Post on 04-Mar-2015
Dr. Edwin Alfonso Sosa 1
Razonamiento Cuantitativo
GEMA 1000Sección 23914 23910
Dr. Edwin Alfonso Horas de Oficina: Martes 3:30-4:30 PM
http://home.coqui.net/alfonso234/Notas_de_Clase/Notas_de_Clase.htm
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Capacitantes
Capaz de definir los postulados de la geometría euclidiana Diferenciar entre lo que es una recta, línea, semirrecta y
segmento de línea. Reconocer los diferentes tipos de ángulos y rectángulos. Capaz de encontrar la medida de un ángulos usando los
postulados para rectas paralelas cruzadas por una transversal. Capaz de encontrar la medida de los ángulos interiores y
exteriores de un triangulo usando los postulados para triángulos.
Identificar lo que es un radio, secante, tangente, semicírculo.
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Geometría Euclidiana
El compendio de Geometría mas antiguo es Los Elementos obra escrita por Euclides alrededor del año 300 a.C.
La obra inicia con definiciones de conceptos básicos, como el punto, la línea y el plano; luego, expone cinco postulados y proporciona el fundamento de todo lo que sigue.
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Los cinco postulados de Euclides
Dos puntos determinan una y solo una línea recta.
La línea recta es aquella que se extiende de manera indefinida en cualquier dirección
Un circulo puede trazarse con cualquier centro y cualquier radio dados.
Todos los ángulos rectos son iguales.
Dados una recta k y un punto P fuera de la línea, existe una y solo una línea, m, que pasa por P y que es paralela a k.
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Punto, Línea, Plano
Euclides lo definió como: Punto: “lo que no se divide en partes”. Línea: “lo que tiene longitud pero carece de
ancho” Plano: “Una superficie uniformemente
distribuida con rectas que se cruzan sobre ella”.
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Líneas, semirrectas, rectas y segmentosNombre Figura SímboloLínea AB o línea BA
Semirrecta AB
Semirrecta BA
Recta AB
Recta BA
Segmento AB
o segmento BA
A B
A B
BA
A B
BA
A B
BAAB o
BA
AB
BA
AB
BAAB o
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ángulo
Unión de dos rectas que tienen un punto extremo en común, como se aprecia en la figura 5.
Las rectas que forman un ángulo se llaman lados del ángulo. El punto en común de las rectas es el vértice.
ABCB
A
C
LADO
LADO
Vértice
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Los ángulos se miden por la cantidad de rotación Los astrónomos babilonios eligieron el
numero 360 para representar la cantidad de rotación de una recta sobre si misma.
1 grado (1° ≡ 1 / 360)
B
A
C
LADO
LADO
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Ángulos agudos
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Ángulos rectos
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Ángulos obtusos
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Ángulos opuestos por el vértice tienen medidas iguales
(6x-5)°(4x+19)°
675)12(6
67194(12)
12 xdoSustituyen
12
224
552519
5219
5641944
56194
x
x
x
x
xxxx
xx
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Ángulos alternos internos son iguales
1 2
3 4
5 6
7 8
Líneas Paralelas
Línea Transversal
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Ángulos alternos externos son iguales
1 2
3 4
5 6
7 8
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Ángulos correspondientes son iguales
1 2
3 4
5 6
7 8
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Ángulos interiores en el mismo lado de la transversal suman 180°
1 2
3 4
5 6
7 8
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Ejercicio 66 Demostración de que los ángulos alternos
externos tienen la misma medida:
a) La medida del ángulo 2 = medida del ángulo ______, ya que son ángulos opuestos por el vértice.
b) La medida del ángulo 3 = medida del ángulo _______, ya que son ángulos alternos internos.
c) La medida del ángulo 6 = medida del ángulo ______, ya que son ángulos opuestos por el vértice.
d) Por los resultados de las partes (a), (b), y (c), la medida del ángulo 2 debe ser igual a la medida del ángulo ______, con lo que se demuestra que los ángulos alternos ________ tienen la misma medida.
1 2
3 4
5 6
7 8
3
6
7
7
externos
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Tarea
Pág. 498 67, 68, 69, 70, 77
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Curvas, polígonos y círculos
Curva simple: No pasa dos veces por el mismo punto
Curva cerrada: Tiene sus puntos inicial y final localizados en el mismo lugar (puntos extremos coinciden.
Simple; no cerrada
Simple cerrada
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Figura convexa
A B
A B
ConvexaNo convexa
Segmento de línea AB tiene que estar completamente dentro de la figura.
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Polígonos
Los tipos de curvas mas comunes en las matemáticas están las que son simples y cerradas, y quizás las mas importantes de estas sean los polígonos.
Un polígono es una curva cerrada y simple constituida solamente por segmentos de línea recta. Los segmentos se llaman lados, y los puntos donde se encuentran los extremos se conocen como vértices.
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Clasificación de polígonos de acuerdo al numero de lados.
Numero de Lados Nombre
3
4
5
6
7
8
9
10
Triangulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
Nonágono
Decágono
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Polígonos regulares
Tienen lados iguales y ángulos iguales.
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Triángulos
Ángulos
Lados
Todos Agudos
Un ángulo recto Un ángulo
obtuso
Triangulo acutángulo Triangulo rectángulo Triangulo obtusángulo
Todos lados iguales Dos lados iguales
No tiene lados iguales
Triangulo equilátero Triangulo isóscelesTriangulo escaleno
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Cuadriláteros
El trapecio es un cuadrilátero con un par de lados paralelos
El paralelogramo es un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos
El rectángulo es un paralelogramo con un ángulo recto (y por consiguiente cuatro ángulos rectos)
El cuadrado es un rectángulo con todos sus lados de la misma longitud.
El rombo es un paralelogramo con todos sus lados de la misma longitud.
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Suma de ángulos de un triangulo
La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triangulo es de 180°.
x°
(X+20)°
(210-3x)°
60150210))(3210(
70205020)(x
ssustituimo Si
50
50
230180
180230
180)3210()20(
x
x
x
x
x
xxx
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Medida de ángulo exterior
La medida del ángulo exterior de un triangulo es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores opuestos.
1
2
3
4
5
6
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Ejemplo
x°
(X+20)°
(3x-40)°A
B
C D
La suma de los ángulos interiores A y B debe ser igual a la medida del ángulo BCD.
140]40)60(3[
40)8060(180
80)2060(
60A
dosustituyen
60
60
204032
403202
40320
BCD
C
B
x
x
xx
xx
xxx
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Círculos
Se llama círculo a un conjunto de puntos en un plano, cada uno de los cuales esta a la misma distancia con respecto a un punto fijo (O, centro).
RT
PQ
OQOP oRadio del circulo
Tangente del circulo
Secante del circulo
PQcuerda
P
QO
R T
semicírculo
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Ángulo inscrito en un semicírculo
Para estar inscrito en un semicírculo, el vértice del ángulo tiene que estar en el circulo con los lados del ángulo dirigidos a los puntos extremos del diámetro en la base del semicírculo.
90°
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Tarea
Pág. 505 Ejercicios:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,13,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37, 43,45,49,51,54