Post on 10-Nov-2015
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CUANTIFICADORES
Ejemplos: Los siguientes enunciados, son proposiciones?
1. Los rboles X dan buenos frutos.
2. El nmero 3 divide a y .
3. Todas las expresiones de la forma 5x son mltiplos de 5.
4. a
b
Los enunciados anteriores no son proposiciones porque desconocemos a qu conjunto pertenecen X,
x, y, a, b; adems desconocemos de la cantidad de valores que cumplen con dichos enunciados.
Observacin: A los enunciados anteriores se les conoce como enunciados abiertos.
Definicin
En lgica matemtica, teora de conjuntos y matemtica en general, los cuantificadores son
smbolos usados para indicar cuntos y qu tipo de elementos de un conjunto dado cumplen con
cierta propiedad. Existen varios tipos de cuantificadores, los ms utilizados son:
Cuantificador universal: ; , ; , ; . . .x x y x y
Cuantificador existencial: ; , ; , ; . . .x x y x y
Ejemplos:
1. ; 2x x Proposicin V
2. ; 2 3x x Proposicin F, la inecuacin no cumple para x = 1
3. , ; 1x y x y Proposicin F, la ecuacin no cumple para x = 0
4. 2; 0x x Proposicin V, cumple para x = 0
INFERENCIA LGICA
Ejemplo:
Si aumenta el precio del petrleo, entonces subir el precio de los pasajes.
Qu podemos concluir, si no sube el precio de los pasajes?
Definicin
Una Inferencia Lgica es una estructura de proposiciones llamadas premisas, en base a las cuales
inferimos otra proposicin llamada conclusin.
Premisa 1
Premisa 2
Conclusin
Ejemplo:
Cada vez que me esfuerzo ms, obtengo mejores resultados. Cuando obtengo mejores resultados,
mis padres se alegran. Por lo tanto, cada vez que me esfuerzo ms, mis padres me sonren.
Simblicamente
Premisa 1 Cada vez que me esfuerzo ms, obtengo mejores resultados. p q
Premisa 2 Cuando obtengo mejores resultados, mis padres se alegran. q r
Conclusin Cada vez que me esfuerzo ms, mis padres me sonren. p r
Reglas de inferencia
Son argumentos vlidos, tautolgicos, es decir, ya no se necesita la demostracin de su validez.
A continuacin presentamos las ms importantes.
MODUS PONENS (MP)
Estructura:
1
2
P :Premisas
P :
Conclusin y
x y
x
Ejemplo:
Enunciado
Si los rboles dan buenos frutos, entonces progresar econmicamente.
Sucede que los rboles dan buenos frutos. Luego, progresar
econmicamente.
Proposiciones simples p: los rboles dan buenos frutos
q: progresar econmicamente
Premisas
P1: Si los rboles dan buenos frutos, entonces
progresar econmicamente.
P2: Sucede que los rboles dan buenos frutos.
1
2
P :
P :
p q
p
q
Conclusin Progresar econmicamente
Ejercicio:
Enunciado
Si la contaminacin no disminuye, entonces los rboles no darn buenos
frutos. Sucede que la contaminacin no disminuye. Luego, los rboles no
darn buenos frutos.
Proposiciones simples
Premisas
Conclusin
SILOGISMO DISYUNTIVO (SD)
Estructura:
1
2
P :Premisas
P :
Conclusin y
x y
x
o tambin
1
2
P :Premisas
P :
Conclusin
x y
y
x
Ejemplo:
Enunciado Siembro hortalizas o siembro legumbres. No siembro hortalizas. Por lo
tanto, siembro legumbres.
Proposiciones simples p: Siembro hortalizas
q: siembro legumbres
Premisas P1: Siembro hortalizas o siembro legumbres.
P2: No siembro hortalizas. 1
2
P :
P :
p q
p
q
Conclusin Siembro legumbres.
Ejercicio:
Enunciado
Suben el sueldo mnimo vital o las personas trabajan horas extras para
suplir sus necesidades. Las personas no trabajan horas extras para suplir
sus necesidades. Es as que, suben el sueldo mnimo vital.
Proposiciones simples
Premisas
Conclusin
MODUS TOLLENS (MT)
Estructura:
1
2
P :Premisas
P :
Conclusin
x y
y
x
Ejemplo:
Enunciado
Si se desforestan los bosques amaznicos, los animales de la zona se
quedan sin hogar. Los animales de la zona no se quedan sin hogar. Luego,
no se desforestan los bosques amaznicos.
Proposiciones simples p: se desforestan los bosques amaznicos
q: los animales de la zona se quedan sin hogar
Premisas
P1: Si se desforestan los bosques amaznicos, los
animales de la zona se quedan sin hogar.
P2: Los animales de la zona no se quedan sin hogar.
1
2
P :
P :
p q
q
p
Conclusin No se desforestan los bosques amaznicos.
Ejercicio:
Enunciado
Las anchovetas pueblan las costas peruanas porque hay abundancia de
plancton. Las anchovetas no pueblan las costas peruanas. Por lo tanto, no
hay abundancia de plancton.
Proposiciones simples
Premisas
Conclusin
SILOGISMO HIPOTTICO PURO (SHP)
Estructura:
1
2
P :Premisas
P :
Conclusin
x y
y z
x z
Ejemplo:
Enunciado
Los leoncillos estn bien alimentados, debido a que las leonas tienen
leche. Los leoncillos estn bien alimentados, entonces los leoncillos
llegarn a la edad adulta. Por lo tanto, si las leonas tienen leche, los
leoncillos llegarn a la edad adulta.
Proposiciones simples
p: los leoncillos estn bien alimentados
q: las leonas tienen leche
r: los leoncillos llegarn a la edad adulta
Premisas
P1: Los leoncillos estn bien alimentados, debido a
que las leonas tienen leche.
P2: Los leoncillos estn bien alimentados, entonces
llegarn a la edad adulta.
1
2
P :
P :
q p
p r
q r
Conclusin Si las leonas tienen leche, los leoncillos llegarn a la
edad adulta.
Ejercicio:
Enunciado
Sube el precio del pan porque sube el precio de la harina. Si sube el
precio del pan, tendr que hacer dieta. De modo que, tendr que hacer
dieta, puesto que sube el precio de la harina.
Proposiciones simples
Premisas
Conclusin
Ejercicios: Da la conclusin de cada una de las siguientes premisas e indica la regla de inferencia
que ests empleando.
1) ( )p q t
p
2) ( )p q t
p
3) ( )p q t
q t
4) ( )
( )
p q t
q t r
5) ( ) ( )
( )
t p q t
t p
6) ( )
( )
p q t
q t
7)
( )
p
q t p
8) p h
t p