Post on 23-Jan-2016
Expresiones Racionales
Universidad de Ciencias Aplicadas
Introducción a la Matemática Universitaria
Una expresión racional es una fracción de la forma
Donde P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) ≠ 0.
Ejemplo de expresiones racionales:
Expresión RacionalExpresión Racional
)(
)(
xQ
xP
21
72
2
36
25
xy
yx
xxx 52
2
42
x
x
Conjunto de valores admisibles de una Conjunto de valores admisibles de una expresión racional C.V.Aexpresión racional C.V.AEl conjunto de valores admisibles o C.V.A que puede tomar la variable en una expresión racional, es el conjunto de todos los números reales que no anulan al denominador.
Ejemplos:
x
xx 52
2
42
x
x
CVA=R-{0}
CVA=R-{-2}
Decimos que una expresión racional está simplificada si el numerador P(x) y el denominador Q(x) no tienen factores en común (diferentes de 1).
SimplificaciónSimplificación
8
33
4x2
52
x
x4
4
y
x
Ejemplos de expresiones racionales simplificadas:
Primer Paso
Factorizamos completamente el numerador P(x) y el denominador Q(x).
Procedimiento para simplificar expresiones Procedimiento para simplificar expresiones racionalesracionales
Segundo Paso
Aplicamos la propiedad de cancelación de fracciones:
Si a, b, c son números reales, donde b y c son reales diferentes de cero.
b
a
cb
ca
Simplifique la expresión racional:
Factorizamos el numerador y el denominador
Aplicamos la propiedad de cancelación de fracciones
Respuesta
Ejemplo 1Ejemplo 1
2
2
14
21
xy
yx
y
x
yyx
yxx
yyx
yxx
xy
yx
2
3
...7.2
...7.3
...7.2
..7.3
14
212
2
Simplifique la expresión racional:
Factorizamos el numerador y el denominador
Aplicamos la propiedad de cancelación de fracciones
Respuesta
2
3
6
62
x
xx
x
x
xx
xx
xx
xx
x
xx
3
)3(
)3(2
)3(2
)3(2
)3(2
6
62
2
2
2
2
3
Ejemplo 2Ejemplo 2
Simplifique la expresión racional:
Factorizamos el numerador y el denominador
Aplicamos la propiedad de cancelación de fracciones
Respuesta
93
32
x
xx
3
)3(3
)3(
)3(3
)3(
93
32
x
x
xx
x
xx
x
xx
Ejemplo 3Ejemplo 3
Simplifique la expresión racional:
Factorizamos el numerador y el denominador
Aplicamos la propiedad de cancelación de fracciones
Respuesta
93
1522
x
xx
3
5
)3(3
)3)(5(
)3(3
)3)(5(
93
1522
x
x
xx
x
xx
x
xx
Ejemplo 4Ejemplo 4
Primer caso:
La suma o diferencia de expresiones racionales con el mismo denominador, tiene como numerador a la suma o diferencia de los numeradores y como denominador al denominador común.
Adición y SustracciónAdición y Sustracción
Hallando el C.V.A. C.V.A = - { 1 }
Realizando las operaciones de adición y sustracción en las expresiones racionales.
Respuesta
1x
2x
1x
2x
1x
5
1
225
x
xx
1
3
x
x
Ejemplo:
Simplifique la expresión:
Segundo caso:
Si las expresiones racionales no tienen el mismo denominador, entonces, se debe hallar el MCM de los denominadores y transformarlas en expresiones racionales con el MCM como denominador. Después se suma o resta los numeradores como en el caso anterior.
Adición y SustracciónAdición y Sustracción
44xx
1
4x
x22
Ejemplo:
Simplifique la expresión:
Factorizando los denominadores
Hallando el M.C.M de los denominadores
Hallando el C.V.A
Homogenizando denominadores, recuerde que puede multiplicar el numerador y denominador de una fracción por un mismo factor
Realizando las operaciones de adición en las expresiones racionales
22x
1
22x
x
x
C.V.A = - { -2, 2 }
222 xx
)2()2(
2
)2()2(
)2(22
xx
x
xx
xx
)2()2(
23
)2()2(
)2()2(2
2
2
xx
xx
xx
xxx
Multiplicación
El producto de dos expresiones racionales es otra expresión racional cuyo numerador y denominador son, respectivamente, el producto de los numeradores y el producto de los denominadores de las expresiones dadas.
Multiplicación y DivisiónMultiplicación y División
Ejemplo: Efectúe el producto: 96
25.
5
32 2
x
x
x
x
Solución:3
5
)32)(5(3
)5)(5)(32(
96
25.
5
32 2
x
xx
xxx
x
x
x
x
División
La división de dos expresiones racionales es otra expresión racional cuyo numerador, es el producto del numerador de la primera expresión racional por el denominador de la segunda; y cuyo denominador, es el producto del denominador de la primera expresión racional por el numerador de la segunda.
Multiplicación y DivisiónMultiplicación y División
Ejemplo: Efectúe la división: 1
41x
6xx 2
2
2
xx
Solución:
)2)(1()3(
)2)(2)(1)(1()1)(2)(3(
41
.1x
6xx22
2
xxx
xxxxxxx
xx