CÁLCULO

DIFERENCIAL E

INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN,

COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE

DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS PARA EL

CALCULO DE LIMITES, LIMITES TRIGONOMETRICOS, EL NÙMERO

“e”, CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÒN, PUNTOS DE DISCONTINUIDAD

EN FUNCIONES ÀLGEBRAICAS RACIONALES

2011

ING. ROBERTO MERCADO DORANTES UNIVERSIDAD AUTONOMA DELESTADO DE MÈXICO

PLANTEL DE LAESCUELA PREPARATORIA “IGNACIO RAMIREZ CALZADA 24/03/2011

Relaciones y funciones

Ejercicio1

Determina si los siguientes conjuntos de pares ordenados corresponden a una función o una

relación:

A= {(-2,4), (3,9), (4,16), (5,25)} B= {(3,2), (3,6), (5,7), (5,8)}

C= {(2,4), (3,4), (5,4), (6,4)} D= {(2,4), (6,2), (7,3), (4,12), (2,6)}

Ejercicio2

Determina si los siguientes diagramas representan una función o una relación:

1) A B 2) A B

Ejercico3

Determina si las siguientes graficas representan una relación o una función.

a)

2

3

4

4

9

16

4

6

7

8

3

2

b)

Nota: Las funciones y relaciones pueden tener una representación grafica en el plano

cartesiano. Para distinguir si se trata de una función o una relación basta trazar una recta

paralela al eje “y” sobre la grafica; si esta intercepta en dos o más puntos es una relación, si

solo intercepta un punto será una función.

Valor de una función

El valor real )(xf de una función es aquel que toma “y” cuando se asigna a “x” un

determinado valor real

Ejemplo1

Obtén )3(f para 253)( 2 xxxf

Solución:

Para obtener )3(f se sustituye x=-3 en la función y se realizan las operaciones

indicadas,

40215272)3(5)3()3( 2f

Por lo tanto 40)3(f , es decir y=40 cuando x=-3 o lo que es lo mismo la curva pasa

por el punto (-3,40) en el plano cartesiano.

Ejercicios 4

Obtén el valor de las siguientes funciones:

a) x

xxf

5

13)(

Para 4

3f

b) 5)( tts

Para )4(s

c)2

)(x

xxf

Para )2(f

d) 32)( 2xxf

Para 2

1f

Dominio y rango de una función

Ejemplo1

Determina el dominio de la función 6

3)(

x

xxf

Solución: La función es racional, el denominador debe ser distinto de cero, ya que la división

entre cero no esta definida, por lo tanto, se busca el valor para el cual x+6=0 obteniendo x=-6,

por lo tanto el dominio es: fD (- )6, ),6(

Ejemplo2

Determina el dominio de la función 6)( xxf

Solución: El radicando debe ser mayor o igual que cero es decir

06x

De donde 6x , por lo tanto el dominio es: ),6

Ejercicio 5

Determina el dominio de las siguientes funciones:

a) 4)( 2xxf

b) 3)(

x

xxf

c) 16

3)(

2xxf

d) 107

1)(

2 xxxf

e) xxxf

3

1)(

f) 1)( xxf

g) xxf 2)(

Ejercicio 6

Determina el rango de las siguientes funciones:

a) 1)( 2xxf

29)() xxfb

2

2

4)()

1)()

53

110)()

xxfe

xxfd

x

xxfc

Ejercicio 7

Obtén la grafica de las siguientes funciones:

12

1)()

)()

)()

1)()

)()

3)()

xxff

xxfe

xxfd

xxfc

xxfb

xfa

Operaciones con funciones

Sean “f” y “g” dos funciones con dominios fD y gD respectivamente:

0)(),()(

)()

))(()()()

))(()()()

))(()()()

xgxg

f

xg

xfd

xgfxgxfc

xgfxgxfb

xgfxgxfa

Dominio de f(x)+g(x)=Dominio gf DD

Dominio de f(x)-g(x)=Dominio gf DD

Dominio f(x) g(x)=Dominio gf DD

Dominio de )(

)(

xg

xfDominio gf DD , con 0)(xg

Ejemplo1

Obtenga F+G, F-G, FG y F/G, para las siguientes funciones:

F= {(-2,-4), (-1,5),(0,-1),(1,-7),(2,10) y G={(-2,-2),(-1,-6),(3,-3),(5,1)}

En este caso 2,1,0,1,2fD y 5,3,1,2gD y la intersección de ambos

dominios es:

1,2gf DD

Por lo tanto:

F+G= {-2, (-4+ (-2), (-1, (5+ (-6))}

Esto es:

F+G= {-2,-6), (-1,-1)}

De manera similar:

F-G= {(-2,-2), (-1,11)}

FG= {(-2,8), (-1,30)}

F/G= {(-2,2), (-1,-5/6)}

Ejercicio 8

Obtenga F+G, F-G, FG y F/G, para las siguientes funciones:

F= {(-2,5), (-1,-3), (0,9), (1,-7), (2,8), (3,-4), (5,10)}

G= {(-3,6), (0,-5), (-1,7), (2,-6), (3,12), (4,-1)}

Ejercicio 9

Para las funciones F y G del ejercicio anterior, obtenga lo siguiente:

a) F+2G

b) 2F-G

c) F(2G)

d) 4F/3G

Ejemplo 2

Sean las funciones ]}3,3[;9),{( 2 xxyyxF y };),{( RxxyyxG

Determina:

F+G, F-G, FG y F/G

}0]3,3[;9

),{(

]}3,3[;9),{(

]}3[;9),{(

]}3,3[;9),{(

2

2

2

2

xxx

xyyx

G

F

xxxyyxFG

xxxyyxGF

xxxyyxGF

Ejercicio 10

Para las siguientes funciones determina: F+G, F-G, FG y F/G

4)(,3)()

3

2)(,

2

12)()

23)(,54)()

52)(,52)()

2)(,5)()

22

xxgxxfe

xxg

xxfd

xxxgxxxfc

xxgxxfb

xgxfa

COMPOSICIÒN DE FUNCIONES

))}((),{( xgfyyxgf

})({ fggf DxgDxxD

))}((),{( xfgyyxfg

})({ gffg DxfDxxD

Ejemplo1

Si )}8,7(),6,5(),4,3(),2,1{(f y )}2,9(),5,5(),3,1(),1,3{(g , determina gf

Solución: Se determinan los pares ordenados de la función "" g de tal manera que, el segundo

término, sea el primer término de los pares ordenados de la función "" f . Los primeros

términos de cada par ordenado encontrado, forman el dominio de la función composición.

Los pares ordenados de "" g que cumplen con la condición son:

(3,1), (-1,3), (-5,5)

Por lo tanto, el dominio de la función composición es:

}3,1,5{:gfD

E l rango se evalúa de la siguiente manera:

Por definición )),(( xgfgf entonces el conjunto solución son todas las parejas

ordenadas de la forma: ))((,( xgfx

2)3())3((

4)3())1((

6)5())5((

fgf

fgf

fgf

Finalmente )}2,3(),4,1(),6,5{(gf

Ejemplo 2

Determina gf y fg , para 3)( xxf y 1)(

x

xxg

Solución

2

3

1)3(

3)3())((

1

34

1

)1(33

11))((

x

x

x

xxgxfgfg

x

x

x

xx

x

x

x

xfxgfgf

Ejercicio 11

Determina gf y fg para las siguientes funciones:

a) F= {(2,5), (3,6), (4,7), (5,8)} y G= {(1,2), (2.3), (3,4), (4,5)}

b) F= {(1,1), (2,4), (3,9), (4,16)} y G= {(-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4)}

Ejercicio 12

Determina gf y fg para las siguientes funciones

253)() 2 xxxfa y 32)( xxg

4)() xfb y 2)(xg

12)() 2 xxxfc y 1)( xxg

FUNCIÓN INVERSA

El concepto de inversa de una función presupone que el dominio y el rango se invierten, razón

por lo cual no toda función tiene inversa, ya que al invertir el dominio por el rango, puede ser

que las primeras componentes se repitan y por lo tanto deje de ser función. Para que una

función tenga inversa es necesario que la función sea inyectiva, es decir, que no se repitan los

elementos ni del dominio ni del rango.

Gráficamente, una función inyectiva se caracteriza por que toda recta horizontal intersecta a la

grafica de la función en solamente un punto.

Ejemplo

Determina la función inversa de f(x)=x3-3

Solución:

3333 3333 xyxyyxxy

Por lo que la función inversa de 33xy es 3 3xy

Grafica:

Ejercicio 13

Determina la función inversa de:

Rxxxfc

xxxfb

Rxxxfa

;)()

);0[;)()

;23)()

2

LIMITE DE UNA FUNCIÓN

El límite de una función real de variable real con regla de correspondencia )(xfy cuando la

variable independiente x tiende a un valor fijo a, es el valor L hacia el cual tiende la función, se

denota:

Lxfax )(lim

Que se lee: el limite de f(x) cuando ax es igual a L

Significa que cuando x esta muy cerca de a, la función y=f(x) esta muy cerca de L

Geométricamente:

L y=f(x)

a

Ejemplo1

Considérese la siguiente grafica de una cierta función y=f(x), obtener el valor de su limite

cuando x tiende a 3.

Solución

11)(lim 3 xfx

Ejemplo2

Considérese la siguiente grafica de una cierta función y=f(x), obtener el valor de su limite

cuando x tiende a -2.

2)(lim 2 xfx

Ejercicio 14

Determine el valor de los siguientes límites, para lo cual construya una tabla en donde asigne

valores cercanos al valor hacia el cual tiende la variable x.

)75(lim)

)4)(3(lim)

)323(lim)

2

2

1

2

1

xc

xxb

xxa

x

x

x

LIMITES LATERALES

Al asignar valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor al cual tiende x, tanto con

valores menores como con valores mayores, se denomina: cálculo de un limite mediante sus

limites laterales.

Teorema

El límite de una función existe, si y solo si, sus límites laterales existen y son iguales, esto es:

existexf )(lim )(lim)(lim xfxfaxax

Ejercicio 15

Calcule los siguientes límites, obteniendo sus límites laterales.

x

xc

x

xb

xa

x

x

x

4

3

2

0

lim)

2

8lim)

1lim)

TEOREMAS PARA EL CALCULO DE LÍMITES

Una forma directa para calcular el limite de una función, es mediante el uso de teoremas, los

más importantes son los siguientes

n

ax

n

ax

ax

axax

axaxax

axax

nn

ax

ax

ax

ax

xfxf

xgxg

xf

xg

xf

xgxfxgxf

xgxfxgxf

ax

kakx

ax

kk

)]([lim)]([lim.8

0)(;)(lim

)(lim

)(

)(lim.7

)(lim)(lim)]()([lim.6

)(lim)(lim)]()(lim[.5

lim.4

lim.3

lim.2

lim.1

Cuando se aplica el teorema #7 para calcular el limite de un cociente de dos funciones se

presentan los siguientes casos:

a) Que resulte una constante dividida entre otra constante, ambas diferentes de cero,

entonces el valor del limite es el número real obtenido al dividir las dos constantes.

b) Que resulte cero entre otra constante diferente de cero, entonces el valor del limite es

igual a cero

c) Que resulte una constante diferente de cero entre cero, entonces el limite de la

función no existe porque la división entre cero no esta definida

d) Que resulte cero entre cero, entonces el limite puede existir y su valor se obtiene

simplificando la expresión y aplicando los teoremas correspondientes

K es una constante

f(x) y g(x) son funciones reales

Ejercicio 16

Calcular el valor de los siguientes límites utilizando los teoremas:

154

32lim)

2

3lim)

)31(lim)

)5)(12(lim)

)45(lim)

21

1

5

2

2

2

2

xx

xe

xd

xc

xxb

xxa

x

x

x

x

x

LIMITES TRIGONOMETRICOS

El limite de una función trigonométrica se obtiene utilizando los siguientes teoremas, en los

cuales se considera que u=f(x)

1lim.6

1lim.5

1coslim.4

0lim.3

coscoslim.2

lim.1

0

0

0

0

senu

u

u

senu

u

senu

u

sensenu

u

u

u

u

u

u

Con estos teoremas es posible obtener el limite de funciones trigonométricas. Cuando la

función dada es diferente de la función seno y coseno, primero se aplican identidades

trigonométricas y después el teorema correspondiente.

Entre las identidades más usuales para el cálculo de límites, se tienen las siguientes:

uu

uu

senu

uu

u

senuu

sec

1csc

cos

1sec

coscot

costan

Ejercicio17

Calcular el valor delos siguientes límites:

x

xsene

xsend

xsenxc

xb

xsena

x

x

x

x

x

82lim)

5

24lim)

23lim)

3coslim)

7lim)

0

0

2

0

0

0

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Una función real de variable real con regla de correspondencia y=f(x), es continua en un punto

de abscisa x=a, cuando cumple la condición siguiente, llamada condición de continuidad:

)(lim)( xfaf ax

Cuando esta condición no se cumple, entonces la función es discontinua en x=a. En este caso,

el punto de abscisa “a” se denomina punto de discontinuidad de la función.

Existen tres tipos de discontinuidad de una función:

Tipos de discontinuidad Características

a) Discontinuidad evitable o restringible f(a) no esta definida, pero el límite en ese punto existe)

b) Discontinuidad asintótica o infinita f(a) no esta definida, tampoco existe el limite en ese punto)

c) Discontinuidad de salto o brinco f(a) esta definida, el limite en ese punto no existe)

Ejemplo

Analizar la continuidad de la función f(x)=x3-x2-4x en x=1, en caso de que la función sea

discontinua, indique a que tipo de discontinuidad corresponde. Trace la grafica

Solución

1. Sea evalúa la función en el punto x=1

4)1(4)1()1()1( 23f Si esta definida

2. Se obtiene el limite de la función cuando 1x

4)4(lim 23

1 xxxx El limite si existe

Como )(lim)( xfaf ax

La función es continua

Ejercicio 18

Analiza la continuidad de las siguientes s funciones en el punto indicado y traza la grafica, en

caso de que la función sea discontinua, indique a que tipo de discontinuidad pertenece.

3;2)

1;1

1)

1;

1;2)

5;42)

2;3

96)

2

2

xxye

xx

xyd

xx

xxyc

xxyb

xx

xxya

PUNTOS DE DISCONTINUIDAD EN FUNCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

En una función algebraica racional con regla de correspondencia de la forma )(

)(

xg

xfy

Donde f(x) y g(x) son funciones polinomiales, los puntos en los cuales la función g(x) es

igual a cero, son puntos de discontinuidad porque la división entre cero no esta definida.

Para encontrar las abscisas de los puntos de discontinuidad de una función algebraica

racional se resuelve la ecuación obtenida al igualar con cero el denominador

Ejemplo

Encontrar los puntos de discontinuidad de la función: xx

xxf

3

2)(

2

Solución

Igualando con cero el denominador

032 xx

Resolviendo la ecuación por factorización

303

0

0)3(

xx

x

xx

Por lo tanto la función es discontinua en x=0 y en x=3

Calculando el limite de la función en estos dos puntos

a) para x=0

0

0

)0(30

)0(2)0(

2f , por lo que f(a) no esta definida

3

2

3

2

3

2lim

)3(

2lim

3

2lim 0020

xxx

x

xx

xxxx ; el limite si existe

Por lo que la función presenta una discontinuidad evitable en el punto 3

2,0

b) para x=3

0

6

)3(33

)3(2)3(

2f ; no esta definido

0

2

3

2lim

)3(

2lim

3

2lim 3323

xxx

x

xx

xxxx ; no existe el limite

Entonces la función f(x) presenta una discontinuidad infinita en el punto de abscisa x=3

Grafica

Ejercicio 19

Hallar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones, trace las graficas e

indique el tipo de discontinuidad que presenta.

2

1)()

1

2)()

3

2)()

1)()

2

42)()

xxfe

x

xxfd

xxfc

xxfb

x

xxfa