GEOMETRIA ANALITICA CUADERNO DE EJERCICIOS EL MATERIAL QUE SE PRESENTA EN ESTE CUADERNO DE EJERCICIOS CORRESPONDE AL PROGRAMA VIGENTE DEL CURRICULUM DEL BACHILLERATO DE LA U.A.E.M. PRESENTA EJERCICIOS QUE APOYAN EL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DEL ALUMNO CON UN ENFOQUE POR COMPETENCIAS DE CADA UNO DE LOS MODULOS DEL PROGRAMA ROBERTO MERCADO DORANTES 25/10/2011

Roberto Mercado Dorantes Página 2

PROGRAMA

MODULO I RECTA

MODULOII CIRCUNFERENCIA

MODULO III PARÁBOLA

MODULO IV ELIPSE

MODULO VI HIPERBOLA

Roberto Mercado Dorantes Página 3

INDICE

PORTADA 1

PROGRAMA 2

INDICE 3

MODULO I 4-13

MODULO II 14-17

MODULO III 18-23

MODULO IV 24-34

MODULO V 35-42

BIBLIOGRAFIA 43

Roberto Mercado Dorantes Página 4

MODULO I

OBJETIVO

Calcular ecuaciones de rectas, graficarlas y resolver problemas cuya modelación conduzca a ecuaciones de rectas.

OBJETIVOS PARTICULARES:

Calcular la ecuación de una recta, dados como datos: dos puntos, pendiente y un punto, el ángulo de inclinación y un punto.

Obtener la ecuación de una recta, a partir de la pendiente y ordenada al origen. Identificar la pendiente, la abscisa y la ordenada al origen a partir de la ecuación general

de una recta. Graficar la recta a partir de su ecuación general. Reconocer que toda ecuación de primer grado se representa como una recta y

recíprocamente.

Resolver problemas que involucren el concepto de distancia de un punto a una recta

Evidencias de aprendizaje

1. Obtén las coordenadas de los siguientes puntos mostrados en el plano cartesiano

A ( ), B ( ), C ( ), D ( ), E ( )

Roberto Mercado Dorantes Página 5

2. Calcula el perímetro del siguiente polígono que se muestra en la figura

3. Determine las coordenadas del ),( yxP , que divide al segmento AB cuyos extremos son:

A (1,-1) Y B (10,10) en la razón 3

1r , e indique si es punto de trisección. Grafique

P=

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4. Determine las coordenadas del punto medio de un segmento de recta delimitado por los

puntos A (-5,3) y B (6,1/2). Grafique

5. Señala gráficamente la pendiente m del segmento de recta que se muestra en la figura y

obtén el valor de su ángulo de inclinación

Roberto Mercado Dorantes Página 7

6. Calcula el ángulo interior del triángulo con vértice en el punto A del triángulo formado por

los puntos A (-1,1), B (2,5) y C (4,-3). Grafique

7. Halle la ecuación del conjunto de puntos, tales que el triple de su ordenada disminuida en

seis unidades es igual al cuádruple de su abscisa.

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8. Halle la ecuación del conjunto de puntos que equidistan ocho unidades del punto

)4,3(A . Grafique

9. Grafica en el plano cartesiano las siguientes ecuaciones:

yxc

yb

xa

2)

4)

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10. Obtenga la ecuación de la recta que contiene al punto P (2,3) y su ángulo de inclinación es 0135 . Grafique

11. Obtenga la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (-2,-3) y B (2,5). Grafique

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12. Halle la ecuación de la recta que tiene pendiente m=1/3 y su intersección con el eje Y es el

punto (0,-2). Grafique

13. Obtenga la pendiente da cada una de las siguientes rectas:

01545)

05)

01032)

yxc

yxb

yxa

14. Determine la ecuación general de la recta que contiene al origen y es paralela a la recta

01232 yx

a) m=…………………………….

b) m=…………………………….

c) m=-------------------------

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15. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto P (-4,3) Y es perpendicular a la recta

02yx

15. Determine el valor de k para que la recta ,010)2(2 ykkx sea perpendicular a la

recta que tiene por ecuación 012107 yx .

16. Determine la distancia del punto P(5,-6) a la recta: 0643 yx

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Evidencias de aprendizaje

1. Escribe la ecuación cuya pendiente es 3m y su intersección con el eje y es el punto (0,2). (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico).

2. Escribe la ecuación de la recta de pendiente 3

2 y ordenada en el origen

igual a 4 (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico). 3. La siguiente ecuación 504xy representa el sueldo de Luis que trabaja

en una florería, donde y representa el salario semanal de Luis en dólares y la literal x representa el número de arreglos florales vendidos durante la primera semana, calcula:

a) El sueldo semanal de Luis cuando no vende ningún arreglo floral b) Cuando vende 10 arreglos florales c) Representa utilizando Geogebra la solución de los dos incisos

anteriores. 4. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,5) y tiene pendiente

2m (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico).

5. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto )3,2(1P y tiene un

ángulo de inclinación 045 (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico).

6. Escribe la ecuación que pasa por los puntos )5,3(1P y )1,2(2P . (Utiliza

Geogebra para representar su lugar geométrico).

7. Se espera que el valor de una maquina disminuya con el paso del tiempo de manera lineal. Do puntos de datos indican que el valor de la maquina en un año después de la compra será $120,000.00 y su valor después de 6 años será de $30,000.00. Determina:

a) La ecuación que representa la depreciación de la máquina, considerando como valor V, y antigüedad en años t.

b) Interpreta el significado de la pendiente c) (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico).

8. De acuerdo con la Ley de Charles, la presión P (en pascales) de un volumen de gas se relaciona de forma lineal con la temperatura T (en grados centígrados). Un experimento dio como resultado que si T=20, entonces P=40, y que si T=70, entonces P=90.

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(Sugerencia: representa en el eje y la presión y temperatura en el eje x)

a) ¿Cuál es la pendiente de la recta que contiene estos puntos? b) Explica el significado de la pendiente en este contexto c) Escribe la ecuación de este modelo experimental d) Utilizando Geogebra representa el lugar geométrico de la ecuación

obtenida.

9. Escribe la ecuación de la recta en forma simétrica, si sus intersecciones con

los ejes YX son los puntos A (3,0) y B (0,-2). (Utiliza Geogebra para representar su lugar geométrico).

10. La grafica que aparece más adelante muestra el comportamiento de un

negocio que renta locales para exposiciones. El dueño cobra x pesos por metro cuadrado, y el número de espacios y que puede rentar esta modelado por la ecuación lineal xy 5200 .

a) ¿Cuántos espacios disponibles hay al iniciar el negocio? b) Escribe el modelo de la ecuación en la forma simétrica c) ¿Qué significa la intersección de la recta con el eje x

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MODULO II CIRCUNFERENCIA

En este tema se pretende que el alumno desarrolle las siguientes; competencias: 1. Construir e interpretar modelos auxiliándose de distintas formas de la ecuación de la circunferencia al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas.

2. Interpretar tablas, gráficas y expresiones simbólicas relacionadas con diferentes formas de la ecuación de la circunferencia. 3. Argumentar la pertinencia de utilizar una forma específica de la ecuación de la circunferencia, dependiendo de la naturaleza de la situación bajo estudio

Conocimientos Al finalizar este tema, el alumno adquirirá los conocimientos que le permitirán: 1. Reconocer las curvas que se obtienen al realizar cortes a un cono mediante un plano. 2. Reconocer la circunferencia como lugar geométrico. 3. Identificar los elementos asociados a la circunferencia. 4. Comprender la existencia de una circunferencia específica cuando se conocen su centro y su radio. 5. Identificar el centro y el radio de una circunferencia con centro en el origen a partir de su ecuación.

6. Identificar las secciones cónicas resultantes de los cortes a un cono

Habilidades

Al finalizar este tema, el alumno habrá desarrollado las habilidades que le permitirán: 1. Analizar la forma de secciones cónicas en su entorno. 2. Determinar los elementos mínimos para trazar una circunferencia.

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3. Integrar los elementos necesarios para el trazado de una circunferencia con centro en el origen en la escritura de su ecuación. 4. Obtener los elementos de una circunferencia a partir de su ecuación. 5. Resolver problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación de circunferencias con centro en el origen. 6. Reflexionar sobre las características de la circunferencia como lugar geométrico, con la finalidad de modelar fenómenos o situaciones provenientes de diversos contextos.

Actitudes y valores Al estudiar el tema, el alumno: 1. Participará activamente en la realización de ejercicios y en la resolución de problemas. 2. Aportará puntos de vista personales con apertura y considerará los de otras personas. 3. Propondrá maneras creativas de resolver problemas matemáticos.

Indicadores de desempeño Se pretende que el alumno logre: 1. Identificar el tipo de curvas que se forman por medio de los cortes de un plano en un cono. 2. Realizar las descripciones mínimas necesarias para el trazado de una circunferencia. 3-Determinar la expresión algebraica de una circunferencia con centro en el origen a partir de la medida de su radio o de otros datos. 4. Establecer el centro y el radio de una circunferencia con centro en el origen a partir de su ecuación. 5. Resolver situaciones problemáticas que impliquen determinar la ecuación o la gráfica de circunferencias con centro en el origen.

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Es el lugar geométrico del conjunto de puntos tales que su distancia (radio) a un punto fijo (centro) es siempre constante

Dónde: r= constante (radio) C=punto fijo (centro)

rCP

Formas de la ecuación de una circunferencia a)Ecuación de una circunferencia de

centro en el origen(0,0) y radio r

222 ryx ;forma canoníca

b)Ecuación de una circunferencia de centro (h,k) y radio r

222 )()( rkyhx ;forma ordinaria

c)Ecuación de una circunferencia en su forma general

022 FEyDxyx ;forma general

Evidencias de aprendizaje

1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y radio 6 (Utilizando Geogebra representa su lugar geométrico).

2. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y radio 6

3. Determina si el punto (3,-1) pertenece a la circunferencia 922 yx

4. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y que pasa por el punto (2,3). Utiliza Geogebra para trazar su grafica.

5. Una laguna de forma circular tiene una superficie de 806m2, toma como origen el centro de la laguna, obtén la medida de su radio.

R. No es un punto de la circunferencia

R. 1322 yx

R. 16.02

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6. Escribe la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en el punto (2,1) y radio r=3 (Utiliza Geogebra para trazar su grafica).

7. En la ciudad de México se encuentra un reloj floral, que tiene una caratula floral de 10 metros de diámetro. Lo adornan 20 mil plantas de diferentes especies. Determina: a) La ecuación ordinaria de la circunferencia considerando que su centro esta en el punto P (6,2)

8. La glorieta del paseo colon en la ciudad de Toluca tiene por ecuación en su base

0144242422 yxyx ;

Determinar: a) La ecuación ordinaria b) Elementos (centro, radio)

9. Escribe la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (-1,0) y que es tangente a la recta .01243 yx (Utiliza Geogebra para trazar su

grafica).

10. Transformar la siguiente ecuación de una circunferencia, a la forma ordinaria, obtén las coordenadas del centro, la magnitud del radio y representa su lugar geométrico utilizando Geogebra.

0204222 yxyx

9)1()2( 22 yx

100)2()6( 22 yx

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MODULO III PARÁBOLA

En este tema se pretende que el alumno desarrolle las siguientes competencias:

1. Construir e interpretar modelos sobre la parábola como lugar geométrico al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. 2. Interpretar tablas, gráficas y expresiones simbólicas en distintas representaciones de la parábola. Conocimientos Al finalizar este tema, el alumno adquirirá los conocimientos que le permitirán: 1. Reconocer a la parábola como lugar geométrico. 2. Identificar los elementos asociados a la parábola. 3. Reconocer la ecuación de parábolas horizontales y verticales con vértice en el origen. 4. Identificar los elementos de una parábola con vértice en el origen a partir de su ecuación. Habilidades Al finalizar este tema, el alumno habrá desarrollado las habilidades que le permitirán: 1. Determinar las condiciones necesarias para trazar una parábola. 2. Integrar los elementos necesarios para el trazado de una parábola con vértice en el origen y eje focal coincidente con el eje x o y en la escritura de su ecuación 3. Obtener los elementos de una parábola horizontal o vertical con vértice en el origen a partir de su ecuación. 4. Resolver problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación de parábolas horizontales o verticales con vértice en el origen.

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Actitudes y valores Al estudiar el tema, el alumno: 1. Participará activamente tanto en la realización de ejercicios como en la resolución de problemas referentes al lugar geométrico de la parábola. 2. Aportará puntos de vista personales con apertura y considerará los de otras personas. 3. Propondrá maneras creativas de resolver problemas matemáticos. Indicadores de desempeño Se pretende que el alumno logre: 1. Reconocer los elementos de la parábola como lugar geométrico. 2. Trazar parábolas por medio de distintos métodos. 3. Determinar la ecuación de una parábola vertical u horizontal con vértice en el origen. 4. Determinar el vértice, el foco y la directriz asociados a una parábola a partir de su ecuación. 5. Modelar situaciones en las que intervienen parábolas verticales u horizontales con vértice en el origen.

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Formas de la ecuación de una parábola

a)Ecuación de una parábola con vértice en el origen y eje horizontal(forma canonica)

pxy 42 ;p distancia

del vértice al foco, si p>0 la parabola se abre a la derecha, si p<0 la parábla se abre a la izquierda

Ecuación de la directriz es x=-P,las coordenadas de su foco son F(p,0) y la longitud de su lado recto

LR= P4

b) Ecuación de una parábola con vértice en el origen y eje vertical(forma canonica)

pyx 42 ; p distancia

del vértice al foco, si p>0 la parabola se abre hacia arriba, si p<0 la parábla se abre hacia abajo.

Ecuación de la directriz es y=-P,las coordenadas de su foco son F(0,p) y la longitud de su lado recto

LR= P4

c)Ecuación de una parábola de vértice (h,k) y eje horizontal(forma ordinaria)

)(4)( 2 hxpky

;p distancia del vértice al foco, si p>0 la parabola se abre a la derecha, si p<0 la parábla se abre a la izquierda

Ecuación de su directriz x=h-p, coordedenadas de su foco F(h+p,k), longitud

de su lado rectoLR= P4

d) Ecuación de una parábola de vértice (h,k) y eje vertical(forma ordinaria)

)(4)( 2 kyphx

;p distancia del vértice al foco, si p>0 la parabola se abre a la derecha, si p<0 la parábla se abre a la izquierda

Ecuación de su directriz y=k-p, coordedenadas de su foco F(h,k+p), longitud

de su lado rectoLR= P4

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Forma general de la ecuación de la parábola

Una ecuación de segundo grado en las variables yx que carezca del término en xy

puede escribirse en la forma 022 FEyDxCyAx

a) Si A=0.C 0 y D 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo(o

coincide) el eje X. Si, en cambio, D=0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje X, dos rectas coincidentes paralelas al eje X, o ningún lugar

geométrico, según que las raíces de 02 FEyCy sean reales y desiguales,

reales e iguales o complejas

b) Si A 0 , C=0 y E 0 , la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje Y. Si, en cambio, E=0, la ecuación representa dos recta diferentes paralelas al eje Y, dos rectas coincidentes paralelas al eje Y o ningún

lugar geométrico, según que las raíces de 02 FDxAx sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas

Evidencias de aprendizaje

1. Escribe la ecuación de la parábola con vertice (0,0) y foco el punto (3,0), obten ademas el valor de su lado recto y la ecuación de su directriz. (Utilizando Geogebra representa su lugar geometrico)

Resultado:

Ecuación buscada xy 122

LR=12 Ecuación de la directriz x=-3

2. Escribe la ecuación de la parábola con vertice (0,0) y el eje vertical, pasa por el punto

(6,3), obten ademas las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto. (Utilizando Geogebra representa su lugar geometrico)

Resultado:

Ecuación de la parábola yx 122

Coordenadas del foco F(0,3) Ecuación de la directriz y=-3 Longitud del ladorecto LR=12

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3. Obtenga la ecuación en forma ordinaria de la parábola con vertice en el punto (-4,3) y que tiene como foco el punto (-1,3). Obtenga ademas la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto. (Utilizando Geogebra representa su lugar geometrico)

Resultado:

Ecuación de la parábola )4(12)3( 2 xy

Ecuación de la directriz x=-7 Longitud del lado recto LR=12

4. Obtenga la forma ordinaria de la ecuación de la parábola cuya ecuación general es

07120484 2 yxy

Resultado:

)2(122

52

xy

5. Compruebe que la ecuación 015912484 2 xyx representa una parábola. Hallar todos sus elementos

Resultado Representa una parábola con eje vertical

2

712

2

32

yx

Coordenadas del foco 2

1,

2

3

Ecuación de la directriz 2

13y

Longitud del lado recto LR=12

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6. Un reflector cuya concavidad es parabólica, tiene un diámetro de 30 cm y mide 20

cm de profundidad, como se aprecia en la figura. Si el filamento del bulbo está en el foco, ¿a qué distancia del vértice del reflector se encuentra? Sugerencia: Si haces un bosquejo de la figura en las coordenadas cartesianas, observa que tienes el punto (20,15).

7. El puente Golden Gate, en San Francisco, California, es un puente de suspensión cuya forma es aproximada a una parábola. Los cables del tramo principal se suspenden entre dos torres que se encuentran separadas 1 280 metros y cuyo borde superior se ubica a 150 metros por arriba de la autopista. El cable se extiende 3 metros arriba del punto medio de la autopista entre las dos torres. Encuentra una ecuación que represente la forma del cable. Observa la figura.

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Módulo IV Elipse

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un

plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos

fijos llamados focos es una constante positiva.

Elementos de la el ipse

Focos

Son los puntos f i jos F y F' .

Eje focal

Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario

Es la mediatr iz del segmento FF' .

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Centro

Es el punto de intersección de los e jes.

Radios vectores

Son los segmentos que van desde un punto de la e l ipse a

los focos: PF y PF' .

Distancia focal

Es el segmento de longitud 2c , c es e l valor de la

semidistancia focal .

Vértices

Son los puntos de intersección de la e l ipse con los ejes:

A, A' , B y B' .

Eje mayor

Es el segmento de longitud 2a , a es e l valor del

semieje mayor .

Eje menor

Es el segmento de longitud 2b , b es e l valor del

semieje menor .

Ejes de simetría

Son las rectas que cont ienen al e je mayor o a l e je menor.

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Centro de simetría

Coincide con el centro de la e l ipse, que es el punto de

intersección de los e jes de simetría.

Relación entre la distancia focal y los semiejes

Excentricidad de la elipse

La excentricidad es un número que mide el mayor o menor

achatamiento de la e l ipse. Y es igual a l cociente entre su

semidistancia focal y su semieje mayor.

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En este tema se pretende que el alumno desarrolle las siguientes competencias:

a) Construir e interpretar modelos sobre la elipse como lugar geométrico al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. b) Interpretar tablas, gráficas y expresiones simbólicas como distintas representaciones de la elipse con centro en el origen.

Conocimientos Al finalizar este tema, el alumno adquirirá los conocimientos que le permitirán: a) Caracterizar la elipse como lugar geométrico. b) Identificar los elementos asociados a la elipse. c) Reconocer la ecuación ordinaria de elipses horizontales o verticales con centro en el origen y con ejes sobre los ejes cartesianos.

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d) Identificar los elementos de una elipse con centro en el origen y con ejes sobre los ejes cartesianos, a partir de su ecuación ordinaria.

Habilidades Al finalizar este tema, el alumno habrá desarrollado las habilidades que le permitirán: a) Determinar las condiciones necesarias para trazar una elipse con la ayuda de hilo, regla y compás. b) Integrar en un plano cartesiano los elementos necesarios para trazar una elipse con centro en el origen y con eje focal sobre algún eje coordenado, y conocer su efecto en la conformación de su ecuación. c) Obtener los elementos de elipses horizontales o verticales con centro en el origen y con eje focal sobre alguno de los ejes coordenados a partir de su ecuación. d) Resolver problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación de elipses con centro en el origen.

Actitudes y valores Al estudiar el tema, el alumno: a) Participará activamente tanto en la realización de ejercicios como en la resolución de problemas referentes a la elipse. b) Aportará puntos de vista personales con apertura y considerará los de otras personas. c) Propondrá maneras creativas de resolver problemas matemáticos.

Indicadores de desempeño Se pretende que el alumno logre: a) Reconocer los elementos de la elipse como lugar geométrico. b) Trazar elipses por medio de distintos métodos. c) Determinar la ecuación de elipses verticales u horizontales con centro en el origen y con ejes coincidentes con los ejes coordenados.

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d) Determinar los elementos asociados a una elipse a partir de su ecuación. e) Modelar situaciones en las que intervienen elipses verticales u horizontales con centro en el origen y con ejes coincidentes con los ejes coordenados

ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL SOBRE EL EJE X

Ecuación Vértices Longitud del eje mayor

Longitud del eje menor

Focos

12

2

2

2

b

y

a

x

),(),,( ' oaVoaV 2a 2b F(c,0), F´(-c,0)

ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL SOBRE EL EJE Y

12

2

2

2

a

y

b

x

),0(),,0( ' aVaV 2a 2b F(0,c),F’(0,-c)

Elipse Horizontal

Elipse Vertical

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Evidencias de aprendizaje

1. Escribe la ecuación de la elipse en forma canónica que tiene como vértices

y focos los siguientes puntos: V (6,0), V´ (0,-3), F (4,0) y F (-4,0), representa

su lugar geométrico utilizando Geogebra.

Respuesta:

Ecuación en su forma canónica 12036

22 yx:

2. Escribe la ecuación de la elipse en forma canónica que tiene como focos

los siguientes puntos: F (0,3), F´ (0,-3) y su excentricidad es 3

2representa

su lugar geométrico utilizando Geogebra.

Respuesta:

Ecuación en su forma canónica 1

2

45

2

92

2

2

2 yx

3. Escribe la ecuación de la elipse en su forma ordinaria que tiene como

focos los siguientes puntos: F (-4,-6), F (-4,-2) y vértices V´ (-4,-8), V (-4,0).

representa su lugar geométrico utilizando Geogebra.

Respuesta:

Ecuación en su forma ordinaria 116

)4(

12

)4( 22 yx

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4. Escribe la ecuación de la elipse en su forma ordinaria con centro en C(-9,3)

foco y vértice en F (-6,3),y vértices V (-4,3),obtén además su dominio y

rango, representa su lugar geométrico utilizando Geogebra.

Respuesta:

Ecuación de la elipse en su forma ordinaria 116

)3(

25

)9( 22 yx

Dominio 4,14x

Rango 7,1y

5. El centro de una elipse es el punto (-2,-1) y uno de sus vértices es el punto

(3,-1). Si la longitud de cada lado recto es 4, escribe la ecuación de la elipse

en su forma ordinaria, su excentricidad y las coordenadas de sus focos.

representa su lugar geométrico utilizando Geogebra.

Respuesta:

Ecuación de la elipse en su forma ordinaria 110

)1(

25

)2( 22 yx

Excentricidad 5

15

a

ce

Coordenadas de los focos )1,152(F y )1,152(´F

6. La forma general de la ecuación de una elipse es:

018121849 22 yxyx .Redúzcala a su forma ordinaria; determine

centro, focos, longitud de los ejes mayor y menor, lado recto y su

excentricidad. representa su lugar geométrico utilizando Geogebra.

Respuesta:

Ecuación de la elipse en su forma ordinaria 19

)2

3(

4

)1(2

2 yx

Centro C(-1,3/2)

Focos )52

3,1(F y )5

2

3,1´(F

Vértices )32

3,1(V y )

2

33(V

Longitud del eje mayor LR=6

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Longitud del eje menor Lm=4

Excentricidad 3

5e

7. La órbita de la tierra es una elipse en uno de cuyos focos está el sol,

sabiendo que el semieje mayor de la elipse es 148.5 millones de kilómetros

y qué la excentricidad vale 0,017, hallar la máxima y la mínima distancia de

la tierra al sol.

Respuesta: Máxima distancia 152 millones de kilómetros Mínima distancia 146 millones de kilómetros

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Modulo V Hipérbola

Se llama hipérbola al lugar

geométrico de los puntos del plano tales que la

diferencia de sus distancias a dos puntos fijos,

llamados focos, es una constante (se representa

por 2a).

La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se

llama eje imaginario de la hipérbola. El punto donde se cortan ambos ejes (que es

el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola. Los puntos donde la

hipérbola corta a los ejes se llaman vértices de la hipérbola. Al igual que en la

elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias

desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se les llama radios

vectores del punto.

Sus elementos son:

Vértices: A y A’

Covértices: B y B’

Eje transversal: recta que contiene los focos

Eje conjugado: recta que contiene a los covértices

Centro: intersección de los ejes transversal y conjugado

O

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Ecuaciones canonícas de la hipérbola

a) Se l lama ecuación canoníca a la ecuación de la h ipérbola cuyos

ejes coinciden con los e jes coordenadas, y, por tanto, e l centro de

hipérbola con el origen de coordenadas. Si e l e je real está en el e je

de abscisas las coordenadas de los focos son:

F'(-c, 0) y F(c, 0)

Cualquier punto de la h ipérbola cumple:

b) Ecuación canoníca de eje vertical de la hipérbola

F '(0 , -c) y F (0 , c)

2a=Longitud del e je t ransverso

2b=Longitud dele je conjugado

2c=Distancia éntrelos focos

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222 bac

Formas de la ecuación de la h ipérbola de centro (h, k)

a) Eje focal paralelo a l e je X

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx

b) Eje focal paralelo a l e je Y

1)()(

2

2

2

2

b

hx

a

ky

Excentr ic idad 1a

ce

Evidencias de aprendizaje

a) Los vért ices de una hipérbola son los puntos V (3,0) y V ` ( -3,0) y

sus focos son los puntos F(5,0) y F`( -5,0). Determinar la ecuación

de la h ipérbola, las longitudes de sus ejes t ransverso y conjugado,

su excentr ic idad, la longitud de cada lado recto, e l dominio, rango y

construcción graf ica ut i l izando Geogebra.

Respuestas:

Ecuación 1169

22 yx

Longitud deleje transverso LT=6

Longitud deleje conjugado LC=8

Longitud de cada lado recto LR=3

32

Excentricidad 13

5e

Dominio ),3()3,(x

Roberto Mercado Dorantes Página 38

Rango ),(y

b) Escribe la ecuación 03649 22 yx , en su forma canoníca y obtén

todos sus elementos, con Geogebra representa su lugar

geométr ico.

Respuesta:

Ecuación en su forma canoníca 149

22 xy

Focos F(0, 13 ) y F(0, 13 )

Vértices(0,3) y V(0, -3)

Extremos del eje conjugado (2,0) y ( -2,0)

Longitud deleje transverso LT=6

Longitud del eje conjugado LC=4

Longitud de cada lado recto LR=3

8

Excentricidad 13

13e

Dominio ),(x

Rango ),3()3,(y

c) Obtenga las ecuaciones de las asíntotas de la h ipérbola cuya

ecuación es: 100254 22 yx ut i l izando Geogebra representa su lugar

geométr ico.

Respuesta:

Ecuaciones de las asíntotas 052

052

yx

yx

Roberto Mercado Dorantes Página 39

d) Los vért ices de una hipérbola están en los puntos ( -5,-3) y ( -5,-

1) y los extremos del e je conjugado están en ( -7,-2) y ( -3,-2).

Obtenga la ecuación de la h ipérbola así como las ecuaciones de las

asíntotas.

Respuesta:

Ecuación de la hipérbola 14

)5(

1

)2( 22 xy

Ecuaciones de las asíntotas 092

012

yx

yx

e) Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es

Solución Completando el cuadrado en ambas variables

Por tanto, el centro está en . El eje de la hipérbola es horizontal, y

Roberto Mercado Dorantes Página 40

Los vértices están en , los focos en y y la

excentricidad es . La gráfica se muestra en la figura

f) Hallar la ecuación canónica de la hipérbola con vértices en y y

asíntotas y . Además calcule los focos, la excentricidad y trace la gráfica.

Solución

Por ser el centro el punto medio de los vértices sus coordenadas son . Además, la hipérbola tiene eje transversal vertical y . Por otro lado, por el teorema de las asíntotas.

Roberto Mercado Dorantes Página 41

Por tanto, la ecuación canónica es

El valor de está dado por

Los focos están en y y la excentricidad es La gráfica se muestra en la figura

Roberto Mercado Dorantes Página 42

y si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son

-La tangente en un punto P de una hipérbola es la bisectriz del ángulo formado por lo segmentos que unen este punto con los focos.

Roberto Mercado Dorantes Página 43

BIBLIOGRAFIA

OCAMPO CONTRERAS, JÓSE, GEOMETRIA ANALITICA, U.A.E.M, MEXICO 2011

LEHMANN, CHARLES, GEOMETRIA ANALITICA, LIMUSA, MÈXICO, 1982

JIMENEZ, RENE, MATEMATICAS III, PEARSON, MEXICO, 2011

VAZQUEZ SANCHEZ, AGUSTIN, GEOMETRIA ANALITICA, PEARSON, MÈXICO, 2007

OTEYZA.LAM.HERNANDEZ.CARRILLO, GEOMETRIA ANLITICA, PEARSON, MEXICO, 2005