 100% ou 0% dependendo se este número for ≥ 5 e ≤ 8 ou não (se este número for ≤ 5 ou ≥ 8).

Lógica Fuzzy

Exemplo Conjunto Fuzzy

Lógica Fuzzy

Ficaram velhas subitamente.

Na matemática clássica esta definição de pessoas jovens significa que as pessoas que têm até 25 anos são jovens e caso façam 26 anos, já não são mais consideradas jovens mais, de um dia para o outro.

Consideremos agora B = [0, 25] que corresponde ao conjunto das pessoas jovens.

De forma a resolver este problema cria-se conjuntos Fuzzy.

Deste modo as pessoas com 25 anos têm uma probabilidade de 50% de ainda serem consideradas jovens.

Neste exemplo dando um intervalo de flexibilidade de 10 anos, conforme a função de pertença abaixo para o conjunto B.

Lógica Fuzzy

As pessoas entre os 20 e 30 anos têm probabilidades de serem consideradas jovens que vão decaindo de 100% (aos 20 anos)até 0% (aos 30 anos)

Lógica Fuzzy

Lógica Fuzzy

Uma formulação mais refinada pode considerar as pessoas jovens (até os 35 anos), pessoas adultas (entre os 20 e 60 anos) e pessoas idosas (depois os 50 anos) com probabilidades variáveis conforme ilustrado abaixo.

Aqui se apresentam três variáveis fuzzy pessoas jovens B1 = [0 , 35],pessoas adultas B2 = [20 , 60] e pessoas idosas B3 = [60 , ∞].

Lógica Fuzzy

Subitamente muda-se de alto para baixo.

Na matemática clássica esta definição de pessoas altas significa que as pessoas são altas se têm até 1,75 m de altura e caso tenha 1,74 m, já não são mais consideradas altas, por um centímetro.

Consideremos agora A = [1,75 , ∞] que corresponde ao conjunto das pessoas altas.

De forma a resolver este problema cria-se conjuntos Fuzzy.

Deste modo as pessoas com 1,75 m tem uma probabilidade de 50% de ainda serem consideradas altas.

Neste exemplo dando um intervalo de flexibilidade de 10 cm, conforme a função de pertença abaixo para o conjunto A.

Lógica Fuzzy

As pessoas com altura entre 1,70 m e 1,80 m têm probabilidades de serem consideradas altas que vão crescendo de 0% (aos 1,70 m) até100% (aos 1,80 m)

Lógica Fuzzy

Lógica Fuzzy

x = 4.

Lógica Fuzzy

x ≅ 4.

Lógica Fuzzy

Lógica Fuzzy é útil quando a significância é mais importante

que a precisão.

Precisão Significância(Precision) (Significance)

Lógica Fuzzy

Outros exemplos de configurações

Lógica Fuzzy

(frio) (tépido) (quente)

Fuzzy Logic inTemperatureControl

Lógica Fuzzy

Fuzzy Logic in Automated Vehicle Control

Lógica Fuzzy

Fuzzy Logic in Automated

Vehicle Control

Fuzzy Control

Operações com conjuntos Fuzzy

Lógica Fuzzy

Interseção - min(µA,µB)

Interceção A ∩ B

Lógica Fuzzy – Operações com conjuntos Fuzzy

Considere os seguintes conjuntos:

União - max(µA,µB)

União A ∪ B

Lógica Fuzzy – Operações com conjuntos Fuzzy

Considere os seguintes conjuntos:

Considere o seguinte conjunto:

Complementar - A_

Complementar A_

O problema da “gorjeta”(The “tipping” problem)

Lógica Fuzzy

Lógica Fuzzy

O problema da “gorjeta”(The “tipping” problem)

O problema da “gorjeta” é comumente usado para ilustrar o poder dos princípios da Lógica Fuzzy para gerar comportamento complexo a partir de um conjunto compacto e intuitivo de ‘regras especializadas’.

Vamos criar um sistema de controlo fuzzy que modela como dar “gorjeta”em um restaurante.

Ao dar gorjeta, considera-se o serviço/atendimento (‘service’) e a qualidade da comida (‘food quality’), classificados entre 0 e 10. Então usa-se isso para deixar uma gorjeta entre 0 e 25%.

Formularíamos esse problema da “gorjeta” como:

Lógica Fuzzy

Service: Quão bom foi o serviço dos atendentes, em uma escala de 0 a 10? ?

Fuzzy set (ie, fuzzy value range): poor, acceptable, amazing (ie, ruim, aceitável, incrível)

Food quality: Quão saborosa era a comida, numa escala de 0 a 10?

Fuzzy set (ie, fuzzy value range): bad, decent, great (ie, ruim, decente, ótimo)

Tip (“gorjeta”): Quanto deve ser a “gorjeta”, numa escala de 0 a 25%?

Fuzzy set (ie, fuzzy value range): low, medium, high (ie, baixa, média, alta)

Lógica Fuzzy

Membership functions (funções de pertença)

para as variáveis

o Service (serviço/atendimento)

o Food quality (qualidade da comida)

o Tip (gorjeta)

Lógica Fuzzy

Service quality

Lógica Fuzzy

Food quality

Lógica Fuzzy

Tip (gorjeta)

Para os fins do nosso exemplo, considere três regras simples:

A maioria das pessoas concorda com essas regras, mas estas regras são fuzzy (imprecisas).

Lógica Fuzzy

Agora, para tornar esses triângulos úteis, vamos definir a relação fuzzy entre as variáveis de entrada e saída.

1. If the food is poor OR the service is poor, then the tip will be low

2. If the service is average, then the tip will be medium

3. If the food is good OR the service is good, then the tip will be high.

Mapear as regras imprecisas em uma gorjeta definida e executável é um desafio.

Esse é o tipo de tarefa na qual a Lógica Fuzzy se destaca.

Regras Fuzzy

Lógica Fuzzy

Qual seria a gorjeta na seguinte circunstância:

Food quality foi 6.5

Service foi 9.8

Sabendo-se a atividade de cada função de pertença de saída, faz-se uma combinação de todas as funções de pertença de saída.

Isso geralmente é feito usando um operador máximo.

Esta etapa também é conhecida como agregação.

Rule aggregation

Lógica Fuzzy

Defuzzification

Finalmente, para obter uma resposta do mundo real, voltamos do mundo das funções de pertença fuzzy para a lógica clássica.

Para os fins deste exemplo, o método centróide foi usado.

The result is a tip of 20.2%.

Lógica Fuzzy

O poder dos sistemas Fuzzy têm permitido um comportamento complicadoe intuitivo, com base em um sistema esparso de regras com sobrecarga mínima.

Observe que os universos das funções de pertença podem ser grosseiros, definidos apenas nos números inteiros, e mesmo assim a Lógica Fuzzy pode proporcionar uma resolução efetiva.

O sistema pode sofrer pequenas mudanças arbitrárias nas entradas que a Lógica Fuzzy consegue produzir uma nova solução e a carga de processa-mento é mínima.

Implementação do controlode um pêndulo invertido

Lógica Fuzzy

Sentidos do pêndulo

Admitimos que o pêndulo nunca chega a descerabaixo dos 45º em ambos os sentidos

Lógica Fuzzy — Pêndulo invertido

Variáveis de controlo do pêndulo

•Muito negativo (azul ciano)•Pouco negativo (verde)•Zero (vermelho)•Pouco positivo (azul)•Muito positivo (magenta)

Ângulo entre pêndulo e o carro (θ)

Velocidade angular do pêndulo (ω) Velocidade do carro (V)

Lógica Fuzzy — Pêndulo invertido

Portanto podemos construir uma Tabela com o Resumo de todas as Regras.

Se o ângulo é zero e a velocidade angular for positiva, então velocidade do carro será pouco positiva

Se o ângulo é zero e a velocidade angular for também zero, então velocidade do carro será zero

e assim por diante …

Regras para o controlo do pêndulo invertido:

Lógica Fuzzy — Pêndulo invertido

Resumo de todas as Regras

PN – pouco negativo

MN – muito negativo

Z – zero

PP – pouco positivo

MP – muito positivo

Lógica Fuzzy — Pêndulo invertido

Vamos agora definir um ponto do pêndulo

Ângulo entre pêndulo e o carro (θ) Velocidade angular do pêndulo (ω)

Lógica Fuzzy — Pêndulo invertido

Situação 1

Se o ângulo entre pêndulo e o carro (θ) é zero e a velocidade angular do pêndulo (ω) é zero então a velocidade do carro é também zero.

Ângulo entre pêndulo e o carro (θ)

Velocidade angular do pêndulo (ω)

Lógica Fuzzy — Pêndulo invertido

Situação 2Se o ângulo (θ) é zero e a velocidade angular é pouco negativa então

a velocidade do carro é pouco negativa (aplicando a mesma regra)

Ângulo entre pêndulo e o carro (θ)

Velocidade angular do pêndulo (ω)

Lógica Fuzzy — Pêndulo invertido

Situação 3Se o ângulo (θ) é pouco positivo e a velocidade angular é zero então

a velocidade do carro é pouco positiva.

Ângulo entre pêndulo e o carro (θ)

Velocidade angular do pêndulo (ω)

Lógica Fuzzy — Pêndulo invertido

Situação 4Se o ângulo (θ) é pouco positivo e a velocidade angular é pouco negativa

então a velocidade do carro é zero.

Ângulo entre pêndulo e o carro (θ)

Velocidade angular do pêndulo (ω)

Lógica Fuzzy — Pêndulo invertido

Resultado da soma das quatro hipóteses anteriores

Lógica Fuzzy — Pêndulo invertido

A velocidade final a dar ao carro será dada pelo ponto do centro de gravidade da área da figura, intercetando com o eixo da velocidade

Lógica Fuzzy — Pêndulo invertido

Obrigado!

Felippe de Souza

felippe@ubi.pt

Thank you!