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CÁLCULO 3Derivadas parciales. El plano tangente.

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Logros de la sesión:

Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas vinculados a la gestión e ingeniería a partir de la derivada parcial y direccional usando el cálculo de la gradiente, e interpretando su resultado con las propiedades físicas que el tiene.

DERIVADAS PARCIALES

NOTACIÓN DE LAS DERIVADAS PARCIALES

Ejemplo

PLANO TANGENTE

Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.

ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE

Ejemplo

Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide en el punto

RECTA NORMAL Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente.

LA GRADIENTE

PROPIEDADES DE LA GRADIENTE

Ejemplo

Determine la ecuación del plano tangente y la recta normal al hiperboloide de dos mantos en el puntoSoluciónHaciendo: 1),,( 222 yxzzyxFtenemos que:

6

2

1

2

42

22

zz

yy

xx

zF

yF

xF

Por tanto, la ecuación del plano tangente es: 162 zyx

Por otro lado, la ecuación de la recta normal es :

626

42

21

tz

ty

tx

Ejemplo

Ejemplo

Hallar el o los puntos de la esfera en los cuales el plano tangente es paralelo al planoSolución

Sea uno de estos puntos, entonces por estar en la esfera: Por otro lado, por ser el plano tangente a la esfera en el punto

 paralelos, sus vectores normales son paralelos, es decir : y el plano

Entonces se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

De donde obtenemos que los puntos que buscamos son:

Ejemplo

¿En qué punto de la superficie ?

Solución Sea el punto que buscamos. Si la recta normal es paralela al vector entonces su vector director también es paralelo a    ;con lo cual, si :

entonces :

Evaluando en esta sobre la superficie, por lo que satisface su ecuación :

Obtenemos el siguiente sistema:

Y así, el punto buscado es:

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# CÓDIGO AUTOR TÍTULO EDITORIAL

1515.33 PURC

PURCELL, EDWIN J.

Cálculo Diferencial E Integral

Pearson Educación

2515

STEW/M 2002

STEWART, JAMES

Cálculo Multivariable

Cuarta edición, Mexico 2001, Edit. Thomson

3 515 HOFF/C 2006

HOFFMANN, LAURENCE D.

Cálculo Aplicado Para Administración,

Economía Y Ciencias Sociales

Octava edición, México

2007,.Mcgrawhill

BIBLIOGRAFÍA