EL Problema del Vendedor Viajero (TSP) y Programación ...

EL Problema del Vendedor Viajero (TSP) y Programación Entera (IP)

EL Problema del Vendedor Viajero (TSP) yProgramación Entera (IP)

Daniel Espinoza

Universidad de ChileFacultad de Ciencias Físicas y Matemáticas

Departamento de Ingeniería Industrial

24 de julio de 2006

Contenidos

1 Introducción

Contenidos

1 Introducción

2 Resolviendo TSP

Contenidos

1 Introducción

2 Resolviendo TSP

3 Programación Entera y el TSP

Introducción

Contenidos

1 IntroducciónDescripción del ProblemaHistoriaRecord TSP en el tiempoAlgunas Aplicaciones del TSP

2 Resolviendo TSP

Introducción

Descripción del Problema

Definición:Dado un conjunto finito deciudades, y costos de viajeentre todos los pares deciudades, encontrar la formamas barata de visitar todas lasciudades exactamente una vez,y volver al punto de partida.

Introducción

Descripción del Problema

Definición:Dado un conjunto finito deciudades, y costos de viajeentre todos los pares deciudades, encontrar la formamas barata de visitar todas lasciudades exactamente una vez,y volver al punto de partida.

Mas precisamente:Los costos son simétricos en el sentido de que viajar desde laciudad X a la ciudad Y tiene el mismo costo que viajar desde laciudad Y a la ciudad X. La condición de visitar todas lasciudades implica que el problema se reduce a decidir en queorden las ciudades van a ser visitadas.

Introducción

Historia

Primeras referencias datan del 1832, para vendedoresviajeros.

Introducción

Historia

Karl Menger, 1930, (Shortest Hamiltonian Path).

Introducción

Historia

J.B. Robinson, “On the Hamiltonian game (atraveling-salesman problem)”, 1949. Esta es la primera

referencia del problema como es conocido hoy en dia.

Introducción

Historia

G. Dantzig, R. Fulkerson, and S. Johnson, "Solution of alarge-scale traveling-salesman problem", 1954. Solución de

una instancia de 49 ciudades (capitales de los estados de USA),

introducción de cortes y branching.

Introducción

Historia

G. Dantzig, R. Fulkerson, and S. Johnson, "Solution of alarge-scale traveling-salesman problem", 1954. Solución de

una instancia de 49 ciudades (capitales de los estados de USA),

introducción de cortes y branching.

M. Held and R.M. Karp, .A dynamic programming approachto sequencing problems", 1962. introducción de heuristicas

basadas en programmación dinámica.

Introducción

Record TSP en el tiempo

Año Autores Númerociudades

1954 Dantzig, Fulkerson, and Johnson 491971 Held and Karp 641975 Camerini, Fratta, and Maffioli 671977 Grötschel 1201980 Crowder and Padberg 3181987 Padberg and Rinaldi 5321987 Grötschel and Holland 6661987 Padberg and Rinaldi 2,3921994 Applegate, Bixby, Chvátal, and Cook 7,3971998 Applegate, Bixby, Chvátal, and Cook 13,5092001 Applegate, Bixby, Chvátal, and Cook 15,1122004 Applegate, Bixby, Chvátal, Cook, and Helsgaun 24,9782005 Cook, Espinoza and Goycoolea 33,810

Introducción

Record TSP en el tiempo

1953 1961 1969 1977 1985 1993 2001

Introducción

Algunas Aplicaciones del TSP

Vehicle Routing.

Introducción

Vehicle Routing.Bus Escolar.Atención de Llamadasde Emergencia.Servicio de CorreoExpreso.

Secuenciamento degenes.

Introducción

Ordenamiento deobservaciones entelescopios (NASA).

Introducción

Diseño de chips.

Introducción

Diseño de chips.

Tour Mundial.

Introducción

Diseño de chips.

Tour Mundial.

El problema del ViejoPascuero.

Introducción

Diseño de chips.

Tour Mundial.

El problema del ViejoPascuero

Resolviendo TSP

Contenidos

1 Introducción

2 Resolviendo TSPEnumeración y HeuristicasObteniendo CotasFormulación del TSP como IPRelajación continuaAlgoritmo de hiperplanos cortantesCortes para el TSPResultados Numéricos

Resolviendo TSP

Enumeración y Heuristicas

Podemos enumerar las soluciones y escoger la mejor?.

Resolviendo TSP

Podemos enumerar las soluciones y escoger la mejor?.10 ciudades : ≈ 105,5 posibilidades.

Resolviendo TSP

Podemos enumerar las soluciones y escoger la mejor?.10 ciudades : ≈ 105,5 posibilidades.100 ciudades : ≈ 10156 posibilidades.

Resolviendo TSP

Podemos enumerar las soluciones y escoger la mejor?.10 ciudades : ≈ 105,5 posibilidades.100 ciudades : ≈ 10156 posibilidades.1,000 ciudades : ≈ 102,565 posibilidades.

Resolviendo TSP

Podemos enumerar las soluciones y escoger la mejor?.10 ciudades : ≈ 105,5 posibilidades.100 ciudades : ≈ 10156 posibilidades.1,000 ciudades : ≈ 102,565 posibilidades.33,810 ciudades : ≈ 10138,441 posibilidades.

Resolviendo TSP

Podemos enumerar las soluciones y escoger la mejor?.10 ciudades : ≈ 105,5 posibilidades.100 ciudades : ≈ 10156 posibilidades.1,000 ciudades : ≈ 102,565 posibilidades.33,810 ciudades : ≈ 10138,441 posibilidades.Edad del universo : ≈ 1018 segundos.

Resolviendo TSP

Podemos enumerar las soluciones y escoger la mejor?.10 ciudades : ≈ 105,5 posibilidades.100 ciudades : ≈ 10156 posibilidades.1,000 ciudades : ≈ 102,565 posibilidades.33,810 ciudades : ≈ 10138,441 posibilidades.Edad del universo : ≈ 1018 segundos.Número de átomos en el universo: < 10100.

Resolviendo TSP

Podemos enumerar las soluciones y escoger la mejor?.10 ciudades : ≈ 105,5 posibilidades.100 ciudades : ≈ 10156 posibilidades.1,000 ciudades : ≈ 102,565 posibilidades.33,810 ciudades : ≈ 10138,441 posibilidades.Edad del universo : ≈ 1018 segundos.Número de átomos en el universo: < 10100.Enumeración solo es posible para problemas muypequeños.

Resolviendo TSP

La heuristica de Held-Karp tiene una garantia de n22n parael caso general.

Resolviendo TSP

La heuristica de Held-Karp tiene una garantia de n22n parael caso general.Si asumimos que las distancias son euclidianas hayheurísticas con garantia de 1

Resolviendo TSP

2 .Cuando las distancias son euclidianas buenas solucionesheurísticas estan dentro del 1-5 % del óptimo.

Resolviendo TSP

2 .Cuando las distancias son euclidianas buenas solucionesheurísticas estan dentro del 1-5 % del óptimo.Como obtenemos mejores garantias para algun problemaparticular?.

Resolviendo TSP

Heuristicas K-OptHeuristicas basadas enmejoras locales. 1

Resolviendo TSP

Heuristicas K-OptHeuristicas basadas enmejoras locales.

Reemplazar 2 arcos.

Resolviendo TSP

Reemplazar 2 arcos.

Reemplazar 3 arcos. K = 3

Resolviendo TSP

Reemplazar 2 arcos.

Reemplazar 3 arcos.

Multiples posibilidades.

Resolviendo TSP

Reemplazar 2 arcos.

Reemplazar 3 arcos.

Reemplazar K arcos.

Resolviendo TSP

Reemplazar 2 arcos.

Reemplazar 3 arcos.

Reemplazar K arcos.

Lin-Kernighan usareemplazos de pares.

K Casos

2 13 44 205 1486 13687 151048 1981449 299865610 51290496

Resolviendo TSP

Reemplazar 2 arcos.

Reemplazar 3 arcos.

Reemplazar K arcos.

Lin-Kernigham-Helsgun usareemplazos de 5 arcos.

K Casos

2 13 44 205 1486 13687 151048 1981449 299865610 51290496

Resolviendo TSP

Reemplazar 2 arcos.

Reemplazar 3 arcos.

Reemplazar K arcos.

Lin-Kernigham-Helsgun usareemplazos de 5 arcos.

Heuristicas no proveen cotaspara el problema.

K Casos

2 13 44 205 1486 13687 151048 1981449 299865610 51290496

Resolviendo TSP

Obteniendo Cotas

Como obtener cotas ogarantias?.

Resolviendo TSP

Obteniendo Cotas

Asignar circulos disjuntosa ciudades.

Resolviendo TSP

Obteniendo Cotas

Asignar bandas sinintersección asubconjuntos propios deciudades.

Resolviendo TSP

Obteniendo Cotas

Dos veces la suma de losradios y anchos de lasbandas da cota inferior.

Resolviendo TSP

Obteniendo Cotas

Dos veces la suma de losradios y anchos de lasbandas da cota inferior.

Como encontramos radiosy bandas?.

15,112 ciudades en Alemania, cota a

0.74 % de la solución óptima

Resolviendo TSP

Formulación del TSP como IP

Definiciones previas:

Resolviendo TSP

Definiciones previas:V Conjunto de ciudades a considerar.

Resolviendo TSP

E Conecciones entre ciudades, i.e.E = {(a, b) : a, b ∈ V , a 6= b}.

Resolviendo TSP

c Costo de las connecciones entre ciudades.

Resolviendo TSP

δ(S) Arcos cruzando la frontera de un conjunto, i.e.δ(S) = {(a, b) ∈ E : a ∈ S, b ∈ V \ S}.

Resolviendo TSP

δ(S) Arcos cruzando la frontera de un conjunto, i.e.δ(S) = {(a, b) ∈ E : a ∈ S, b ∈ V \ S}.

Formulacion como IP:

m«ın∑

(cexe : e ∈ E)

∑(xe : e ∈ δ({v})) = 2 ∀v ∈ V

∑(xe : e ∈ δ(S)) ≥ 2 ∀∅ ( S ( V

xe ∈ {0, 1} ∀e ∈ E

Resolviendo TSP

Relajación continua

Problemas de la formulación discreta

Tanto o mas dificil que contar permutaciones.

Resolviendo TSP

Número de variables es |V |(|V | − 1)/2.

Resolviendo TSP

No existen algoritmos eficientes para resolver.

Resolviendo TSP

Relajación continua (SEP):m«ın

∑(cexe : e ∈ E)

s.t.∑

(xe : e ∈ δ({v})) = 2 ∀v ∈ V∑(xe : e ∈ δ(S)) ≥ 2 ∀∅ ( S ( V

xe ∈ [0, 1] ∀e ∈ E

Resolviendo TSP

∑(cexe : e ∈ E)

s.t.∑

(xe : e ∈ δ({v})) = 2 ∀v ∈ V (rv )∑(xe : e ∈ δ(S)) ≥ 2 ∀∅ ( S ( V

xe ∈ [0, 1] ∀e ∈ E

Resolviendo TSP

∑(cexe : e ∈ E)

s.t.∑

(xe : e ∈ δ({v})) = 2 ∀v ∈ V (rv )∑(xe : e ∈ δ(S)) ≥ 2 ∀∅ ( S ( V (WS)

xe ∈ [0, 1] ∀e ∈ E

Resolviendo TSP

∑(cexe : e ∈ E)

s.t.∑

(xe : e ∈ δ({v})) = 2 ∀v ∈ V (rv )∑(xe : e ∈ δ(S)) ≥ 2 ∀∅ ( S ( V (WS)

xe ∈ [0, 1] ∀e ∈ E

Puede Resolverse eficientemente.

Resolviendo TSP

Cotas obtenidas del SEP0.69 % gap para chile5445

Resolviendo TSP

Cotas obtenidas del SEP0.69 % gap para chile5445

Resolviendo TSP

Algoritmo de hiperplanos cortantes

IP atravez de LPPropuesto por Dantzig, Fulkerson yJohnson (1954) para al TSP.

Resolviendo TSP

1 Considerar relajación continua.

················

Resolviendo TSP

2 Obtener solución óptima x∗.

················

Resolviendo TSP

3 x∗ entera?, terminar.

················

Resolviendo TSP

4 Buscar restricción válida parapuntos enteros.

················

Resolviendo TSP

5 Agregar a la formulacióncontinua.

················

Resolviendo TSP

5 Agregar a la formulacióncontinua.

6 Volvar a 2. ················

················

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

(Algunos) Cortes EstructuralesSubtour

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Blossom (Edmonds 1965)

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Combs (Chvátal 1973, Grötschel y Padberg 1979)

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Clique-Tree (Grötschel y Pulleyblank 1986)

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Star, Path (Fleischmann 1988, Cornuéjols et al. 1985)

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Bipartition (Boyd y Cunningham 1991)

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Binested (Nadeff 1992)

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Double Deckers (Applegate et. all 1994)

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Domino Parity (Letchford 2000)

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Domino Parity (Letchford 2000)

K-Parity (Espinoza y Goycoolea 2004)

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

(Algunos) Cortes EstructuralesSubtour (separable)

Blossom (Edmonds 1965)(separable)

Domino Parity (Letchford 2000)(planar)

K-Parity (Espinoza y Goycoolea 2004)(planar)

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Cortes estructurados y relaciones

Bipartition

Binested

K-Parity

Domino ParityDouble Deckers

Clique Tree Stars Path

Sub-Tour

Blossom

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Bipartition

Binested

K-Parity

Sub-Tour

Blossom

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Bipartition

Binested

K-Parity

Sub-Tour

Blossom

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Bipartition

Binested

K-Parity

Sub-Tour

Blossom

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Bipartition

Binested

K-Parity

Sub-Tour

Blossom

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Bipartition

Binested

K-Parity

Sub-Tour

Blossom

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Bipartition

Binested

K-Parity

Sub-Tour

Blossom

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Bipartition

Binested

K-Parity

Sub-Tour

Blossom

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Bipartition

Binested

K-Parity

Sub-Tour

Blossom

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Bipartition

Binested

K-Parity

Sub-Tour

Blossom

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Super K-Parity?

Bipartition

Binested

K-Parity

Sub-Tour

Blossom

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Cortes no estructuradosLocal Cuts en el TSP

Idea: generar cortes automáticamente.

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Base: usar una versión simplificada del problema.

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Base: usar una versión simplificada del problema.Cortes de Gomory (1958) dentro de esta clase.

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Considerar solo una restricción (basica) con variable enterafraccionaria.

0 1 2 3 401234

·x2 ∈ Z, x1 ∈ R+

P = {(x1, x2) : x1 + x2 ≤ 4,5}.

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Considerar solo una restricción (basica) con variable enterafraccionaria.

0 1 2 3 401234

·x2 ∈ Z, x1 ∈ R+

P = {(x1, x2) : x1 + x2 ≤ 4,5}.

x1 + x2 ≤ 4,5, x1 ≥ 0 ⇒ x2 ≤ 4,5

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Considerar solo una restricción (basica) con variable enterafraccionaria.Redondeo de la restricción entrega corte automáticamente.

0 1 2 3 401234

·x2 ∈ Z, x1 ∈ R+

P = {(x1, x2) : x1 + x2 ≤ 4,5}.

x1 + x2 ≤ 4,5, x1 ≥ 0 ⇒ x2 ≤ 4,5

x2 ≤ 4.

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Considerar solo una restricción (basica) con variable enterafraccionaria.Redondeo de la restricción entrega corte automáticamente.En teoria resuelve cualquier IP.

0 1 2 3 401234

·x2 ∈ Z, x1 ∈ R+

P = {(x1, x2) : x1 + x2 ≤ 4,5}.

x1 + x2 ≤ 4,5, x1 ≥ 0 ⇒ x2 ≤ 4,5

x2 ≤ 4.

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Cortes no estructuradosLocal Cuts en el TSP:

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Reducir a un TSPpequeño (16-48 nodos).

xe = 0,5

xe = 1,0

xe = 1,5

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Reducir a un TSPpequeño (16-48 nodos).

xe = 0,5

xe = 1,0

xe = 1,5

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Reducir a un GTSPpequeño (16-48 nodos).

xe = 0,5

xe = 1,0

xe = 1,5

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Separar puntofraccionario.

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Dado x∗ solución fraccionaria, y Ppolihedro:

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

x∗ ∈ P ?

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Sea {vk : k = 1, . . . , K} puntos ex-tremos de P.

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

min 0s.t.

∑k=1,...,K

αkvk = x∗

∑k=1,...,K

αk = 1

αk ∈ [0, 1]

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Si punto es separable,agregar corteexpandido.

min 0s.t.

∑k=1,...,K

αkvk = x∗

∑k=1,...,K

αk = 1

αk ∈ [0, 1]

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Problemas numéricos.

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Extensión a MIP.

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Extensión a MIP.

Formulación de MIP:

min cxs.t. Ax ≤ b

Rx ∈ Zk

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Extensión a MIP.

min cxs.t. Ax ≤ b

Rx ∈ Zk

Relajación:

min cxs.t. Ax ≤ b

QRx ∈ Z3

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Extensión a MIP.

min cxs.t. Ax ≤ b

Rx ∈ Zk

Relajación:

min cxs.t. Ax ≤ b

QRx ∈ Z3

Usar separación como antes

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Extensión a MIP.

Cuando todo falla, quepodemos hacer?.

falla.

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Entre enumeración y Programación LinealStrong Branching (Dividir para reinar)

················

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Crear sub-problemas masfáciles.

················

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Fijar cotas para una variable.

················

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Resolver cada sub-problema.

················

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Escoger mayor impacto.P1

················

Resolviendo TSP

Cortes para el TSP

Escoger mayor impacto.

Usar junto con planos cortantes. P1

················

Resolviendo TSP

Resultados Numéricos

Resultados Numéricos (chile5445)Mejor solución: 40011.091Km

Conf. Valor Tiempo GAP ( %)

Subtour 39755.198 134 0.639

Resolviendo TSP

Subtour 39755.198 134 0.639Cortes Heuristicos 39846.738 25518 0.470

Resolviendo TSP

Subtour 39755.198 134 0.639Cortes Heuristicos 39846.738 25518 0.470Local Cuts (24) 39994.941 14509 0.040

Resolviendo TSP

Subtour 39755.198 134 0.639Cortes Heuristicos 39846.738 25518 0.470Local Cuts (24) 39994.941 14509 0.040Domino Parity 40001.294 10863 0.024

Resolviendo TSP

Subtour 39755.198 134 0.639Cortes Heuristicos 39846.738 25518 0.470Local Cuts (24) 39994.941 14509 0.040Domino Parity 40001.294 10863 0.024DP + LC 24 40002.578 14160 0.021

Resolviendo TSP

Subtour 39755.198 134 0.639Cortes Heuristicos 39846.738 25518 0.470Local Cuts (24) 39994.941 14509 0.040Domino Parity 40001.294 10863 0.024DP + LC 24 40002.578 14160 0.021DP + LC 32 40003.294 21159 0.019

Resolviendo TSP

Subtour 39755.198 134 0.639Cortes Heuristicos 39846.738 25518 0.470Local Cuts (24) 39994.941 14509 0.040Domino Parity 40001.294 10863 0.024DP + LC 24 40002.578 14160 0.021DP + LC 32 40003.294 21159 0.019DP + LC 40 40004.291 60269 0.017

Resolviendo TSP

Subtour 39755.198 134 0.639Cortes Heuristicos 39846.738 25518 0.470Local Cuts (24) 39994.941 14509 0.040Domino Parity 40001.294 10863 0.024DP + LC 24 40002.578 14160 0.021DP + LC 32 40003.294 21159 0.019DP + LC 40 40004.291 60269 0.017DP + LC + Branching 40008.475 +3 dias 0.007

Resolviendo TSP

Subtour 39755.198 134 0.639Cortes Heuristicos 39846.738 25518 0.470Local Cuts (24) 39994.941 14509 0.040Domino Parity 40001.294 10863 0.024DP + LC 24 40002.578 14160 0.021DP + LC 32 40003.294 21159 0.019DP + LC 40 40004.291 60269 0.017DP + LC + Branching 40008.475 +3 dias 0.007LKH 40031.459 46 -0.051

Resolviendo TSP

Subtour 39755.198 134 0.639Cortes Heuristicos 39846.738 25518 0.470Local Cuts (24) 39994.941 14509 0.040Domino Parity 40001.294 10863 0.024DP + LC 24 40002.578 14160 0.021DP + LC 32 40003.294 21159 0.019DP + LC 40 40004.291 60269 0.017DP + LC + Branching 40008.475 +3 dias 0.007LKH 40031.459 46 -0.051Primera Solución 44594.459 3 -11.455

Resolviendo TSP

Resultados Numéricos (Sobre Sub-Tour)Configuración GAP ( %)

Relativo

Resolviendo TSP

Relativo

Cortes Heurísticos 35.773

Resolviendo TSP

Relativo

Local Cuts (24) 93.689

Resolviendo TSP

Relativo

Domino Parity 96.171

DPLC24

Resolviendo TSP

Relativo

DP + LC 24 96.673

DP+LC24LC24

Resolviendo TSP

Relativo

DP + LC 24 96.673

DP + LC 32 96.953

DP+LC32LC24

Resolviendo TSP

Relativo

DP + LC 24 96.673

DP + LC 32 96.953

DP + LC 40 97.343

DP+LC40LC24

Resolviendo TSP

Relativo

DP + LC 24 96.673

DP + LC 32 96.953

DP + LC 40 97.343

DP + LC + Branching 98.978

BRDP+LC40

Resolviendo TSP

Relativo

DP + LC 24 96.673

DP + LC 32 96.953

DP + LC 40 97.343

DP + LC + Branching 98.978

LKH 107.960

BRDP+LC40

Programación Entera y el TSP

Contenidos

1 Introducción

2 Resolviendo TSP

3 Programación Entera y el TSPAlgunos Comentarios Finales

Algunos Comentarios Finales

ConclusionesTSP ofrece un punto de referencia dentro de IP.

ConclusionesTSP ofrece un punto de referencia dentro de IP.Estrategia depende del objetivo:

Solución factible.

Solución factible.Buena solución.

Solución factible.Buena solución.Optimalidad.

Muchas técnicas generales han nacido del TSP.

Importancia de generación de cortes.

Posibilidad de extender Local Cuts para MIP.

GraciasPreguntas?

EL Problema del Vendedor Viajero (TSP) y Programación ...

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