Hidrostatica actualizado

69.01 – 89.01 HIDRÁULICA GENERAL

HIDROSTATICA

• Estado de equilibrio en reposo.• Todas las partículas en reposo.

(En sólidos 3 puntos no alineados)

• Resultante de la sumatoria de fuerzas actuante en cada dirección nula.

Fuerzas de superficie

Fuerzas de masa

Actúan sobre las caras del volumen aislado.

Actúan sobre la masa contenida en un volumen

La presión en cada punto es constante en cualquiera sea la orientación del plano que lo contenga, por lo tanto Es una magnitud escalar.

Principio de Pascal

Teorema de Cauchy

Planteando las 3 ec. de equilibrio

2zypP xx∂⋅∂

2zxpP yy∂⋅∂

2yxpP zz∂⋅∂

___ABC Ω∂⋅= pP

SFX SFY SFZ

αcos2

Ω∂=∂⋅∂

⋅ pzypx βcos2

Ω∂=∂⋅∂

⋅ pzxpy γcos2

Ω∂=∂⋅∂

⋅ pyxpz

ppx = ppy = ppz =

Principio de Pascal

cte=ρ

zxyypp ∂⋅∂⋅⎟

⎞⎜⎝

⎛ ∂⋅∂∂+

ypp ∂⋅∂⋅⎟

⎞⎜⎝

⎛ ∂⋅∂∂−

zyxxpp ∂⋅∂⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂⋅

∂∂−

yxzzpp ∂⋅∂⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂⋅

∂∂+

yxzzpp ∂⋅∂⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂⋅

∂∂−

zyxxpp ∂⋅∂⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂⋅

∂∂+

x∂y∂

Ecuación de Claireaut

Cuando el fluido se encuentra en reposo o sea en el equilibrio, la suma de las fuerzas en cualquier dirección es cero (suponiendo ρ=cte.)En reposo: Liquido real = liquido perfecto

Xdpzyxxppzyx

xpp =∂⋅∂⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂⋅

∂∂+−∂⋅∂⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂⋅

∂∂−

Xdpzyxxp =∂⋅∂⋅∂⋅∂∂−

Ydpzxyyppzxy

ypp =∂⋅∂⋅⎟

⎞⎜⎝

⎛ ∂⋅∂∂+−∂⋅∂⋅⎟

⎞⎜⎝

⎛ ∂⋅∂∂−

Ydpzyxyp =∂⋅∂⋅∂⋅∂∂−

Zdpyxzzppyxz

zpp =∂⋅∂⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂⋅

∂∂+−∂⋅∂⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∂⋅

∂∂−

Zdpzyxzp =∂⋅∂⋅∂⋅∂∂−

Fuerzas de superficie

dFxzyxXXdm =∂⋅∂⋅∂⋅⋅= ρ

dFyzyxYYdm =∂⋅∂⋅∂⋅⋅= ρ

dFzzyxZZdm =∂⋅∂⋅∂⋅⋅= ρ

0masasup =+ FF

0=∂⋅∂⋅∂⋅∂∂−∂⋅∂⋅∂⋅⋅ zyxxpzyxX ρ

0=∂⋅∂⋅∂⋅∂∂−∂⋅∂⋅∂⋅⋅ zyxypzyxY ρ

0=∂⋅∂⋅∂⋅∂∂−∂⋅∂⋅∂⋅⋅ zyxzpzyxZ ρ

Fuerzas de masa

Equilibrio

Dividiendo por el volumen y por la masa específica

01 =⋅∂∂−

01 =∂∂−

Ecuación de Cleireaut

Vectorialmente

0ˆˆˆ1ˆˆˆ =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅∂∂+⋅

∂∂+⋅

∂∂=⋅+⋅+⋅ k

xpkZjYiX

0_1=− pgradF

Si se da un desplazamiento virtual

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

∂∂

+⋅∂∂

=∂⋅=∂⋅ dzzpdy

xplpgradlF

ρρ1_1

dplFρ1=∂⋅ Diferencial total exacta

( ) dwlFdp ⋅=∂⋅⋅= ρρ

Se puede admitir la existencia de una función potencial: ΦdpdzZdyYdxXdlFd

ρ1=⋅+⋅+⋅=⋅=Φ

X∂Φ∂=

∂Φ∂=

Superficies Equipotenciales

a) 0=⋅+⋅+⋅ dzZdyYdxXEc. Superficie equipotencial

b) 0=⋅dlF Fuerzas de masa perpendiculares a las superficies equipotenciales.

c) 01 =dpρ

Como la densidad no puede ser infinita, dp=0,Por lo que las superficies equipotenciales seran SUPERFICIES ISOBARICAS

Superficies Equipotenciales

Fuerzas de masa

0=X 0=Y gZ −=

01 =⋅∂∂−

01 =∂∂−

010 =⋅∂∂−

01 =∂∂−−

0=∂∂xp

0=∂∂yp

01 =∂∂⋅+zpg

Aplicación al campo gravitatorio terrestre

Dividiendo por g 01 =∂∂⋅+zpg

011 =∂∂⋅+zp

Si se realiza un desplazamiento virtual

0=∂+γpdz

Integrando

ctePZ =+γ

Aplicación al campo gravitatorio terrestre

Aplicando la ecuación de la sup. Equipotencial:

0=⋅+⋅+⋅ dzZdyYdxX

0=⋅− dzg 01=dp

ρcteZ = ctep =

Ecuación fundamental de la Hidrostática

Sup. Equipotenciales horizontales

Integración entre sup. Isobaricas

dpdzg ⋅=⋅−ρ1

dzdp ⋅−= γ

∫∫ ⋅−=2

dzdp γ

( )212112 ZZppp −⋅=Δ=− − γ

( )2112 ZZpp −⋅+= γ

cteZppZ =+=+ 221

1 γγ

h1 h2 h3

1 ZpZpZppZ +=+=+=+γγγγ

0=atmp 04 =p

( ) 1141 hZZp ⋅=−⋅= γγ

22 hp ⋅= γ

31 cmgr

agua =γhp ⋅= γ

33 hp ⋅= γ

PRESIÓN RELATIVA

Como origen de presiones se puede tomar:

- la presión nula, obteniéndose presiones absolutas,- la presión atmosférica local (presión barométrica),

obteniéndose presiones relativas, que también se denominan:• presiones manométricas (para presiones mayores que

la atmosférica) o• presiones vacuométricas (para presiones menores que

la atmosférica).

P abs.= P rel. + P atm.Barómetro: manómetro:

PRESIÓN ABSOLUTA Y RELATIVA

HPaPapatm 30.1013101330 ==

En sistema técnico

agagatm hcmkgp ⋅== γ2033,1 mcm

cmkgcmkg

hag 33,101033001,0

HgHgatm hp ⋅= γ mmHgcm

hHg 7607601365,0

Medición de la presión

atmppp +=

atmphp +⋅= γ

γγatmphp

Presión atmosférica1 atmósfera = 760 mm de mercurio = 101325 Pa = 10.34 m de agua = 34 pie de agua = 30 pulg de mercurio = 2116 lb/pie2 = 14.7 psi.

Diagrama de presiones

patmpatm

atmba ppp

Plano Isobarico

PIEZÓMETROS

patmpatm

hphp atmatm ⋅+=⋅+ γγ ´´

hh ⋅=⋅ γγ ´´

γγ hh ⋅

PIEZÓMETROS

amm ppp +=

hphkpp aam ⋅+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅++ γγ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−⋅=

2´ hkhpm γγ

Si dentro del recipiente se tiene un gas cuyo peso especifico es casi despreciable

hpm ⋅= γ

´pm>patm

PIEZÓMETROS

PIEZÓMETRO COMPUETO

PIEZÓMETRO DIFERENCIAL

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+⋅=Δ=−

22hkhkhPPP mmnnnm γγγ

hhkPPhkPP nnnammma ⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅++ γγγ

´γγγ == mn

( )hkkhP nm +−⋅−⋅=Δ ´γγ

( )´´ γγγγ −⋅=⋅−⋅=Δ hhhP

Si ambas conexiones están al mismo nivel

PIEZÓMETRO DIFERENCIAL

PIEZÓMETRO ABIERTO

amm PPP +=

hPhkPP aam ⋅+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅++ γγ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−⋅=

2´ hkhPm γγ

Para gasesγγ <<´

hPm ⋅= γ

PIEZÓMETRO ABIERTO

( ) aPzhP =Δ+⋅+ γ

wn ⋅=Ω

PIEZÓMETRO INCLINADO

Volumen a desplazar

nywyzwyz =

Ω⋅=Δ⇒⋅=Ω⋅Δ

φsenyh ⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅−=

nsenyPP a

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

+⋅⋅−=

nmmyPP a

PIEZÓMETRO INCLINADO

matmm hPP ⋅+= γmm hP ⋅= γ

matmm hPP ⋅−= γmm hP ⋅−= γ

atmm pP >

hm (-)

PIEZÓMETROS

hhhh ⋅=⇒⋅=⋅´

´ ´´γγγγ

hPhP atmatm ⋅+=⋅+ γγ ´´

patmpatm

PIEZÓMETROS

MANÓMETROS

Empuje: es la fuerza de superficie que ejerce un liquido normalmente a toda superficie sometida a una presión, y se desarrolla toda vez que esta superficie este en contacto con un liquido en reposo.

EMPUJE SOBRE PARED PLANA

Sup. Libre

llglp hphg

Momento estático con respecto del eje L-L

Ω⋅⋅=⇒⋅= dhdPhp γγ

Ω⋅= dpdP

φsenlh ⋅=

Ω⋅⋅⋅= dsenldP φγ

Ω⋅⋅⋅= dlsenP φγ

Ω⋅⋅=Ω⋅⋅⋅= gg hlsenP γφγ

:gp Presión en el centro de gravedad

Ω⋅= gpP

Siendo

=⋅= dMlPM pR

⋅=⋅ dPllP p

∫∫ΩΩ

Ω⋅⋅⋅=Ω⋅⋅⋅⋅=⋅ dlsendsenlllP p2θγθγ

Se toman momentos con respecto del eje L-L

CENTRO DE EMPUJE

Ω⋅⋅⋅

Ω⋅⋅⋅=

∫∫ΩΩ

gp lsen

dlsenl

θγθγ 22

Momento de inercia con respecto del eje L-L

Ω⋅+=

Ω⋅=

Regla de Steiner

CENTRO DE EMPUJE

ggpgg li

2 +=⇒Ω⋅=

Radio de giro

Para ubicar Cp es necesario referirlo al eje L-M

CENTRO DE EMPUJE

Para ubicar Cp es necesario referirlo al eje L-M

⋅=⋅ dPmmP p ∫Ω

Ω⋅⋅⋅⋅=⋅ dsenlmmP p θγ

Ω⋅⋅⋅

Ω⋅⋅⋅=

∫∫ΩΩ

gp lsen

dlmsen

dlmsenm

θγθγ

Ω⋅=

Ω⋅⋅=∫Ω

CENTRO DE EMPUJE

ILM es el momento centrifugo respecto a los 2 ejes L-L y L-M de la superficie Ω

Proyecciones

θγθ senhsenPP gH ⋅Ω⋅⋅=⋅=

θγθ coscos ⋅Ω⋅⋅=⋅= gV hPP

22VH PPP +=

PPtg =θ

´´Ω

CENTRO DE EMPUJE

PRENSA HIDRAULICA

Empuje sobre sup. Rectangularancho b

21 ) hbPI ⋅⋅⋅= γ ( )2

21 ) hhbPII −⋅⋅⋅= γ

θγθγ

senhblsenbPIII

21 ) ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

( ) ( )θ

γθγsenhhbllsenbPIV

21 ) −

⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅⋅=

Empuje sobre sup. Rectangularancho b

Siendo b=cte existe un eje vertical de simetría por lo tanto, el centro de empuje estará sobre él. Restará

solamente determinar la altura del centro de empuje.

=⋅ dMhP pdhbhγdP ⋅⋅⋅=

∫∫ ⋅⋅⋅=⋅=⋅Ω

p dhhbγdPhhP0

31 hbγhP p ⋅⋅⋅=⋅

CENTROS DE EMPUJE

hhbγhbγ

Phbγhp ⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

213131

2hihh gg =∴=

CENTROS DE EMPUJE

)(21 2

02 llsenbP −⋅⋅⋅⋅= θγ

)( 2lPP =

PARÁBOLA DE EMPUJE

xΩh o zΩxx dhdP Ω⋅⋅= γ

yy dhdP Ω⋅⋅= γ

hh dhdP Ω⋅⋅= γ

Ω⋅⋅=x

xx dhP γ

Ω⋅⋅=y

yy dhP γ

Ω⋅⋅=h

hh dhP γ

Empuje sobre sup. Curvas

Sobre Superficies cilíndricas de generatrices de ancho constante y directriz cualquiera

OM traza de la superficie con el plano h-y

dlbhdpdP ⋅⋅⋅=Ω⋅= γ

∫∫∫ ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==MMM

dlhbdlbhdPP000

Horizontal Vertical

θsendPdPdP yH ⋅==

αγ sendlbhdPy ⋅⋅⋅⋅=

dhbhdPy ⋅⋅⋅= γ

0 2HbdhhbPP

yH ⋅⋅

=⋅⋅== ∫γγ

θdPdPdP hV cos⋅==

αγ cos⋅⋅⋅⋅= dlbhdPh

dybhdPh ⋅⋅⋅= γ

∫ ⋅⋅==L

hV dyhbPP0

Si se conoce la función h=f(y) la resolución es inmediata, en caso contrario se deberá resolver por métodos gráficos o numéricos.

EMPUJE HIDROSTÁTICOFuerza de superficie que ejerce un líquido normalmente a toda superficie sometida a una presión, y se desarrolla toda vez que esa superficie está en contacto con un líquido en reposo

Ω⋅⋅=Ω⋅= dhdpdE γ

Componente horizontal = fuerza normal a la proyección vertical de la superficie

pasa por el centro de presión de la proyección

Componente vertical = peso del líquido situado por encima de la superficie curva hasta la superficie libre (real o imaginario)

pasa por el centro de gravedad del volumen

Ω⋅⋅=Ω⋅= dhdpdE γ

EMPUJE: Fuerza de superficie que ejerce un líquido normalmente a toda superficie sometida a una presión, y se desarrolla toda vez que esa superficie está en contacto con un líquido en reposo

Compuertas del vertedero de Yaciretá

Datos:

Radio R = 21m

Ancho L = 15m

Líquido = agua

E H γH2

2⋅ L⋅ 9.81

m310.5m( )2

2⋅ 15⋅ m 8112kN 827ton

Compuerta radialResolución

EMPUJE HORIZONTAL

EJERCICIO: Compuerta radial

EMPUJE VERTICAL

E V γ H a⋅30 º⋅360 º⋅

π⋅ R2⋅R cos30º⋅ H⋅

2−⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

−⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅ L⋅ 1407kN 143.5ton

69.01 – 89.01 HIDRÁULICA GENERAL

HIDROSTATICA - 2da Parte

EQUILIBRIO RELATIVO

DefiniciónSon aquellos en los cuales, el equilibrio es estático, para líquidos incompresibles en otros campos de fuerza, además del gravitacional terrestre. El equilibrio relativo, son aquellos de movimientos, en que las partículas en contacto no tienen desplazamientos relativos, por lo que no existen esfuerzos tangenciales provenientes de la viscosidad, lo cual permite considerar al líquido como si estuviera en reposo para una terna móvil que se desplaza junto con el mismo.Para la existencia de un equilibrio relativo el campo debe ser conservativo, admitiendo una cierta función potencial φ,son de aplicación las ecuaciones de Claireaut en las cuales se incluyen las fuerzas que determinan el campo indicado.

EQUILIBRIO RELATIVO

Se analizarán dos casos de interés:• Movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado.

• Rotación respecto a un eje vertical a velocidad constante

01=−+ gradpFF u ρ

rvPara el equilibrio relativo se usa en sistemas no inerciales el Principio de D’Alambert

Dando un desplazamiento dl

Para superficies equipotenciales dp=0

( )( ) ( ) ( ) 0

=+++++

=•−+

dzZZdyYYdxXX

dpdlFF

dlgradpdlFF

EQUILIBRIO RELATIVO

Movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado

Si se considera que un recipiente como el de la siguiente figura, que contiene un volumen líquido homogéneo (agua), se encuentra sometido a una aceleración constante horizontal ay.

El agua, que inicialmente se encontraba en reposo, al ser acelerada se mueve, oscila, hasta llegar a un punto de equilibrio en el cual el nivel se estabiliza pues todas las partículas se moverán con la velocidad del recipiente.

EQUILIBRIO RELATIVO

En reposo:

En movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado:

FgFatot

EQUILIBRIO RELATIVO

En el líquido en reposo solamente actúa la acción de la fuerza debido a la gravedad, mientras que en el líquido acelerado, además de la gravedad está la acción de la fuerza de inercia debido a la aceleración horizontal ay. (Las fuerzas debido a la aceleración tienen sentido contrario a la misma)Si la terna X-Y-Z se mueve con la misma aceleración que el recipiente, se puede aplicar la Ecuación de Claireaut en forma escalar:

∂∂

−+xpxx u ρ

∂∂

−+ypyy u ρ

∂∂

−+zpzz u ρ

0=x0=yDonde:

gz −=

0=uxyu ay −=

Las superficies equipotenciales son perpendiculares a los vectores que definen el campo resultante.

EQUILIBRIO RELATIVO

Desarrollando matemáticamente.

0... =∂∂

+∂∂

= dzzpdy

( )( ) ( )( ) ( )( ) 0...... =+++++= dzzzdyyydxxxdp uuu ρρρ

( ) ( ) ( ) dpdzzzdyyydxxx uuu .1...ρ

=+++++

Siendo las superficies de equilibrio en las que la presión permanece constante (superficies isobáricas - -> coinciden con las equipotenciales):

( ) ( ) ( ) 0.1... ==+++++ dpdzzzdyyydxxx uuu ρ

EQUILIBRIO RELATIVO

La ecuación resulta:

( ) ( ) dpdzgdyadx y .1...0ρ

=−+−+

Para obtener la superficie isobárica (dp = 0)

Despejando dz:

( ) ( ) 0.. =−+− dzgdyaydy

dz y .−=

Ecuación diferencial de las superficies equipotenciales

Integrando la misma queda: cyga

z y +−= .

Ecuación de una superficie equipotencial cualquiera

EQUILIBRIO RELATIVO

Para hallar la constante de integración C:

Para un recipiente cerrado: igualar el volumen de agua en reposo con el volumen de agua en movimiento.

Para un recipiente cerrado: igualar el volumen de aire en reposo con el volumen de aire en movimiento.

Para un recipiente abierto: igualar el volumen de agua en reposo con el volumen de agua en movimiento. Si la constante supera la altura del recipiente se deberáeliminar el excedente de agua que corresponda limitando la constante a ese valor, calculando el volumen de agua perdida.

EQUILIBRIO RELATIVO

Recipiente cerrado:

b.L.hreposo =τVolumen en reposo:

Para la situación en reposo:

Donde: b = ancho del recipienteh = tirante de agua en el recipienteL = longitud del recipiente

EQUILIBRIO RELATIVO

Para la situación en movimiento:

∫+=L

l1movimiento

dy.z.bb.l.HτVolumen en movimiento:

Donde: b = ancho del recipienteH = altura del recipienteL = longitud del recipienteh1 = altura líquida para y = Ll1 = long. de altura líquida que coincide con el techo del recipienteα = ángulo que forma la superficie líquida

∫ +−+=L

y1movimiento

dy.)cy.ga

(.bb.l.Hτ

EQUILIBRIO RELATIVO

∫ +−+=L

dy.)cy.ga

(.bb.l.Hb.L.h

Desarrollando matemáticamente.

b.)l.c2l.

()L.c2L.

(b.l.Hb.L.h 1

1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+−+=

Para y = L, z debe ser igual a h1

Como: cyga

z y +−= .

( ) ( )( )1

−−

Despejando c y h1:

hc y .1 +=

( )11 . lLga

Hh y −−=

1. lga

Hc y+=

Insertando c en la ecuación 1 se obtiene una ecuación donde la única incógnita es l1.

Con el valor de l1 se obtiene c y h1.

EQUILIBRIO RELATIVO

Para conocer la presión en cualquier punto líquido del recipiente, se usa la Ecuación de Claireaut.

En este caso es: dpdzgdyay .1..ρ

=−−

Haciendo la integración: pczgyay .1.. 2 ρ=+−−

3.... czgyap yDespejando la presión: +−−= ρρ

Para hallar la constante c3, la condición de borde es para y = L, z = h1La presión relativa es la presión del aire dentro del recipiente.(En este caso es 0).

13 .... hgLac y ρρ +=Para el gas (aire) la presión es uniforme y constante en todo el volumen que ocupa.

EQUILIBRIO RELATIVORotación respecto a un eje vertical a velocidad constanteUn recipiente que contiene un volumen líquido homogéneo (agua), sometido a una rotación a velocidad constante (velocidad angular constante ω) respecto a un eje vertical z.

Al principio las partículas del líquido en la proximidad de la pared y del fondo se mueven más lentamente que el recipiente. Cuando la velocidad se transmite a la totalidad de las partículas debido a la viscosidad y se encuentran girando a un valor constante se llega a un estado de equilibrio relativo.

En reposo En movimiento

EQUILIBRIO RELATIVO

Fω = ω² . r

En el líquido en reposo solamente actúa la acción de la fuerza debido a la gravedad, mientras que en el líquido acelerado, además de la gravedad, está la acción de la fuerza de inercia debido a la velocidad angular ω. Si la terna X-Y se mueve con la misma velocidad

rotativa alrededor del eje Z, se puede aplicar la Ecuación de Claireaut en forma escalar:

∂∂

−+xpxx u ρ

∂∂

−+ypyy u ρ

∂∂

−+zpzz u ρ

Donde:

0=x0=ygz −=

xxu .2ω=yyu .2ω=

Rotación respecto a un eje vertical a velocidad constante

Rotación respecto a un eje vertical a velocidad constanteEQUILIBRIO RELATIVO

Reemplazando en la siguiente ecuación expresada anteriormente.

( ) ( ) ( ) dpdzzzdyyydxxx uuu .1...ρ

=+++++

( ) dpdzgdyydxx .1..... 22

ρωω =−++

( )Desarrollando matemáticamente: dpdzgdyydxx .1....2

ρω =−+

Para hallar la ecuación de las superficies equipotenciales (superficies isobáricas), o sea para dp = 0

( ) 0....2 =−+ dzgdyydxxωConsiderando r² = x² + y² luego (r . dr)= (x . dx + y . dy)

0...2 =− dzgdrrωDespejando dz queda: dr

grdz ..2ω

EQUILIBRIO RELATIVO

Ecuación de una superficie equipotencial cualquiera

Integrando.

Las superficies equipotenciales son paraboloides de revolución. Para determinar a la superficie libre la constante c5 surge igualando el volumen de agua en reposo y en movimiento.

.2. cgrz +=

2.. Rhreposo πτ =∫=R

movimiento drzr0

....2 πτVolumen en movimiento:Volumen en reposo:

Donde: h = tirante de agua en el recipiente en reposo

R = radio del recipienteg = aceleración de la gravedadω = velocidad angular

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

movimiento drcgrr

..2....2 ωπτ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

42 RcgR

movimientoωπτ

Igualando ambas ecuaciones y simplificando:

. cgRh +=

ωgRhc

Rotación respecto a un eje vertical a velocidad constante

Reemplazando en la ecuación:

..2. 2222 ωω

Para conocer la ordenada en el vértice: r = 0

Para calcular la altura en el borde del recipiente zmáx: r = R

gRzmáx .4

..2. 2222 ωω

−+= gRhzmáx .4

. 22ω+=

De donde se deduce que lo que desciende el líquido en el eje seráigual a lo que asciende en los bordes del recipiente.

Si se desea conocer los puntos de intersección de la nueva superficie con la del líquido en reposo, la condición que debe cumplir la ecuación es que z = h

grz =−+=

..2. 2222 ωω

22 Rr =

Lo cual indica que la abscisa no depende de la velocidad de rotación del vaso. El punto de intersección es puramente geométrico.

FLOTACIÓNPrincipio de ArquímedesDescripciónTodo cuerpo sumergido en una masa líquida (en este caso agua) experimenta una fuerza de abajo hacia arriba (empuje vertical) igual al peso de volumen del líquido desalojado.

DemostraciónSe adopta para la demostración el caso de un cubo elemental sumergido y se analizan las fuerzas que aparecen sobre el mismo.

Fuerzas laterales

Fuerzas verticales

FLOTACIÓNPrincipio de ArquímedesDemostraciónLas fuerzas laterales que se tienen para cada lado del cubo:

Sobre cada lado del cubo se genera una misma fuerza resultante horizontal por lo cual las cuatro fuerzas que se indican en la diapositiva anterior quedan equilibradas.

FLOTACIÓNPrincipio de ArquímedesPara las fuerzas verticales se tiene para la cara superior e inferior del cubo el siguiente esquema:

La diferencia entre PI y PS da como resultante una fuerza de abajo hacia arriba que vale:

22 .. LpLpPPP SIZ −=−=

22 .... LhLhPPP SIZ γγ −=−=

( )122.. hhLPPP SIZ −=−= γ3. LPPP SIZ γ=−=

Donde γ . L³ = peso de líquido desalojado por el volumen del cubo sumergido.

FLOTACIÓNPrincipio de ArquímedesConclusiónSi G es el peso del cuerpo sin sumergir, una vez sumergido su peso disminuye en una cantidad equivalente al peso del volumen desalojado por lo que el peso aparente será:

ZPGG −=´Sabiendo que:

solidosólidoG τγ .=

solidowZP τγ .= Donde γw = peso específico del agua

Queda:

sólidowsólidosólidoG τγτγ ..´ −=

( ) sólidowsólidoG τγγ .´ −=

Para un material homogéneo conγsólido = peso específico del sólido

Peso específico sumergido = γ´

Permite, conociendo el material sólido y las características del líquido en el cual se sumerge, midiendo el peso del objeto sin sumergir y sumergido, calcular el volumen del mismo.

FLOTACIÓNEstabilidad de objetos flotantes.El calculo para cuerpos flotantes arbitrarios, constituyen un arte especifico de los ingenieros navales, se verán algunos principios básicos del calculo de la estabilidad estática. Si aplicamos una perturbación vamos a obtener un par

El comportamiento de un cuerpo sumergido ante una acción externa resulta distinto según se trate de:

Cuerpo homogéneo

Cuerpo heterogéneo

restaurador

FLOTACIÓNCondiciones de Estabilidad de cuerpos sumergidosCuerpos homogéneosEn este caso el centro de gravedad coincide con el centro de empuje y el equilibrio es indiferente.Si γsólido > γw el cuerpo se hunde.

Si γsólido < γw el cuerpo flota.

Si γsólido = γw el cuerpo se encuentra en condición de equilibrio indiferente.Cualquier clase de movimiento que se le aplique al cuerpo no altera la condición señalada.

Cg = CpCg = Cp

γsólido

γsólidoγw

FLOTACIÓNCondiciones de Estabilidad de cuerpos sumergidosCuerpos heterogéneosEn este caso el centro de gravedad NO coincide con el centro de empuje.

Si γsólido-1 > γsólido-2 el cuerpo tiende a tomar la posición que se indica en el gráfico.

Si γsólido = γw el cuerpo no se desplaza verticalmente y gira hasta alcanzar la situación de equilibrio (las fuerzas se encuentren en la misma vertical).

γsólido-1

γsólido-2

Evγsólido-1

γsólido-2

Si γsólido = (γsólido-1 . Vol1 +γsólido-2 . Vol2) / (Vol1+Vol2) > γw el cuerpo se hunde girando hasta tomar la posición indicada en el gráfico.Si γsólido < γw el cuerpo flota y gira hasta alcanzar la posición de equilibrio.

FLOTACIÓNCondiciones de Estabilidad de cuerpos sumergidosCuerpos heterogéneos

γsólido-1

γsólido-2

γsólido-1

γsólido-2

Equilibrio estable Equilibrio inestable

Cp se encuentra linealmente por encima de Cg

Cp se encuentra linealmente por debajo de Cg

FLOTACIÓNCondiciones de Estabilidad de cuerpos flotantesDescripciónUn cuerpo flotante es un sólido de forma cualquiera donde parte de su volumen emerge sobre la superficie libre estando en equilibrio con respecto al líquido.

Como se mencionó anteriormente esta condición solo puede darse cuando γsólido < γw

Volumen emergente

Volumen sumergido ó de carena

carenaemergentetotal τττ +=

El volumen total se calcula como:

FLOTACIÓNCondiciones de Estabilidad de cuerpos flotantesDefiniciones

Carena

Centro de carena

Superficie de flotación

Línea de flotación

Volumen emergente

Volumen sumergido o de carena

Volumen total

Volumen sumergido del cuerpo

Centro de empuje del volumen sumergido

Intersección del plano de la superficie libre con el cuerpo flotante

Perímetro de la superficie de flotación

FLOTACIÓNCondiciones de Estabilidad de cuerpos flotantes

Volumen emergente

Volumen sumergido ó de carena

FLOTACIÓNCondiciones de Estabilidad de cuerpos flotantes

Si se considera un cuerpo homogéneo de peso específico γsólido cuyo volumen sumergido es τs y el emergente es τe se puede deducir lo siguiente:

es τττ +=

swEv τγ .=

( )essólidosólidoG ττγτγ +== ..

esólidossólidosw τγτγτγ ... +=

( ) esólidossólidow τγτγγ .. =−

( )sólido

sólidow

γγγ

ττ −

= De modo que es posible obtener la relación entre volumen emergente a volumen sumergido en función de los pesos específicos.

Si el cuerpo es heterogéneo se debe definir un peso específico medio del cuerpo y así obtener la relación buscada.

FLOTACIÓNCondiciones de Estabilidad de cuerpos flotantesEquilibrio y EstabilidadLos cuerpos flotantes pueden estar sometidos a diversos tipos de movimientos:

Traslación horizontal: el equilibrio subsiste después de cualquier traslación horizontal.

Traslación vertical: el cuerpo tiende a volver a su primitiva posición de equilibrio. El equilibrio es estable ante desplazamientos verticales.

Rotación alrededor de un eje horizontal: la estabilidad del cuerpo flotante depende de las características geométricas del volumen sumergido. ( Ver ejemplo de embarcación)

FLOTACIÓNCondiciones de Estabilidad de cuerpos flotantesEjemplo de embarcaciónUna embarcación posee un plano de simetría longitudinal vertical.

El giro que se produce alrededor de un eje horizontal contenido en ese plano se llama rolido y el giro respecto a un eje horizontal normal a ese plano se llama cabeceo.

A simple vista resulta obvio que la embarcación va a ser mucho más estable al cabeceo que al rolido, por lo que se verificará en primera instancia la embarcación al rolido.

Rolido

Cabeceo

Plano vertical de simetría

Eje perpendicular al plano vertical de simetría

Rolido

FLOTACIÓNCondiciones de Estabilidad de cuerpos flotantesEjemplo de embarcación

Si a partir de la posición de equilibrio se gira con una inclinación infinitamente pequeña θ:

A´ B´

El giro se provoca alrededor de un eje que coincide con la intersección entre el plano de simetría DE y la superficie de flotación AB.La nueva superficie de flotación adopta la traza A´B´, cambiando la forma de la carena y su centro (C´p) pero manteniendo el volumen (G = Ev).

G: peso de la embarcación

Ev: empuje verticalCentro de presión o de carena

Centro de gravedad

A´ B´

C´p1C´p2

Se denomina:♦ M: Metacentro: punto de intersección de la traza del plano de simetría con la recta de acción del empuje aplicado al nuevo centro de carena C´p.♦ CgM: Segmento que se llama altura metacéntrica. Se considera positiva cuando la misma se encuentra por encima de Cg.♦ a: Distancia paralela a la línea de flotación entre el Cp inicial y la nueva posición C´p.

FLOTACIÓN

Condiciones de Estabilidad de cuerpos flotantesEjemplo de embarcación

A´ B´

C´p3 Por Teorema de Dupin la posición del Centro de presiones se desplaza paralelamente a la línea de flotación.

El equilibrio que ocurre para cada caso es:♦ Inestable: Caso de que ocurra C´p1 tal que la distancia CgM1 se encuentra por debajo de Cg.♦ Indiferente: Caso de que ocurra C´p2 tal que la distancia CgM2 = 0 (ambas coinciden).♦ Estable: Caso de que ocurra C´p3 tal que la distancia CgM3 se encuentra por arriba de Cg.

Para establecer la condición de estabilidad de un cuerpo flotante debe conocerse la ubicación del metacentro (M) y para ello es necesario determinar la nueva posición del centro de carena C´p.

La ubicación de C´p surge de averiguar el centro de gravedad de la nueva forma del volumen sumergido, que es numéricamente el mismo ya que no se han modificado las fuerzas G y Ev, paro ha cambiado su forma.

EA´ B´

FLOTACIÓN

Por efecto de la cuñas sombreadas (una que se sumerge y otra que emerge) se origina un movimiento producido por las fuerzas F1 y F2.El empuje ascendente total Ev, en su nueva posición C´p genera un momento resultante equivalente al producido por Ev en su posición original y las fuerzas F1 = F2 por efecto de las cuñas.

Aplicando el teorema de Varignon, se toman momentos con respecto a C´p (desconocido)

a C´p

FLOTACIÓN

gpp CCMC >

ϕΔ⋅= senMCa p

gpp CCaMC >Δ

FLOTACIÓN

221 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅−⋅ lLlLas τττ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=⋅ lLlLas 23

221 τττ

21 τττ ==

Las ⋅⋅=⋅ 132 ττ

FLOTACIÓN

El volumen de la cuña es

bLL⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ⋅⋅⋅= ϕτ

2221 ϕϕ Δ≅Δ sen

ϕτ Δ⋅⋅⋅= bL2

LbLas ⋅⋅Δ⋅⋅⋅=⋅32

81 2 ϕτ

FLOTACIÓN

Lbaτϕ1

⋅⋅

bbIaτϕ

Entonces la condición de estabilidad queda:

bb CCI>

FLOTACIÓN

La estabilidad al rolido también implica estabilidad al cabeceo pues:

bL 3⋅

=> llgps

ll ICCIτ

Como ILL>Ibb Entonces es estable.

FLOTACIÓN

Si consideramos en lugar de rolido la verificación al cabeceo obtendremos por analogía la siguiente ecuación de verificación:

Siendo τ0 el volumen desplazado por el barco

Si se considera que θ es pequeño: sen(θ) ~ tg(θ) y entonces queda:

0τxICpCg <

Las alturas metacéntricas (CgM) empleadas en el diseño de barcos son:

Para barcos de vela: 0.90m a 1.50m

Para barcos de guerra: 0.75m a 1.30m

Para barcos cargueros: 0.60m a 0.90m

Para barcos de pasajeros: 0.45m a 0.60m

La solicitación debida a la presión interna en una conducción “a presión”, lleva a la expresión de Mariotte (o de las calderas) válida para materiales de las tuberías homogéneos.La misma relaciona, en una forma simple, el espesor con la tensión de tracción en la paredes de la tubería, valido para pared delgada. Es una tubería a presión, seccionada por un plano que contiene al eje, es un “cuerpo libre” donde se ponen en evidencia a las solicitaciones actuantes.

PRESIÓN INTERNA EN UNA TUBERÍA

Para una longitud unitaria de conducción (L =1 m) se tiene:

p D = 2 T = 2 σ e

De donde:p D

e = -----------------2 σ

En la que:- e: es el espesor de la tubería de material homogéneo.- p: es la presión actuante en el plano horizontal que contiene al eje.- σ: es la tensión de trabajo del material.

Los fabricantes de tuberías de materiales homogéneos adoptan valores de rotura para la presión interna y para la tensión de tracción, lo que posibilita la determinación del espesor, considerando los “Coeficientes de Seguridad”. Como a cada espesor le corresponde una solicitación admisible, ofrecen al mercado una serie estandarizada de tuberías aptas para resistir, en condiciones de régimen permanente, una determinada serie de presiones fijadas de antemano, éstas presiones definen las denominadas “Clases” de las tuberías.Otras industrias, usan actualmente la expresión más exacta obtenida de la “Teoría de las tuberías de pared gruesa, fundada en la “Teoría general de la elasticidad”, es notablemente más compleja, al ser considerada la distribución no uniforme en el espesor y sobre todo el hecho de que las tensiones en un sentido, con su correspondiente deformación, inducen tensiones en los dos ejes restantes del espacio, con deformaciones compatibles (afinamiento del espesor en correspondencia con el estiramiento correspondiente al esfuerzo de tracción y la situación inversa para el caso de compresión).

SIGLAS

Existe una variada gama de sociedades y asociaciones de normalizaciones tanto en América como en Europa y Asia. Dentro de estas podemos citar las siguientes:•ANSI : American National Standards Institute •ASTM : American Society for Testing and Materials•ASME : American Society of Mechanical Engineers •API : American Petroleum Institute•NPS : National Pipe Standard •NPT : National Pipe Thread •BSPT : British Standard Pipe Thread•INN : Instituto nacional de Normalizaciones

TUBERIAS Y TUBOSEn primer lugar analizaremos el significado de lo que son tuberías y tubos:•TUBO : Pieza hueca, generalmente cilíndrica y abierta por ambos extremos, que se utiliza en distintas aplicaciones. •TUBERIA : Las tuberías son tubos fabricados de acuerdo a los tamaños normalizados.

Una notación importante de señalar es que los diámetros exteriores de cualquier tamaño nominal es el mismo para cualquier peso o espesor de pared para tuberías de iguales dimensiones, o sea, el diámetro nominal interior varia con su espesor. Para comprender mejor esta relación es necesario observar los siguientes códigos.

CODIGOS PARA TUBERIASLos códigos de la ASA nos entrega los datos para obtener las dimensiones de una tubería especifica. Este esta basado en el numero de lista o schedule el cual se encuentra definido por las siguientes fórmulas:Numero de Schedule = 1000 (p/s)Numero de Schedule = 2000 (x/Dm), donde :•P : Presión de trabajo (psi) •S : Esfuerzo de trabajo (psig) •Dm : Diámetro principal de la tubería (pulgadas)

NPS, es un código basado en el diámetro exterior de la tubería, NPS no es referido para numero de lista o Schedule de tabla. Este es igual para diámetros exteriores (diámetro Nominal) mayores de 14’’.Los códigos de tuberías están sujetos a revisión. Para mayores informaciones deben referirse las informaciones obtenidas de las ASA, ASME y ASTM.Las dimensiones standard para tuberías plásticas han sido publicadas por el ‘’ US departament of comerce’’Para las tuberías de 12" y menores, el diámetro nominal es aproximadamente superior al diámetro interior schedule 40.Dn » DintPara las tuberías de 14" y mayores el diámetro nominal es igual al diámetro exterior.Dn = DextLos espesores de pared viene expresados en función del numero de lista o schedule de acuerdo con la ASA.De acuerdo con la ASA antes del numero de lista se utilizaron los términos de :•Peso Estándar : S •Extrafuerte : XS •Doble Extrafuerte : XXS Los cuales indicaban los espesores de pared de la tubería.Comúnmente para tamaños de 10" y menores se utiliza el numero de lista para designar las tuberías.En tamaños de 10" y mayores se utiliza el espesor de pared.Las tolerancias admisibles en tuberías se refieren al espesor de pared únicamente. La tolerancia de laminación usualmente admitidas en tuberías es de 12.5%, lo cual significa que el espesor de pared puede ser de un 12.5% mayor o menor que el especificado en las tablas.Actualmente con los avances tecnológicos existen censores de laminación por medio de rayos láser con los cuales se puede llegar a obtener tolerancias de alrededor del 2% aproximadamente.

EMPUJE SOBRE UNA PARED CURVA

EJERCICIO: Compuerta radialResolución

3) Empujes

EMPUJE VERTICAL

3) Empujes

EMPUJE VERTICAL

3) Empujes

EMPUJE VERTICAL

H·a 30º360º

3) Empujes

EMPUJE VERTICAL

E V γ H a⋅30 º⋅360 º⋅

2−⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

−⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅ L⋅

3) Empujes

EMPUJE VERTICAL

E V γ H a⋅30 º⋅360 º⋅

2−⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

−⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅ L⋅ 1407kN 143.5ton

FLOTACIÓN

Como dijimos anteriormente la condición de equilibrio estable al rolido está dada por la condición:

( )CpMasen =θ

CgMCpCgCpM +=

C´p3 tal que la distancia CgM3 se encuentra por arriba de Cg.

( ) 0>−= CpCgsenaCgMθ

Este valor debe ser positivo para que verifique la estabilidad.

( )( ) 0

>−= CpCgsenItgCgM z

θτθ Siendo τ0 el volumen desplazado por el barco.

Si se considera que θ es pequeño: sen(θ) ~ tg(θ) y entonces queda:

0τzICpCg <

FLOTACIÓN

Donde b es el ancho en profundidad de la cuña.

Sabiendo que F1 = F2 = F y que l vale lo siguiente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )θθθθθθ cos.2

.32.coscos.

31 222 LLsensentgLl ++=

aEvlF ..2. =

.2 btgLF θγ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Si trabajamos matemáticamente se puede expresar:

( ) zItglF ...2. θγ=

Donde Iz es el momento de inercia del área de la sección del barco a nivel de la superficie de flotación en el estado de reposo con respecto al eje z que pasa por el punto E.

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