Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 2: Límites y...

Límites yContinuidad

LímitesDefinición yEjemplos

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

ContinuidadDefinición yEjemplos

Propiedades

Discontinuidades

Curso Propedéutico de CálculoSesión 2: Límites y Continuidad

Joaquín Ortega Sánchez

Centro de Investigación en Matemáticas, CIMATGuanajuato, Gto., Mexico

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Esquema

1 LímitesDefinición y EjemplosPropiedadesLímite infinitoLímites LateralesIndeterminaciones

2 ContinuidadDefinición y EjemplosPropiedadesDiscontinuidades

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Esquema

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Límites

En esta clase repasaremos las nociones de límite ycontinuidad para una función.

La noción de límite para una función es central en elCálculo. Es la idea que permite formalizar los dosconceptos centrales: derivada e integral de una función.

Los nombres asociados al desarrollo de esta noción sonlos de Bolzano, Cauchy y Weierstrass.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Límites

Definición (Límite de una función en un punto)Supongamos que la función f (x) está definida para todoslos puntos que están cerca del punto c, es decir f estádefinida para 0 < |x − c| < α para algún α > 0. Decimosque la función tiende al límite L ∈ R cuando x tiende a c sipara cualquier número positivo ε, por pequeño que estesea, es posible encontrar un número positivo δ tal que paratodos los valores de x diferentes de c que satisfacen

0 < |x − c| < δ

se tiene que|f (x)− L| < ε

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Límites

Si L es el límite de la función f cuando x tiende a c, usamosla notación

limx→c

f (x) = L

o también

f (x)→ L cuando x → c.

Si el límite de la función f (x) cuando x → c existe, decimosque la función converge (cuando x → c).En caso contrario decimos que diverge.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesEjemplos

EjemploVeamos que lim

x→2(3x + 1) = 7.

Demostración. Supongamos que ε > 0 está dado,queremos hallar un valor de δ tal que si x está a unadistancia menor que δ de 2, entonces

|f (x)− 7| = |3x + 1− 7| = |3x − 6| < ε

Para que esta desigualdad se satisfaga es necesario que

3|x − 2| < ε

y para esto basta que |x − 2| < ε/3. Por lo tanto sitomamos δ = ε/3 tenemos que

|x − 2| < δ ⇒ |f (x)− 7| < ε

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesEjemplos

EjemploComo segundo ejemplo vamos a calcular el límite de lafunción

f (x) =x2 − 4x − 2

en x = 2. Observamos que la función no está definida eneste punto. Demostraremos que este límite vale 4.

Tenemos que demostrar que, para cualquier valor de ε, sinimportar lo pequeño que sea, podemos hallar un valor de δtal que se cumple la desigualdad∣∣∣x2 − 4

x − 2− 4∣∣∣ < ε (1)

siempre que |x − 2| < ε.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesEjemplos

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

(x^2−4)/(x−2)

●●

Para hallar el límite en x = 2 no necesitamos considerar lafunción en este punto, basta con considerar los valores enlos puntos cercanos a x = 2. Por lo tanto, si x 6= 2, lafracción que define la función se puede simplificar y lacondición (1) se puede escribir

|(x + 2)− 4| = |x − 2| < ε. (2)

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Límites

Definición (Límite de una función en infinito)Decimos que la función f tiende al límite L ∈ R cuandox → +∞ si para cualquier número positivo ε, por pequeñoque este sea, es posible encontrar un número positivo K talque para todos los valores de x que satisfacen x > K setiene que

|f (x)− L| < ε

Usamos la notación

limx→∞

f (x) = L

o también f (x)→ L cuando x → +∞.De manera análoga se define limx→−∞ f (x) = L.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Límites

EjemploVeamos que

limx→∞

1x= 0.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesEjemplos

2 4 6 8 10

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesEjemplos

0 20 40 60 80 100

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesEjemplos

0 200 400 600 800 1000

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Límites

EjemploVeamos que

limx→∞

1x= 0.

Para ver esto sea ε > 0 dado, queremos ver que se cumplela desigualdad ∣∣∣1

∣∣∣ < ε, (3)

siempre que |x | > K , donde el valor de K puede dependerde ε. La desigualdad (3) se satisface siempre que|x | > 1/ε = K .

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesPropiedades

Principales propiedades de los límites:Supongamos que limx→c f (x) = K , limx→c g(x) = L, dondeK ,L ∈ R.

1 El límite, si existe, es único.2 El límite de la suma de dos funciones es la suma de los

límites:

limx→c

(f (x) + g(x)) = limx→c

f (x) + limx→c

g(x) = K + L.

3 El límite de la diferencia entre dos funciones es ladiferencia de los límites:

limx→c

(f (x)− g(x)) = limx→c

f (x)− limx→c

g(x) = K − L.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesPropiedades

límites:

limx→c

(f (x) + g(x)) = limx→c

f (x) + limx→c

g(x) = K + L.

limx→c

f (x)− limx→c

g(x) = K − L.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesPropiedades

límites:

limx→c

(f (x) + g(x)) = limx→c

f (x) + limx→c

g(x) = K + L.

limx→c

f (x)− limx→c

g(x) = K − L.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesPropiedades

límites:

limx→c

(f (x) + g(x)) = limx→c

f (x) + limx→c

g(x) = K + L.

limx→c

f (x)− limx→c

g(x) = K − L.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesPropiedades

4 El límite del producto de dos funciones es el productode los límites:

limx→c

(f (x)g(x)) = ( limx→c

f (x))( limx→c

g(x)) = KL.

5 El límite del cociente entre dos funciones es el cocientede los límites si el límite del denominador es distintosde 0:

limx→c

f (x)g(x)

=limx→c f (x)limx→c g(x)

si L 6= 0.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesPropiedades

4 El límite del producto de dos funciones es el productode los límites:

limx→c

(f (x)g(x)) = ( limx→c

f (x))( limx→c

g(x)) = KL.

5 El límite del cociente entre dos funciones es el cocientede los límites si el límite del denominador es distintosde 0:

limx→c

f (x)g(x)

=limx→c f (x)limx→c g(x)

si L 6= 0.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesPropiedades

6 Si f (x) ≤ g(x) para los valores de x cerca del punto c(para |x − c| < ε para algún ε > 0) entonces

limx→c

f (x) = K ≤ L = limx→c

7 Si f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x cerca de c y se tieneque

limx→c

f (x) = limx→c

h(x) = L

entonceslimx→c

g(x) = L

8 limx→c

(f (x)

)g(x)= ( lim

x→cf (x))(limx→c g(x)) = K L

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesPropiedades

limx→c

f (x) = limx→c

h(x) = L

entonceslimx→c

g(x) = L

8 limx→c

(f (x)

)g(x)= ( lim

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesPropiedades

limx→c

f (x) = limx→c

h(x) = L

entonceslimx→c

g(x) = L

8 limx→c

(f (x)

)g(x)= ( lim

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesPropiedades

9 limx→c

log(f (x)

)= log

(limx→c

f (x))= log K .

10 Si f (x) es una función constante igual a a entoncespara cualquier c en el dominio de la función

limx→c

f (x) = a

11 Si limx→c f (x) = L y a ∈ R entonces

limx→c

af (x) = a limx→c

f (x) = aL.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesPropiedades

9 limx→c

log(f (x)

)= log

(limx→c

f (x))= log K .

limx→c

f (x) = a

limx→c

af (x) = a limx→c

f (x) = aL.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesPropiedades

9 limx→c

log(f (x)

)= log

(limx→c

f (x))= log K .

limx→c

f (x) = a

limx→c

af (x) = a limx→c

f (x) = aL.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesPropiedades

Las propiedades anteriores también son válidas si en lugarde considerar límites cuando x → c consideramos límitescuando x → +∞ o cuando x → −∞.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesEjemplos

EjemploHallar el límite cuando x → 0 de la función

f (x) = (3x2 + 2x3 + x16)/(x2)

Tenemos que

3x2 + 2x3 + x16

x2 =3x2

x2 +2x3

x2 +x16

x2 = 3 + 2x + x14.

Tomando ahora límite cuando x → 0 tenemos que

limx→0

f (x) = limx→0

3 + limx→0

2x + limx→0

x14 = 3.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesEjemplos

EjemploVeamos que

limx→∞

x + 1x

= limx→∞

Usando las propiedades de límites y el resultado de unejercicio anterior tenemos

limx→∞

)= 1 + lim

x→∞

1x= 1.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesEjemplos

EjemploHallar

limx→∞

3x3 + 2x2 − 62x3

Usando las propiedades de límites tenemos

limx→∞

3x3 + 2x2 − 62x3 = lim

x→∞

2x3 + limx→∞

2x3 − limx→∞

=32+ lim

x→∞

1x− lim

x→∞

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesEjemplos

EjemploHallar

limx→∞

3x3 + 2x2 − 62x4 + 3x

Para hallar el límite de esta función racional buscamos elmayor exponente en todos los términos presentes ennumerador y denominador. En este caso el mayorexponente es 4 y dividimos tanto numerador comodenominador por x4:

3x3 + 2x2 − 62x4 + 3x

=(3x3/x4) + (2x2/x4)− (6/x4)

(2x4/x4) + (3x/x4)

=(3/x) + (2/x2)− (6/x4)

2 + (3/x3)

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesEjemplos

EjemploAhora usamos las propiedades de límites que vimos

limx→∞

3x3 + 2x2 − 62x4 + 3x

= limx→∞

(3/x) + (2/x2)− (6/x4)

2 + (3/x3)

=limx→∞(3/x) + limx→∞(2/x2)− limx→∞(6/x4)

2 + limx→∞(3/x3)

=02= 0.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesLímite infinito

Extensión de la noción de límite: límites infinitos.

Definición (Límite infinito de una función en un punto)Supongamos que la función f (x) está definida para todoslos puntos que están cerca del punto c, es decir f estádefinida para 0 < |x − c| < α para algún α > 0. Decimosque la función tiende a∞ cuando x tiende a c si paracualquier número positivo M, por grande que este sea, esposible encontrar un número positivo δ tal que para todoslos valores de x diferentes de c que satisfacen

0 < |x − c| < δ

se tiene que|f (x)| > M

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesEjemplos

EjemploVeamos que

limx→0

1x=∞

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesEjemplos

−2 −1 0 1 2

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesEjemplos

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesEjemplos

−0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesEjemplos

EjemploVeamos que

limx→0

1x=∞

En efecto, para cualquier M > 0 tenemos que∣∣∣1x

∣∣∣ > M

siempre que

|x | = |x − 0| < 1M

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Límites

Si la función f (x) tiende a infinito tomando sólo valorespositivos escribimos

limx→c

f (x) = +∞

Si en cambio lo hace tomando sólo valores negativosescribimos

limx→c

f (x) = −∞

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesEjemplos

EjemploVeamos que

limx→1

1(1− x)2 = +∞

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesEjemplos

Ejemplo

Para cualquier M > 0 tenemos que

1(1− x)2 > M

siempre que

(1− x)2 <1M, |1− x | < 1√

M= δ.

La función f (x) = 1/(1− x)2 sólo toma valores positivos,por lo que el límite es +∞.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesEjemplos

Ejemplos de funciones que no tienen límite.La función f (x) = sen(x) no tiene límite cuando x →∞.

−20 −10 0 10 20

La función seno

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesEjemplos

Ejemplos de funciones que no tienen límite.La función f (x) = sen(1/x) está definida para todos losvalores de x excepto para x = 0 y no tiene límite cuandox → 0.

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesEjemplos

Ejemplos de funciones que no tienen límite.Un tercer ejemplo, de naturaleza distinta, es la siguientefunción definida a trozos:

f (x) =

{x2 si x ≤ 2,5 si x > 2.

−2 0 2 4

En este caso el comportamiento de la función en x = 2depende de si nos acercamos a este punto por la derecha opor la izquierda.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesEjemplos

Si nos acercamos por la derecha, la función toma el valorconstante 5 y por lo tanto el valor del límite debería ser 5

En cambio, si nos acercamos por la inquiera, el valor de lafunción es x2, que tiende a 4 cuando x se acerca a 2 (por laizquierda).

Como estos dos valores son distintos el límite no existe enel punto x = 2.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesLímites laterales

El ejemplo anterior sugiera la definición de los límiteslaterales

DefiniciónDecimos que el límite de la función f (x) cuando x tiende a cpor la izquierda es L si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0tal que si x ∈ (c − δ, c) entonces |f (x)− L| < ε.En este caso usamos la notación limx→c− f (x) = L.

Decimos que el límite de la función f (x) cuando x tiende a cpor la derecha es L si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0tal que si x ∈ (c, c + δ) entonces |f (x)− L| < ε.En este caso usamos la notación limx→c+ f (x) = L.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesLímites laterales

En el ejemplo anterior tenemos

limx→2−

f (x) = 4; limx→2+

f (x) = 5.

Esto sugiere el siguiente el siguiente resultado, que escierto pero demostraremos en este curso.

TeoremaLa función f tiene límite L en c si y sólo si los límiteslaterales

limx→c−

f (x) y limx→c+

ambos existen y son iguales a L.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesIndeterminaciones

Cuando las propiedades de los límites que consideramosanteriormente no nos permiten calcular un límite decimosque hay una indeterminación.Usando notación simbólica las indeterminaciones son

∞−∞, 0 · ∞, 00,∞∞, 00, ∞0, 1∞

En estos casos no es posible saber a priori cual es el valordel límite y hay que usar otros métodos para resolver laindeterminación.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Límites

EjemploSi consideramos los límites de las funciones

cuando x → 0, obtenemos la indeterminación 0/0 en todoslos casos; sin embargo

limx→0

xx2 = lim

1x=∞

limx→0

x= lim

x→0x = 0

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesEjemplos

Ejemplo

limx→0

x3 − 27x2 − 9

Esta indeterminación se resuelve factorizando lospolinomios:

limx→0

x3 − 27x2 − 9

= limx→0

(x − 3)(x2 + 3x + 9)(x − 3)(x + 3)

= limx→0

x2 + 3x + 9x + 3

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Límites

Las indeterminaciones de tipo∞/∞ causadas por elcociente de polinomios se resuelven dividiendo numeradory denominador por la potencia mayor de la variable. Enestos casos se obtiene

limx→±∞

anxn + · · ·+ a1 + a0

bmxm + · · ·+ b1x + b0=

0 si m > n,anbm

si n = m,±∞ si m < n.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Límites

Las indeterminaciones de tipo 0/0 o ±∞/±∞ puedenresolverse usando la regla de L’Hôpital, que requiere el usode derivadas.

Las indeterminaciones 00, (±∞)0,1±∞ se puedentransformar a una del tipo 0 · (±∞) tomando logaritmos.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Límites

En ocasiones algunas de las indeterminaciones se puedenresolver usando los llamados infinitésimos equivalentes,que son funciones cuyo límite vale 0 y que se puedensustituir una por otra si están multiplicando o dividiendodentro de un límite sin que éste se modifique.

Algunos ejemplos cuando f (x)→ 0:

sen f (x) ≈ f (x) tan f (x) ≈ f (x)

log(1 + f (x)) ≈ f (x) ef (x) − 1 ≈ f (x)

1− cos f (x) ≈ (f (x))2

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

LímitesEjemplos

Ejemplo

limx→0

sen(3x)x

= limx→0

3 sen(3x)3x

limx→0

(cos x − 1)2

tan2 x= lim

(−x2/2)2

x2 = limx→0

4x2 = 0.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Esquema

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Continuidad

La noción intuitiva de continuidad para una función avalores reales es que su gráfica puede trazarse sin levantarel lápiz del papel.

Para formalizar esta noción necesitamos el concepto delímite que estudiamos en la sección anterior.

Muchas de las propiedades de las funciones continuas sonconsecuencia de las propiedades de límites.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

ContinuidadDefinición

DefiniciónSea f una función definida en el intervalo (a,b) y sea c unpunto de (a,b). Decimos que la función f es continua en csi

1 Existe limx→c

f (x), y

2 f (c) = limx→c

f (x).

Equivalentemente,limh→0

f (c + h) = f (c).

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

ContinuidadDefinición

Una definición alternativa para la continuidad es la siguiente

DefiniciónSea f una función definida en el intervalo (a,b) y sea c unpunto de (a,b). Decimos que la función f es continua en csi dado cualquier valor ε > 0 podemos encontrar un δ > 0tal que si

|x − c| < δ

se tiene que|f (x)− f (c)| < ε.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

ContinuidadEjemplos

EjemploLa función f (x) = x2 es continua en cualquier punto c ∈ R.Sea h cualquiera, tenemos que

f (c + h) = (c + h)2 = c2 + 2ch + h2

Por lo tanto

limh→0

f (c + h) = limh→0

(c2 + 2ch + h2) = c2 = f (c)

de modo que la función es continua en c.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Continuidad

f (x) =

{x2 si x ≤ 2,4 si x > 2.

−2 0 2 4

En este caso la función está definida a trozos y para ver lacontinuidad en x = 2 tenemos que calcular los límiteslaterales y ver si coinciden entre sí y si coinciden con elvalor de la función en x = 2, que es 4.

limx→2−

f (x) = limx→2−

x2 = 4

limx→2+

f (x) = limx→2+

de modo que la función es continua en x = 2.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

ContinuidadPropiedades

Propiedades de las funciones continuas:

1 Si la función f es continua en c y a ∈ R, la funcióna · f (x) también es continua en c.

2 Si las funciones f y g son continuas en el punto centonces su suma, su diferencia y su producto tambiénson continuas en c.

3 Si las funciones f y g son continuas en c y g(c) 6= 0entonces la función f/g también es continua en c.

4 Si la función f es continua en c y la función g escontinua en d = f (c), la función compuesta(g ◦ f )(x) = g(f (x)) es continua en el punto c.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Las funciones polinómicas, racionales, con radicales,exponenciales, logarítmicas y trigonométricas soncontinuas en todos los puntos de su dominio.

Si una función f es continua en todos los puntos de sudominio D, decimos simplemente que es continua.

Si el dominio de la función es un intervalo cerrado I = [a,b],decimos que la función es continua si es continua en elsentido usual en el intervalo (a,b) y en los extremos lafunción es continua cuando consideramos los límiteslaterales apropiados:

f (a) = limx→a+

f (x), f (b) = limx→b−

f (x).

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

5 Si la función f (x) es continua en el intervalo [a,b],siempre existe al menos un punto x1 ∈ [a,b] tal quepara todo x ∈ [a,b] se satisface la desigualdad

f (x1) ≥ f (x).

También existe siempre un punto x2 ∈ [a,b] tal quepara todo x ∈ [a,b] se satisface la desigualdad

f (x2) ≤ f (x).

Resumiendo se tiene que

f (x2) ≤ f (x) ≤ f (x1)

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

El valor de f (x1) = M se conoce como el máximo del afunción mientras que el valor de f (x2) = m se conoce comoel mínimo.

El resultado (teorema) anterior se puede enunciar diciendoque una función continua f en [a,b] alcanza al menos unavez su máximo y su mínimo.

−6 −4 −2 0 2 4 6

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Continuidad6 Sea f (x) una función continua definida sobre el

intervalo [a,b]. Si la función toma valoresf (a) = A, f (b) = B en los extremos del intervalo y losvalores A y B son distintos, dado cualquier valor Centre A y B, siempre existe al menos un punto c tal que

f (c) = C

−2 −1 0 1 2

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Continuidad

El resultado anterior se conoce como el Teorema del ValorIntermedio, y se debe al matemático checo BernardBolzano

Si en el resultado anterior tenemos que A y B tienen signosdistintos, tomando C = 0 vemos que existe al menos unpunto c ∈ [a,b] donde la función se anula.

Si la función f (x) es continua en el intervalo [a,b] sabemospor la propiedad 5 que alcanza su máximo y su mínimo. Lapropiedad 6 nos dice que la función toma todos los valoresintermedios.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

ContinuidadDiscontinuidades

Si la función f no es continua en un punto c decimos que lafunción f es discontinua en c.

Hay varias razones por las cuales una función f puede serdiscontinua en un punto c:

1 Existe limx→c

f (x) pero o bien la función toma un valordistinto al límite en este punto, o bien no está definidaen c.

2 No existe limx→c

En el primer caso decimos que la discontinuidad esevitable, pues es posjble redefinir el valor de la función en elpunto c para hacer que la función sea continua.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

1 Existe limx→c

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

1 Existe limx→c

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

1 Existe limx→c

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

EjemploLa función

f (x) =x2 − 4x − 2

no está definida en x = 2, pero vimos anteriormente que ellímite en este punto existe y

limx→2

f (x) = 4.

Por lo tanto, si redefinimos la función de la siguiente manera

f (x) =

{x2−4x−2 si x 6= 2

4 si x = 2.

la función es continua.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Cuando no existe el límite de la función f en el punto c, haydos situaciones posibles.

1 Los limites laterales de la función f existen en el puntoc pero no coinciden. En este caso decimos que ladiscontinuidad es de primer tipo o de primera especie.

2 Alguno (o ambos) de los límites laterales no existe. Eneste caso decimos que la discontinuidad es desegundo tipo o de segunda especie.

Veamos ejemplos de ambos casos.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

La función f definida en el intervalo [0,4] por

f (x) =

{x + 3 si 0 ≤ x ≤ 2x2 si 2 < x ≤ 4.

Es continua en todo su dominio salvo en el punto x = 2porque si calculamos los límites laterales obtenemos

limx→2−

f (x) = limx→2−

x + 3 = 5

limx→2+

f (x) = limx→2+

x2 = 4

y como los límites existen pero son distintos, ladiscontinuidad es de primera especie.

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

La función f (x) = sen(1/x) definida para x 6= 0 es continuaen todo su dominio. Si buscamos los límites laterales de lafunción en 0 vemos que no existen.

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

Por lo tanto la discontinuidad es de segunda especie

Propiedades

Límite infinito

Límites Laterales

Indeterminaciones

Propiedades

Discontinuidades

La función f (x) = (1/(x − 2)2) definida salvo en x = 2también tiene una discontinuidad de segundo tipo pues

limx→2−

f (x) = limx→2+

f (x) = +∞

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 2: Límites y...

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