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. 510.7 Grupo Fnix de Costa Rica
. G892m Matemtica 10: Un enfoque con base en la resolucin deX problemas / Grupo Fnix de Costa Rica. -- 1a ed. -- Alajuela,
Costa Rica: Grupo Fnix de Costa Rica, 2014150 p. : il. ; 27 cm.
ISBN 978-9930-9496-3-4
1. MATEMTICA - ENSEANZA - ENSEANZA MEDIA.2. MATEMTICAS -LIBROS DE TEXTO. I. Ttulo.
Copyright 2014
Grupo Fnix
Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra,
por cualquier medio, sin autorizacin escrita del Grupo Fnix.
Pedidos al 2494-8133; 8301-8947 8855-1678
www.grupofenixcr.com
Diseo y armado
Grupo Fnix
Diseo de portada
Grupo Fnix
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* Aplican restricciones, ver condiciones en www.grupofenixcr.com
INTRODUCCIN
Primero, es conveniente hacer una breve aclaracin sobre nuestro nombre y smbolo (Ave Fnix Tribal),
se tiene como referente histrico-ideolgico el mito del Ave Fnix que aliment varias doctrinas y concepciones
religiosas de supervivencia en el Plus Ultra, pues el Fnix muere para renacer con toda su gloria. Se trataba de
un ave fabulosa que se consuma por accin del fuego cada 500 aos, para luego resurgir de sus cenizas. Es
decir, elGRUPO NIX
representa un nuevo comienzo, un resurgimiento, levantarse de las cenizas, es
por esta razn que es nuestro emblema.
Segundo, el presente texto pretende ser un material de apoyo en el proceso de enseanza y
aprendizaje de la matemtica, exponiendo de forma pragmtica y didctica todos los Conocimientos y
Habilidades Especficas, expuesta y vigentes en el Programa de Estudio de Matemticas (Transicin 2014), con
base en los Programas de Estudio de Matemtica aprobados por el Consejo Superior de Educacin el 21 de
mayo de 2012, considerando como referente metodolgico el enfoque con base en la resolucin de problemas,
propuesto en los Nuevos Programas de Estudio.
Despus de muchos aos de trabajo en las aulas y en oficinas tcnicas del MEP, as como la basta
experiencia en la elaboracin de libros de texto y material didctico, un grupo de profesionales en la Enseanza
de la Matemtica nos propusimos elaborar una propuesta pragmtica y didctica basada en la resolucin de
problemas que propicie el desarrollo de competencias matemticas en el estudiante.
Un problema que consideramos sustantivo en el desarrollo del Programa de Estudio, consiste en que
algunos docentes guiados por otros textos, desconocen de forma fidedigna el Programa de Estudio con todossus elementos que lo conforman, llmese estos, Conocimientos, Habilidades Especficas e Indicaciones
Puntuales, provocando que se trabaje en el aula contenidos que no estn en las directrices curriculares del
MEP, o en su defecto, alcanzando niveles de profundizacin de temas que no se consideran importantes para
las habilidades generales previstas para el educando en cada ao de su respectivo ciclo. Es por este motivo,
que hemos insertado textualmente dichos elementos y ms (en algunos casos planteamos incluso los mismos
problemas que citan en las Indicaciones Puntuales, nunca con el afn de atribuirnos tales derechos de autor,
por el contrario, respetamos y citamos que tales problemas pertenecen a los Programas de Estudio de
Matemticas del Ministerio de Educacin de Costa Rica), de modo que sean el verdadero referente para las
actividades de mediacin que el docente proponga.
Tercero, para esta nueva edicin 2014 se ha contemplado que el mayor nmero de habilidades a
desarrollar tengan un problema al inicio, permitiendo al docente y al estudiante incursionar en la nueva temtica
partiendo de un reto de la vida cotidiana, intentando aprehender del estudiante los conocimientos previos y
fomentar para la vida el principio filosfico que consideramos eje transversal de la educacin en general los
problemas son para resolverlos. El material est constituido por niveles de conocimiento, en el cual la teora,
los ejemplos y los trabajos cotidianos mantienen una dificultad partiendo de lo ms elemental a lo ms
complejo.
Cuarto y ltimo, en una investigacin previa realizada por el GRUPO NIX con un grupo focal de
docentes de una Regin Educativa, nos dicta que en la mayora de los casos los estudiantes buscan primero las
respuestas antes de resolver los ejercicios y problemas, incluso, algunos cuestionan y dudan de la capacidad
del docente cuando las respuestas de este ltimo no coinciden con las ofrecidas por el libro, a pesar que en
muchos casos son errores de los diagramadores a la hora de transcribir las respuestas en los formatos digitales
antes de ser impresos; por tanto, no se adjuntan las respuestas. Sin embargo, junto a nuestros libros
ofrecemos a cada docente la posibilidad de descargar* las respuestas en nuestra pgina webwww.grupofenixcr.com para que las utilice segn considere mejor con sus estudiantes, e incluimos una
serie de materiales de apoyo para el docente de matemtica trabajos extra clase, ejercicios de
profundizacin, planeamientos y pruebas escritas entre otros, que busca simplificar al menos un poco
tanto trabajo que tiene sobre sus hombros cada docente en su ejemplar labor como formador de nuestros
jvenes estudiantes que participan en sus lecciones.
El estudio de la matemtica debe ser el comienzo del conocimiento depurado (Los autores, 2009)
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RECONOCIMIENTOS
Ada FigueroaProfesora de MatemticaLiceo Monseor Rubn Odio
Alexander FuentesProfesor de MatemticasLiceo Monseor Rubn Odio
Allan Correa MataProfesor de MatemticaColegio Marco Tulio SalazarTurrialba
Ana Lucia Araya UmaaProfesora de MatemticaC.T.P Dos Cerca
Alina Palacios Arauz
Profesora de MatemticasLiceo Acadmico Diurno deCiudad Neily
lvaro Ortega lvarez
Profesor de MatemticaUnida Pedaggica Jos FidelTristn
Allan Mairena
Profesor de MatemticaLiceo San Jos
Andrea Madrigal Gonzlez
Profesora de MatemticaCTP Bolvar
Adrin Umaa DuranProfesor de MatemticaLiceo Escaz
Alejandra Araya QuirsProfesora de MatemticasColegio Marco Tulio Salazar:Liendo y Goicochea
Adriana Marn MoraProfesora de MatemticaIEGB Amrica Central
Andrea AriasProfesora de MatemticaColegio Vocacional de Heredia
Alex MoraProfesor de MatemticaC.T.P de Parrita
Ana Cristina Herrera VProfesora de MatemticaIEGB Andrs Bello Lpez
Adriana Vquez MirandaProfesora de MatemticaLiceo de Turrucares
Adriana Vargas ArguedasProfesora de MatemticaLiceo Samuel Senz
Agustn Mora Picado
Profesor de MatemticaLiceo Pacifico Sur
Ana Isabel Noguera E
Profesora de MatemticaLiceo Santa Cruz
Alonso Caldern Cordero
Profesor de MatemticasCTP Siquirres
Andrs Cubillo Barrantes
Profesor de MatemticaColegio Teresiano San Enrique
Agustn Monge PiedraProfesor de MatemticaLiceo de Atenas
Andrs GarcaProfesor de MatemticasLiceo de Tarraz
Anita Vindas ChvezProfesora de MatemticaLiceo Manuel Benavides
Ana Grace Carranza AProfesora de MatemticaLiceo Rural de Cabeceras
Aida Segura ArroyoProfesora de MatemticasLiceo Gregorio Jos Ramrez
Ana Margarita Angulo CProfesora de MatemticaCTP 27 de Abril
Andreina Vsquez RojasProfesora de MatemticaCTP Bolvar
Arelis Arias VarelaProfesora de MatemticaIPEC de Puntarenas
Bartolom Palma Barrantes
Profesor de MatemticaLiceo Nuevo de Limn
Bernal Luna
Profesor de MatemticaLiceo Salvador Umaa
Bernard Carvajal Snchez
Profesor de MatemticaColegio Acadmico de Gucimo
Bianca Chacn Hernndez
Profesora de MatemticaLiceo Diurno de Limn
Carlos Edo Gmez GarcaProfesor de MatemticaSindea Jcaral
Crissel Cspedes BadillaProfesora de MatemticaLiceo Rural Santiago de SanPedro
Carmen Saira Cubero VProfesora de MatemticaLiceo de Tucurrique
Csar Rodrguez LealProfesor de MatemticaLiceo de Ro Fro
Carlos Arce MurilloProfesor de MatemticasLiceo San Miguel deDesamparado
Cindy Obando GProfesora de MatemticaIPEC Sindea Arabela Jimnezde Volio
Carlos Jos SantamaraRamrezProfesor de MatemticaColegio de Florencia
Carmen Liley MonteroProfesora de MatemticaLiceo Experimental BilingeGrecia, Alajuela
Carlos Cordero Cordero
Profesor de MatemticaCTP Mansin de Nicoya
Cristian Sancho Cambronero
Profesora de MatemticaColegio Dr. Moreno Caas
Carlos Medina Obregn
Profesor de MatemticaLiceo Pacifico Sur
Carolina Flores
Profesora de MatemticaColegio Saint Benedict
Carlos GaliciaProfesor de MatemticaCentro Educativo Adventista dePaso Canoas
Cristiana Caldern MProfesora de MatemticaLiceo Julio Fonseca Gutirrez
Carlos Quesada GamboaProfesor de MatemticaCTP Osa
Cristian Peralta CruzProfesor de MatemticaLiceo El Carmen de Nandayure
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Carlos Gmez GarcaProfesor de MatemticaSindea Jcaral
Cristian Rojas CarrilloProfesor de MatemticasLiceo Experimental BilingeLos ngeles
Carlos Venegas SotoProfesor de MatemticaLiceo Ro Fro
Cristina Caldern MejasProfesora de MatemticaLiceo Julio Fonseca Gutirrez
Carlos Corrales ChavarraProfesor de MatemticaC.T.P Roberto Gamboa
Carlos Gonzlez A.Profesor de MatemticaLiceo de Cervantes
Carlos Villalobos SolsProfesor de MatemticaC.T.P Ambientalista IsaasRetana Arias
Carlos Chavarra VillalobosProfesor de MatemticaCTP Guatuso
Cecilia Prez SalasProfesora de MatemticaLiceo Poasito
Cesar Morales GranadosProfesor de MatemticaLiceo Jos M Gutirrez
Carmen Julia Ulate QuesadaProfesora de MatemticaLiceo San Jos
Danny ColumnaProfesor de MatemticaLiceo Len Corts Castro
Damaris Castillo BustosProfesora de MatemticaLiceo Duacary
Daniel Arguedas AlfaroProfesor de MatemticaTelesecundaria Boca del Ro
David Alfaro AlfaroProfesor de MatemticaLiceo Sta. Gertrudis Norte
Danny MongeProfesor de MatemticaLiceo de Coronado
Daniel Cruz CamposProfesor de MatemticaLiceo de San Jos
Danny Ruiz OrozcoProfesor de MatemticaLiceo Rural la Aldea
David Daniel Conejo AriasProfesor de MatemticaLiceo Nocturno Pacifico Sur
Diego Navarro TrejosProfesor de MatemticaLiceo Experimental Bilinge de
Agua Buena
Daniel Alczar RamrezProfesor de MatemticaLiceo Capitn Manuel Quirs
Dariana Rodrguez IglesiaProfesora de MatemticaColegio Indgena Chiroles
Denia Salas NezProfesora de MatemticaColegio Patriarca San Jos
Dilsia Navarro DurnProfesora de MatemticaIEGB Limn
Diana Herrera AlfaroProfesora de MatemticaColegio el Carme
Diego GonzlezProfesor de MatemticaLiceo de Ro Fro
Dayana Gonzlez ChavesProfesora de MatemticaLiceo San Jos
Doris Bonilla UlateProfesora de MatemticaMarco Tulio Salazar:Puntarenas
Diego Araya AlpizarProfesor de MatemticaIPEC Agua Buena
Dennis Vallejos BarrantesProfesor de MatemticaColegio de Bagaces
Deborah Pierce CuberoProfesora de MatemticaColegio Bilinge Ecolgico SanMartin
Estrella Len HernndezProfesora de MatemticaLiceo Santa Cruz
Erika Daz LealProfesora de MatemticaSindea de Abangares
Eilyn Snchez FernndezProfesora de MatemticaCTP Gucimo
Eithel HerreraProfesor de MatemticaColegio el Carmen
Eithel Vega RodrguezProfesora de MatemticaColegio Redentorista San
Alfonso
Edwin Jimnez SalinasProfesor de MatemticaSEC Hojancha
Elin Vargas AriasProfesora de MatemticasColegio Concepcin de Pilas
Elizabeth Chavarra CProfesora de MatemticaLiceo Deportivo de Grecia
Enrique Montero MoreiraProfesor de MatemticaColegio Finca de Naranjo
Emmanuel Alvarado RProfesor de MatemticaTelesecundaria Baha Drake
Erick PaguagaProfesor de MatemticaCTP Puerto Viejo
Esteban Arguedas VargasProfesor de MatemticaC.T.P Granadilla
Evelyn Valverde ChacnProfesora de MatemticaLiceo de Puente Piedra
Esteban Blanco UrbinaProfesor de MatemticaCTP Osa
Eugenio RamrezProfesor de MatemticasLiceo El Roble
Fabin Villanueva SalasProfesor de MatemticaColegio Puente Piedra
Floribeth Jimnez HidalgoProfesora de MatemticaC.T.P Piedades del Sur
Fernando Chica RomeroProfesor de MatemticaC.T.P Ambientalista IsaasRetana Arias
Francisco CanessaProfesor de MatemticaLiceo Antonio Obando Chan
Fainier Jimnez MenaProfesor de MatemticaLiceo Julin Volio de Orente
Fabiana Ortiz AstorgaProfesora de MatemticaCTP Dulce Nombre de Cartago
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Flora FernndezProfesora de MatemticaColegio Internacional Canadiense
Gina Iveth Ramrez CerdasProfesora de MatemticaLiceo Rural de San Julin
Gabriela Mena RojasProfesora de MatemticaLiceo de Tarraz
Guiselle EspinozaProfesora de MatemticaLiceo Deportivo de Grecia
Gloria Badilla FonsecaProfesora de MatemticaColegio Pacto del Jocote
Gerardo RamrezProfesor de MatemticaLiceo Regional de Flores
Gloriela HidalgoProfesora de MatemticaLiceo de Heredia
Gabriel Martnez BorbnProfesor de MatemticaLiceo Platanillo de Bar
Gerardo Rodrguez BarriosProfesor de MatemticaLiceo Turrucares
Gabriela VargasProfesora de MatemticaCentro Educativo NuevoMilenium
Greivin Lpez GmezProfesor de MatemticaSINDEA de Hojancha
Grettel ArrietaProfesora de MatemticaSindea de Coopel
Guiselle OtrolaProfesora de MatemticaLiceo de Turrucares
Greivin Eduardo CorderoCorderoProfesor de MatemticaLiceo Rural Maz de los UVA
Gladys Masis BonillaProfesora de Matemtica
Guadalupe KoreaLakeside Internacional School
Greddy Gonzlez HenrquezProfesor de MatemticaJohn F Kennedy High School
Gaudy GonzlezProfesora de MatemticaLiceo de Heredia
Guiselle Pereira RiveraProfesora de MatemticaColegio Daniel Oduber Quirs
Herbert Ugalde LoboProfesor de MatemticaCTP Upala
Henry VillarrealProfesor de MatemticaColegio Los Delfines
Harold CamposProfesor de MatemticaCentro Educativo Catlico
Henry Rodrguez DelgadoProfesor de MatemticaC.T.P Mercedes Norte
Haidi CorralesProfesora de MatemticasInstituto Centroamericano
Adventista
Hannia Leiva FallasProfesora de MatemticaLiceo Sina Diurno
Imelda Senz PinedaProfesor de MatemticaSindea 28 Millas
Isabel VsquezProfesora de MatemticaLiceo Experimental Bilinge deGrecia
Idannia Chaves JimnezProfesora de MatemticaSINDEA de Venecia
Ileana Lezcano RProfesora de MatemticaCTP Talamanca Bibri Limn
Ignacio Jimnez GonzlezProfesor de MatemticaColegio Dulce Nombre
Ileana Naranjo MesenProfesora de MatemticaLiceo San Miguel deDesamparados
Javier Calvo CorderoProfesor de MatemticaLiceo Julio Fonseca
Juan Carlos QuesadaProfesor de MatemticaLiceo Nocturno de Desamparado
Javier Carballo RuzProfesor de MatemticaLiceo San Antonio deCoronado
Jerson Ruz VargasProfesor de Matemtica
Juan Carlos BarrantesMndezProfesor de MatemticaIPEC de Agua Buena
Jason Lagos CruzProfesor de MatemticaColegio Villareal
Jenny Burgos ValverdeProfesora de MatemticaLiceo de Puriscal
Jenny Naranjo NaranjoProfesora de MatemticaC.T.P Jos Daniel FloresZabaleta
Jenny Raquel RomeroBonillaProfesora de MatemticaSindea Bribri Satlite 13
Jessenia Guevara VarelaProfesora de MatemticaLiceo San Jose
Jess HidalgoProfesor de MatemticaColegio Santa Josefina
Johnny Sancho MoralesProfesor de MatemticaColegio Nocturno de Parrita
Jorge Bonilla VegaProfesor de MatemticaLiceo de San Vito
Jessica Villalobos RojasProfesora de MatemticaTelesecundaria el Llano
Jocelyn VindasProfesor de MatemticaEscuela Internacional Cristiana
Jordn Ros VargasProfesor de MatemticaC.T.P Puntarenas
Jorge Chacn VargasProfesor de MatemticaLiceo del Sur
Jorge Luis Quirs UgaldeProfesor de Matemtica
Jos Alberto QuesadaObandoProfesor de MatemticasColegio Acadmico de Costade Pjaro
Jos Francisco Rivera VargasProfesor de MatemticaLiceo Rural de Cederal
Jos Luis Prez OrtizProfesor de MatemticaLiceo Acadmico de Beln
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Jorge Mata AguilarProfesor de MatemticaLiceo Franco Costarricense
Jos Diomar Salinas PiaProfesor de Matemtica
Jos Javier Ramrez GutirrezProfesor de MatemticaLiceo Jos Antonio ObandoChan
Jos Mrquez GonzalesProfesor de MatemticaC.T.P Roberto Gamboa
Julio Marn SnchezProfesor de MatemticaLiceo de Cariari
Jairo Rojas VargasProfesor de MatemticaLiceo La Lucha
Johnny Villalta BalladaresProfesor de MatemticaLiceo Manuel Emilio RodrguezEchevarra
Jorge Arturo Calvo AlegraProfesor de MatemticaColegio Jos Mart
Karen Camacho EspinozaProfesora de MatemticaCentro Educativo Pasos deJuventud
Karol Snchez JimnezProfesora de MatemticaLiceo Nocturno Pacifico del Sur
Katherine Sand FallasProfesora de MatemticaLiceo de Mata de Pltano
Kimberly Abarca GmezProfesora de MatemticaCTP Santa Elena
Karla Araya ChavesProfesora de Matemtica
Karla Venegas ValverdeProfesora de MatemticaLiceo Experimental Bilinge
Kattya Castro FernndezProfesora de MatemticaSun Valley High School
Kendrich Vargas VsquezProfesor de MatemticaColegio Bil. De Palmares
Kattya Pizarro MoragaProfesora de MatemticaLiceo Acadmico de Beln
Kerlyn EsquivelProfesora de MatemticaColegio Puente de Piedra
Karla Guevara VillegasProfesora de MatemticaLiceo de Colorado de Abangares
Lineth Quesada MProfesora de MatemticaLiceo de Tucurrique
Luis Castillo SantamaraProfesor de MatemticaLiceo de Santa Ana
Lissette Ulate AriasProfesora de MatemticaColegio Marco Tulio Salazar:Simn Bolvar
Luis Alonso Ruiz TorresProfesor de MatemticaCTP Carrillo
Lucia Mata VindasProfesora de MatemticaLiceo Hernn Zamora Elizondo
Leonardo Lpez RodrguezProfesor de Matemtica
Luis Quesada AlvaradoProfesor de MatemticaC.T.P. Limn
Laura Cisneros FonsecaProfesora de MatemticaLiceo Santa Marta
Maricruz Granados MedinaProfesora de MatemticaLiceo de Paraso
Mauricio Pearanda FallasProfesor de MatemticaLiceo San Gabriel
Michael Chvez MadrigalProfesor de MatemticaCTP Cartagena Guanacaste
Mayra Martnez MuozProfesora de MatemticasIEGB Anselmo Gutirrez
Marvin Mndez CruzProfesor de MatemticaIPEC Agua Buena
Maril Rodrguez MoraProfesora de MatemticaLiceo Rural de Santo Domingo
Miguel ngel SnchezProfesor de MatemticaColegio La Aurora
Mirta BritoProfesora de MatemticaColegio Educativo Royal
Manrique Barrientos QProfesor de MatemticaLiceo de Miramar dePuntarenas
Manuel VillegasProfesor de MatemticaLiceo de San Roque
Marta Eugenia Castro UreaProfesora de MatemticaC.T.P Piedades del Sur
Mauricio Solano BolaosProfesor de MatemticaLiceo La Triga
Marta Eugenia Arce RojasProfesora de MatemticaInstituto Educativo Monte Carlo
Maricela Urea JimnezProfesora de MatemticaColegio Nocturno la Cuesta
Maureen Redondo BarqueroProfesora de MatemticaUnidad pedaggica BarrioNuevo
Mara Belermina Chacn V.Profesora de MatemticaInstituto de Guanacaste.
Minor Vargas VargasProfesor de MatemticaLiceo Rural de Cahuita
Mariela Cubero MoralesProfesora de MatemticaLiceo Alfaro Ruiz
Mauricio Gamboa GamboaProfesor de MatemticaLiceo de Tarrazu
Michael Tiffer ChavesProfesor de Matemticas
Marisol Ramos FloresProfesora de MatemticaInstituto de Alajuela Liceo elCarmen
Max Gerardo Araya SequeiraProfesor de MatemticaLiceo Rural de Londres
Melida Soto MoyaProfesora de MatemticaIPEC de San Jos
Mauricio Fallas RodrguezProfesor de Matemtica
Milagro SeguraProfesora de MatemticaC.T.P Santa Eulalia
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Maribel RamrezProfesora de MatemticaSaint Margaret School
Melania Alvarado AlvaradoProfesora de MatemticaLiceo Jos Mart
Manuel lvarez HernndezProfesor de MatemticaSindea Puerto Viejo
Mariela Alfaro HidalgoProfesora de MatemticaLiceo San Roque
Marcela CecilianoProfesora de MatemticaLiceo Hernn Zamora Elizondo
Marco Abarca AlvaradoProfesor de MatemticaColegio Acadmico La Palma
Marisol BonicheProfesora de MatemticaLiceo Experimental Bilinge deGrecia
Natalia Bonilla AstorgaProfesora de Matemtica
Norberto Montero SeguraProfesor de MatemticaColegio Tcnico San Joaqun deFlores
Noem Morera ChvezProfesora de MatemticaSindea de Venecia.
Nuria GarroProfesora de MatemticaConvi S.A
Nancy CastroProfesora de MatemticaLiceo de Santa Ana
Nelson Torres UmaaProfesor de MatemticaIEGB la Cruz.
Nelson Loria SnchezProfesor de MatemticaLiceo de Ticaban
Paolo AnguloProfesor de MatemticaGreen Valley
Pablo Coto BrenesProfesor de MatemticaIPEC Sindea Arabela Jimnezde Volio.
Omar Camacho AstuaProfesor de MatemticaC.T.P Mario Quirs Sasso
Paulo Paniagua DelgadoProfesor de MatemticaLiceo Manuel Benavides
Paulina Coto MataProfesora de MatemticasUnidad Pedaggica San Diego
Paola SolsProfesora de MatemticaColegio Marco Tulio Salazar
Rosario Mndez EsquivelProfesora de Matemtica
Ronald Jimnez GonzlezProfesor de MatemticaLiceo Sta. Gertrudis
Rafael Montero RodrguezProfesor de MatemticaColegio Internacional Sek
Randall Quirs BermdezProfesor de MatemticaLiceo de Cariari
Ral Badilla RamrezProfesor de MatemticaLiceo San Miguel DeDesamparados
Ral Badilla RamrezProfesor de MatemticaLiceo San Miguel
Rebeca Mora Oconitrillo.Profesora de MatemticaColegio Florida.
Robert Rojas BadillaProfesor de MatemticaColegio Madre del DivinoPastor
Rodney Ng BaltodanoProfesora de MatemticasLiceo de Tucurrique
Rody Arrieta SolanoProfesor de MatemticaCentro Educativo Jorge deBravo.
Romn Ruiz ContrerasProfesor de MatemticaLiceo Experimental BilingeSanta Cruz.
Ronald Villalobos AriasProfesor de MatemticaLiceo Ambientalista el Roble
Rosa Iris Centeno Ros.Profesora de Matemtica
Rolando Cascante R.Profesor de MatemticaSindea de Pejibaye
Ramn Jimnez SolsProfesor de MatemticaColegio Acadmico Republicade Italia
Rony Rodrguez ChavaraProfesor de MatemticaLiceo Rural Colonia del Valle
Rafael Gonzales PalaciosProfesor de MatemticaUnid. Pedaggica La Valencia
Rosa M. Soto PaladinaValley Forge High School.
Ricardo Mndez BlancoProfesor de MatemticaLiceo Rural de Cahuita
Shirley Marn AbarcaProfesora de MatemticaLiceo Santa Martha
Sterling Arce EspinozaProfesor de MatemticaC.T.P Castro Beer
Saray Gamboa CorralesProfesora de MatemticaLiceo de Chachagua
Siria Daz HernndezProfesora de MatemticaColegio Atlntico Siquirres
Sergio A. Madrigal CorderoProfesor de MatemticaLiceo de Tarrazu
Sergio Vanegas RojasProfesor de MatemticaLiceo Rural de Gandoca
Shirley Gonzlez AProfesora de MatemticaColegio Nocturno de Quepo
Shirley Cerdas PeaProfesora de MatemticaSindea Sardinal Carrillo
Shirley ValverdeProfesora de MatemticaLiceo de Atenas
Stephanie Herrera VargasProfesora de MatemticaC.T.P Las Palmitas
Teresita SnchezProfesora de MatemticaVocacional de Heredia
Tania CrdobaProfesora de MatemticaLiceo Joaqun Gutirrez Mangel
Tania RomeroProfesora de MatemticaUnidad Pedaggica Jos FidelTristn
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Thais Sandi MenaProfesora de MatemticaLiceo de Gravillas
Vctor RetanaProfesor de MatemticaLiceo del San Jos
Victoria Matarrita MndezProfesora de MatemticaColegio Marco Tulio: Holanda
Violeta LozanaProfesora de MatemticaCentro Educativo Adventista deLimn
Vicenta Laurence LpezProfesora de MatemticaLiceo Nocturno de Siquirres
Vanessa Gmez JimnezProfesora de MatemticaColegio Nocturno de Guay cara
Vialexca Membreo GonzlezProfesora de MatemticaC.T.P de Guatuso
Vctor Quirs OtrolaProfesor de MatemticaLiceo Finca Alajuela
Vernica Medrano RojasProfesora de MatemticasLiceo Judas de Chomes
Vernica Morales RamrezProfesor de MatemticaC.T.P Mario Quirs Sasso
William Guilln CarpioProfesor de MatemticaLiceo Ricardo FernndezGuardia
Wilberth Guido QuirsProfesor de Matemtica
Wendy Campos GuevaraProfesora de MatemticaLiceo Nocturno Paraso
Wayne Chacn BrenesProfesor de Matemtica
Wilmar Castro SolsProfesor de MatemticaLiceo Canan de Ros
Wilberth Altamirano SequeiraProfesor de MatemticaColegio Marco Tulio Salazar:Golfito
Xenia ParkerCentro Educativo
Adventista de CR
Xinia EspinozaProfesora de MatemticaLiceo San Francisco de Ass
Xiomara Rivera LpezProfesora de MatemticaLiceo Eco turista Quepo
Yajaira Abarca SolsProfesora de MatemticaLiceo de Laguna
Yulissa SolsProfesora de Matemtica
Yendri Naranjo RodrguezProfesora de MatemticaLiceo Sixaola
Yamil Villanueva DazProfesor de MatemticaColegio Tepecue
Yohan Gmez GarroProfesor de MatemticaCTP Jcaral
Yogen Suarez GarcaProfesor de MatemticaSindea Huacas
Yuri Lobo HernndezProfesora de MatemticaColegio La Aurora
Yajaira Rodrguez Gonzales.Profesora de MatemticaLiceo Rural de Manzanillo
Zeidy ChvezProfesora de MatemticaLiceo Castro Madriz
Zeidy Jarquin CalvoProfesora de MatemticaLiceo Rural Nueva Guatemala
Zeidy Cordero NezProfesora de MatemticaColegio Artstico Felipe Prez
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NDICE
UNIDAD I: RELACIONES Y LGEBRA
1. Ecuaciones de segundo grado de la forma 2ax c 14
2. Ecuaciones de segundo grado de la forma 2 0ax bx , 16
3. Ecuaciones de segundo grado de la forma 2 0ax bx c 18
4. Resolucin de problemas con ecuaciones cuadrticas 23
5. I Mtodo: Frmula General 31
6. II Mtodo: Inspeccin 35
7. III Mtodo: Frmula Notable 37
8. Factor Comn y Frmula Notable 38
9. Grupos y Factor Comn 40
10. Grupos y Diferencia de Cuadrados 42
11. Concepto de relacin 48
12. Variable dependiente y variable independiente 49
13. Despeje de variable 51
14. Concepto de funcin 52
15. Situaciones expresadas algebraicamente en la forma y ax b 59
16. Dominio, codominio, mbito, imagen, preimagen y notacin de funciones 62
17. Dominio mximo de funciones 73
18. Funcin lineal: concepto 80
19. Concepto de pendiente y de interseccin en la funcin lineal 82
20. Pendiente e interseccin a partir de los datos que proporciona una grfica 85
21. Problemas contextualizados que se modelan mediante funciones lineales 88
22. Rectas paralelas 92
23. Rectas perpendiculares 94
24. Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables 98
25. El mtodo de suma y resta 99
26. El mtodo de sustitucin 100
27. El mtodo de igualacin 101
28. Solucin de problemas mediante sistemas de ecuaciones lineales con dos variables 103
29. Funcin cuadrtica 107
30. Clasificacin de funciones de acuerdo a su codominio 119
31. Determinar el criterio de funciones inversas 123
32. La funcin exponencial 129
33. Ecuaciones exponenciales 132
34. La funcin logartmica 135
35. Ecuaciones logartmicas 138
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UNID D I
RELACIONES YLGEBRA
Conocimientos Habilidades especficasEcuaciones
Ecuaciones de segundo grado conuna incgnita Races
Discriminante
Conjunto solucin
Expresiones algebraicas
Polinomios Factorizacin
Funciones
Cantidades constantes Cantidades variables
Dependencia Independencia Elementos para el anlisis de una
funcin Dominio mbito
Codominio
Imagen Preimagen
Funcin lineal
Representacin algebraica Representacin tabular Representacin grfica
La recta Pendiente Interseccin Creciente Decreciente Sistema de ecuaciones
lineales
1. Analizar el nmero de races de una ecuacin de segundo grado con una incgnita a partirdel discriminante.
2. Resolver ecuaciones de segundo grado de la forma 2ax c , utilizando el mtodo del
despeje.
3. Resolver ecuaciones de segundo grado de la forma 2 0ax bx , utilizando factorizacin y
el mtodo del despeje.
4. Resolver ecuaciones de segundo grado de la forma 2 0ax bx c , utilizando la frmulageneral.
5. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado con una incgnita.6. Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con una incgnita.7. Factorizar trinomios de segundo grado con una variable mediante los siguientes mtodos:
inspeccin, frmula notable, frmula general.8. Factorizar en forma completa polinomios de tres o cuatro trminos con una o dos variables
mediante los siguientes mtodos: Factor comn y frmula notable, grupos y factor comn,grupos y diferencia de cuadrados.
9. Distinguir entre cantidades constantes y variables.10. Identificar y aplicar relaciones entre dos cantidades variables en una expresin matemtica.11. Identificar si una relacin dada en forma tabular, simblica o grfica corresponde a una
funcin.12. Evaluar el valor de una funcin dada en forma grfica o algebraica, en distintos puntos de su
dominio13. Interpretar hechos y fenmenos mediante relaciones que corresponden a funciones.14. Identificar el dominio, codominio, mbito, imgenes y preimgenes de una funcin a partir de
su representacin grfica.15. Determinar el dominio mximo de funciones con criterio dado por expresiones algebraicas
sencillas tales como: expresiones polinomiales de una variable; expresiones racionales con
denominador de la forma ,ax b ,a b reales; expresiones radicales de ndice par con
subradical de la forma ,ax b ,a b reales.16. Identificar situaciones del entorno que pueden ser expresadas algebraicamente en la forma
y ax b .
17. Representar en forma tabular, algebraica y grfica una funcin lineal (incluidas la identidad yla constante).
18. Determinar la pendiente y las intersecciones con los ejes de coordenadas de una funcinlineal dada en forma grfica o algebraica.
19. Analizar la monotona de una funcin lineal dada en forma tabular, grfica o algebraica.20. Determinar la ecuacin de una recta a partir de su pendiente y un punto que pertenece a la
recta.
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12 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
Conocimientos Habilidades especficas Funcin cuadrtica
Representacin algebraica
Representacin tabular
Representacin grfica La parbola: Concavidad,
simetra, vrtice Interseccin
Creciente Decreciente
La funcin inversa Inyectividad Sobreyectividad
Grfica de la funcin inversa Inversa de una funcin lineal Inversa de una funcin
cuadrtica La funcin exponencial y la
ecuacin exponencial La funcin logartmica y la
ecuacin logartmica
21. Determinar la ecuacin de una recta a partir de dos puntos que pertenecen a la recta.22. Determinar la ecuacin de una recta paralela a otra recta dada.23. Determinar la ecuacin de una recta perpendicular a otra recta dada.24. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante funciones lineales.25. Identificar situaciones que se modelan por un sistema de ecuaciones lineales con dos
variables.26. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante un sistema de
ecuaciones lineales con dos variables.27. Identificar situaciones del entorno que pueden ser modeladas por una funcin cuadrtica.
28. Representar grficamente una funcin con criterio 2y ax bx c .
29. Determinar el dominio, mbito, concavidad, simetras, vrtice y las intersecciones con losejes de coordenadas de una funcin cuadrtica dada en forma grfica o algebraica.
30. Analizar la monotona de una funcin cuadrtica dada en forma tabular, grfica o algebraica.31. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante funciones
cuadrticas.32. Identificar situaciones del entorno que involucran funciones inversas.33. Identificar las condiciones para que una funcin tenga inversa.34. Relacionar la grfica de una funcin con la grfica de su inversa, considerando el concepto
de eje de simetra.35. Determinar intervalos en los cuales una funcin representada grficamente tiene inversa.36. Determinar el criterio de las funciones inversas correspondientes a funciones con criterio de
la forma:
, 0,f x mx b m 2 , 0g x ax c a h x x b c , , ,a b c m reales.37. Identificar situaciones del entorno que involucran funciones exponenciales.38. Caracterizar la funcin exponencial de acuerdo a su criterio, dominio, mbito.39. Representar en forma tabular, algebraica y grfica una funcin exponencial.40. Analizar la monotona de una funcin exponencial dada en forma tabular, grfica o
algebraica.41. Determinar el conjunto solucin de una ecuacin exponencial que se reduce a la forma
, ,P x Q xb b P x Q x polinomios de grado menor que 3.42. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante una funcin
exponencial.43. Identificar situaciones del entorno que involucran funciones logartmicas.44. Caracterizar la funcin logartmica de acuerdo a su criterio, dominio, mbito.
45. Representar en forma tabular, algebraica y grfica una funcin logartmica.46. Analizar la monotona de una funcin logartmica dada en forma tabular, grfica o algebraica.47. Aplicar las propiedades de la funcin logartmica.48. Determinar el conjunto solucin de una ecuacin logartmica que se reduce a la forma
loga logaf x g x .
49. Determinar el conjunto solucin de una ecuacin exponencial que se reduce a la forma P x Q xa b , ,P x Q x polinomios de grado menor que 3.
50. Plantear y resolver problemas contextualizados que se modelan mediante una funcinlogartmica.
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RELACIONES Y LGEBRA 13
GRUPO FNIX
ECUACIONES
Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos
Pasos o fases Accin
Paso 1. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes deempezar a resolverlo.
Paso 2. Diseo Considerar varias formas para resolver el problema yseleccionar un mtodo especfico.
Paso 3. Control Monitorear el proceso y decidir cundo abandonaralgn camino que no resulte exitoso.
Paso 4. Revisin y comprobacin Revisar el proceso de resolucin y evaluar larespuesta obtenida.
Fuente: Programas de Estudio en Matemticas
Problema 1
Se cortan las esquinas de una lmina de cartn que mide 20 cm de largo por 10 cm de
ancho, para hacer una caja rectangular sin tapa. Cules son los valores posibles para laaltura " "x de la caja para que su volumen sea igual a 24x ?
Paso 1:
Paso 2:
Paso 3:
Paso 4:
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14 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
ECUACIONES
Etapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos
Habilidad # 2: Resolver ecuaciones de segundo grado de la forma 2ax c , utilizando el mtodo del despeje.
Habilidad # 5: Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado con una incgnita.
Ecuaciones de segundo grado de la forma 2ax cLas ecuaciones que se pueden expresar de la forma 2ax c con a, c constantes reales,
se resuelven simplemente despejando la variable x y luego, calculando la raz cuadrada
en ambos lados de la igualdad.
Ejemplo 1
Resolver la ecuacin 28 512x Ejemplo 2
Resolver la ecuacin 26 246 0x
2
2
2
8 512
512
8
64
64 8
: 8,8
x
x
x
x
S
2
2
2
2
6 246 0
6 246
246
6
41
41
: 41, 41
x
x
x
x
x
S
Ejemplo 3
Resolver la ecuacin 2 5 4 5x x x
Ejemplo 4
Resolver la ecuacin 3 2 3 2 0x x
2
2
0
2
5 4 5
5 5 4
4
4
: 2, 2
x x x
x x x
x
x
S
29 4
2
2
2
3 2 3 2 0
9 4 0
9 4
4
9
4 29 3
2 2: ,
3 3
x
x x
x
x
x
x
S
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RELACIONES Y LGEBRA 15
GRUPO FNIX
Trabajo cotidiano # 1
A. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadrticas
1. 22 8x
2. 23 27x
3. 24 64x
4. 25 125x
5. 26 216x
6. 22 8x
7. 23 27x
8. 24 64x
9. 25 125x
10. 26 216x
11. 2 49x
12. 2 64x
13. 2 81x
14. 2 100x
15. 2 121x
16. 22 8 0x
17. 23 27 0x
18. 2
4 64 0x
19. 25 125 0x
20. 26 216 0x
21. 2 64 0x
22. 2 81 0x
23. 2 100 0x
24. 2 121 0x
25. 22 10 8 10x x x
26. 23 7 27 7x x x
27. 24 13 64 13x x x
28. 25 42 125 42x x x
29. 26 101 216 101x x x
30. 2 3 9 40 3x x x
31. 2 5 4 60 5x x x
32. 2 3 10 91 3x x x
33. 2 15 115x x x
34. 2 11 14 135 11x x x
35. 2 2 0x x
36. 2 3 2 3 0x x
37. 3 4 3 4 0x x
38. 5 6 5 6 0x x
39. 7 10 7 10 0x x
40. 2 2 5 5x x x x
41. 2 3 2 3 13 13x x x x
42. 3 4 3 4 11 11x x x x
43. 5 6 5 6 12 12x x x x
44. 7 10 7 10 2x x x
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16 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
ECUACIONES
Etapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos
Habilidad # 3: Resolver ecuaciones de segundo grado de la forma 2 0ax bx , utilizando factorizacin y el
mtodo del despeje.Habilidad # 5: Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado con una incgnita.
Ecuaciones de segundo grado de la forma 2 0ax bx
Las ecuaciones que se pueden expresar de la forma 2 0ax bx con a, b constantes
reales, se pueden resolver por utilizando la factorizacin por el mtodo de factor comn.
Ejemplo 1
Resolver la ecuacin
2 23 2 2 12x x x x
Ejemplo 2
Resolver la ecuacin 2 2
1 2 1 0x x
1. Ordenamos la ecuacin de la forma2 2
2 2
2
3 2 2 12
3 2 2 12 0
5 10 0
x x x x
x x x x
x x
2. Se factoriza por el mtodo de factor
comn
25 10 0
5 2 0
x x
x x
3. Por la propiedad cero de la
multiplicacin tenemos que,
5 0 2 0x x
0 2x x
4. Por tanto
: 0 , 2S
1. Ordenamos la ecuacin de la forma
2 2
2 2
2 2
2
1 2 1 0
2 1 4 4 1 0
2 1 4 4 1 0
3 6 0
x x
x x x x
x x x x
x x
2. Se factoriza por el mtodo de factorcomn
23 6 0
3 2 0
x x
x x
3. Por la propiedad cero de lamultiplicacin tenemos que,
3 0 2 0x x
0 2x x
4. Por tanto
: 0 , 2S
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RELACIONES Y LGEBRA 17
GRUPO FNIX
Trabajo cotidiano # 2
A. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadrticas
1. 2 23 3 4x x x x
2. 2 22 4 3x x x x
3. 24 4 6x x
4. 23 6 1 1 2x x x
5. 22 5 3 3x x x
6. 22 10 8 8 11x x x
7. 23 6 27 27 7x x x
8. 2 24 13 64 13x x x x
9. 2 25 42 125 42x x x x
10. 2 26 111 216 101x x x x
11. 2 2 223 9 40 31x x x x x
12. 2 2 22 4 60 5x x x x x
13. 2 2 213 10 91 3x x x x x
14. 2 2 215 115x x x x x
15. 2 2 211 14 135 11x x x x x
16. 2 5 6 6x x
17. 2 4x x
18. 23 0x x
19. 26 0x x
20. 2
3 3 3 0x x
21. 2
5 2 2 2 3 4x x x x x
22. 2 2
2 2 1 3 1x x x
23. 2
4 4 4x x x
24. 7 2 4 1 2 8x x x x
25. 2 5 6 1 3 1 2 5x x x x
26. 4 1 2 3 5 2 3 2 7x x x x x
27. 6 3 1 32
x x x
28.21 2 1
2 3 6
x x
29.2 2
33 2
x x x xx
30.2 1 3 52 4 4
x x
31.2 1 1
1 13 3
xx
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18 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
ECUACIONES
Etapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos
Habilidad # 1:Analizar el nmero de races de una ecuacin de segundo grado con una incgnita a partir deldiscriminante.
Habilidad # 4: Resolver ecuaciones de segundo grado de la forma 2 0ax bx c , utilizando la frmula general.
Ecuaciones de segundo grado de la forma 2 0ax bx c
Las ecuaciones que se pueden expresar de la forma 2 0ax bx c con a, b, c constantes
reales, se pueden resolver por Frmula General.
Procedimiento:
1. Se identifica el valor de a, b, c en el polinomio y se calcula el discriminante ( )
2
4b ac
2. Se realiza el estudio del discriminante:
Valor del Interpretacin
0 La ecuacin tiene dos soluciones
0 La ecuacin tiene una soluciones
0 La ecuacin NO tiene soluciones reales
3. Se calculan las soluciones con la Frmula General:
Frmula general para ecuaciones
cuadrticas
2
bx
a
Forma alternativa
12
bx
a
2
2
bx
a
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RELACIONES Y LGEBRA 19
GRUPO FNIX
ECUACIONES
Etapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos
Habilidad # 1:Analizar el nmero de races de una ecuacin de segundo grado con una incgnita a partir deldiscriminante.
Habilidad # 4: Resolver ecuaciones de segundo grado de la forma 2 0ax bx c , utilizando la frmula general.
Ecuaciones de segundo grado de la forma 2 0ax bx c
Ejemplo 1
Resolver la ecuacin 22 5 3 0x x
Ejemplo 2
Resolver la ecuacin 2 16 63m m
1. Se calcula el discriminante ( )
2
2
4
5 4 2 3 49
b ac
2. El discriminante es positivo ( 0 ),
entonces la ecuacin tiene dos
soluciones
3. Se calculan las soluciones:
Primera solucin Segunda solucin
1
1
2
5 73
2 2
bx
a
x
2
2
2
5 7 1
2 2 2
bx
a
x
1: 3,
2S
1. Se calcula el discriminante ( )
2
2
4
16 4 1 63 4
b ac
2. El discriminante es positivo ( 0 ),
entonces la ecuacin tiene dos
soluciones
3. Se calculan las soluciones:
Primera solucin Segunda solucin
1
1
2
16 29
2 1
bm
a
m
2
2
2
16 27
2 1
bm
a
m
: 9 , 7S
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20 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
ECUACIONES
Etapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos
Habilidad # 1:Analizar el nmero de races de una ecuacin de segundo grado con una incgnita a partir deldiscriminante.
Habilidad # 4: Resolver ecuaciones de segundo grado de la forma 2 0ax bx c , utilizando la frmula general.
Habilidad # 5: Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado con una incgnita.
Ecuaciones de segundo grado de la forma 2 0ax bx c
Ejemplo 3
Resolver la ecuacin
3 2 11 2x x x
Ejemplo 4
Resolver la ecuacin 2 32 4
2
x xx
1. Ordenamos la ecuacin de la forma
2
2
2
3 2 11 2
3 6 11 2
3 6 11 2 0
3 17 2 0
x x x
x x x
x x x
x x
2. Se calcula el discriminante ( )
2
3 , 17 , 2
17 4 3 2
265
a b c
3. El discriminante es positivo ( 0 ),entonces la ecuacin tiene dos
soluciones
4. Se calculan las soluciones:
Primera solucin Segunda solucin
1
1
1
2
17 265
2 3
17 265
6
bx
a
x
x
2
2
2
2
17 265
2 3
17 265
6
bx
a
x
x
17 265 17 265: ,
6 6S
1. Ordenamos la ecuacin de la forma
2
2
2
2 2
2 2
2
342
1 2
8 32
2
4 8 3
4 8 3
4 8 3 0
5 3 8 0
x xx
x xx
x x x
x x x
x x x
x x
2. Se calcula el discriminante ( )
2
5 , 3 , 8
3 4 5 8
169
a b c
3. El discriminante es positivo ( 0 ),
entonces la ecuacin tiene dos
soluciones
4. Se calculan las soluciones:Primera solucin Segunda solucin
1
1
1
23 13
2 5
101
10
bx
a
x
x
2
2
2
23 13
2 5
16 8
10 5
bx
a
x
x
8: 1 ,
5S
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RELACIONES Y LGEBRA 21
GRUPO FNIX
Trabajo cotidiano # 3
A. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadrticas
1. 22 3 1 0x x
2. 2
3 2 1 0x x
3. 22 5 2 0x x
4. 24 3 1 0x x
5. 22 7 3 0x x
6. 25 4 1 0x x
7. 22 9 4 0x x
8. 26 7 1 0x x
9. 22 11 5 0x x
10. 27 8 1 0x x
11. 22 1 0x x
12. 24 4 1 0x x
13.
2
2 3 2 0x x
14. 29 6 1 0x x
15. 22 5 3 0x x
16. 216 8 1 0x x
17. 22 7 4 0x x
18. 225 10 1 0x x
19. 22 9 5 0x x
20. 236 12 1 0x x
21. 2 3 2x x
22. 2 4 3x x
23. 2
5 4x x
24. 2 6 5x x
25. 2 7 6x x
26. 2 2x x
27. 2 2 3x x
28. 2 3 4x x
29. 2 4 5x x
30. 2 5 6x x
31. 23 2 1x x
32. 24 3 1x x
33. 25 4 1x x
34.
2
6 7 1x x
35. 27 8 1x x
36. 24 4 1x x
37. 29 6 1x x
38. 216 8 1x x
39. 225 10 1x x
40. 236 12 1x x
41. 3 2 3 3x x
42. 4 2 1x x
43. 5 3 2 5x x
44. 6 2 5 12x x
45. 7 4 3 7x x
46. 8 2 7 24x x
47. 8 11 6 5x x x
48. 3 12 9 10 12x x x
49. 4 4 7 10 4x x x
50. 3 9 9 4 8x x x
51. 7 10 10 9 1x x x
52. 15 11 44 16 1x x x
53. 2 7 32
4
x xx
54. 2 7 314 28
2
x xx
55. 2 43 5
3
x xx
56. 2 54 6
4
x xx
57. 2 3 15 2
5
x xx
58. 2 3 11
2
x xx
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22 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
Ejercicios de profundizacin
A. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadrticas
1. 21 (2 ) ( 1)x x x
2. 2 1 3 3x x
3. 22 0x x
4. 2
3 2 2 2x x x
5. 1 1 2
2 x
x x
6. 3 16
42 2
x
x x
7.2
1 2
1 1x x
8.2 2
2 3 1
4x x x
9. 1
3 5 32 2
xx x
10. 4 3 6x x
11. 3 2 3 2 3x x x
12.1 1 5x x
13. 2
1 2 3x x
14. 2 1 2x x
15. 2 26 5x a ax
16.1 2 2 2 1x x
17.
8 26 14
2 3 2 3
x x
x x x x
18. 1 2 5x x
19. 2 2 3 2x x x x x x
20. 2 2 2 5 3x x x
21. 5
2 1 23
xx x x
x
22. 3 23 2 4 0x x x
23. 2 5 4x x
24.2
32 33
3 2 1
x
x x x
25. 7
2 2 4 22
x k kx
26.2
5 4 14 3
2 3 2 3 4 9
x
x x x
27. 4 24 13 9 0x x
28.2
1 21
x x
29.2
5 32
4 2 8x x x
30.2
2
2 7 16 2
6 2 3
x x x
x x x x
31. 4 24 5 0x x
32.2 1
3 33 4 4 0x x
33.
10 51 1
2 7 52 2
x x
34. 4 2
2 23 3 2 3 3 3x x x x
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23/156
RELACIONES Y LGEBRA 23
GRUPO FNIX
ECUACIONES
Etapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos
Habilidad # 6: Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con una incgnita.
Resolucin de problemas con ecuaciones cuadrticas
Pasos o fases AccinPaso 1. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de
empezar a resolverlo.
Paso 2. Diseo Considerar varias formas para resolver el problema yseleccionar un mtodo especfico.
Paso 3. Control Monitorear el proceso y decidir cundo abandonaralgn camino que no resulte exitoso.
Paso 4. Revisin y comprobacin Revisar el proceso de resolucin y evaluar larespuesta obtenida.
Fuente: Programas de Estudio en Matemticas
Ejemplo 1
Celeste desea calcular la medida del ancho de un rectngulo que tiene las siguientes
caractersticas: La medida de la diagonal excede en 1 al largo y en 8 al ancho.
Plan de solucin:
Suponiendo un caso particular Caso general
Ejecucin del plan de solucin:
2 2 2
2 2 2
2
1 2
1 8
2 1 16 64
18 65 0
13 5
x x x
x x x x x
x x
x x
Respuesta: Celeste calcul que la medidadel ancho del rectngulo mide 5, porque al
sustituir los valores en 8x se obtiene un
nmero positivo, siendo ste la medida del
ancho.
100
99
92 8x
1x
x
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24 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
ECUACIONES
Etapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos
Habilidad # 6: Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con una incgnita.
Resolucin de problemas con ecuaciones cuadrticas
Pasos o fases AccinPaso 1. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problema antes de
empezar a resolverlo.
Paso 2. Diseo Considerar varias formas para resolver el problema yseleccionar un mtodo especfico.
Paso 3. Control Monitorear el proceso y decidir cundo abandonaralgn camino que no resulte exitoso.
Paso 4. Revisin y comprobacin Revisar el proceso de resolucin y evaluar larespuesta obtenida.
Fuente: Programas de Estudio en Matemticas
Ejemplo 2
Gustavo Adolfo desea calcular el permetro de un cuadrado que tiene las siguientes
caractersticas: Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 6, entonces el
rea del cuadrado que se forma es cuatro veces el rea del cuadrado original.
Plan de solucin:
Cuadrado original Cuadrado aumentado
Ejecucin del plan de solucin:
2 2
2 2
2
1 2
6 4
12 36 4
3 12 36 0
6 2
x x
x x x
x x
x x
Respuesta: Gustavo Adolfo calcul que el
permetro del cuadrado original mide 24.
xx
x
x
6x
6x
6x6x
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RELACIONES Y LGEBRA 25
GRUPO FNIX
Trabajo cotidiano # 4
A. Resuelva los siguientes problemas utilizando ecuaciones cuadrticas
1. La medida de la diagonal de un rectngulo excede en 1 al largo y en 2 al ancho. Cul
es la medida del ancho del rectngulo?
2. La medida de la diagonal de un rectngulo excede en 5 al largo y en 10 al ancho.
Cul es la medida del largo del rectngulo?
3. La medida del ancho de un rectngulo es 7cm menor que el largo y 14cm menor que
la diagonal. Cul es la medida de la diagonal del rectngulo?
4. La medida del ancho de un rectngulo es 8cm menor que el largo y 16cm menor que
la diagonal. Cul es la medida de la diagonal del rectngulo?
5. La medida del largo de un rectngulo es 9cm menor que la diagonal y 9cm mayor que
el ancho. Cul es la medida del largo del rectngulo?
6. La medida del largo de un rectngulo es 10cm menor que la diagonal y 10cm mayor
que el ancho. Cul es la medida del ancho del rectngulo?
7. Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 2, entonces el rea del
cuadrado que se forma es cuatro veces el rea del cuadrado original. Cul es el
permetro del cuadrado original?
8. Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 3, entonces el rea del
cuadrado que se forma es cuatro veces el rea del cuadrado original. Cul es el
permetro del cuadrado original?
9. Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 8, entonces el rea del
cuadrado que se forma es nueve veces el rea del cuadrado original. Cul es el rea
del cuadrado original?
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26 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
10. Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 15, entonces el rea del
cuadrado que se forma es diecisis veces el rea del cuadrado original. Cul es el
rea del cuadrado aumentado?
11.Si el rea de un terreno rectangular mide 672m
2
y el largo excede al ancho en 4m,entonces determine la longitud del largo del rectngulo.
12. Si en un rectngulo, el permetro mide 34cm y el rea es de 72cm2, entonces
determine las dimensiones del rectngulo.
13. El rea de un rectngulo es 24. Si el largo es igual a 2 aumentado en el doble del
ancho, entonces determine la longitud del largo del rectngulo.
14. Si aumentamos el lado de un cuadrado en 9cm y disminuimos el otro lado tambin en
9cm, obtenemos con estas nuevas dimensiones un rectngulo de rea 144 cm 2.
Determine los lados del rectngulo.
15. Si una sala de sesiones tiene 12m ancho y 14m de largo, y quieren alfombrarla,
excepto un borde de ancho uniforme, entonces determine las dimensiones que deber
tener la alfombra si su rea es de 80m2
16. Si la suma de dos nmeros es 36 y su producto 323, entonces determine cules son
esos nmeros.
17. La suma de dos nmeros es 42 y su producto es 432. Determine los dos nmeros.
18. La suma de dos nmeros es 16, la diferencia de sus cuadrados es 32. Hallar los
nmeros.
19. Considere dos nmeros pares consecutivos, tal que el cuadrado del mayor sumado al
menor equivale a 810. Determine cules son los nmeros.
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RELACIONES Y LGEBRA 27
GRUPO FNIX
Ejercicios de profundizacin
1. Los tres lados de un tringulo rectngulo son proporcionales a los nmeros 3, 4 y 5. Halla
la longitud de cada lado sabiendo que el rea del tringulo es 24 2m .
2. Un jardn rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho est rodeado por un camino dearena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su rea es 540 2m .
3. Calcula las dimensiones de un rectngulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es
semejante a otro rectngulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.
4. Halla un nmero entero sabiendo que la suma con su inverso es26
5.
5. Dos cadas de agua, A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por s solo
en tres horas menos que B. Cuntas horas tarda a cada uno separadamente?
6. Los lados de un tringulo rectngulo tienen por medidas en centmetros tres nmeros
pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.
7. Una pieza rectangular es 4 cm ms larga que ancha. Con ella se construye una caja de
840 cm3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes.
Halla las dimensiones de la caja.
8. Un cao tarda dos horas ms que otro en llenar un depsito y abriendo los dos juntos se
llena en 1 hora y 20 minutos. Cunto tiempo tardar en llenarlo cada uno por separado?
9. La suma de las reas de dos crculos es 276 y la diferencia entre las medidas de sus
respectivos radios es 8. Cul es la medida del radio del crculo menor?
10. Un trozo de alambre de 100 2cm de largo, se corta en dos y cada pedazo se dobla para
que tome la forma de un cuadrado. Si la suma de las reas formadas es 397 2cm ,
encuentre la longitud de cada pedazo de alambre.
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28 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
11. Un hombre desea usar 6 3m de concreto para construir el piso de un patio rectangular. Si
la longitud del patio debe ser el doble de ancho y el grosor del piso debe ser de 8cm ,
encuentre las dimensiones del patio.
12. Se quiere construir un barril de petrleo cilndrico y cerrado con una altura de 4 metros,
de manera que el rea superficial total sea de 210 m . Determine el dimetro del barril.
13. Cuando el precio de una marca popular de aparatos de videos es de $300 (dlares) por
unidad, una tienda vende 15 unidades a la semana. Cada vez que el precio se reduce en
$10, sin embargo, las ventas aumentan en 2 unidades a la semana. Qu precio de venta
debe ponerse para obtener ingresos mensuales de $7000(dlares)?
14. Dos muchachos con radio-transmisores salen del mismo lugar a las 9:00 a.m, uno de
ellos camina hacia el sur a 4km/h y el otro camina hacia el oeste a 3km/h. Cunto
tiempo pueden comunicarse si cada radio tiene un alcance de 2km?
Trabajo extraclase # 1
1. Considere las siguientes ecuaciones
I. 2 4 0x II. 2 2 1 0x x Cules de ellas no tienen soluciones reales?
A) AmbasB) Ninguna
C) Solo la ID) Solo la II
2. El conjunto solucin de 5 2 1 9x x x x es
A) 6B) 5,5
C) 5, 5
D) 1 6,1 6
3. El conjunto solucin de
22
2 2 20 2x x x
esA) 8 , 2
B) 6 , 4
C) 6 , 4
D) 82 ,
3
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RELACIONES Y LGEBRA 29
GRUPO FNIX
4. Una solucin de 2 1 4
3 2 54
xx x
es
A) 3
2
B) 7
6
C) 1 2 2
2
D) 1 73
12
5. El conjunto de la solucin de 222 3 1x x x es
A) 1 5 1 5
,2 2
B) 3 5 3 5
,2 2
C) 3 21 3 21
,6 6
D) 5 13 5 13
,6 6
6. El conjunto solucin de 223 9 3x x x es
A) 3
B) 3
2
C) 3 , 32
D) 3
, 32
7. Una solucin de 4 2 1x x es
A) 1
4
B) 3
2
C) 3
12
D) 5
12
8. Considere el siguiente enunciado: La diferencia de los cuadrados de dos nmerosnaturales consecutivos es 17. Hallar los nmeros. Si x representa el mayor de losnmeros, una ecuacin que permite resolver el problema anterior es
A) 2 2 1 17x x
B) 2 2 1 17x x
C) 22 1 17x x
D) 22 1 17x x
9. Si el rea de un terreno rectangular mide 896m2 y el largo excede al ancho en 4m,entonces cul es la longitud en metros del largo del rectngulo?
A) 28B) 30
C) 32D) 34
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30 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
10. El producto de dos nmeros positivos es 2. Si el nmero mayor excede en 17
10al menor,
entonces cul es el nmero mayor?
A) 5
2
B) 45
C) 2
5
D) 310
11. El rea de un rectngulo es 15. Si el largo es igual a 4 aumentado en el triple del ancho,entonces cul es la longitud del largo del rectngulo?
A) 13
B) 7
8
C) 3
5
D) 912. La suma de dos nmeros es 23 y su producto 102. Cules son esos nmeros?
A) 17 y 6 B) 7 y 30
C) 11 y 12D) 6 y 17
13. Si el rea de un rombo es 6,4 y la longitud de una diagonal es un quinto del cudruplo de
la longitud de la otra diagonal, entonces cul es la medida de la diagonal de mayorlongitud?
A) 16
5
B) 16
9
C) 4
D) 2
14. El producto de dos nmeros negativos es 90. El nmero mayor excede en siete a untercio del nmero menor. Cul es el nmero menor?
A) 3B) 9
C) 30D) 10
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RELACIONES Y LGEBRA 31
GRUPO FNIX
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Etapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos
Habilidad # 7: Factorizar trinomios de segundo grado con una variable mediante los siguientes mtodos:inspeccin, frmula notable, frmula general.
I Mtodo: Frmula General
La frmula general adems es til para la factorizacin de un polinomio de la forma
2ax bx c con a, b, c constantes reales y 0c
Procedimiento:
1. Se identifica el valor de a, b, c en el polinomio y se calcula el discriminante ( )
2 4b ac
2. Se realiza el estudio del discriminante:
Valor del Interpretacin
0 El polinomio es factorizable como el producto
de dos factores distintos
0 El polinomio es factorizable como el producto
de dos factores iguales
0 El polinomio NO es factorizable
3. Se calculan los valores de x con la Frmula General:
Frmula general
2
bx
a
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32 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Etapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos
Habilidad # 7: Factorizar trinomios de segundo grado con una variable mediante los siguientes mtodos:inspeccin, frmula notable, frmula general.
I Mtodo: Frmula General
Ejemplo 1
Factorice el polinomio 24 12 9x x Ejemplo 2
Factorice el polinomio 25 2x x
1. Se calcula el discriminante ( )
2
2
4
12 4 4 9 0
b ac
2. El discriminante es cero ( 0 ),
entonces el polinomio es
factorizable como el producto de
dos factores iguales.
3. Se calculan los valores de x :
Primer factor Segundo factor
1
1
2
12 0 3
2 4 2
bx
a
x
12 3x
2
2
2
12 0 3
2 4 2
bx
a
x
22 3x
2
22
/ : 4 12 9 2 3 2 3
4 12 9 2 3
R x x x x
x x x
1. Ordenamos el polinomio de la forma
22 5x x
2. Se calcula el discriminante ( )
2
2
4
1 4 2 5 39
b ac
3. El discriminante es negativo ( 0
),entonces el polinomio NO es
factorizable.
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RELACIONES Y LGEBRA 33
GRUPO FNIX
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Etapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos
Habilidad # 7: Factorizar trinomios de segundo grado con una variable mediante los siguientes mtodos:inspeccin, frmula notable, frmula general.
I Mtodo: Frmula General
Ejemplo 3
Factorice el polinomio 22 5 3x x
Ejemplo 4
Factorice el polinomio 216 63y y
1. Se calcula el discriminante ( )
2
2
2 , 5, 3
4
5 4 2 3
49
a b c
b ac
2. El discriminante es positivo ( 0 ),
entonces el polinomio es
factorizable como el producto de
dos factores distintos
3. Se calculan los valor es de x :
Primer factor Segundo factor
1
1
1
1
2
5 7
2 2
12
4
3
bx
a
x
x
x
1 3x
2
2
2
2
2
5 7
2 2
2
4
1
2
bx
a
x
x
x
22 1x
2/ : 2 5 3 3 2 1R x x x x
1. Ordenamos el polinomio de la forma
2 16 63y y
2. Se calcula el discriminante ( )
2
2
1 , 16, 63
4
16 4 1 63
4
a b c
b ac
3. El discriminante es positivo ( 0 ),
entonces el polinomio es factorizable
como el producto de dos factores
distintos
4. Se calculan los valores de y :
Primer factor Segundo factor
1
1
1
1
2
16 2
2 1
18
2
9
by
a
y
y
y
1 9y
2
2
2
2
2
16 2
2 1
14
2
7
by
a
y
y
y
1 7y
2/ : 16 63 9 7R y y y y
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34 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
Trabajo cotidiano # 5
A. Factorice los siguientes trinomios de segundo grado utilizando la Frmula General.
1. 22 3 1x x
2. 23 2 1x x
3. 22 5 2x x
4. 24 3 1x x
5. 22 7 3x x
6. 25 4 1x x
7. 22 9 4x x
8. 26 7 1x x
9. 22 11 5x x
10. 27 8 1x x
11. 22 1x x
12. 2
4 4 1x x
13. 22 3 2x x
14. 29 6 1x x
15. 22 5 3x x
16. 216 8 1x x
17. 22 7 4x x
18. 225 10 1x x
19. 22 9 5x x
20. 236 12 1x x
21. 23 2x x
22. 24 3x x
23. 25 4x x
24. 26 5x x
25. 27 6x x
26. 2
2x x
27. 22 3x x
28. 23 4x x
29. 24 5x x
30. 25 6x x
31. 23 18y y
32. 22 15y y
33. 22 1y y
34. 2 7 60a a
35. 210 3 11a a
36. 29 25 30a a
37. 240 100 4m m
38. 29 4 12m m
39. 2 169 26m m
40. 224 144m m
41. 210 15 20n n
42. 213 90m m
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RELACIONES Y LGEBRA 35
GRUPO FNIX
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Etapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos
Habilidad # 7: Factorizar trinomios de segundo grado con una variable mediante los siguientes mtodos:inspeccin, frmula notable, frmula general.
II Mtodo: Inspeccin
Se utiliza para polinomios de la forma 2ax bx c , con , ,a b c y 0a . La factorizacin
de dicho polinomio debe ser de la forma 2ax bx c Ax B Cx D , donde , ,A B C son
nmeros enteros con , ,A C a B D c y A D B C b .
Caso generalEjemplo 1
Factorice el polinomio 22 5 3x x
1. Se buscan los factores para2ax y c
2. Se expresa la factorizacin
2ax bx c Ax B Cx D
1. Se buscan los factores para 2 3y
2. Se expresa la factorizacin
22 5 3 3 2 1x x x x
Ejemplo 2
Factorice el polinomio 26 23 10x x Ejemplo 3
Factorice el polinomio 24 12 9x x
1. Se buscan los factores para6 10y
Se expresa la factorizacin
26 23 10 3 10 2 1x x x x
1. Se buscan los factores para 4 9y
2. Se expresa la factorizacin de
224 12 9 2 3 2 3 2 3x x x x x
22 5 3x x
3x
2 1x
1 2 3 5x x x
Ax B
2ax bx c
Cx D
A D B C b
26 23 10x x
2 1x
3 1 2 10 23x x x
3 10x
24 12 9x x
2 3x
2 3x
2 3 2 3 12x x x
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36 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
Trabajo cotidiano # 6
A. Factorice los siguientes trinomios de segundo grado utilizando Inspeccin.
1. 22 3 1x x
2. 23 2 1x x
3. 22 5 2x x
4. 24 3 1x x
5. 22 7 3x x
6. 25 4 1x x
7. 22 9 4x x
8. 26 7 1x x
9. 22 11 5x x
10. 27 8 1x x
11. 22 1x x
12.
2
4 4 1x x
13. 22 3 2x x
14. 29 6 1x x
15. 22 5 3x x
16. 216 8 1x x
17. 22 7 4x x
18. 225 10 1x x
19. 22 9 5x x
20. 236 12 1x x
21. 23 2x x
22. 24 3x x
23. 25 4x x
24. 26 5x x
25. 27 6x x
26.
2
2x x
27. 22 3x x
28. 23 4x x
29. 24 5x x
30. 25 6x x
31. 23 18y y
32. 22 15y y
33. 22 1y y
34. 2 7 60a a
35. 210 3 11a a
36. 29 25 30a a
37. 240 100 4m m
38. 29 4 12m m
39. 2 169 26m m
40. 224 144m m
41. 24 2 6x x
42. 26 3 9x x
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RELACIONES Y LGEBRA 37
GRUPO FNIX
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Etapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos
Habilidad # 7: Factorizar trinomios de segundo grado con una variable mediante los siguientes mtodos:inspeccin, frmula notable, frmula general.
III Mtodo: Frmula Notable
Se utiliza para polinomios de la forma 2ax bx c , con , ,a b c y 0a .
1. Se calcula 2ax y c
2. Se determina si 22 ax c bx
3. En caso de ser cierto el procedimiento # 2 se expresa 2
2 2ax bx c ax c
Ejemplo 1
Factorice el polinomio 225 70 49x x
Ejemplo 2
Factorice el polinomio 220 100y y
1. Se calcula225 5x x y 49 7
2. Se determina si
2 5 7 70x x
3. El procedimiento # 2 es cierto,entonces
2225 70 49 5 7x x x
1. Se calcula2y y y 100 10
2. Se determina si
2 10 20y y
3. El procedimiento # 2 es cierto,entonces
22 220 100 20 100 10y y y y y
Trabajo cotidiano # 7
A. Factorice los siguientes trinomios de segundo grado utilizando Frmulas Notables.1. 2 2 1x x
2. 24 4 1x x
3. 29 6 1x x
4. 216 8 1x x
5. 225 10 1x x
6. 2 4 4x x
7. 24 12 9x x
8. 29 24 16x x
9.
2
16 40 25x x
10. 225 60 36x x
11. 2 6 9x x
12. 24 20 25x x
13. 29 42 49x x
14. 225 40 16x x
15. 2 2 1x x
16. 24 4 1x x
17. 29 6 1x x
18. 216 8 1x x
19. 225 10 1x x
20. 2 4 4x x
21. 24 12 9x x
22. 29 24 16x x
23. 216 40 25x x
24.
2
25 60 36x x
25. 2 6 9x x
26. 24 20 25x x
27. 29 42 49x x
28. 236 60 25x x
29. 225 40 16x x
30. 236 60 25x x
31. 249 28 4b b
32. 2 1 2w w
33. 225 9 30x x
34. 216 4 16x x
35.2
14
aa
36.2
14
bb
37.2
2 99n n
38.2 2
19 3
b b
39.24 1
9 3 16
x x
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38/156
38 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Etapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos
Habilidad # 8: Factorizar en forma completa polinomios de tres o cuatro trminos con una o dos variablesmediante los siguientes mtodos: Factor comn y frmula notable, grupos y factor comn, grupos y diferencia
de cuadrados.
Factor Comn y Frmula Notable
Ejemplo 1Factorice de forma completa el
polinomio 228 28 7x y xy y
Ejemplo 2Factorice de forma completa el
polinomio 3 2 2 2 28 40 50
7 7 7x y x y xy
1. Se determina el factor comn delpolinomio
2
2
28 28 7
7 4 4 1
x y xy y
y x x
2. Se factoriza el trinomio de segundogrado
2
2
7 4 4 1
7 2 1
y x x
y x
1. Se determina el factor comn delpolinomio
2 22
4 20 257
xy x x
2. Se factoriza el trinomio de segundogrado
2 2
22
24 20 25
7
22 5
7
xy x x
xy x
Ejemplo 3
Factorice de forma completa el polinomio 3 2 2 1x x x x 1. Se determina el factor comn del polinomio
3 2
2 2
2 1
2 1
x x x x
x x x x
2. Se factoriza el trinomio de segundo grado:
2 2
22
2 1
1
x x x x
x x x
3. Se factoriza la expresin que est dentro del parntesis cuadrado utilizando diferencia decuadrados:
22 1
1 1
x x x
x x x x x
4. Se simplifican los factores
1 1
1 1
2 1 1
2 1
x x x x x
x x x x x
x x
x x
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RELACIONES Y LGEBRA 39
GRUPO FNIX
Trabajo cotidiano # 9
A. Factorice de forma completa los siguientes polinomios.
1. 3 218 12 2x y x y xy
2. 4 3 248 24 3x y x y x y
3. 3 3 2 3 34 16 16x y x y xy
4. 4 2 3 2 2 245 120 80x y x y x y
5. 3 4 5 4 4 4150 54 180x y x y x y
6. 250 80 32
3 3 3
x y xy y
7. 3 264 64 16
5 5 5x y x y xy
8. 2 2 2 3 284 147 12
11 11 11x y xy x y
9. 2 3 4 3 3 336 16 48
7 7 7x y x y x y
10. 3 4 4 4 5 4125 120 45
3 3 3x y x y x y
11. 3 2 10 25x x x x
12. 3 2 4 4x x x x
13. 4 2 2 6 9x x x x
14. 5 3 24 4 1x x x x
15. 6 4 29 12 4x x x x
16. 5 2 72 9 24 16 8x x x x
17. 6 2 8
16 9 30 25 36x x x x
18. 7 2 9125 16 40 25 80x x x x
19. 2 38 18
25 20 43 3x x x x
20. 3 2 54 9
25 30 95 80
x x x x
21. 3 2 22xy xy x xy y
22. 4 2 2 24 4xy xy x xy y
23. 5 3 2 26 9xy xy x xy y
24. 2 3 2 2 24 4x y x y x xy y
25. 3 3 3 2 29 12 4x y x y x xy y
26. 3 4 3 2 2 29 24 16x y x y x xy y
27. 2 2 216 40 25xy xy x xy y
28. 4 2 4 4 2 2
25 20 4x y x y x xy y
29. 4 2 225 30 9xy xy x xy y
30. 3 5 2 29 30 25x y xy x xy y
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40 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Etapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos
Habilidad # 8: Factorizar en forma completa polinomios de tres o cuatro trminos con una o dos variablesmediante los siguientes mtodos: Factor comn y frmula notable, grupos y factor comn, grupos y diferencia
de cuadrados.
Grupos y Factor Comn
Ejemplo 1
Factorice de forma completa el
polinomio 23 8 6 4x y xy x
Ejemplo 2
Factorice de forma completa el
polinomio 23 4 6 2xy x y x
1. Se agrupan los trminos de dos en
dos tomando como criterio que cada
agrupacin tenga factor comn
2
2
3 8 6 4
3 6 8 4
x y xy x
x xy y x
2. Se determina el factor comn de
cada agrupacin
23 6 8 4
3 2 4 2
x xy y x
x x y y x
3. Se determina el factor comn entre
los dos grupos
3 2 4 2
3 2 4 2
2 3 4
x x y y x
x x y x y
x y x
1. Se agrupan los trminos de dos en
dos tomando como criterio que cada
agrupacin tenga factor comn
2
2
3 4 6 2
3 6 4 2
xy x y x
xy y x x
2. Se determina el factor comn de
cada agrupacin
23 6 4 2
3 2 2 2
xy y x x
y x x x
3. Se determina el factor comn entre
los dos grupos
3 2 2 2
3 2 2 2
2 3 2
2 2 3
y x x x
y x x x
x y x
x x y
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RELACIONES Y LGEBRA 41
GRUPO FNIX
Trabajo cotidiano # 10
A. Factorice de forma completa los siguientes polinomios.
1. 2 31x x x
2. 21 2 2x x x
3. 3 24 1 4x x x
4. 3 23 2 12 8x x x
5. 2 33 9 3x xy y y
6. 24 6 3 2x y xy x
7. 1 3 2 6x y xy
8. 24 3 6 2x xy y x
9. 2 28 4 5 10y x x y xy
10. n ym m yn
11. 2a a ax x
12. 3 1 3ab b a
13. 2yz z y y
14. 2 21by y b
15. 2 2 3 31ab a b a b
16. 4 43 2 3 2mx m x
17. 2 33 9 3a ab b b
18. 2 29 1 6n a an
19. 26 8 4 3mn n m m
20. 2 39 3 3ax x a x
21. 2 2 2 23 4 3 4x a x a
22. 2 22 6 3bx b x
23. 21 9 14 6x mx m
24. 2 22 2x z x z
25. 2 22 6 3b b a a
26. 4 3 4 3w m nw mn
27. 2 2 2 33 12 4n mn nm m n
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42 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Etapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos
Habilidad # 8: Factorizar en forma completa polinomios de tres o cuatro trminos con una o dos variablesmediante los siguientes mtodos: Factor comn y frmula notable, grupos y factor comn, grupos y diferencia
de cuadrados.
Grupos y Diferencia de Cuadrados
Ejemplo 1
Factorice de forma completa el
polinomio 2 210 16 25x x y
Ejemplo 2
Factorice de forma completa el
polinomio 3 2x x y xy
1. Se agrupan los trminos tres a uno,
2 2
2 2
10 16 25
10 25 16
x x y
x x y
2. Se factoriza el trinomio por Frmula
Notable
2 25 16x y
3. Se factoriza por diferencia de
cuadrados
5 4 5 4x y x y
4. Se simplifican los factores
5 4 5 4x y x y
1. Se agrupan los trminos de dos en
dos,
3 2
3 2
x x y xy
x xy x y
2. Se factoriza uno de los binomios por
factor comn
2 2x x y x y
3. Se factoriza uno de los binomios por
diferencia de cuadrados
x x y x y x y
4. Se factoriza toda la expresin por
factor comn y se simplifica
21
1
x y x x y
x y x xy
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RELACIONES Y LGEBRA 43
GRUPO FNIX
Trabajo cotidiano # 11
A. Factorice de forma completa los siguientes polinomios.
1. 2 2 22ab a b c
2. 2 2
6 9n n c
3. 2 2 22ac a c b
4. 2 2 22xz x z y
5. 2 22 1ax a x
6. 2 24 4 1x y xy
7. 2 2 22a ab b x
8. 2 22 1a a b
9. 2 22 1a a c
10. 2 225 1 2a m a
11. 225 10 9n n
12. 2 2 29 6a b c bc
13. 2 2 29 4 4x m am a
14. 2 224 9 1 16xy x y
15. 2 29 1 16 24x a ax
16. 2 2 29 4 6y x ay a
17. 2 2 4 2x y x x xy
18. 3 2
2 3 3 2x x y xy
19. 4 2 2 25 5xy x x y x
20. 4 2 24 1 4x x x
21. 3 212 4 27 9x x x
22. 3 28 12 18 27x x x
23. 2 336 4 9 16x x x
24. 2 390 8 40 18x x x
25. 2 318 4 8 9x x y x y
26. 2 236 4 9a ab b
27. 2 216 36 4 9a ab b
28. 2 24 1 4a b ab
29. 3 2 2 3x x y xy y
30. 4 3 2y y y y
31. 4 3 22 3 2 3y y y y
32. 3 3xy y x y y
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44 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
Ejercicios de profundizacin
A. Factorice de forma completa los siguientes polinomios.
1. 6 38x x
2. 2 35 3
2 2x x x
3. 3 23 2 6y y y
4.
2 22 2
2
7 8 9x x
b b
5. 2
2
3 16 1 xx
a a
6. 2 2 3 4 3 2
12 18
x x x
7. 2 24 9 10 15a b b a b
8. 2 2 24 12 4 9m ab a b
9.
2 2
2
15 12
2 2
m mp mp p
m m
10.
22 3 2 2
21 1
b a ba b a b
a a
11. 23 28 10 3q q p q q p q
12. 23 215 4 2 3 4 2 3y y x y y x y
13. 2 2 2 2
q p q q p q p p q p p q
14. 4 2 3b ba a
15.
3 2 4
10
a
m m
16. 3 2 1z zs s
17. 2
2 3n nx x
18. 1 2 1 1a a
x x
19. 2 2j x j
m m
20. 4
5 a b a b n
z z
21. 2 4 3
1 5 1m
x x
22. 1 3 1
2 2a a
m m
23. 3 1 3 2x x
a b a b
24. 2 1 2
2 2m
y y
25. 2 1 1 2 1 2 1 2m m m
x x x
26.
2 3 2 3 2n n
x y x y
27. 2 2 4
15 2 5 2 m
x x
28.
1
24 8
n nb a b a b
a a
29. 2 1 3 2 1 1
4 8
x xk k
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RELACIONES Y LGEBRA 45
GRUPO FNIX
Trabajo extraclase # 2
1. Al factorizar 3 2 1a a a un factor esA) 1a B) 2 1a
C) 2
1a
D) 2
2 1a
2. Un factor del polinomio 2
49 2 3x corresponde a
A) 5 3xB) 5 3x
C) 25 xD) 2 1 2 5x x
3. Al factorizar 2 26x ax a uno de los factores esA) 3x aB) 2x a
C) 6x aD) 2x a
4. Al factorizar 26 2x x uno de los factores esA) 2 2x
B) 3 2x
C) 2 2x
D) 3 2x
5. La factorizacin de
23
164
x es
A) 1
5 112
x x
B) 1
5 112
x x
C) 1
5 114
x x
D) 1
5 114
x x
6. Un factor de 2 1 2x y y es
A) 1x
B) 2 y C) 1x y
D) 1x y
7. Un factor de 24 1 1x x y es
A) 1x B) 1y
C) 2 1x y D) 2 1x y
8. Un factor de 2 26 3 6 3y x x y esA) x yB) x y
C) 2x y D) 2x y
9. Al factorizar 2 2 4 4a b b uno de los factores esA) 1 bB) a b
C) 2a b D) 2a b
10. La expresin 2 22 1x y x factorizada corresponde a
A) 1 1y x y x
B) 1 1y x y x
C) 1 1y x y x
D) 1 1y x y x
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46 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO FNIX
11. En la factorizacin completa de 2 1
2 2
xx uno de los factores es
A) 2 1x
B) 2 1x
C) 1
2x
D) 1
2x
12. En la factorizacin completa de 3 2 28 4 8 4x x y x xy uno de los factores esA) x yB) 1x
C) 2x yD) 2 1x
13. En la factorizacin completa de 6 38x x uno de los factores esA) 2x
B) 3
2x
C) 2 4 4x x D) 2 2 4x x
14. En la factorizacin completa de 316 4x x uno de los factores esA) 2 1x
B) 2
2 1x
C) 24 2 1x x D) 24 2 1x x
15. Una factorizacin de 4 2 2 44 12 9x x y y es
A) 4 44 6x y
B) 2
2 22 3x y
C) 2
2 22 3x y
D) 2 2 2 22 3 2 3x y x y
16. Uno de los factores de 2 2 3 4 3 2x x x es
A) 4x
B) 2x
C) 3 2x
D) 2
4x
17. Uno de los factores de 2 2 2k p k p es
A) 2p
B) 22pC) 2 2k p
D) 2
k p
18. En la factorizacin completa de 2 24 4y x x uno de los factores esA) 4x B) 2y
C) 2y x D) 2y x
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RSI N
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RELACIONES Y LGEBRA 4
GRUPO NIX
FUNCIONES
Etapa 1: El aprendizaje de conocimientos
Pasos o fases Accin
Paso 1. Entendimiento del problema Tener claridad sobre lo que trata el problemaantes de empezar a resolverlo.
Paso 2. Diseo Considerar varias formas para resolver elproblema y seleccionar un mtodo especfico.
Paso 3. Control Monitorear el proceso y decidir cundoabandonar algn camino que no resulte exitoso.
Paso 4. Revisin y comprobacin Revisar el proceso de resolucin y evaluar larespuesta obtenida.
Fuente: Programas de Estudio en Matemticas
Problema 1
La poblacin de asalariados cubiertos por seguro de salud de la Caja Costarricense de
Seguro Social aparece indicada en la siguiente tabla:
Fuente: Programa Estado de la Nacin 2011 http://www.estadonacion.or.cr/
La cantidad de asalariados A cubiertos por seguro de salud puede ser aproximada por el
modelo matemtico 21941 20494 707542A t t t en donde t representa el ao,
con 0t correspondiente al ao 2000. En este caso la grfica correspondiente no
pasa por los puntos que representan los datos de la tabla (es una curva que aproxima los
datos).
En qu ao la cantidad de asalariados cubiertos por el seguro de salud ser 1 500 000
aproximadamente?
AoNmero deasalariados
2000 726 0482001 727 6032002 754 7312003 770 0322004 800 1232005 842 1392006 896 4192007 972 2082008 1 054 4972009 1 038 2372010 1 075 528
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48/156
48 RELACIONES Y LGEBRA
GRUPO NIX
FUNCIONES
Etapa 2: La movilizacin y la aplicacin de los conocimientos
Habilidad # 9: Distinguir entre cantidades constantes y variables.Habilidad # 10: Identificar y aplicar relaciones entre dos cantidades variables en una expresin matemtica.
Concepto de relacinEl concepto de relacin implica la idea de correspondencia entre los elementos de dosconjuntos.
Ejemplo 1 Ejemplo 2
Analicemos mediante un diagrama elsiguiente caso donde existe una relacinentre estudiantes y su edad.
Analicemos el siguiente caso dondeexiste una relacin entre estudiantes y elnmero de miembros d