Post on 21-Jul-2016
UNIVERSIDADNACIONAL DEINGENIERÍA
Facultad De Ingeniería Mecánica
Laboratorio: N°4
Curso: MC 516-A Calculo por elementos finitos
Profesor: Cueva Pacheco Ronald
Estudiante: Arroyo Cóndor, Jean Marco Codigo: 20102678K
2013-II
Laboratorio N°4 de Cálculo por Elementos Finitos UNI – FIM
INDICE
Enunciado del Problema..........................................................................3
Calculo del número de barras y tetraedros………………………………...4
Solución (Cálculos previos)......................................................................6
Análisis.....................................................................................................7
Modelado del Cuerpo Real………............................................................8
Diagrama de Flujo....................................................................................9
Uso de Matlab..........................................................................................12
Ejecución del Programa...........................................................................13
Conclusiones........................................................................................... 17
ARMADURAS EN EL ESPACIO 2
Laboratorio N°4 de Cálculo por Elementos Finitos UNI – FIM
CUARTA PRACTICA CALIFICADA(ARMADURAS EN EL ESPACIO)
ENUNCIADO DEL PROBLEMA:
Dada la siguiente armadura tridimensional, sometido a las fuerzas que se muestran en la figura. Piden:
Calcular el número de barras usados en la pluma de la grúa y el número de tetraedros que se puedan visualizar.
Calcular las reacciones en los apoyos de la pluma de la grúa. Calcular los esfuerzos en todas las barras de la pluma.
DATOS DEL PROBLEMA:
Material: E=3.1*105 N/mm2
Carga: P=30 000 NAngulo de inclinación: β=60°Secciones de todas las barras: tubo de 100mm
GRÁFICO:
1) Número de barras: 29
ARMADURAS EN EL ESPACIO 3
Laboratorio N°4 de Cálculo por Elementos Finitos UNI – FIM
Número de tetraedros:
CABEZA: 2
ARMADURAS EN EL ESPACIO 4
1
2
Laboratorio N°4 de Cálculo por Elementos Finitos UNI – FIM
CUERPO:6
BASE: 3
NUMERO DE TETRAEDROS EN LA PLUMA DE LA GRUA: 11 TETRAEDROS.
ARMADURAS EN EL ESPACIO 5
1
2
3
4
5
6
1
2
3
Laboratorio N°4 de Cálculo por Elementos Finitos UNI – FIM
2) CÁLCULOS PREVIOS:
Las dimensiones se muestran a continuación, en la siguiente gráfica:
ARMADURAS EN EL ESPACIO 6
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1. ANÁLISIS:
ARMADURAS EN EL ESPACIO 7
Figura 1
Figura 2
Figura 3
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2. MODELADO DEL CUERPO REAL:
Tabla de conectividad:
ARMADURAS EN EL ESPACIO 8
e NODOS GDL A (mm ) E (N/mm )1 1 2 1 2 3 4 5 6 900 * 3.1 x 102 1 3 1 2 3 7 8 9 900 * 3.1 x 103 2 3 4 5 6 7 8 9 900 * 3.1 x 104 1 4 1 2 3 10 11 12 900 * 3.1 x 105 1 6 1 2 3 16 17 18 900 * 3.1 x 106 1 5 1 2 3 13 14 15 900 * 3.1 x 107 4 6 10 11 12 16 17 18 900 * 3.1 x 108 4 5 10 11 12 13 14 15 900 * 3.1 x 109 5 6 13 14 15 16 17 18 900 * 3.1 x 10
10 2 6 4 5 6 16 17 18 900 * 3.1 x 1011 2 5 4 5 6 13 14 15 900 * 3.1 x 1012 3 6 7 8 9 16 17 18 900 * 3.1 x 1013 6 7 16 17 18 19 20 21 900 * 3.1 x 1014 3 10 7 8 9 28 29 30 900 * 3.1 x 1015 2 9 4 5 6 25 26 27 900 * 3.1 x 1016 5 8 13 14 15 22 23 24 900 * 3.1 x 1017 3 7 7 8 9 19 20 21 900 * 3.1 x 1018 2 10 4 5 6 28 29 30 900 * 3.1 x 1019 2 8 4 5 6 22 23 24 900 * 3.1 x 1020 5 7 13 14 15 19 20 21 900 * 3.1 x 1021 2 7 4 5 6 19 20 21 900 * 3.1 x 1022 9 8 25 26 27 22 23 24 900 * 3.1 x 1023 8 7 22 23 24 19 20 21 900 * 3.1 x 1024 10 7 28 29 30 19 20 21 900 * 3.1 x 1025 9 10 25 26 27 28 29 30 900 * 3.1 x 1026 9 7 25 26 27 19 20 21 900 * 3.1 x 1027 9 11 25 26 27 31 32 33 900 * 3.1 x 1028 8 11 22 23 24 31 32 33 900 * 3.1 x 1029 7 11 19 20 21 31 32 33 900 * 3.1 x 1030 10 11 28 29 30 31 32 33 900 * 3.1 x 10
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3. DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROGRAMA: (similar al de armaduras planas)
ARMADURAS EN EL ESPACIO 9
INICIO
Leer datos de entrada.
Para i=1 hasta Nº de nodos
Ingresar coordenadas de los nodos.
Calcular área, Nº de filas de cond_contorno(CC1)
Para i1 hasta 3x Nº de nodos
Cont0
Para j=1 hasta Nº de filas de cond_contorno(CC1)
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ARMADURAS EN EL ESPACIO 10
Si iCC(i,
1)
Cont=1, C2CC1(i,2)C1CC1(i,1)
SI
Si cont1
CC(i,1)=C1;CC(i,2)=C2
SI
NO
CC(i,1)=0;CC(i,2)=0
Para i=1 hasta Nº elementos
Calcula Le, l, m, las posiciones de la matriz de rigidez global y su valor.
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ARMADURAS EN EL ESPACIO 11
Para i=1;3xNº nodos
Si i==CC(i,1
)
Calcula las reaccionesr=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1);
R=[R;r i];
Para i=1 hasta Nº de elementos
Calcula esfuerzos
Imprime Desplazamientos, reaciones y esfuerzos
Laboratorio N°4 de Cálculo por Elementos Finitos UNI – FIM
4. USO DEL MATLAB:
DIGITACION DEL PROGRAMA
%finitos03.mclcclear%datosA=input('Ingrese el vector area de cada elemento finito en mm2 ')E=input('Ingrese el vector modulo de young de cada elemento finito en N/mm2 ')x=input('Ingrese el vector abscisa de cada nodo en mm ')y=input('Ingrese el vector ordenada de cada nodo en mm ')F=[-5000;0;0;-2000;0;0;0;0;0;-3000];%la posiciones del 5 al 8 son incognitas pero los he puesto como ceros para que los pueda leer el matlab %calculo de los elementos faltantes de la tabla de conectividadNODOS=[1,2;2,3;3,4;3,5;4,5;5,2;5,1];GDL=[1,2,3,4;3,4,5,6;5,6,7,8;5,6,9,10;7,8,9,10;9,10,3,4;9,10,1,2];for i=1:7L(i)=sqrt((x(NODOS(i,2))-x(NODOS(i,1)))^2+(y(NODOS(i,2))-y(NODOS(i,1)))^2);l(i)=(x(NODOS(i,2))-x(NODOS(i,1)))/L(i);m(i)=(y(NODOS(i,2))-y(NODOS(i,1)))/L(i);end%calculo de la matriz de rigidezk=zeros(10);aux=zeros(10);for i=1:7 aux(GDL(i,1:4),GDL(i,1:4))=E(i)*A(i)/L(i)*[l(i)^2,l(i)*m(i),-l(i)^2,-l(i)*m(i);l(i)*m(i),m(i)^2,-l(i)*m(i),-m(i)^2;-l(i)^2,-l(i)*m(i),l(i)^2,l(i)*m(i);-l(i)*m(i),-m(i)^2,l(i)*m(i),m(i)^2];k=k+aux;aux=zeros(10);end %calculo de QQ=inv(k([1:4,9,10],[1:4,9,10]))*F([1:4,9,10]);Q=[Q(1:4);0;0;0;0;Q(5:6)]; %calculo del vector FF=k*Q; %calculo de esfuerzosfor i=1:7 esf(i)=E(i)/L(i)*[-l(i),-m(i),l(i),m(i)]*Q(GDL(i,1:4));end %esfuerzosdisplay('Los esfuerzos de cada elemento finito en N/mm2 son: ')esf %reaccionesdisplay('Las reacciones en los apoyos en N son')F(5:8) %gràfico de la armadura sin fuerzas externas
ARMADURAS EN EL ESPACIO 12
Laboratorio N°4 de Cálculo por Elementos Finitos UNI – FIM
xx=[x,x(1),x(2),x(5),x(3)];yy=[y,y(1),y(2),y(5),y(3)]; xxx=[x+Q(1:2:9)',x(1)+Q(1),x(2)+Q(3),x(5)+Q(9),x(3)+Q(5)];yyy=[y+Q(2:2:10)',y(1)+Q(2),y(2)+Q(4),y(5)+Q(10),y(3)+Q(6)]; plot(xx,yy,xxx,yyy,'r')
5. EJECUCION DEL PROGRAMA:
Ingrese el vector área de cada elemento finito en mm2 [1963.495,1963.495,1963.495,1963.495,1963.495,1963.495,1963.495]
A =
1.0e+003 *
Columns 1 through 6
1.9635 1.9635 1.9635 1.9635 1.9635 1.9635
Column 7
1.9635
Ingrese el vector modulo de Young de cada elemento finito en N/mm2 [3.1e5,3.1e5,3.1e5,3.1e5,3.1e5,3.1e5,3.1e5]
E =
Columns 1 through 5
310000 310000 310000 310000 310000
Columns 6 through 7
310000 310000
Ingrese el vector abscisa de cada nodo en mm [0,1500,1500*2,1500*2,1500]
x =
0 1500 3000 3000 1500
ARMADURAS EN EL ESPACIO 13
Laboratorio N°4 de Cálculo por Elementos Finitos UNI – FIM
Ingrese el vector ordenada de cada nodo en mm [1500,1500,1500,0,0]
y =
1500 1500 1500 0 0
Los esfuerzos de cada elemento finito en N/mm2 son:
esf =
2.5465 2.5465 0 3.6013 -2.5465 -1.0186 0
Las reacciones en los apoyos en N son
ans =
1.0e+004 *
1.0000 // EJE X DEL NODO (3) 0.5000 // EJE Y DEL NODO (3) -0.5000 // EJE X DEL NODO (4) 0 // EJE Y DEL NODO (4)
-500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
x
y
Figura 1
ARMADURAS EN EL ESPACIO 14
Laboratorio N°4 de Cálculo por Elementos Finitos UNI – FIM
Aplicando 1000 veces las fuerzas para notar las deformaciones:
-500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
Figura 2
Para visualizar las nuevas posiciones de los nodos ampliamos la figura en la parte de los nodos.Línea azul: posición inicialLínea roja: posición final
Figura 3
ARMADURAS EN EL ESPACIO 15
Laboratorio N°4 de Cálculo por Elementos Finitos UNI – FIM
Figura 4
Figura 5
ARMADURAS EN EL ESPACIO 16
Laboratorio N°4 de Cálculo por Elementos Finitos UNI – FIM
6. CONCLUSIONES:
El número de barras usadas es 29 para armar el sistema. El número de tetraedros que se pueden visualizar en el diagrama es 11. Lo
cual esto hace que el sistema sea el más adecuado. El esfuerzo en la barra 7 es cero debido a que no hay una fuerza vertical en
el nodo 1. La orientación del elemento finito 7 antes era de -45° Luego de aplicar las
fuerzas externas su orientación cambio y su longitud se mantuvo constante. El elemento finito 3 (vea la figura 2) su esfuerzo es cero pero también es
importante para asegurar que la estructura este en un plano horizontal. Los elementos finitos 5 y 6 (vea la figura 2) están en compresión. El elemento finito 4 (vea la figura 2) es el que soporta el mayor esfuerzo
3.6013 N/mm2 esto es debido a que uno de sus extremos están empotrados en la pared y prácticamente toda la fuerza recae sobre él. Con este elemento habría que hacer el diseño.
Este problema es imposible para la estática (hiperestático) ya que tiene 4 incógnitas y solo tres ecuaciones de equilibrio. Es posible su solución mediante los métodos finitos.
Las reacciones encontradas 10000N (eje x del nodo (3)) 5000N (eje y del nodo (3) -5000N (eje x del nodo (4)) y 0N (eje y del nodo (4)) cumplen con las tres condiciones de equilibrio por lo tanto están bien.
Todos los problemas de armaduras planas tienen como mínimo 2 apoyos rígidos pero también pueden tener más de dos apoyos. En este tipo de problemas podemos distinguir dos tipos de incógnitas las de desplazamientos y las de fuerzas, si el número de apoyos rígidos aumentan entonces las incógnitas de fuerzas aumenta y disminuyen las incógnitas de desplazamientos y por lo tanto se mantiene constante el número de incógnitas totales que para nuestro problema es 10.
ARMADURAS EN EL ESPACIO 17