ESTABILIDAD

La estabilidad es una característica muy importante en Ingeniería de Control.

Un sistema es estable cuando ante una entrada de amplitud finita responde el sistema con una salida también de amplitud finita.

Por el contrario, un sistema inestable presentará oscilaciones que tienden a infinito ante entradas finitas.

Estabilidad

El criterio de estabilidad en el plano complejo S es que todos los polos del sistema tuvieran parte real negativa.

Estabilidad

Correspondencia entre el Plano S y Z

Correspondencia entre el Plano S y Z

Anteriormente se han obtenido las primeras ecuaciones características en la variable compleja z. La posición de los polos en lazo cerrado dentro del plano complejo S se utiliza mucho en control continuo, por ejemplo en el método del lugar de las raíces.

Aquí se pretende estudiar qué características posee el plano complejo Z y cómo trasladar a él las propiedades que se conocen en S.

La relación entre los planos S y Z se deduce de la expresión que relaciona las dos variables complejas:

Correspondencia entre el Plano S y Z

Correspondencia entre el Plano S y Z

Correspondencia entre el Plano S y Z

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Correlación entre el plano S y el plano Z.

El sistema discreto y el sistema continuo equivalente ofrecen dinámicas similares cuando el número de muestras por ciclo y el número de muestras por constante de tiempo es suficientemente elevado (en este caso se dice que el sistema no está desvirtuado).

Estas indicaciones con llevan a que las raíces características en plano S sean tales que mantengan elevadas las relaciones:

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Correlación entre el plano S y el plano Z.

En conclusión, un sistema discreto no queda desvirtuado frente al sistema continuo equivalente cuando las raíces transformadas en plano Z se encuentren en el interior del circulo de radio unidad y cercanas a z=1.

En estos casos, pueden asignarse al sistema discreto las mismas características dinámicas que posee el sistema continuo equivalente.

Mediante la observación de la expresión de la transformada Z, se puede afirmar que el aumento del período de muestreo provocará un alejamiento de las raíces transformadas de la zona del plano Z en la cual se garantiza una respuesta del sistema discreto no desvirtuada frente al sistema continuo equivalente.

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Respuestas en función de la ubicación de las raíces en plano S y Z.

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Aplicación

F.T. lazo cerrado es:

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Aplicación

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Aplicación

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Aplicación

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Aplicación

Respuesta en el Tiempo de Sistemas de Control Discretos

Objetivos

Estudiar las características de las respuestas transitorias y en estado permanente de un sistema de control en lazo cerrado.

GeneralidadesPara analizar el comportamiento de un sistema se toma como punto de partida la representación matemática del mismo. Esta modelización, es su función de transferencia.

En general los sistemas de control en tiempo discreto son analizados mediante entradas “estandar”.

Generalidades

La respuesta temporal de un sistema lineal invariante en el tiempo puede descomponerse en dos partes:

La respuesta transitoria

La respuesta estacionaria.

Si denominamos c(t) a la expresión de la respuesta temporal entonces:

c(t) = ct(t) + css(t)

donde: ct(t) = Respuesta transitoria.

css(t) = Respuesta estacionaria.

Generalidades

La respuesta transitoria es originada por la propia característica dinámica del sistema y determina el comportamiento del sistema durante la transición de algún estado inicial hasta el estado final.

La respuesta estacionaria depende fundamentalmente de la señal de excitación al sistema y, si el sistema es estable, es la respuesta que perdura cuando el tiempo crece infinitamente.

Generalidades

Se dice que un sistema es estable si su respuesta transitoria decae a cero cuando el tiempo tiende a infinito.

Se define el error en estado estacionario como la diferencia entre la señal de referencia y la señal realimentada en estado estacionario en sistemas estables.

En sistemas de control, interesa minimizar la desviación de la señal de salida respecto a la señal de entrada en estado transitorio.

Se caracteriza la respuesta transitoria respecto a entradas típicas o estándares: Función impulsional, función escalón, función en rampa y función parabólica en el tiempo.

Sistemas de primer ordenUn sistema de primer orden se define como aquel que posee un único polo.

Sistemas de segundo ordenUn sistema de segundo orden es aquel que posee dos polos. Este tipo se sistemas se suele representar de la siguiente forma:

Sistemas de segundo orden

Sistemas de segundo orden

La respuesta del sistema para ξ = 0 es oscilatoria.

El valor máximo de amplitud logrado en el estado transitorio decrece a medida que aumenta ξ (0 < ξ < 1)

Para valores de ξ≥1 desaparece totalmente este máximo, lográndose el valor máximo de la señal cuando se alcanza el estado estacionario.

Esta característica es tanto más acentuada cuanto mayor es el valor de ξ.

Sistemas de segundo orden

Teorema de Muestreo

Sea una señal f(t) con espectro de banda limitada:

Teorema de Muestreo

Teorema de Muestreo

Suponiendo que el mantenedor de orden cero es un filtro pasa bajos ideal, se obtendría la señal previa al muestreo como salida del mismo.

Un filtro paso bajos ideal no es causal, y por ello el mantenedor de orden cero distorsiona y no elimina totalmente las componentes en alta frecuencia de la señal muestreada, notándose más este efecto cuanto menor es la relación ωs/ω1.

En conclusión, interesa trabajar siempre con la relación ωs/ω1 lo más grande posible, despreciando de este modo los efectos del muestreo y reconstrucción.

Teorema de Muestreo

Aparece un efecto de superposición de espectros que provocan que no sea posible recuperar la señal original previa al muestreo a partir de la señal muestreada. A este efecto se le denomina aliasing y siempre debe evitarse en un proceso de muestreo.

Teorema de Muestreo

"La mínima frecuencia de muestreo para poder recuperar una señal previa al muestreo, a partir de la señal muestreada a través de un filtro pasa bajos ideal es ωs = 2ω1, donde ω1 es la máxima frecuencia que presenta la señal a muestrear."

El control discreto se caracteriza a través de su función de transferencia en Z y es diseñado para cumplir las especificaciones requeridas al sistema.

Las respuestas temporales del sistema discreto y del sistema continuo equivalente difieren substancialmente a medida que aumenta el periodo de muestreo.

En concreto, el muestreo tiene un efecto desestabilizador del sistema, de manera que, cuanto más desvirtuado se halla el sistema discreto frente al sistema analógico, “peor” es su respuesta transitoria.

Este efecto conlleva una pérdida de la estabilidad relativa del sistema discreto a medida que aumenta el periodo de muestreo.

Td: periodo de señal respuesta del sistema continuo equivalente.