Post on 23-Nov-2015
Ecuaciones de espacio estado
Capitulo 4
Contenido
Representacin en ecuaciones de estado de los sistemas
Estado. Es el conjunto mas pequeo de variables Variables de estado. Es el conjunto mas pequeo de variables que
determinan el estado de un sistema dinmico Vector de estado. Representado por x(t), cuyos elementos son las
variables de estado Espacio de estado. Es el espacio n-dimensional cuyos ejes coordenados
son las variables de estado
SistemaX(t)
U(t) Y(t)
Diagramas de simulacin
Un diagrama de bloques o grafico de flujo de seal (GFS)compuesto nicamente de integradores y transmitancias constantesse denomina diagrama de simulacin
Variable de fase: la entrada esta conectada a un solo nodo y lasalida acoplada a los integradores. Permite la representacin de nsalidas
Dual variable de fase: la salida se obtiene de un solo nodo y laentrada esta acoplada a los integradores, permite unarepresentacin de m entradas
Variable de fase
Dada la FT dibujar el diagrama de simulacin:
Dividir numerador y denominador entre el termino de la potenciamas alta de s del denominador, producindose un factor 1 en eldenominador, y otros trminos en el numerador y denominador.Este resultado se puede compara con la formula de Masson.Para nuestro ejemplo
5 4
5 4
5
4
Comparando con la formula de Mason.
El numerador son las trayectorias directas y el denominador es eldeterminante del sistema. (1-suma de todos los lazosindividuales). En variable de fase los lazos individuales vanunidos al nodo de la entrada, de tal manera que los cofactores alas trayectorias directas son igual a 1.
Trayectorias directas 3 Lazos individuales 3
5 4
5
4
Construccin del diagrama variable de fase
1
-1/3
1/s 1 1 1/s
5/33
-2/3
-4/3
-1/3
C(s)
R(s)1/s
5
4
Dual variable de fase
Dada la funcin de transferencia:
Dividir numerador y denominador entre el termino de la potencia mas altade s del denominador, producindose un factor 1 en el denominador. Esteresultado se puede compara con la formula de Masson. Para nuestroejemplo, tenemos 03 trayectorias directas 03 y 03 lazos individuales
5 4
5 4
5
4
Construccin del diagrama dual variable de fase
1/s 1 11/s 1/s 1
C(s)
R(s)
-2/3
-4/3
-1/3
-1/35/3
3
5
4
Entradas y salidas mltiples
Salidas adicionales se puede obtener fcilmente a partir de los arreglos en variable de fase
Ejemplo 4.1. Dadas las FT: 1 entrada y 2 salidas.
Aplicando el procedimiento para construir un DS (dividiendo entre la potencia s de mayor orden):
5 4
5 4
5 4
Construimos los DS para la FT1
y1(s)
R1(s)1 1/s 1 11/s 1/s
-5
124
-6-1
-3
5 4
Construimos los DS FT2
Y2(s)
R1(s)1 1/s 1 11/s 1/s
-6-1
-3
-613
y1(s)
R1(s)1 1/s 1 11/s 1/s
-5
124
-6-1
-3
5 4
-613
y2(s)
Ejemplo 4.2
Hallar EE funcin de transferencia 1:
y1(s)
R(s)1
1/s 1 11/s 1/s
-5
124
-6
-1
-3
X1X2X3
4 5 4 5
5 4
Ejemplo 4.3
Hallar EE de la FT 2
Y2(s)
R1(s)
1 1/s 1 11/s 1/s
-6
-1
-3
-61
3x3 x2 x1
Ecuaciones de estado sistema con 2 salidas
Hallar EE
y1(s)
R(s)1 1/s 1 11/s 1/s
-5
124
-6
-1-3
Y2(s)
-613
x1x2x3
4 5
4 5
Para un sistema MIMO (2 Entradas, 2 salidas)
4
4
5
4
5
4
Y1(s)R1(s)
1/s 1 11/s 1/s-12
4
-6
-1-3
4
1
Y2(s)10
4
1
5
R2(s)3
1
-6
Ejemplo 4.4
Ecuaciones de desacoplamiento
Formas diagonales de EE Diagonalizacin mediante Fracciones Parciales (races diferentes) Ejemplo 4.4 : Dada la funcin de transferencia
!" !
4 !#
4
4 4
A partir de la funcin de transferencia transformada mediante fracciones parciales, graficamos el grafico de flujo de seal:
1 1
1 3/4
1 -3/411s
31+s
R(s) C(s)
s
1 4 4
El grafico de flujo de seal anterior lo transformamos, en un diagrama de simulacin:
1
1
1 3/4
1
-3/4 C(s)
1/s
1/s
1/s
1
x1
x2
x3
R(s)
-3
1 1
13/4
1-3/4
11s
31+s
R(s) C(s)
s
1
A partir del diagrama de simulacin, hallar las EE
4 4
4 4
1
1
1 3/4
1
-3/4 C(s)
1/s
1/s
1/s
1
x1
x2
x3
R(s)
-3
Ejemplo 4.5
Dada la funcin de transferencia 4 4
4 !#
4 4 !#%
4 !#"
4 4 4
1 1/27
1149/27
1 -23/9
11+s
41+s
101+s
C(s)R(s)
Del diagrama de grafico de flujo de seal anterior convertimos a un diagrama de de simulacin:
1 1/27
1149/27
1 -23/941+s
101
+s
C(s)R(s)
1
1/27
1 149/27
1
-23/9C(s)
1/s
1/s-4
x1
x2
x3
1/s
-1
-10
R(s)
11+s
A partir del diagrama de simulacin obtenemos las ecuaciones de estado
1
1/27
1 149/27
1
-23/9C(s)
1/s
1/s-4
x1
x2
x3
1/s
-1
-10
R(s)
4 4
4
4
Diagonalizacion mediante FP (R. repetidas) Dada la funcin de transferencia 5 5 4 4
4 5 5 4 !#% 5 5 4 !# &&
5 5 4 ' !# 4
A partir de la ecuacin obtenemos el GFS
4
1 3
1
-31
7
21+s
2)2(1
+s C(s)
41+s
R(s)
Convertimos el DGF un DS
13
1
-31
7
21+s
2)2(1
+sC(s)
41+s
R(s) 3
1
1
C(s)
1/s
1/s
-2
-4
-2
R(s)
1/s
1
1/s
-31
7
-2
Hallamos las EE
3
1
1
C(s)
1/s
1/s
-4
-2
R(s)
1/s
1
1/s
-31
7
4
%-2
% %
%
4
%
%
%
A partir de la funcin de transferencia 4
3
1
1
7C(s)
1/s
x3
-4
-2
R(s)
1/s
x2
1 1/s -3
-2
x1
4
4
Diagonalizacion mediante FP (races diferentes) Dada las ecuaciones de espacio estado de un sistema:
La funcin de transferencia
( #
#
#
Operando y simplificando
Obtenemos la funcin de transferencia
#
4
A partir de la funcin de transferencia Expandimos en fracciones parciales
4
4 !# ) )
4 !# )
* && ' 4 !# '
Por lo tanto se tiene:
* &
& ' 4 !# '
) )
A partir de la FT obtenemos: ) )
-28
29
1
C(s)
-2
R(s)
1
68
16
3)3(1
+s
)3(1 +s
2)3(1
+s
1
1
1/s
Otra forma de representar ) )
-28
29
1
C(s)
-2
R(s)
1/s
)3(1 +s)3(1 +s )3(1 +s
11 68
161
Descomponiendo los lazos cerrados
-28
29
1C(s)
-2R(s)
1/s
1 1 68
16
1/s1
1/s 1/s
-3-3 -3
%% %
) ) %
%
A partir de las ecuaciones obtenemos la representacin en espacio estado:
%% %
%
%
) ) % ) )
%
Diagonalizacin mediante FP (r. complejo conjugadas)
Expresando en fracciones parciales:
)
) + + !#
+ ) + + !##, 4 +
+ ) + + !##, 4 +
) + +
Por lo tanto tenemos:
1
-2
14-j
1
4+jC(s)
1/s
1/s-1-3j
x1
x2
x3
1/s
-2
-1+3j
R(s)
4 + + 4 + +
+ +
4 - 4 -
Las ecuaciones espacio estado
+ + 4 - 4 -
+ +
4 + 4 +
A partir de las ecuaciones en fracciones parciales
Podemos obtener (para eliminar la parte compleja) 4 + + 4 + +
4 + + 4 + + + +
) 4
) 4
) 4
Dividiendo entre el mayor orden
Graficando el diagrama de simulacin
-2
1
1C(s)
1/s 1/s
x1
x2x3
1/s
-2R(s) 8
14
-2-10
) 4
1
Las ecuaciones de estado a partir de DS
-2
1
1
1/s 1/s
x1
x2x3
1/s
-2
R(s)
8
14-2
-10
C(s)
4 )
4 )
Formas cannicas
Representacin en el espacio estado de sistemas Esta seccin aborda las representaciones en el espacio de
estados en la forma cannica controlable, 0bservable, diagonal o de Jordn.
Dada la ecuacin diferencial
De donde obtenemos con la transformada de Laplace ( :
&.&. / &.#
&.# 0 /.# /. 1" &.&. 1 &
.#&.# 0 1.# 1.
2 1". 1.# 0 1.# 1.. /.# 0 /.# /.
Forma cannica controlable
Ecuaciones espacio estado
3.#.
0 0 3 0 /. /.# /.# 0 /
3.#.
3
1. /.1" 1.# /.#1" 1.# /.#1" 0 1 /1"3.#.
1"
2 1". 1.# 0 1.# 1.. /.# 0 /.# /.
Forma cannica observable
Ecuaciones espacio estado3.#.
0 /. 0 /.#3 3 0 / 0 /
3.#.
1. /.1"1.# /.#1"31 /1"1 /1"
0 3.#.
1"
2 1". 1.# 0 1.# 1.. /.# 0 /.# /.
Forma cannica diagonal Si la funcin de transferencia esta dada:
Las ecuaciones espacio estado
2 1". 1.# 0 1.# 1. 4 4 5 4. 1"
6 4 6 4 0
6. 4.3.#.
4 0 4 0 3 3 0 4.# 0 4.
3.#.
3
6 6 0 6.# 6.3.#.
1"
Controlabilidad
Se dice que un sistema es controlable en el tiempo to si se puede llevar de cualquier estado inicial x(to) a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito
Para un sistema diagonalizado, si no existe trayectoria desde cualquier entrada hasta una de las ecuaciones desacopladas, se llama no controlable al nodo
1
1 3/4
1 -3/4 C(s)
1/s
1/s
1/s-8
-4
R(s)
x1
x2
x3
Observabilidad
Se dice que un sistema es observable en el tiempo to si, con el sistema en el estado x(to), es posible determinar este estado a partir de la observacin de la salida durante un intervalo de tiempo finito.
Para un sistema diagonalizado si una de las variables de estado de las ecuaciones estado no se agrega a alguna de las salidas del sistema, el modo correspondiente se denomina modo no observable 1 1
1
1 -3/4 C(s)
1/s
1/s
1/s-8
-4
R(s)
x1
x2
x3
Matriz de controlabilidad
Dadas las EE
Se puede demostrar que un sistema de n-esimo orden con o sinraces repetidas, es completamente controlable si y solo si sumatriz de controlabilidad es de rango mximo
Para ser rango mximo debe tener n columnas o filas linealmenteindependientes
78 0 .#
Matriz de observabilidad
Dadas las EE
Para determinar si un sistema de n-esimo orden nodiagonalizado es o no completamente observable se forma lamatriz Mo, es completamente observable si y solo si la Mo es derango mximo
Para ser rango mximo debe tener n columnas o filas linealmente independientes
79 3.#
Ejemplo 4.6
Dadas las ecuaciones de espacio de estado:
Las matrices de controlabilidad; para n=3, tenemos:
4
45
4
78 4
4 45
5 ) 5 4 4
45 45 5 4
Por lo tanto la matriz de controlabilidad queda:
El rango de la matriz Mc es igual a 3, es de rango mximo; por lo tanto es controlable
78 4 5 ) 5 4
45 5 4
Ejemplo 4.7
Dadas las ecuaciones de espacio de estado
La matriz de observabilidad para n=3
Remplazando tenemos
La matriz de observabilidad es de rango 3, rango mximo; es obsservable
4
79
79 4 ) 4
A partir de las ecuaciones:
%3.
4 0 4 0 4 0 4% 3 3 3 3 3 0 4.
%3.
3
6 6 0 6.# 6.3.#.
1"
2 1" 6 4 6 4
6 4 6% 4% 0
6. 4.
Trabajo: Explicar con un ejemplo Comandos en Matlab para ecuaciones espacio estado
ss Create a state-space model. tf Create a transfer function zpk Create a zero-pole-gain model.
ss Conversion to state space. tf Conversion to transfer function zpk Conversion to zero-pole-gain.
ctrb Controllability matrix obsv Observability matrix
Trabajo