Sergio Yansen Nez

Actividad N 1

Calcule, en caso de existir, los siguientes lmites:

a) lim limB!

B

=/8#B=/8$BB B (#B

#B( *#B

(#B# $ (#

b)

l l

Actividad N 2

Sea una funcin definida como sigue:0

si

si

si

0B

B "

* B "

B "

+B +BB %B$

+," B

#

#

Determine, si es posible, y tales que sea continua en .+ , 0 B "

Actividad N 3

a) Sea tal que ; ; ; .1B 0 0 #B 0% " 0" # 0 " $ 0 % $ $ w w

Determime .1 #w

b) Determine la derivada de 2B &=/8B -9= #B # $ %68&B $# (

// /

/

#B B#

Actividad N 4

Sea 0B #B " B -(

Determine, si es posible, el valor de la constante real tal que:-

#B "0 B "%0 Bww w

Actividad N5

a) Determine la derivada de 0B -9= $B # # / #B ##B

%

b) Sea una funcin diferenciable en 1 . Considere .2B B 11#B Determine si .2 $ 1' # 1 ' % 1# & 1 # 'w w w

Sergio Yansen Nez

Actividad N6

La base de un rectngulo aumenta a mientras que su altura decrece a . Con% $-7 -7=/1 =/1qu rapidez cambia su rea cuando la base mide y la altura ? Aumenta o#! -7 "# -7disminuye el rea en ese momento? Justifique.

Actividad N 7

a) Calcule , sabiendo que y son funciones diferenciables en , tales que:1 ! 0 1w

, , .1B =/8 0 0#B 0! ! 0 ! " w b) Sea una funcin definida por .2 2B #/ /

B "' & *

%

B ($B &

/

Determine .2 Bw

Actividad N 8

El volumen de un globo esfrico aumenta a una razn constante de metros cbicos por"!hora. En el instante en que el radio mide metros, determine la rapidez con que aumenta&el rea.

( Volumen: ; )Z < E %

Sergio Yansen Nez

Resolucin

Actividad N 1

Solucin:

a) lim lim limB! B! B!

=/8#B=/8$B =/8#B=/8$B #=/8#B $=/8$BB B B "B #B $B "B

"# $ #

# $ " '

b) limB (

#

#B((#B

*#B

(#Bl l

lim lim limB B B ( ( (

# # #

#B( #B( #B((#B (#B #B(l l "

limB (

#

*#B

(#B

"" "

Por tanto, limB (

#

#B((#B

*#B

(#Bl l

" " !

Actividad N 2

Solucin:

1) , " H970 0" *

2) existe lim lim limB" B"B"

0B 0B 0B

lim limB" B"

0B +, +," B #

lim lim lim lim

B" B" B" B" 0B +B +B +B + +B %B$ B"B$ B$ # #

+BB"##

lim limB" B"

0B 0B , #++, +# #

$ 0B 0" * + ") , $' lim

B"

+#

Sergio Yansen Nez

Por tanto, es continua en si y slo si y .0 " + ") , $'

Actividad N 3

Solucin:

a) 1B 0 0 #B $

1 B $ 0 0 #B 0 0 #B 0 #B #w w w#

1 # $ 0 0 % 0 0 % 0 % #w w w#

$ 0" 0 " $ # # w $ # $ $ # #"'#

b) 2B &=/8B -9= #B # $ %68&B $# (

// /

/

#B B#

2 B & -9=B #B -9= #B =/8B $-9= #B =/8 #B #w # $ # # "# #B

% &!# ( %68&B $ # #( #B#/ (/

"

&B

#B B #B B# #

/ / / / / /

#B B ##

Actividad N 4

0B #B " B -(

0 B (#B " #B - #B " #B " "'B "%- "w ' ( '

0 B '#B " #"'B "%- " #B " "' #B " ##%B "')- #)ww & ' &

Reemplazando en se obtiene:#B "0 B "%0 Bww w

#B "#B " ##%B "')- #) "%#B " "'B "%- "& '

#B " ##%B "')- #) "%#B " "'B "%- "' '

Sergio Yansen Nez

##%B "')- #) "%"'B "%- " - "#

Actividad N5

a) Determine la derivada de 0B -9= $B # # / #B ##B

%

b) Sea una funcin diferenciable en 1 . Considere .2B B 11#B Determine si .2 $ 1' # 1 ' % 1# & 1 # 'w w w

Solucin

a)

0 B #-9=$B # =/8$B # $ w/ #B #/ #%B

B #

#B % #B $

% #

b) 2 B 11#B B 1 1#B 1 #B #w w w

2 $ 11' $ 1 1' 1 ' #w w w

2 $ 1# $ 1 # % #w w

2 $ & $ ' % #w

2 $ "%*w

Actividad N6

La base de un rectngulo aumenta a mientras que su altura decrece a . Con% $-7 -7=/1 =/1qu rapidez cambia su rea cuando la base mide y la altura ? Aumenta o#! -7 "# -7disminuye el rea en ese momento? Justifique.

Solucin

Sean la base, altura y rea del rectngulo respectivamente., 2 E

E , 2 ..>

.E ., .2.> .> .> 2 ,

Reemplazando , se obtiene, #! 2 "# % $., .2.> .>

Sergio Yansen Nez

.E.> "#4 12 20 (-3)

El rea del rectngulo decrece a ."# -7=/1#

Actividad N 7

a) , .0! ! 0 ! "w

1B =/8 0 0#B

1 B -9= 0 0#B 0 0#B 0 #B #w w w

1 ! -9= 0 0# ! 0 0# ! 0 # ! #w w w 1 ! -9= 0 0! 0 0! 0 ! #w w w

1 ! -9= 0! 0 ! " #w w

1 ! -9=! " " #w

1 ! " " " #w

1 ! #w

b) 2B #/ /B "' & *

%

.B ($B &/

2 B #/ 'B w &"

# B "

B "'

'

!*B ( &B $B & B ( "#B$B && ) % % & * $

% #

Actividad N 8

Sean , , el rea de la superficie , el volumen y el radio del globo respectivamente.E Z

Sergio Yansen Nez

Z < % .$ .>1$

.Z % . $ .> $< 1#

.Z . .> % < 1#

"! % & 1 # .

.< ".> "! 1

E % < 1 # ..>

.E.> % #< 1.

.E.> ) < 1.

.E ".> "! ) & 1 1

.E.> %

Por tanto, el rea aumenta a metros cuadrados por hora en el instante en que el%radio es metros.&

Actividad N 9

Resolucin:

Sea el volumen comprendido entre esferas concntricas y , los radios de laZ # < 1 1" #$ $

.Z %.> $ .> .>.< . .> .>.< . #"" # # en (* ) se obtiene:

Sergio Yansen Nez

3.Z ".> # " (%% # 1 1 # #

Por tanto, el volumen aumenta a una rapidez de el radioZ (%172$ en el instante en que

exterior es , y el radio interior es .$7 "7