Apuntes Hidrostatica

7/22/2019 Apuntes Hidrostatica

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Luis Muñoz Mato www.fisicaeingenieria.es

2.- ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS. HIDROSTÁTICA.2.1.- Ecuación fundamental de la estática de fluidos.

La estática de fluidos es la parte de la mecánica de fluidos que estudia los fluidos en equilibrio dicho de otra manera, los fluidos que están en reposo. Esta parte de la mecánica de fluidos abardesde el cálculo de la presión que ejerce un determinado fluido sobre una superficie sumergida en

mismo hasta el cálculo del empuje que sufre un cuerpo cuando se sumerge en el interior del mismcon las aplicaciones que esto tiene.Lo primero que haremos en este punto será deducir la ecuación fundamental de la estática d

fluidos, para ello, consideraremos un paralelepípedo sumergido en un fluido determinado:

Calcularemos la fuerza que sufre este cuerpo en la dirección del eje x, para ello sunpondremoque la presión en el centro del cubo viene dada por la expresión( )0 0 0, , p x y z , las presiones que ejerceel fluido sobre las caras perpendiculares al eje x vendrán dadas por:

0 0 0

0 0 0

, ,2

, ,2

a

b

x p p x y z

x p p x y z

!! "= +# $% &

!! "= "# $% &

Por lo tanto la fuerza en la dirección del eje x vendrá dada por:

0 0 0 0 0 0, , , ,2 2 px

x xF p x y z p x y z y z

' ! ! (! " ! "= " + " " ! !# $ # $) *% & % &+ ,

Si multiplicamos y dividimos la expresión por el volumen del cuerpo:

0 0 0 0 0 0, , , ,2 2 px

x x p x y z p x y z

F

V x

' ! ! (! " ! "" + " "# $ # $) *! % & % &+ ,=

! !





pM pM RT

RT % % = - =

Siendo M la masa molecular del gas, R la constante de los gases y T la temperaturasuponiendo la temperatura constante y sustituyendo en la ecuación fundamental, teniendo en cuenque estamos sometidos al campo gravitatorio terrestre que consideraremos constate:

( )0

0 00

gM z z p z RT

p z

pM p dp gM g dz p p e

RT z p RT

' (" ") *+ ,#" = - = " - =

# . .

Que nos da la variación de la presión atmosférica en función de la altura.2.3.- Fuerzas sobre superficies planas sumergidas.

Cuando tenemos una superficie plana sumergida, sobre ésta va a actuar una fuerza que serigual al producto del peso específico del fluido por la altura a la que esté el centro de gravedad dicha superficie respecto del nivel de la superficie libre del fluido y por el área de la superficie qsufre la fuerza, matemáticamente:

CGF h A& = Expresando el peso específico en kgf/m3, el área en m2 y la altura a la que está el centro de

masas en metros, obtendremos la fuerza en kilogramos fuerza.En cuanto al punto de aplicación de dicha fuerza, será el centro de presiones, para calcularl

debemos recurrrir a la expresión que nos relaciona la coordenada y de dicho centro de presiones condel centro de masas. Es conveniente no confundir las coordenadas h que indican el nivel de un punrespecto a la superficie libre de fluido con las coordenadas y que indican la distancia desde el puntocorte de la superficie libre del fluido con la linea que contiene a la superficie analizada, para ello,presenta el siguiente esquema:

Hemos de tener en cuenta que el empuje es ejercido en el centro de presiones, que eperpendicular al mismo en dicho punto y que para obtener las coordenadas del centro de presionusaremos la ecuación:

xcp cg

cg

I y y

y A= +





A la hora de realizar los problemas, con frecuencia será necesario conocer la posición dcentro de gravedad de diversas figuras geométricas, así como su área y su momento de inercia, las mcomunes a la hora de resolver problemas se muestran a continuaciónFIGURA X Y Área

x I Rectángulo b/2 h/2 B·h bh3/12

Triángulo b/3 h/3 b·h/2 bh3/12

Trapecio ( )( )2

3h a b

a b

+

+ ( )

2h a b+

( )( )

3 2 2436

h a ab b

a b

+ +

+

Círculo Es el centro de lacircunferencia

2

4d '

4

64d '

Superficie elíptica Es el centro de laelipse

bh' 3

4bh'





Superficie parabólica 3b/8 2h/5 2bh/3

2.4.- Fuerzas sobre superficies curvas. Componente horizontal y verticalCuando la superficie sumergida no es plana, debemos calcular por separado las do

componentes de la fuerza sobre la superficie, que serán la componente horizontal de la fuerza y componente vertical de la misma.

La componente horizontal será igual a la fuerza que ejerce el fluido sobre una superficivertical imaginaria que es la proyección vertical de la superficie curva. El punto de aplicación demisma es el centro de presiones de dicha pared imaginaria

La componente vertical será igual al peso (real o imaginario) de líquido que hay encima de superficie, el punto de aplicación estará sobre la vertical de la correspondiente coordenada del cende gravedad de dicha superficie.2.5.- Principio de Arquímedes. Empuje .

El principio de Arquímedes nos proporciona la fuerza que sufre un cuerpo cuando se hallsumergido en un fluido, dicho principio dice “la fuerza que sufre un cuerpo sumergido sumergido vertical y hacia arriba y su valor es igual al peso del fluido que desaloja”.

Matemáticamente, podemos expresar el principio de Arquímedes mediante la siguientexpresión: fluido sumergido E gV % =

Donde! es la densidad del fluido en el que está sumergido el cuerpo, g la aceleración de lgravedad y V el volumen sumergido del cuerpo.Dicha fuerza se denomina empuje y está aplicada en el centro de presiones que se calcula como:

E

rdV r

dV = ..

r





Ejemplo 4.- Determina las fuerzas y las ubicaciónes de las mismas, sabiendo que la superficie AB erectangular y de 1,20 metros de longitud y que de la superficie CD sabemos que es un triángulo vértice C de medidas 1,80 x 1,20 m.

Empezaremos determinando la fuerza sobre la compuerta AB que está vertical, para ellusaremos la expresión que nos da la fuerza sobre una compuerta plana sumergida, según la cual:

CM E h A& = En donde" es el peso específico del fluido, en este caso, agua, que tiene un valor de 1000kgf/m3, h es la altura a la que se encuentra el centro de gravedad de la compuerta y A el área de misma.

El centro de gravedad se encontrará en el centro geométrico de la compuerta, como se muesten la siguiente figura:

Teneiendo en cuenta todo lo que se expuso anteriormente, la fuerza que sufre la compuerta ABserá:

1000·2,2·(2 1,2) 5280CM E h A x& = = = kgf.En cuanto al punto de aplicación de dicha fuerza, éste será el centro de empuje, qu

calcularemos a partir de la expresión: x

CE CGCG

I y y

y A= +

La y del centro de gravedad es la distancia que hay desde el punto de corte de la superficie libdel fluido con la pared que contiene a la compuerta y en este caso, como en cualquier caso en qutengamos una pared vertical coincide con la altura “h” a la que se encuentre el centro de gravedad, plo tanto, tendrá un valor de 2,2 m, por otro lado el momento de inercia lo sacamos de la tabla, segúncual:

I=bh3/12=(1,2·23)/12=0.8 m4.Sustituyendo en la expresión nos da un valor de:





0,82,2 2,352,2·(2·1,2)

xCE CG

CG

I y y

y A= + = + = m.

Por lo tanto, el esquema que tenemos para la compuerta será el siguiente:

Por tanto, la compuerta AB sufrirá una fuerza de 5280 kgf a una distancia de 2,35 m de lsuperficie libre del fluido.

Ahora tenemos que hacer el mismo cálculo con la compuerta triangular, para ello, tendremos cuenta que la altura a la que se encuentra el centro de gravedad de la compuerta está a 1/3 de la altuya que la compuerta sabemos que es triangular, por lo tanto:

Por lo tanto el valor del empuje será:1,80·1,201000·1,84·( ) 1987

2CM E h A& = = = m.

El punto de aplicación será el centro de empujes que estará situado a una distancia y dada por 0,58322,61 2,821,80·1,202,61·( )

2

xCE CG

CG

I y y

y A= + = + = m

Quedando el siguiente esquema para la compuerta:





Ejemplo 5.- Para el depósito de la figura: a) determina la fuerza que actúa sobre la superficie AB d2,40 m de anchura y sabiendo que la longitud total del depósito es de 4 m, b) la fuerza total sobrefondo del depósito, c) compararla con el peso de agua que contiene el recipiente.

a) Vamos a determinar en primer lugar la fuerza que sufre la parte plana AB, la fuerza qusufre dicha superficie vendrá dada por:

CM E h A& = La h hace referencia a la altura a la que se encuentra el centro de gravedad de la pared A

respecto del nivel de la superficie libre del fluido, y vendrá dada por 3,60 m + 1,80/2 m = 4,50 m.Sustituyendo en la expresión de la fuerza:

1000·4,50·(2,40·1,80) 19440CM E h A& = = = kgf.El punto de aplicación de la fuerza de empuje será el centro de empujes, la altura del cuvendrá dado, debido a que es una pared vertical por la expresión:

xCE CG

CG

I y y

y A= +

1,174,50 4,564,50·(2,40·1,80)

xCE CG

CG

I y y

y A= + = + = m

b) Ahora tenemos que determinar la fuerza total sobre el fondo del depósito, para ellousaremos la misma expresión que en el caso anterior, teniendo en cuenta que el centro de gravedad dfondo del depósito se encuentra al nivel del fondo del depósito, ya que es una superficie horizontal, plo tanto, nos quedará:





( )1000· 3,6 1,8 ·(2,4·4) 51840CM E h A& = = + = kgfLa altura a la que se encuentre el centro de empujes, será, obviamente la misma a la que s

encuentre el centro de gravedad, es decir al nivel del fondo del depósito, esto es un hecho general qse cumple para todas las superficies horizontales.Ejemplo 6.- Determina la fuerza que habrá que aplicar sobre la compuerta rectángular AB, sabiendque está articulada en A y que en el recipiente de la derecha tenemos aceite de densidad relativa 0,7y en el recipiente de la izquierda tenemos agua, determina de igual manera el punto de aplicación dicha fuerza. La longitud de los depósitos es 2 m.

Sobre la compuerta actuarán dos fuerzas, por un lado la fuerza debida al agua que se encuenten el recipiente de la izquierda, que calcularemos como:

CM E h A& =

La altura a la que se encuentra el centro de gravedad de la compuerta respecto del nivel dfluido será:1000·4,5·(1,80·2) 16200CM E h A& = = = kgf

El punto de aplicación de la misma vendrá dado por: x

CE CGCG

I y y

y A= +

Que sustituyendo los datos de los que disponemos nos da un valor de:0,9724,50 4,505

4,50·(2·1,80) x

CE CGCG

I y y

y A= + = + =





Ahora tenemos que calcular la fuerza que ejerce el aceite contenido en el depósito de lderecha, para ello, calculamos primero la fuerza teniendo en cuenta que la altura a la que está el cende gravedad de la superficie respecto al nivel de la superficie libre de fluido es de 0,9 m, tendremos:

1000·0,750·0,9·(1,80·2) 2430CM E h A& = = = kgf.El punto de aplicación de esta fuerza será:

0,9720,9 1,20,9·(2·1,80)

xCE CG

CG

I y y

y A= + = + = m

El esquema para la compuerta será:

La fuerza que habrá que ejercer será la fuerza destinada a compensar las dos fuerzas qutenemos, es decir, la diferencia entre ellas por ser de sentido contrario, por lo tanto, tendremos qaplicar hacia la izquierda una fuerza de:

16200 2430 13770F = " = kgfPara determinar el punto de aplicación de dicha fuerza, tendremos que aplicar la ecuación d

suma de momentos respecto del punto articulado de la compuerta, es decir:





0 M M M + "

= - =/ / / Sustituyendo las fuerzas y las distancias halladas anteriormente, tenemos:

16200·0,905 2430·1, 2 13770· 0,85 M M h h+ "

= - = + - =/ / mEs decir, que la fuerza ha de ser aplicada a 0,85 m del punto A para que exista equilibri

rotacional, o lo que es lo mismo, para que no gire respecto del punto A.

Ejemplo 7.- La compuerta AB tiene 1,80 metros de diámetro, y puede girar alrededor del punto C

estando el punto C 0,10 m por debajo del punto medio de la compuerta tal y como se muestra en figura. Calcular la altura hasta la que puede ascender el agua para que haya equilibrio.

Para que la compuerta no gire, debemos hacer que el empuje esté aplicado sobre el punto C punto de giro, de tal manera, el momento será F·0=0 y por lo tanto no se provoca giro ningunesquemáticamente, la situación que debemos provocar es la siguiente:

El punto de aplicación de la fuerza, vendrá dado por: x

CE CGCG

I y y

y A= +

En donde la altura del centro de gravedad de la compuerta será h+0,9 la altura del centro dempujes debe ser el punto C, por lo tanto valdrá h+0,9+0,1 m y para el cálculo del momento de inerctendremos en cuenta que la compuerta es cirular, por lo tanto, usaremos la fórmula.





I=4

64d '

Por lo tanto obtenemos la siguiente ecuación.

( )0,5150,9 0,1 0,90,9 2,54

xCE CG

CG

I y y h h

y A h= + - + + = + +

"

( )0,5150,10,9 2,54

xCE CG

CG

I y y h h

y A h= + - + = +

"

2,93h = mPor lo tanto, la latura a la que puede subir el auga por encima del punto superior de la

compuerta es de 2,93 m.Ejemplo 8.- Determinar y ubicar las componentes de la fuerza que ejerce el agua por metro delongitud sobre la compuerta que se muestra en la figura, si el radio de la misma es de 2 m:

La fuerza horizontal será igual al valor que ejerce el agua sobre la proyección vertical de superficie, es decir, sobre una pared vertical de 2 m de altura, por lo tanto, la fuerza horizontal será:

1000·1·(1·2) 2000CM E h A& = = = kgfEn donde hemos tenido en cuenta que el centro de gravedad de la pared vertical imaginaria es

en su punto medio, y por lo tanto, a una altura de 1 m y que la longitud de la compuerta es 1 m, ya qel problema nos dice que hagamos el cálculo por metro de longitud.





En cuanto al punto de aplicación de dicha fuerza, será el mismo que el que tendría la parevertical imaginaria sobre la que calculamos el apartado anterior, es decir:

( )0,6671 1,331· 2·1

xCE CG

CG

I y y

y A= + - + =

La componente vertical de la fuerza será igual al peso del volumen de agua que existe encimde la superficie, es decir:

2 221000 1 31414 4V

RF AL L

' ' & & = = = = kgf

La componente vertical de la fuerza está sobre la vertical del centro de gravedad de lsuperficie, teniendo en cuenta lo que se expone en la tabla de los centros de gravedad:

4 0,853 R

CG'

= = m.

El esquema de las fuerzas que actuan sobre la compuerta será el siguiente:





Ejemplo 9.- El cilindro de la figura tiene 1,5 metros de longitud y un peso de 2500 kg, determina lareacciones en los puntos A y B, sabiendo que la densidad relativa del aceite es de 0,750.





La reacción en A será igual a la componente horizontal de la fuerza que ejerce el fluido sobre cilindro, que como se hizo en el ejemplo anterior es igual a la fuerza que ejercería el fluido sobre proyección vertical de la superficie, es decir, sobre una pared plana de 2 m de altura:

2 2

1 750· 1,5 8834 4v

R RF AL L

' ' & & = = = = kgf

La reacción vertical será igual a la fuerza vertical resultante que ejerce el aceite sobre cilindro, esta fuerza será igual a la diferencia entre la fuerza vertical ascendente, debida al fluido qestá por debajo de la mitad del cilindro y la fuerza vertical descendente, que será igual a la fuerdebida al aceite que está por encima de la mitad del cilindro.

[ ]2

22 sec 241

4v cuadrado tor

RF AL A A L R L

' & & &

' (= = " = " =) *

+ ,kgf





883 241 642vTOT F = " = kgfLa reacción en B coincide con este último valor, es decir es la diferencia entre las fuerza

verticales y tendrá sentido opuesto al que tiene esta fuerza total, es decir, está dirigido hacia abajo.Ejemplo 10.- El cilindro representado en la figura tiene un peso de 250 kg y tiene una longitud de 1 mSe vierte agua y aceite en las partes izquierda y derecha hasta unas alturas de 0,6 y 1,2 mrespectivamente. Halla las componentes de la fuerza que mantiene al cilindro fijo en el punto sabiendo que la densidad relativa del aceite es 0,89.

Para determinar las reacciones que mantienen fijo al cilindro, tendremos que calcular lafuerzas que sufre el cilindro.

Por un lado, tendremos la fuerza que ejerce el aceite situado en la parte izquierda del depósitesta fuerza tendrá dos componentes, por un lado, una componente horizontal que será igual a la fueque ejercería el aceite del depósito sobre la proyección vertical de la superficie alcanzada por el flui

esto es, sería la fuerza que ejerce el aceite sobre una pared de 0,6 m de altura, es decir: H CGF h A& =

Tendremos en cuenta que la altura a la que se encuentra el centro de masas es justamente lmitad de la altura total de la pared, es decir, 0,3 m, por lo tanto la fuerza horizontal será igual a:

( )0,89·1000·0,3· 1·0,6 160,2 H CGF h A& = = = kgf.Por otro lado, la componente vertical de la fuerza será igual al peso, real o imaginario que tie

encima la superficie:





V F AL& = El área que hay que calcular es A1, que es el área imaginaria de fluido que se encuentra encima

de la supuerficie, para calcular A1 tendremos en cuenta las siguientes consideraciones:1 1 2 34circunf

A A A A= + +

( ) 22

1 1 2 34 4 2 2circunf

rad R R bh A A A A

( ' = " " = " "

Tendremos en cuenta que la altura del triángulo h es 0,6 m, y la base la podemos hallar poPitágoras, sabiendo que la hipotenusa es el radio de la circunferencia:2 21,2 0,6 1,039b = " = m.

Por otro lado, necesitamos saber cuánto vale el ángulo en radianes que en la figura se denopor# y que es necesario para calcular el área 3 correspondiente al sector circular:

1,039tan 60º 30º 60,6' ) ( = = - = = rad.

Ya contamos con todos los datos para poder calcular el área deseada:





( )222 2

1

·1,21,2 1,039·0,6 6 0,4224 2 2 4 2 2

rad R R bh A

' ( ' ' = " " = " " = m2.

Y a partir de aquí, ya podemos calcular la componente vertical de la fuerza como:0,89·1000·0,422·1 375,58V F AL& = = = kgf.

Ahora calcularemos la fuerza que ejerce el agua situada en el depósito de la derecha sobre cilindro, sabemos que, al igual que en el caso anterior, vamos a tener dos componentes para la fuerzuna componente horizontal igual a la fuerza que ejercería el agua sobre la proyección vertical depared, es decir sobre una pared de 1,2 m de agua, ya que el agua llega justo hasta la mitad del cilindr

( )1000·0,6· 1·1,2 720 H CGF h A& = = = kgf.La componente vertical de la fuerza la calcularemos de igual manera que en el caso anterio

pero ahora, tendremos en cuenta que el agua situada sobre la superficie es la que corresponde a un ártransversal determinado por un cuarto de circunferencia, por lo que la componente horizontal de fuerza será igual a:

2 21,21000 1 11314 4V

RF AL L

' ' & & = = = = kgf.

El esquema para la totalidad del cilindro será el siguiente.





La fuerza horizontal total será:720 160, 2 559,8tot

H F = " = kgf dirigida hacia la izquierda.La fuerza vertical total será:

1131 375,58 250 1256,58tot V F = + " = kgf hacia arriba.

En donde hemos tenido en cuenta 250 kgf hacia abajo correspondientes al peso del cilindro, plo tanto las reacciones en el punto de apoyo serán iguales y de signo contrario a las fuerzas calculadaEjemplo 11.- Determina las componentes horizontal y vertical que ejerce el agua sobre la compuert

mostrada en la figura por metro de longitud:

La componente horizontal es igual a la fuerza que ejercería el fluido sobre la proyeccióvertical de la superficie, es decir, la fuerza que ejercería el fluido sobre una pared vertical de 3 m altura, es decir:

1000·1,5·(3·1) 4500 H CGF h A& = = = kgfPor otro lado la componente vertical de la fuerza será totalmente hacia arriba y será igual

peso del fluido real o imaginario que se encuentra sobre la superficie, en esta caso:





[ ] ( ) 2

1 sec 2 2 2V tor

rad R bhF A L A A L L

( & & &

' (= = " = ") *

+ ,

El ángulo en radianes correspondiente al sector circular lo podemos sacar del triángulo quconforma el área A2, como se muestra en la figura:

3tan6

( = 26,56º 0,46( = = rad.

Por otro lado la altura h del triángulo será de 3 m, la base del mismo la podemos hallar usandel teorema de Pitágoras:

2 26 3 5,19b = " = La longitud L la tomaremos como 1, ya que el problema nos pide que hagamos el cálculo p

metro de longitud., los resultados son los siguientes:

[ ] ( ) 2 2

1 sec 20,46·6 3·5,191000 1 495

2 2 2 2V tor

rad R bhF A L A A L L

( & & &

' ( ' (= = " = " = " =) * ) *

+ ,+ ,

kgf.

Gráficamente:





Ejemplo 12.- Determinar en la presa de la figura que momento, si la longitud es de 1 m, respecto depunto A (esquina inferior derecha de la presa) se genera debido a la acción de la fuerza que el agejerce sobre el hormigón.

Para resolver el problema, debemos calcular las fuerzas horizontal y vertical que actúan sobla presa de forma parabólica y su ubicación, para poder determinar el momento respecto a A.

La componente horizontal de la fuerza será la fuerza que ejerce el fluido sobre la proyeccióvertical de la superficie que sufre la fuerza, es decir la fuerza que ejerce el fluido sobre una pared dm de altura, por lo tanto la componente horizontal de la fuerza vendrá dada por:

1000·1,5·(3·1) 4500 H CGF h A& = = = kgf.Su ubicación la determinaremos usando la altura a la que se encuentra el centro de empuje de

superficie vertical imaginaria usada anteriormente, es decir.

( )2,251,5 2

1,5· 3·1 x

CE CGCG

I y y

y A= + = + = m

La fuerza vertical será igual al peso que hay encima de la presa parabólica, usando la tabla enque se especifican las características geométricas de cada una de las superficies, llegamos a conclusión de que el área del paraboloide será:





2 2·3·4 83 3bh

A = = = m2

La fuerza vertical vendrá dada por:

1000·8·1 8000V F AL& = = = kgf.Su ubicación estará sobre la vertical del centro de gravedad de la superficie parabólica, que es

a una distancia dada por la tabla en la que se describen las caracterísitcas geométricas de las distinfiguras:

3 3·4 1,58 8cg

bd = = = m

El momento resultante respecto del punto A será la suma de los momentos de cada una de lfuerzas, para calcular los momentos tendremos en cuenta que para calcularlos usaremos que momento es fuerza por distancia, siendo la distancia la distancia que hay que recorrer para llevar fuerza hasta el eje según el que está situado en el punto A.





El momento resultante será:8000·4,5 4500·2 27000 M = " = kgf·m

En sentido horario.

Ejemplo 13.- Una piedra pesa 54 kg en el aire y 24 kg en el agua. Calcula el volumen y la densidadrelativa de la piedra.

En el aire, el peso de la piedra es mg, sin embargo, en el interior del agua, la piedra tendrá upeso que será igual a su peso aparente, o lo que es lo mismo a la diferencia entre su peso en el aire yempuje.

' l íquido cuerpo

P mg

P mg E mg gV %

=

= " = "

El volumen del cuerpo no lo conocemos, por lo que debemos expresarlo en función de ldensidad como:

cuerpo cuerpocuerpo cuerpo

cuerpo cuerpo

m mV

V %

% = - =

La ecuación del peso aparente quedará como:

' 1 'cuerpo líquidolíquido

cuerpo cuerpo

mP mg g mg P

% %

% %

' (= " - " =) *

) *+ ,

Ahora, la masa la expresamos como el peso partido por la gravedad, lo cual, nos permit

expresar la expresión anterior como:' 1 líquido

cuerpo

P P % %

' (= ") *

) *+ ,

Sustituyendo los valores que nos da el problema nos queda.

24 54 1 0,44 1 0,56líquido líquido líquido

cuerpo cuerpo cuerpo

% % % % % %

' (= " - = " - =) *

) *+ ,

Lo que debemos hallar es la densidad relativa de la piedra que es precisamente la inversa de cantidad anterior:

1,8r % =





Por otra parte, si queremos hallar el volumen de la piedra, no tenemos más que sustituir en expresión en función de la densidad y ya podemos hallar el volumen teniendo en cuenta que la masaigual al peso partido por la gravedad.

540,031800

cuerpo

cuerpocuerpo cuerpo

Pm g

V % % = = = =

m3

.

Ejemplo 14.- Un objeto prismático de 20x20x40 cm se sumerge en agua a una profundidad de 50 cmdando un peso de 5 kg. Determina cuánto pesa en el aire y cuál es su densidad relativa.

Debemos calcular cuánto pesa en el aire, para ello, tenemos en cuenta que el peso en el aire igual a la masa por la gravedad y que si no disponemos del dato de la masa debemos usar la densiddel cuerpo. Además, tenemos el peso aparente del cuerpo (5 kg, es el peso que tiene sumergido), porque podemos usar la siguiente expresión siguiente que dedujimos en el problema anterior.

' 1 1líquido líquidocuerpo cuerpo

cuerpo cuerpo

P mg V % %

% % %

' ( ' (= " - ") * ) *

) * ) *+ , + ,

Sustituyendo los datos que nos da el problema ya podemos calcular la densidad del cuerpcomo:

10005 0,016 1 312,5 1000cuerpo cuerpocuerpo

% % %

' (= " - = ") *

) *+ ,

De donde sacamos la densidad del cuerpo como:1312,5cuerpo % = kg/m3

Por otra parte, el problema también nos pide el peso del cuerpo en el aire, una vez hallada densidad del cuerpo, el peso de dicho cuerpo en el aire, se obtiene inmediatamente como:

1312,5·0,016·9,8 205,8cuerpo cuerpoP mg V g % = = = = NEjemplo 15.- ¿Qué fracción de una pieza sólida de metal de densidad relativa 7,50 emerge cuando estsumergido en mercurio de densidad relativa 13,6?

Para determinar la fracción de cuerpo que emerge debemos calcular la cantidadno suemrgido

sumergido

V

V ,

para ello procederemos igualando el peso del cuerpo con el empuje y dejando dicha cantidad función de las densidades relativas del líquido y del cuerpo ,es decir:

( )

1

líquido suemergido tot líquido suemergido

cuerpo tot líquido suemergido cuerpo no suemrgido sumergido líquido suemergido

no suemrgido no suemrgidolíquido líqui

sumergido cuerpo sumergido

mg gV m V

V V V V V

V V V V

% %

% % % %

% % %

= - =

= - + =

+ = - = 13,601 1 0,8137,50do

cuerpo % " = " =

Es decir, que emerge el 81,3% del cuerpo.Ejemplo 16.- Calcula la profundidad a la que se sumergirá un tronco de madera de densidad relativ0,425 cuando se sumerge en agua, sabiendo que el diámetro del tronco son 2,40 m y que la longitudel mismo es de 7 m.

Sabemos que la densidad del tronco es menor que 0,5, por lo que el tronco estará sumergido euna proporción menor que el 50%, es decir, su línea de flotación está por debajo de su mitad.




Para resolver el problema debemos igualar el empuje con el peso del tronco, es decir:líquido suemergidomg gV % =

El volumen sumergido del tronco será igual al área transvesal sumergida por la longitud dtronco.A la vista de la figura, se comprueba que el área sumergida es igual al área del sector circulmenos el área de los dos triángulos:

s sec 2umergida tor triángulo A A A= " La base del triángulo la podemos sacar aplicando el teorema de Pitágoras:

( )22 2 2 2 22 2b R R h R R h Rh Rh h= " " = " " + = " Por otro lado el ángulo central lo podemos sacar usando la siguiente relación trigonométrica:

arccos R h R

( "

=

Ahora ya podemos calcular el empuje, partiendo de la expresión en la que se iguala el peso coel empuje:( ) 2

2

2

2

( )2

arccos( )

2

cuerpo tot líquido suemergido cuerpo líquido

cuerpo líquido

rad RV V R b R h L

R h R

R R b R h L

( % % % ' %

% ' %

! "= - = " "# $

% &! " "! "

# $# $% &# $= " "# $# $% &

Sustituyendo los datos que nos da el problema tenemos:

2

2 2

2,40arccos 2,402,400,450 2,40 1 4,80 (2,40 ) ·7

2

h

h h h'

! ""! "# $# $% &# $= " " "# $# $% &

Esta es una ecuación no lineal, que no queda más remedio que resolver por tanteo, es decir, dando valores a h, hasta que obtengamos un valor que verifique la igualdad anterior. Este tipo decuaciones también se pueden resolver usando un sencillo programa informático que aproxime soluciones lo máximo posible.

Usando el método de tanteo, se obtiene un valor para h de:1,852h = m.

Apuntes Hidrostatica

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