Funciones Reales

1 Funciones Reales

1. Al evaluar la función lineal f(x) = � 23x +

12 en x = � 3

4 se obtiene quef(x) es.

a) 12 b) 1 c) 76 d) 0

Solution 1

Sustituimos el valor de x en la función dada:

f(�34) = �2

3(�34) +

2. Los interceptos de la función lineal f(x) = 2x� 6 con el eje x y con el eje y;

1. respectivamente, son los puntos:

a) (0;�6) y (3; 0) b) (0; 6) y (�3; 0) c) (0; 0) y (3;�6) d) (3; 0) y (0;�6)

Solution 2

Para los interceptos con el eje x, hacemos y = 0; en la función dada:

0 = 2x� 62x = 6

2x = 3

Así el punto es (3; 0)Para los interceptos con el eje y; hacemos x = 0; en la función dada:

y = 2(0)� 6y = 0� 6y = �6

El punto es (0;�6)Los puntos de intercepción son: (3; 0) y (0;�6)R. a)

Jolman Enrique LópezJosé A. Siles R.Jolman Enrique LópezJosé A. Siles R.Gerardo Manuel García

Grupo Matagalpino e Matemáticas "Los Karamazov"Grupo Matagalpino de Matemáticas "Los Karamazov"

3. La preimagen de y = �3, bajo la función f(x) = 7� 3x es:

a) x = 103 b) x = � 3

10 c) x = � 103 d) x = 0

Solution 3

Sustituimos el valor de y en la ecuación dada:

�3 = 7� 3x3x = 7 + 3

3x = 10

4. La regla de asignación de la función que pasa por los puntos (�1;�3) y (2; 8)es:

a) f(x) = 23x�

113 b) f(x) = � 11

3 x+23 c) f(x) = 2x� 11 d) f(x) = 11

3 x+23

Solution 4

La regla de asignación es dada por: f(x) = mx+b; donde m es la pendiente,así:

m =y2 � y1x2 � x1

m =8� (�3)2� (�1)

m =8 + 3

Ahora hallamos el valor de b, utilizando el punto (2; 8), así:

f(x) = mx+ b

3(2) + b

b = 8� 223

b =24� 223

Grupo Matagalpino De Matemáticas "Los Karamazov"Jolman Enrique LópezJosé A. Siles R.

Grupo Matagalpino de Matemáticas "Los Karamazov"Jolman Enrique LópezJosé A. Siles R.Gerardo Manuel García

La regla de asignación es: f(x) = 113 x+

5. En cálculo de interés simple, la cantidad devengada S es una función linealde tiempo medido en años S = P (1+ rt): Si el capital es P = C$1000 y latasa anual de interés es r = 4%; entonces la cantidad devengada S pasado15 años es:

a) $61000 b) $1600 c) $7000 d) $16000

Solution 5

Sustituimos los valores dados en la función: S = P (1 + rt)

S = 1000 [1 + (0:04)(15)]

S = 1000(1 + 0:6)

S = (1000)(1:6)

S = 1600

6. Sea h una función lineal tal que h(�2) = 5 y h(6) = 3; la función h(x); dondex es cualquier número real está de�nida por:

a) h(x) = 5x+ 3 b) h(x) = 92x+

14 c) h(x) = �2x+ 6 d) h(x) = � 1

Solution 6

Según los datos, tenemos dos puntos: A(�2; 5) y B(6; 3);la función buscadaes del tipo f(x) = mx+ b: Hallamos el valor de m :

m =3� 5

6� (�2)

m =�26 + 2

m =�28

m = �14

Ahora hallamos el valor de b, usando el punto: B(6; 3) :

b = f(x)�mx

b = 3� (�14)(6)

b = 3 +3

b =6 + 3

La función es de�nida por: f(x) = � 14x+

7. Se f una función de números tal que f(2) = 3; y f(a+ b) = f(a)+ f(b)+ab;8a; b:Entonces, f(11) es igual a:

a) 22 b) 33 c) 44 d) 66

Solution 7

Utilizando los datos dados, hallamos el valor de f(4):

f(4) = f(2 + 2)

f(4) = f(2) + f(2) + (2)(2)

f(4) = 3 + 3 + 4

f(4) = 10

Ahora hallamos el valor de f(6) :

f(6) = f(4 + 2)

f(6) = f(4) + f(2) + (4)(2)

f(6) = 10 + 3 + 8

f(6) = 21

Ahora hallamos el valor de f(10) :

f(10) = f(6 + 4)

f(10) = f(6) + f(4) + (6)(4)

f(10) = 21 + 10 + 24

f(10) = 55

Para hallar f(11); debemos encontrar el valor de f(1);así:

f(2) = f(1) + f(1) + (1)(1)

3 = 2f(1) + 1

3� 1 = 2f(1)

2 = 2f(1)

f(1) =2

2f(1) = 1

f(11) = f(10) + f(1) + (10)(1)

f(11) = 55 + 1 + 10

f(11) = 66

8. Para niños entre 6 y 10 años de edad, la estatura y (en pulgadas) es fre-cuentemente una función lineal de la edad t (en años). Si la estatura decierto infante es de 48 pulgadas a los 6 años de edad y 50:5 pulgadas a los7; entonces al expresar y como función de t; se obtiene:

a) y(t) = 33� 2:5t b) y(t) = 2:5t+ 33 c) y(t) = 33t� 2:5 d) y(t) = 2:5t� 33

Solution 8

Por los datos dados, la función buscada es del tipo: y(t) = mx+ b; y ademásnos dan dos puntos: A(6; 48) y B(7; 50:5): Hallamos el valor de m :

m =50:5� 487� 6

m = 2:5

Usamos el punto A(6; 48), para hallar el valor de b :

y(t) = mx+ b

48 = (2:5)(6) + b

48 = 15 + b

b = 48� 15b = 33

La función buscada es y(t) = 2:5t+ 33R. b)

9. Sabiendo que f(0) = 1 y f(1) = 0; determine la función lineal f(x) y el áreaacotada por dicha función y los ejes X;Y:

a) f(x) = �x� 1; 2u2 b) f(x) = x� 1; 0:25u2c) f(x) = �x+ 1; 0:5u2 d) f(x) = x+ 1; 2u2

Solution 9

La función buscada es del tipo: f(x) = mx+ b; según los datos tenemos lospuntos: A(0; 1) y B(1; 0); hallando m :

m =0� 11� 0

m =�11

m = �1

Hallando el valor de b usando el punto: A(0; 1) :

y = mx+ b

1 = (�1)(0) + b1 = b

La función buscada es: f(x) = �x+ 1Los puntos de intersección de la recta con los ejes son: A(0; 1) y B(1; 0);

formando un triángulo de base 1u:Así:

2(1)(1)

10. Al evaluar la función cuadrática f(x) = � 23x

2 + 12 en x = � 3

4 se obtieneque su imagen vale:

a) 12 b) 1 c) 18 d) � 14

Solution 10

Sustituimos el valor de x en la función dada:

f(�34) = �2

��34

�2+1

f(�34) = �2

f(�34) = �3

f(�34) =

�3 + 48

f(�34) =

11. Los interceptos de la función cuadrática g(x) = �x2 � 6x � 5 con el eje xy con el eje y; respectivamente, son los puntos:

a) (�1; 0) y (�5; 0) b) (1; 0) y (5; 0) c) (0; 0) y (�1;�5) d) (3; 0) y (1; 5)

Solution 11

Interceptos con el eje x, hacemos y = 0

0 = �x2 � 6x� 5x2 + 6x+ 5 = 0

(x+ 5)(x+ 1) = 0

x+ 5 = 0! x = �5x+ 1 = 0! x = �1

Los interceptos en el eje x son: (�1; 0) y (�5; 0)Interceptos con el eje y, hacemos x = 0:

y = �(0)2 � 6(0)� 5y = 0� 0� 5y = �5

El intercepto con el eje y es en (0;�5)

12. El dominio y el rango de la función cuadrática f(x) = �2x2+6 son respec-tivamente:

a) R y (�2; 6) b) R y (�1; 6] c) (�2; 0) y (�1;+1) d) [�6 ;+1) y [�2 +1)

Solution 12

La grá�ca de la función f(x) = �2x2 + 6; es como se muestra:

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

Vemos que su dominio es todo R.Para el rango debemos hallar el valor de k = f(x); el cual tiene como abscisa

x = 0; por lo cual:

y = �2(0)2 + 6y = 0 + 6

Así, el rango es: (�1; 6]R. b)

13. Dada la función f(x) = ax2 + bx+ c; el valor de f(� b2a ) es:

a) � c� b2

4a b) c2 � b2

4a c) c� b2

4a d) c+ b2

Solution 13

Evaluamos � b2a en la función dada:

f(x) = ax2 + bx+ c

�� b

�= a

�� b

�2+ b

�� b

�+ c

�� b

�= a

�� b2

�� b

4a� b2

�� b

b2 � 2b2 + 4ac4a

�� b

�b2 + 4ac4a

�� b

�b24a

�� b

�= c� b2

14. Dada las parábolas x2 � 3x+ 1 y �x2 + 2x+ 7; la distancia entre el puntomínimo y máximo de dichas curvas es:

a) 8:2345 b) 9:2635 c) 7:2635 d) 8:2635

Solution 14

Los puntos pedidos en las curvas son los vértices. Las coordenadas de éstosestán dadas por h = � b

2a y k = f(h):Así para x2 � 3x+ 1; h1 y k1 valen:

h1 = � (�3)2(1)

�2� 3

�+ 1

4� 92+ 1

k1 =9� 18 + 4

k1 = �54

El vértice de esta función es: V1( 32 ;�54 )

Ahora hallamos h2 y k2 para �x2 + 2x+ 7 :

h2 = � 2

2(�1) = 1

k2 = �(1)2 + 2(1) + 7k2 = �1 + 2 + 7k2 = 8

El vértice de esta función es: V2(1; 8)Hallamos la distancia entre éstos dos puntos:

d(V1; V2) =p(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2

d(V1; V2) =

s(1� 3

�8� (�5

�2d(V1; V2) =

s�2� 32

�32 + 5

�2d(V1; V2) =

s��12

�2d(V1; V2) =

4+1369

d(V1; V2) =

r4 + 1369

d(V1; V2) =

d(V1; V2) � 9:2635

15. Las funciones lineales de�nidas por f1(1) = 0; f1(0) = 1 y f2(�1) = 0;f2(0) = 1; forman un triángulo isósceles con el eje X: El área de dichotriángulo es:

a) 1:25u2 b) 0:75u2 c) 1u2 d) 1:5u2

Solution 15

Las coordenadas según f1(1) = 0; f1(0) = 1 y f2(�1) = 0; f2(0) = 1: Sonlos puntos: A(1; 0); B(0; 1) y C(�1; 0); (0; 1)El triángulo que forman los puntos obtenidos con el eje X, tiene como base

2u y altura 1u:

Entonces:

A =b � h2

A =(2u)(1u)

A = 1u2

16. Las preimágenes de y = 5 bajo la función f(x) = x2 � 4x� 1 son:

a) x = 8�p10 b) x = 4�

p10 c) x = 2�

p10 d) x = 1�

Solution 16

Evaluamos y = 5 en la función: y = x2 � 4x� 1

5 = x2 � 4x� 1x2 � 4x� 6 = 0

x1;2 =�(�4)�

p(�4)2 � 4(1)(�6)2(1)

x1;2 =4�

p16 + 24

x1;2 =4�

x1;2 =4� 2

x1;2 = 2�p10

17. La expresión funcional de la parábola que pasa por los puntos (�3; 20); (�1; 4)y (2;�5) es:

a) f(x) = �3x2 � x+ 5 b) f(x) = 3x2 + 5x� 1c) f(x) = x2 � 4x� 1 d) f(x) = 4x2 + 2

Solution 17

La expresión funcional de una parábola es de la forma: y = ax2 + bx+ cCon base en los puntos dados obtenemos el sistema de tres ecuaciones con

tres incógnitas. Resolvemos:8<: 9a� 3b+ c = 20 (1)a� b+ c = 4 (2)4a+ 2b+ c = �5 (3)8<: 9a� 3b+ c = 20a� b+ c = 46b� 3c = �21

Eliminando a

8<: a� b+ c = 49a� 3b+ c = 206b� 3c = �21

Ordenando

8<: a� b+ c = 46b� 8c = �166b� 3c = �21

Eliminando a

8<: a� b+ c = 46b� 8c = �165c = �5

Eliminando b

De lo anterior se puede ver que c = �55 = �1, y

6b� 8c = �166b� 8(�1) = �16

6b+ 8 = �166b = �16� 86b = �24

b =�246

= �4

a� b+ c = 4

a� (�4) + (�1) = 4

a+ 4� 1 = 4

a+ 3 = 4

a = 4� 3a = 1

La expresión buscada es:

y = (1)x2 + (�4)x+ (�1)y = x2 � 4x� 1

18. El vértice y el rango de la función cuadrática que pasa por los puntos(�2; 53); (0; 5) y (2; 29) es:

a) (�2; 3) y (�1; 5 b) (�2;�3) y (�1;�3 c) ( 13 ; 4) y [4;1) d) (2; 3) y [2;1)

Solution 18

Encontramos la ecuación de la parábola en la forma: y = ax2 + bx+ cCon base en los puntos dados obtenemos el sistema de tres ecuaciones con

tres incógnitas. Resolvemos:

8<: 4a� 2b+ c = 53 (1)c = 5 (2)4a+ 2b+ c = 29 (3)8<: 4a� 2b+ c = 53c = 54b = �24

Eliminando a y c

De lo anterior se puede ver que c = 5 y b = �6: Así:

4a� 2b+ c = 53

4a� 2(�6) + 5 = 53

4a+ 12 + 5 = 53

4a+ 17 = 53

4a = 53� 174a = 36

4a = 9

La ecuación de la parábola buscada es: y = 9x2 � 6x+ 5:El vértice de esta función es dado por V (h; k); donde h = � b

2a y k = f(h);entonces:

h = � �62(9)

k = f(h) = 9(1

3)2 � 6(1

3) + 5

k = 1� 2 + 5k = 4

Por lo que el vértice V es: V ( 13 ; 4)Esta parábola abre hacia arriba, por lo cual el rango es [4;1)R. c)

19. Al expresar la función cuadrática f(x) = 3x2+24x+50 en la forma f(x) =a(x� h)2 + k; resulta:

a) f(x) = 5(x+ 3)2 � 7 b) f(x) = 3(x+ 4)2 + 2c) f(x) = 3(x+ 3)2 + 3 d) f(x) = �3(x� 4)2 � 2

Solution 19

Resolvemos completando cuadrado, igualamos la función dada f(x) = 3x2+24x+ 50 a cero:

3x2 + 24x+ 50 = 0

3x2 + 24x = �509x2 + 72x = �150

9x2 + 72x+ 144 = �150 + 1449(x2 + 8x+ 16) = �6

9(x+ 4)2 = �63(x+ 4)2 = �2

3(x+ 4)2 + 2 = 0

f(x) = 3(x+ 4)2 + 2

20. La rapidez de crecimiento y (en libras por mes) de un infante está rela-cionada con el peso actual x (en libras) por la fórmula y = cx(21 � x);donde c es una constante positiva y 0 < x < 21: El peso con el que sepresenta la máxima rapidez es:

a) 12 libras b) 11 libras c) 11:5 libras d) 10:5 libras

Solution 20

La fórmula y = cx(21 � x) ! y = 21cx � cx2: Aquí: a = �c y b = 21c: Lamáxima rapidez se presenta en k = f(h); o sea en f(� b

2a ); así:

2a= � 21c

2(�c) =21

2) = f(10:5)

De lo anterior se puede ver que x = 10:5R. d)

21. El número de millas M que cierto automóvil puede recorrer con un galónde gasolina, a una velocidad de v millas por horas, está dado por M =� 130v

2 + 52v; para 0 < v < 70: El valor máximo de M es:

a) 40 millas b) 46:875 millas c) 50 millas d) 60 millas

Solution 21

El valor máximo de M se da en k = f(h); o sea en f(� b2a ); siendo a = �

y b = 52 ; entonces:

2a= �

2�130

2� 151

f(� b

2a) = � 1

f(� b

2a) = � 1

30� 56254

f(� b

2a) = �187:5

f(� b

2a) = 46:875

22. Sabiendo que f(x) es una función cuadrática y f(2) = 5; f(�2) = 5; yf(0) = 1; determine dicha función:

a) f(x) = x2 � 2x+ 1 b) f(x) = x2 + 1 c) f(x) = x2 � 2x� 1 d) f(x) = x2 � 1

Solution 22

De los valores dados, tenemos los puntos: A(2; 5); B(�2; 5) y C(0; 1): Uti-lizando la forma general de la función cuadrática: y = ax2 + bx+ c: Formamosel sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y resolvemos:

8<: 4a+ 2b+ c = 5 (1)4a� 2b+ c = 5 (2)c = 1 (3)8<: 4a+ 2b+ c = 5

4b = 0c = 1

Eliminando a y c

Como 4b = 0; entonces b = 0; así:

4a+ 2(0) + 1 = 5

4a+ 1 = 5

4a = 5� 14a = 4

4a = 1

La ecuación buscada es: y = x2 + 1:R. b)

23. Dadas las parábolas f(x) = x2� 1 y f(x) = �x2+1; determine los valoresde x que pertenecen a la región limitada por la intersección de dichasgrá�cas.

a) f�1 < x < 1g b) f�1 � x � 1g c) f�2 < x < 2g d) f�2 � x � 2g

Solution 23

Gra�camos ambas parábolas:La grá�ca de y = x2 � 1; es:

2 1 1 2

La grá�ca de y = �x2 + 1; es:

2 1 1 2

Según las grá�cas, los puntos de intersección de ambas parábolas son: (�1; 0)y (1; 0): Así, los valores de x pertenecientes a esta región son: f�1 � x � 1gR. b)

24. Al evaluar la función valor absoluto f(x) = jx� 3j en x = �7 se obtieneque su imagen vale:

a) � 10 b) �4 c) 10 d) 4

Solution 24

Evaluamos f(x) = jx� 3j en x = �7 :

f(x) = jx� 3jf(�7) = j(�7)� 3jf(�7) = j�7� 3jf(�7) = j�10jf(�7) = 10

25. Los intersectos de la función cuadrática g(x) = jxj � jx� 3j con el eje x ycon el eje y; respectivamente, son los puntos:

a) (� 32 ; 0) y (0;�3) b) (1:5; 0) y (�3; 0) c) (0; 2) y (0; 3) d) (3; 0) y (0; 2)

Solution 25

Para resolver este ejercicio, utilizamos la propiedad: jaj = b $ a = b óa = �b:Haciendo g(x) = y = 0; obtenemos el intersecto con el eje x:

0 = jxj � jx� 3jjxj = jx� 3jx = jx� 3jx = x� 3 ó x = �x+ 3 Aplicando propiedad

De x = �x+ 3; se tienex+ x = 3

2x = 3

Así, el punto de intersección con el eje x es: ( 32 ; 0)Haciendo x = 0 en la ecuación dada, obtenemos el punto de intersección con

el eje y :

y = j0j � j0� 3jy = 0� j0� 3jy = � j�3jy = �(3)y = �3

El punto de intersección con el eje y es: (0;�3)Los puntos buscados son: ( 32 ; 0) y (0;�3):R. a)

26. Las preimágenes de y = 2 bajo la función f(x) = j3x� 11j � 5 son:

a) x = 4; x = 8 b) x = � 43 ; x = �6 c) x = 4

3 ; x = 6 d) x = 4; x = 6

Solution 26

Evaluamos f(x) = y = 2 en la función dada:

2 = j3x� 11j � 52 + 5 = j3x� 11j

7 = j3x� 11j7 = 3x� 11 ó 7 = �(3x� 11) Aplicando propiedad de ejercicio 25

7 + 11 = 3x 7 = �3x+ 113x = 18 7� 11 = �3x

3� 3x = �4

x = 6 x =�4�3 =

Las preimágenes buscadas son: x = 6 y x = 43

27. El dominio y el rango de la función valor absoluto f(x) = jxj � jx+ 3j sonrespectivamente:

a)(�1; �3] y (�1; 3] b) [�1;+1] y (�3; 3] c)(�1;+1) y (�3; 3) d)(�1;+1) y [�3; 3]

Solution 27

Gra�cando la función y = jxj � jx+ 3j ; se tiene:

4 2 2 4

De la grá�ca anterior puede verse que el dominio es todo R.Para el cálculo del rango usamos la propiedad: jaj = b $ a = b ó

a = �b; y hacemos y = 0 :

0 = jxj � jx+ 3jjx+ 3j = jxj�x = x+ 3

�x� x = 3

�2x = 3

x = �32

Evaluamos algunos valores de x :

Para x = 1! y = j1j � j1 + 3j = 1� 4 = �3Para x = �1! y = j�1j � j�1 + 3j = 1� 2 = �1Para x = �4! y = j�4j � j�4 + 3j = 4� 1 = 3Para x = 4! y = j4j � j4 + 3j = 4� 7 = �3

Consideramos entonces los números y = 3 y y = �3:Así:

i)x � �3! jxj � jx+ 3j = x� (x+ 3) = x� x� 3 = �3ii)x < �3! jxj � jx+ 3j = �x� [�(x+ 3)] = �x+ x+ 3 = 3

Así, se puede ver que el rango es: [3;�3]Por lo cual, lo que se pide es: (�1;+1) y [�3; 3] :R. d)

28. El vértice y el rango de la función valor absoluto f(x) = � jx+ 1j+ 3 son:

a)(1;�1) y (�1; 4] b)(�1; 3) y (�1; 3] c)(�1;�3) y [�3 ;+1) d)(�1; 3) y [3 ;+1)

Solution 28

Presentamos a continuación la grá�ca de la función y = � jx+ 1j+ 3

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

De la grá�ca vemos que el mayor valor que toma la función está en y = 3;así:

y = � jx+ 1j+ 33 = � jx+ 1j+ 3

3� 3 = � jx+ 1j0 = � jx+ 1j0 = x+ 1

x = �1

El vértice de la función es V (�1; 3); también puede verse que el rango es:(�1 ; 3]R. b)

29. Si expresamos la función f(x) = jjxj � 2j sin el símbolo de valor absoluto,resulta:

a) f(x) =

�x� 2; si x � 22� x; si < 2 b) f(x) =

�jxj � 2; si jxj � 22� jxj ; si jxj < 0

c) f(x) =

8>><>>:x� 2; si x � 2

�x� 2; si x � �22� x; si 0 � x < 22 + x; si � 2 < x < 0

c) f(x) =

�x+ 2; si x � 02 + x; si x < 0

Solution 29

Probamos por casos:

i)x � 2! f(x) = x� 2:Por ejemplo: x = 3! 3� 2 = 1 y jj3j � 2j = j1j = 1

ii)0 � x < 2! f(x) = 2� xPor ejemplo: x = 1! 2� 1 = 1 y jj1j � 2j = j�1j = 1

iii)� 2 < x < 0! f(x) = 2 + x

Por ejemplo : x = �1! 2 + (�1) = 1 y jj�1j � 2j = j1� 2j = 1iv)x � 2! f(x) = �x� 2

Por ejemplo: x = �3! �(�3)� 2 = 1 y jj�3j � 2j = j3� 2j = 1

Así, puede verse que: f(x) =

8>><>>:x� 2; si x � 2

�x� 2; si x � �22� x; si 0 � x < 22 + x; si � 2 < x < 0

30. Al expresar la función f(x) = jxj+ jx� 5j sin el símbolo de valor absoluto,resulta:

a) f(x) =

8<: 2x� 5; si x � 55; si 0 � x < 5�2x+ 5; si x < 0

b) f(x) =

�2x� 5; si x � 5�2x+ 5; si x < 5

c) f(x) =

8<: �2x� 5; si x � 55; si 0 � x < 52x+ 5; x < 0

c) f(x) =

�2x� 5; si x � 55; si x < 5

Solution 30

Probamos por casos como en el ejercicio anterior:

i)x � 5! f(x) = x+ x� 5 = 2x� 5:Por ejemplo: x = 6! 2(6)� 5 = 7 y j6j+ j6� 5j = 6 + 1 = 7

ii)0 � x < 5! f(x) = 5

Por ejemplo: x = 1! f(1) = 5 y j1j+ j1� 5j = 1 + 4 = 5iii)x < 0! f(x) = �2x+ 5

Por ejemplo : x = �1! �2(�1) + 5 = 7 y j�1j+ j�1� 5j = 7

Así puede verse que: f(x) =

8<: 2x� 5; si x � 55; si 0 � x < 5�2x+ 5; si x < 0

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