Pontificia Universidad Catlica del PerEscuela de PosgradoMaestra en Economa 2015-ICurso: Teora Financiera Avanzada (ECO822)Profesor: Guillermo MolocheIntegrantes: Herbert Manuel Mayo UrtechoMdulo I : Ejercicio CalificadoPROBLEMA 11. Sea un proceso simple. Muestre que la integral de I para este proceso satisface la propiedad de isometra:, Solucin:La integral de I del proceso X es:=Donde es un proceso Browniano.Adems, si X es un proceso simple se puede representar como:

Donde es un proceso adaptado en tiempo discreto, es decir, es -medible.Adems asumimos que y por simplicidad un tal que :

El integral de I de este proceso simple es:=Entonces:

Si usamos el hecho de que es -medible y que tiene incremento independiente, las variables aleatorias y resultan ser independientes. Por lo tanto los trminos cruzados tienen valor esperado cero y solo nos queda:

Ahora, aprovechemos la propiedad del movimiento Browniano, W, que dice que los incrementos - :

Reemplazemos:

1. Muestre que la propiedad anterior se cumple tambien en procesos medibles y adaptados X para los cuales la integral del lado derecho arriba es finita.SolucinSea es el espacio de los procesos simples y el espacio de los procesos medibles y adaptados ():Es posible encontrar una sucesin de procesos en , () tal que cuando : lo cual implica que

Adems:

! 0 lo cual implica que

Ahora, la isometra se puede escribir como:

A continuacin aplicamos lmites a estra propiedad para los procesos simples, esto converge al proceso medible y adaptado y a su integral de Ito:

Cuando :=

PROBLEMA 2Suponga que es movimiento Browniano geomtrico y definimos el proceso , todo , donde es un nmero real. Halle la ecuacin diferencial estocstica que debe satisfacer .SolucinSi es un movimiento Browniano geomtrico, entonces cumple la siguiente ecuacin diferencial estocstica:

, con

Donde y son funciones de x

Ahora, el proceso donde es solucin de la ecuacin diferencial estocstica anterior, a su vez es solucin de la siguiente ecuacin integral estocstica (Ito unidimensional)

Reemplazamos :

Como podemos apreciar el proceso tiene la forma de movimiento Browniano geomtrico.