Fundamentos Matématicos para Finanzas
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Pontificia Universidad Católica del Perú Escuela de Posgrado Maestría en Economía 2015-I Curso : Teoría Financiera Avanzada (ECO822) Profesor : Guillermo Moloche Integrantes : Herbert Manuel Mayo Urtecho Módulo I : Ejercicio Calificado PROBLEMA 1 a) Sea X un proceso simple. Muestre que la integral de I t 0 para este proceso satisface la propiedad de isometría: E [ ( ∫ 0 t X s dW s ) 2 ] =E [ ∫ 0 t X s 2 d s ] , ∀t Solución: La integral de I t 0 del proceso X es: I ( X ) t = ∫ 0 t X s dW s Donde W = { W s } es un proceso Browniano. Además, si X es un proceso simple se puede representar como: X t =ξ 00 1 {0} ( t ) + ∑ n=1 ∞ ξ n−1 1 [ t n−1, t n] ( t) Donde ξ= { ξ n } es un proceso adaptado en tiempo discreto, es decir, ξ n es F t n -medible. Además asumimos que ξ oo =0 y por simplicidad ∃ un n tal que t n =t: ∫ 0 t X t 2 dt=E [ ∑ n=1 ∞ ξ n−1 2 ( t n −t n−1 ) ] El integral de I t 0 de este proceso simple es: I ( X ) t = ∑ n=1 ∞ ξ n−1 2 ( W t n − W t n−1 )
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Pontificia Universidad Catlica del PerEscuela de PosgradoMaestra en Economa 2015-ICurso: Teora Financiera Avanzada (ECO822)Profesor: Guillermo MolocheIntegrantes: Herbert Manuel Mayo UrtechoMdulo I : Ejercicio CalificadoPROBLEMA 11. Sea un proceso simple. Muestre que la integral de I para este proceso satisface la propiedad de isometra:, Solucin:La integral de I del proceso X es:=Donde es un proceso Browniano.Adems, si X es un proceso simple se puede representar como:
Donde es un proceso adaptado en tiempo discreto, es decir, es -medible.Adems asumimos que y por simplicidad un tal que :
El integral de I de este proceso simple es:=Entonces:
Si usamos el hecho de que es -medible y que tiene incremento independiente, las variables aleatorias y resultan ser independientes. Por lo tanto los trminos cruzados tienen valor esperado cero y solo nos queda:
Ahora, aprovechemos la propiedad del movimiento Browniano, W, que dice que los incrementos - :
Reemplazemos:
1. Muestre que la propiedad anterior se cumple tambien en procesos medibles y adaptados X para los cuales la integral del lado derecho arriba es finita.SolucinSea es el espacio de los procesos simples y el espacio de los procesos medibles y adaptados ():Es posible encontrar una sucesin de procesos en , () tal que cuando : lo cual implica que
Adems:
! 0 lo cual implica que
Ahora, la isometra se puede escribir como:
A continuacin aplicamos lmites a estra propiedad para los procesos simples, esto converge al proceso medible y adaptado y a su integral de Ito:
Cuando :=
PROBLEMA 2Suponga que es movimiento Browniano geomtrico y definimos el proceso , todo , donde es un nmero real. Halle la ecuacin diferencial estocstica que debe satisfacer .SolucinSi es un movimiento Browniano geomtrico, entonces cumple la siguiente ecuacin diferencial estocstica:
, con
Donde y son funciones de x
Ahora, el proceso donde es solucin de la ecuacin diferencial estocstica anterior, a su vez es solucin de la siguiente ecuacin integral estocstica (Ito unidimensional)
Reemplazamos :
Como podemos apreciar el proceso tiene la forma de movimiento Browniano geomtrico.
