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INDICE:
1.- INTRODUCCION 3
2.- OBJETIVOS 4
3.-MARCO TEORICO 5
4.- ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA 5
5.-ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALESSEPARABLES 8
6.- ECUACIONES CLASICA Y PROBLEMAS DE VALOR EN LAFRONTERA 11
7.- ECUACIÓN DE TRANSMISIÓN DE CALOR ECUACIÓN DE ONDA.
1!
8.- ECUACIÓN DE LAPLANCE. 25
!.-ECUACIONES NO "OMO#ENEAS Y CONDICIONES EN LASFRONTERAS 2!
1$.- CONCLUSIONES 32
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INTRODUCCIÓN
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OBJETIVOS
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ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA
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2θ
d x
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d2
θ
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dx
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dt
|¿0 ,0< x<1t =0
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S:/&%()*
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X ' ' +γ
2 X =0 , T
' ' +a2
γ 2
T =0
E*:*%G
X ( x )=c1
cosγx+c2
senγx y T ( t )=c3
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senaγt
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2 )πt sen(2n−1
2 ) πx
P'' '(,'% /' %:*+(%()* (*(%('/ '* ,:;';:G
θ ( x , t )=∑n=1
∞
An cosa
(2n−1
2
)πt sen
(2n−1
2
)πx
C&'*+: t =0 + * '' 0< x<1
θ ( x ,0 )= x=∑n=1
∞
An sen (2n−1
2 )πx
L' ( &*' ( + F:&( ?*'/(9'+' : %:*(?&(*G
A n=∫0
1
xsen(2n−1
2 )πxdx
∫0
1
sen2( 2n−1
2 )πxdx
E*:*% / <*?&/: + :%(;(*: G
θ ( x , t )= 8
π 2∑n=1
∞ (−1)n+1
(2n−1 )2 cosa
(2n−1
2 )πt sen
(2n−1
2 )πx
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PROBLEMAS DEVALOR INICIALY DE FRONTERA
E;/:G
1. U*' '=%&/' P ;&0 ' /: /'?: +/ + ;'*' '/ >& &
'%/'%()* * %&'/>&( (;: t ≥0 < +'+' :
a(t )=8−4 t +t 2
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%&'/>&( (;: &:*(*+: >& (*(%('/;* /' '=%&/' <
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R:/&%()*G
R%&+ >& /' (;' +(0'+' + /' :(%()* *: +' /' 0/:%(+'+ /' ?&*+' +(0'+' /' '%/'%()*. D +:*+ / :/;' + 0'/:(*(%('/ ='G
d2 x
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2
x (0 )=1
x' (0 )=−3
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dxdt =8t −2 t
2+ t 3
3+ A
&'*+: /' %:*+(%()* X (0)=1 :+;: '//' >& A=3 , %:* /:
%&'/ /' 0/:%(+'+ * %&'/>&( (;: ='G
dxdt =8t −2 t 2+ t
3
3 −3
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x ( t )= 1
12t 4−
2
3t 3+4 t
2−3 t +1
ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALESSEPARABLES
E* ;' 0;: +: :%+(;(*: '' :/0 %&'%(:** +(0'+' '%('/ >& &?* %:* ,%&*%(' * :/;'+:*+ ''%* 0('%(:* :*%('/ +((&%(:* +;'&'. E: :/;' //';'* :/;' + 0'/: * /',:*' +%(* ;+('* %&'%(:* + +(0'+' '%('/+ ?&*+: :+* >& :* /'(0';* (;/. L: >& '%
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C:;*9';: %:* / ;:+: + ''%()* + 0'('/ ''%&'%(:* * +(0'+' '%('/ /(*'/. S& '/(%'%()* *: ?'' /: (;:'* %:*%: + /: 0'/: ,&*%(:* :(: +/+'://: + &*' ,&*%()* * &*' ( (*H*(' + ,&*%(:*::?:*'/.
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(*+*+(* x y , G
A d
2u
d x2+B
d2
u
dxdy +C
d2
u
d y2+ D
du
dx+ E
du
dy + Fu= ,
E* >& A , B , C , ! , :* ,&*%(:* + ( x , y ) . C&'*+: ( x , y )=0,
/' %&'%()* //';' :;:?*' * %&'/>&( :: %': *::;:?*'.
Ejemplo 01:
EDP /(*'/ :;:?*'.
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L' %&'%()* d
2u
d x2+
d2
u
d y2−u=0 :;:?*' ;(*' >&
d2
u
d x
2−
du
dy
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*: :;:?*'.
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0'('/ (*+*+(* ( x , y ) &*' ,&*%()* u( x , y ) >& :
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Sepaa!"#$ %e &a"a'le(. A&*>& ' 0'(: ;:+: >&
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u ( x , y )= X ( x ) ." ( y ) ,
' 0% :(/ %:*0( &*' %&'%()* * +(0'+' '%('//(*'/ %:* +: 0'('/ * +: %&'%(:* +(,*%('/ :+(*'('.
P'' '%/: *:;: >&du
dx= X
' "
du
dy= X" '
" #ue d
2u
d x2= X
' ' "
d2
u
d y2= X" ' '
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D:*+ /' (;' +*:' +(0'%()* :+(*'('.
Ejemplo 0): S''%()* + 0'('/
D;(* /' :/&%(:* :+&%: +d
2u
d x2=4
du
dy
Sol*!"#$:
S( u ( x , y )= X ( x ) " ( y ) , /' %&'%()* '*,:;' *
X ' '
" =4 x" '
D(0(+(;: ';: /'+: * 4 X" , %:* /: %&'/ '';: /'
0'('/G
X ' '
4 x =
" '
"
P&: >& / /'+: (9>&(+: + ' %&'%()* (*+*+(* + (?&'/ '/ /'+: +%: >& (*+*+(* + //?';: ' /'
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E* /' <%(%' '%:&;' %(( ' %:*'* + ''%()*
'/ %:;: γ 2
o−γ 2
.
D((*?&(;: /: %': (?&(*.
Ca(o 01: S( γ 2>0, /' +: (?&'/+'+G
X ' '
4 x =
" '
" =γ
2
E/ %&'/ +'* X ' ' −4 γ
2 X =0 y "
' −γ 2
" =0
E' %&'%(:* (** /' :/&%(:* (?&(*G
X =c1
e−2 γx+c
2e2 γx
y " =c3
eγ 2 y
,
R%(0';*. A= &*' :/&%()* '(%&/' + /' %&'%()*
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u= X"
¿ (c1e−2 γx+c
2e2 γx )(c
3e
γ 2 y )
¿ A1
e−2 γx
eγ 2 y+B
1c2
e2 γx
eγ 2 y
,
E* >& A1=c
1c3 y B
1=c
2c3
Ca(o ): S( −γ 2<0, /' +: (?&'/+'+
X ' '
4 x =
" '
" =−γ
2
E>&(0'/* ' X ' ' +4 γ
2 X =0 y "
' +γ 2
" =0
E* 0(' + >& /' :/&%(:* + ' %&'%(:* :*G
X =c4cos2 γx+c
5sen2γx y " =c
6e−γ
2 y
R%(0';* :' :/&%()* '(%&/' G
u= A2
e−γ
2 ycos2γx+B
2e−γ
2 y
sen2 γx
E* +:*+ A2=c
4c6 y B
2=c
5c6
Ca(o +: S( γ 2=0, *:*%
X ' ' =0 y "
' =0
E* %':
X =c7 x+c
8 y " =c
9
u= A3 x+B3
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Y *:*%G
u= A3 x+B
3
4
E* +:*+ A3=c
7c9
B3=c
8c9
L' ''%()* + 0'('/ *: &* ;:+: ?*'/ '' '//':/&%(:* '(%&/' '/?&*' %&'%(:* +(,*%('/(;/;* *: :* ''/.
C/'(H%'%()* + /' %&'%(:*.- U*' %&'%()* * +(0'+' '%('/
/(*'/ + ?&*+: :+* %:* +: 0'('/ (*+*+(* %:*%:H%(* %:*'* &+ *% ' &*: + (:?*'/.
TEOREMA: p"$!"p"o %e (*pepo("!"#$,
S( u1
,u2
, ! ! , un :* :/&%(:* + &*' %&'%()* * +(0'+'
'%('/ /(*'/ :;:?*' /' %:;(*'%()* /(*'/
u=c1
u1+c
2u
2+...+c$ u$
E* /' >& c %=1,2,! , $ :* %:*'* ';(* &*' :/&%()*.
S&:*+;: >& (; >& '' &* %:*&*: (*H*(:
u1
,u2
, u3
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D :/&%(:* + &*' %&'%()* /(*'/ :;:?*' &+ %:*&(:' :/&%(:* & ,:;'*+: /' ( (*H*('
u=∑$ =1
x
c$ u$
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Cla("-!a!"#$ %e la( e!*a!"o$e(,. &*' %&'%()* * +(0'+''%('/ /(*'/ + ?&*+: :+* %:* +: 0'('/
(*+*+(* %:* %:H%(* %:*'* &+* *%' &*: + (: ?*'/. E' %/'(H%'%()* :/: +*+ +
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/: %:H%(* + /' +(0'+' + ?&*+: :+*. N'&'/;*&:*;: >& '/ ;*: &*: + /: %:H%(* A B C *: %:.
L' %&'%()* * +(0'+' '%('/ /(*'/ + ?&*+: :+*
A d2u
d x2+B
d2u
dxdy +C
d2u
d y2+ D
du
dx+ E
du
dy + Fu=0,
E* +:*+ A B C D E F :* %:*'* '/
"()/(%' ( B2−4 AC >0
P'')/(%' ( B2
−4 AC =0
E/=(%' ( B2−4 AC <0
EJEMPLO 3G C/'(H%'%()* + /' %&'%(:* +(,*%('/ /(*'/ +?&*+: :+*
C/'(H>& /' (?&(* %&'%(:*G
(a )3 d
2u
d x2=
du
dy(& ) d
2u
d x2=
d2
u
d y2 (c ) d
2u
d x2+
d2
u
d y2=0
SOLUCION
' E%((;: ' %&'%()* %:;:G
3 d
2u
d x2−
du
dy=0
(+*(H%';: + ' ,:;' /: %:H%(*G
A=3, B=0 y C =0, * 0(' + >& B2−4 AC =0, /' %&'%()*
'')/(%'.
R'?/';: /' %&'%()*G
d
2u
d x2− d
2u
d y2=0
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Y 0;: >& A=1, B=0, C =−1
B2−4 AC =−4 (1)(−1)>0. L' %&'%()* ()/(%'.
% C:* A=1, B=0,C =1, *:*% B
2
−4 AC =−4 (1)(1)<0, /'%&'%()* /=(%'.
L' /(%'%()* +'//'+' + : >& %/'(H%'* /' %&'%(:*+(,*%('/ + ?&*+: :+* '/ +/ :)(: + ;' :/' &' < * / %: + >& +' :/0 %&'%(:*&' ' %(' %:*+(%(:* >& &+* + ,:*' : (*(%('/ /(: + %:*+(%(:* '+%&'+' '' %(' %&'%()* +*+ + ( ()/(%' '')/(%' : /=(%'.
ECUACIONES CLASICA Y PROBLEMAS DE VALOR EN LAFRONTERA
D&'* / : +/ %'=&/: *: :%&';: (*%('/;* * '//':/&%(:* * ,:;' + :+&%: + /' %&'%(:* * +(0'+''%('/
$ d2
ud x
2=dudt
, $ >0 1
a2 d
2u
d x2=d
2u
d t 2 , 2
d2
u
d x2+ d
2u
d y2=0 3
O >&' 0'('%(:* + /' ;(;'. A ' %&'%(:* %/<(%'+ /' ,=(%' ;';<(%' / %:*:% %(0';* %:;:%&'%()* * &*' +(;*()* + %'/: %&'%()* + :*+'&*(+(;*(:*'/ %&'%()* + L'/'% * +: +(;*(:*. E* &*'+(;*()* (*+(%' >& *' &*' +(;*()* '%('/ >&
*' '/ (;:. L' %&'%()* + L'/'% '0(' 2
u=0
+:*+
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2
u=d
2u
d x2+
d2
u
d y2
E / /'/'%('*: * +: +(;*(:* + /' ,&*%()* u . E*
+(;*(:* / /'/'%('*: + u G
2
u= d2
u
d x2+ d
2u
d y2+ d
2u
d (2
O0 >& /' %&'%()* (1) + '*;(()* + %'/:
'')/(%' /' %&'%()* + :*+'(2)
()/(%' /' %&'%()* +L'/'% (3) /=(%'.
E%&'%()* + '*;(()* + %'/:.- L' %&'%()* (1) :(?(*' * /'
:=' +/ @&: + %'/: : / %'/: '*,(+: : %:*+&%%()*
* &*' 0'(//' : '/'; +/?'+:. L' ,&*%()* u( x ,t ) /'
;'&'. L: :/;' + 0('%(:* ;%<*(%' %:*+&%* %:*
,%&*%(' ' /' %&'%()* + :*+' (2). P'' /: H* >& '*'/(9'*
'>&= &*' :/&%()* u( x ,t ) + /' %&'%()* (2) *' /
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3. ECUACIONES NO "OMO#ENEAS Y CONDICIONES EN LASFRONTERAS.
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