Post on 03-Jul-2015
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR
DE SAN MARCOS
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS
ESCUELA ACADEMICA DE INGENIERIA
MECANICA DE FUIDOS
ESFUERZOS GEOETÁTICOS
EXPOSITOR: Ing. Flores Talavera A. O.
Lima, c.u. - 2013
Problemas de Deformaciones Planas Típicos.
Muro de
Contención
Terraplén
Cimentación Corrida
zY
X
zY
X
zY
X
Relaciones esfuerzo-deformación de materiales ideales a) elástico, b)
plástico rígido, c) elastoplástico, d) elastoplástico con ablandamiento,
e) relación esfuerzo-deformación típica con un material real.
Esfuerzo
Deformación
(a)
F
Esfuerzo
Deformación
(c)
Esfuerzo
Deformación
(e)
Esfuerzo
Deformación
(b)
Esfuerzo
Deformación
(d)
F FR
F = Significa en la Falla
R = Significa Valor Residual
Elemento A
(a)
(b)
( c)
Superficie del terreno
Th
Tu
Nu
Nh
Diagramas para ilustrar la definición de esfuerzo. a) Perfil del
terreno. b) y c) Fuerzas sobre el elemento A.
Nivel freáticoNivel del terreno
X X
Z
Area A
Nivel freático
Nivel del terreno
X X
Z
Z
Area A
W
W
ZZ
Z
Z
Z
y
y
yy
y
XX
XX
X
X
X
a)
y
X
Z
b)
1
2
3
a) Estado general de esfuerzos en un elemento de suelo,
b) esfuerzos principales
N
y
X
Ty
Tx
Huecos (poros)
Selecciones de
las partículas
Punto de contacto entre
partículas situadas por
encima y debajo del
plano de la seccion.
a
a
Definición de los esfuerzos en un sistema de partículas
Concepto de Esfuerzos Efectivos
HA
Area de Corte
Transversal = Ā
a
a
Agua de Poro
Partícula Sólida
H
Consideración del esfuerzo efectivo para una
columna de suelo saturado sin infiltración
Fuerzas que actúan en los puntos de contacto
de las partículas de suelo en el nivel del punto A.
Área de Corte
Transversal = Ā
a1 a2 a3
a4
P1 P2P3
P4
Concepto de Esfuerzos Efectivos
Distribución de Esfuerzos en una Masa de Suelo
Entrada
Válvula
(abierta)
H1
Z
B
C
A
H2
h * z
H2
h
Estrato de suelo en un tanque con infiltración hacia arriba
Distribución de Esfuerzos en una Masa de Suelo
Variación del (a) esfuerzo total; (b) presión de poro y (c) esfuerzo
efectivo con la profundidad en un estrato de suelo con infiltración hacia
arriba.
Profundidad Profundidad Profundidad
Esfuerzo Total, Presión de Poros Esfuerzo Efectivo ’
H1 W
H1 W z sat
H1 W
(H1 z + zi) wz( ’ – i w)
H1 W H2 sat (H1 + H2 + h) w H2 ’ - h w
o
o o
H1
H1 + z
H1 + H2
(a) (b) (c)
Distribución de Esfuerzos en una Masa de Suelo
Salida
Válvula
(abierta)
H1
Z
B
C
A
H2
h * z
H2
h
Entrada Q
Estrato de suelo en un tanque con infiltración hacia abajo
Distribución de Esfuerzos en una masa de suelo
Estrato de suelo en un tanque con infiltración hacia abajo; variación del
(a) esfuerzo total; (b) presión de poros y (d) esfuerzo efectivo con la
profundidad en un estrato de suelo con infiltración hacia abajo.
Profundidad Profundidad Profundidad
Esfuerzo Total, Presión de Poro Esfuerzo Efectivo ’
H1 W
H1 W z sat
H1 W
(H1 z - zi) wz( ’ + i w)
H1 W H2 sat (H1 + H2 - h) w H2 ’ + h w
o
o o
H1
H1 + z
H1 + H2
(a) (b) (c)
Esfuerzos en un Medio Elástico Causados por
una Carga Puntual.
Z
y
L
X
r
Z
X
P
y
z
x
y
A
Esfuerzos causados por un Carga Puntual
Boussinesq (1883) resolvió el problema de los
esfuerzos “producidos en cualquier punto de un
medio homogéneo, elástico e isótropo como
resultado de una carga puntual aplicada sobre la
superficie de un semiespacio infinitamente grande. La
solución de Boussinesq para los esfuerzos normales
en un punto A causado por la carga puntual P es
23
2
2
22
5
2
)()21(
3
2 rL
zy
zLLr
yx
L
zxPx
Esfuerzos Normales en A causados por
una Carga Puntual
23
2
2
22
5
2
)()21(
3
2 rL
zx
zLLr
xy
L
zyPy
y
2/522
3
5
3
)(2
3
2
3
zr
Pz
L
Pzz
donde:
22222
22
zrzyxL
yxr
= relación de poisson
z
X
N
Q por metro
x
z
Esfuerzos en un Medio Elástico Causados por una
Carga Lineal Vertical de Longitud Infinita
Esfuerzos Causados por una Carga
Lineal Vertical de Longitud Infinita
Los incrementos de esfuerzo en N debidos a la
aplicación de una carga lineal Q por metro, son
222
2
222
2
222
3
)(
2
)(
2
)(
2
zx
xzQ
zx
zxQ
zx
zQ
xz
x
z
q = carga por área
unitaria
B
X
X - r
z
A
drr
x
z
Esfuerzos en un Medio Elástico Causados por una
Carga de Franja (ancho finito y longitud infinita)
Carga Uniformemente Distribuida Sobre
una Franja Infinita
Los incrementos de esfuerzos en el punto A producidos
por una presión uniforme q que actúa sobre un franja
flexible infinitamente larga de ancho B, son los siguientes:
)2(
)2cos(
)2cos(
sensenq
senq
senq
xz
x
z
Isóbaras o Bulbo de Presiones Verticales
Bajo una Carga Flexible de Franja
Carga de
Franja flexible
a a
Planta
q
B 2B 2.5B
B
2B
3B
4B
5B
0.7
0.5
0.3
0.2
0.06
0.08
0.1
0 B 2B
q = 0.9
q =
Z
N
X
X
V
q
B
R1
R2
Carga con Distribución Triangular
sobre una Franja Infinita
Carga con Distribución Triangular
sobre una Franja Infinita
Cuando el esfuerzo aplicado se incrementa linealmente a
través del ancho de la franja, lo cual conduce a una
distribución triangular, los incrementos de esfuerzo en el
punto N están dados por:
xB
zq
senR
Rn
B
z
B
xq
senB
xq
xz
x
v
22cos1
2
22
11
22
1
2
2
2
1
Carga uniformemente distribuida sobre una
área circular
2/3
2)/(1
11
zRqv
El incremento del esfuerzo vertical total a una
profundidad z bajo el centro de una área circular
flexible de radio R cargada con una presión uniforme q
esta dado por
Sin embargo, para puntos diferentes de los situados bajo el
centro de carga, las soluciones tienen una forma extremadamente
complicada (Harr, 1996) y por lo general se presentan en forma
gráfica (Foster y Ahlvin, 1954 ) o en tablas (Ahlvin y Ulery, 1962).
En el punto N , puede escribirse el incremento en el esfuerzo
vertical total como
qIv
Factor influencia l σ
Valores del factor de influencia /σ para calcular el incremento de esfuerzo
vertical total σv bajo un área circular uniformemente cargada. (Según
Foster y Alhvin, 1954. Reimpresa con la autorización del transportation
Research board).
r
V
V
Carga uniforme q
= q/
0.0020.001 0.004 0.006 0.01 0.02 0.04 0.06 0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.1 0.2 0.4 0.6 0.8
r
R
=10
9
8
7
6
5
4
3
2.5
2 1.5
1.25
0
0.5
r
R
r
R
=0.75
=1
E
R
R
1
z
R
P
Z
Z
=I.PZ
a b
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0
0.01 2 4 6 6 68 8 80 0 021 1012 4 4
b/z=
In
flu
en
ce
V
alu
e ‘ I ’
a/z
b/z=0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.6
0.7
0.8
0.9
b/z =1.0
b/z =0.5
1.2
1.4
1.6
1.9
2.0
3.0
Factores de Influence para Esfuerzos Verticales Generados
por una Carga de Terraplén (Obsterberg, 1957).
B B
Carga uniforme q
=0.5qV
0.2q
0.1q
0.3q
0.4q
0.6q
0.8q
0.9q
Bajo el
centro
V
0.5B0.5B
BB
1.5B1.5B
2B2B
2.5B2.5B
0 0.2q 0.4q 0.6q 0.8q 0
a) b)
a) líneas de igual incremento de esfuerzo vertical total, b)
incremento del esfuerzo vertical total bajo el centro de la
zapata.
Isóbaras o Bulbo de Presiones Verticales
Bajo un Área Cuadrada con Carga Uniforme
z
Ln
z
Bm
El incremento en el esfuerzo vertical debajo la
esquina de un área rectangular cargada
uniformemente viene dado por:
Incremento de Presiones Verticales Bajo
un Área Rectangular con Carga Uniforme
qIv
Donde I es función de m y n, parámetros
definidos como:
Valores del factor de influencia I para calcular el incremento de esfuerzo
vertical total v bajo la esquina de una área rectangular uniformemente
cargada (Según Fadum, 1948)
0.180.18
0.19
0.20
0.21
0.22
0.23
0.24
0.25
0.17
0.16
0.15
0.14
0.13
0.12
0.11
0.10
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.01 0.1 1 2 3 4 5 6 8 100.2 0.3 0.40.02 0.04 0.06 0.6 0.8
0.00
m=0.0
m=0.1
m=0.2
m=0.3
m=0.4
m=0.5
m=0.6
m=0.7
m=0.8
m=1.0
m=1.8
m=2.
m=2.4
m=3.0m=
m=1.2
m = 1 . 4
m = 1 . 6
m=0.9
Presion uniforme q
B
L
V
V =ql
N
Nota m n: y son intercambiables
Fac
tor d
e influ
en
cia I
Z
n
Cálculo aproximado del incremento de
esfuerzo vertical
Para áreas circulares o rectangulares uniformemente
cargadas, puede hacerse un cálculo aproximado del
incremento de esfuerzo vertical total suponiendo que la
carga aplicada se distribuye dentro de un cono truncado
o una pirámide truncada formados por lados con
pendiente de 2 en la vertical y 1 en la Horizontal, por
ejemplo, si el área cargada es un rectángulo de longitud L
y ancho B, el incremento promedio en el esfuerzo vertical
total a una profundidad z estará dado aproximadamente
por
))(( zBzL
qLBv
Cualquier área cargada puede considerarse como un
número discreto de subáreas, que distribuyen una carga
puntual aplicada sobre la superficie del terreno
1 1
2 2
L x B
(L+z) x (B+z)
Z
q
Método aproximado para calcular el incremento promedio de
esfuerzo vertical total bajo un área uniformemente cargada.
Carga puntual
Expresión de Boussinesq
kxxP
z
Pv
80020022
2
33
Z(m)
V (KN/M2) 6.111,5 1.527,9 382,0 169,3 95,5 61,1 42,4 31,2 23,9
0,25 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00
Z
X XX
Z
Z
Tzx
Tzx
Tzx
TxzT
xz
Txz
0
A
Bc
TResultantes de
esfuerzos sobre ab
a)b)
ESTADO DE ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO
CÍRCULO DE MOHR
B
A
C
1
3
T
Dirección de 1
Dire
cc
ió
n d
e
3
(a)
2
2
1
1
3
3
-
+
2
A ( Coordenados , )T
T
Circulo de Mohr
(b)
REPRESENTACIÓN
DE ESFUERZOS
MEDIANTE EL
CÍRCULO DE MOHR
a) estado de esfuerzos en
un punto.
b) Diagrama de Mohr para
el estado de esfuerzos
en un punto.
Representación de los esfuerzos mediante el
círculo de Mohr.
22
cos)(
2cos22
cos
3131
31312
3
2
1
sensen
sen
El esfuerzo tangencial máximo en un punto, max es
siempre igual a ( 1- 3)/2; es decir, el esfuerzo tangencial
máximo equivale al radio del círculo de Mohr. Este esfuerzo
tangencial máximo se produce en planos que forman 45
con la dirección del esfuerzo principal mayor.
Ejemplo
Calcular los esfuerzos sobre el plano B-B.
300
4kg/cm2
4kg/cm2
2kg/cm2
2kg/cm2
B
B
1. Se representa los puntos (4,0) y (2,0).
2. Se dibuja el círculo, utilizando estos puntos para definir el diámetro.
3. Se traza la línea AA’ por el punto (2,0), paralela al plano sobre el cual
actúa el esfuerzo (2,0).
4. La intersección de A’A’ con el círculo Mohr en el punto (4,0) es el polo.
5. Se traza la línea B’B’ por Op, paralela a BB.
6. Se leen las coordenadas del punto X donde B’B’ corta al círculo de
Mohr.
1
0
-1
1 2 3 4
C´
A´A´
X
B´
B´
Op
C´
A’
432
Op
B’
B’
Respuesta
2.5 kg/cm2
2 kg/cm2
4 kg/cm2
0.87
Sobre BB= 2.5 kg/cm2
= -0.87 kg/cm2
Otra solución. Los pasos 1 y 2 igual que antes.
3. Traza´por el punto (4.0) la línea C’C’ paralela al plano sobre
el que actúa el esfuerzo (4.0). C’C’ es vertical.
4. C’C’ corta al círculo de Mohr solamente en (4.0) de forma
que este punto es el polo Op. Los pasos 5 y 6 análogos al caso
anterior.
Solución por medio de las ecuaciones
2
2
2
3
2
1
/866.0602402
24
/5.260cos3240cos2
24
2
24
120/2/4
cmkgsensen
cmkg
cmkgcmkg
(preguntas para el alumno. ¿Por qué es =120 ? ¿El resultado
habria sido diferente si = 300 ?)
DIAGRAMAS p-q
En muchos problemas conviene representar, sobre un
diagrama único, muchos estados de esfuerzos para una
determinada muestra del suelo. En otros problemas se
representa en un diagrama de este tipo el estado de
esfuerzos de muchas muestras diferentes. En tales casos
resulta muy pesado trazar los círculos de Mohr, e
incluso mas difícil ver lo que se ha representado en el
diagrama después de dibujar todos los círculos .
Otro método para dibujar el estado de esfuerzos puede
ser adoptar un punto representativo de los esfuerzos
cuyas coordenadas son
231p
231q
+ si 1 forma un ángulo igual o
menor de 45 con la vertical
- si 1 forma un ángulo menor de
45 con la horizontal
En la mayoría de los casos en los que se utiliza la
representación puntual, los esfuerzos principales actúan
sobre planos verticales y horizontales. En este caso, la
ecuación se reduce a
2,
2hh qp
Este método equivale a representar un punto único de
un circulo de Mohr: el punto mas alto si q es positivo o
el mas bajo si q es negativo. Numéricamente, q equivale
a la mitad del esfuerzo desviador.
Conociendo los valores de p y q para un cierto estado de
esfuerzos, se posee toda la información necesaria para
dibujar el círculo de Mohr correspondiente. Sin
embargo, el empleo de un diagrama p-q no exime de
utilizar el círculo de Mohr para determinar la magnitud
de los esfuerzos principales a partir de un determinado
estado de esfuerzos.
FIN