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Integrales Dobles

Integrales dobles

De manera análoga a la definición de integral

definida en funciones escalares se puede definir

la integral doble para campos escalares de en

R.

Si el campo escalar es no negativo, la integral

doble se asociará al volumen definido por la

región D en el plano xy y la superficie

correspondiente que genera el campo escalar.

2

2R

3

Para calcular una integral doble hay que

convertirla en una integral iterada. La integral

iterada permite convertir la integral doble en

dos integrales que ya sabemos calcular.

Veamos como hacerlo en un ejemplo:

Queremos calcular la integral de

En el rectángulo D definido por:

4

yx)y,x(f 2

5y2;3x0/R)y,x(D 2

5

dxdyyxdAyx

3

0

5

2

2

D

2

2

189

2

3x73

0

dx2xdxx2

252x

3

0

221

3

0

222 2

3

0

3

0

5

2

2 dx2

2y2x

5y

2y

dxdyyx

Para otro tipo de regiones tenemos que tener

en cuenta como está definida.

Por ejemplo, la región del plano:

Se puede representar como:

6

22 xy0;2x0/R)y,x(D

Si queremos calcular

Considerando:

7

dAyx

D

22 xy0;2x0/R)y,x(D

dxdy)yx(dAyx

2

0

x

0D

2

5

36

10

5x

4

x2

0

dx2

4xxdx2

2yxy

xy

0y

42

0

3

2

0

2

Aplicación

Si consideramos en una integral doble la función

f(x;y)=1 al calcularla obtenemos el área de la

región D :

8

)D(áreadA1

D

Ejemplo

9

1xy1x;1x1/R)y,x(D 222

Si queremos calcular el área de la región D

Calculamos la integral doble

10

dxdy1dA1

1

1

1x

1xD

2

2

3

16x2

3

x21

1

dx2x2dxy1xy

1xy

31

1

2

1

1

2

2

Teorema de Green

Establece la relación entre una integral

curvilínea alrededor de una curva cerrada simple

C y una integral doble sobre la región plana D,

acotada por C.

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Definición (curva cerrada)

Si en una curva A coincide con B diremos que

la curva es cerrada.

Si está orientada tenemos dos posibilidades:

Orientación positiva (antihoraria) Orientación negativa (horaria)

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Enunciado del Teorema de Green

Sea C una curva en el plano cerrada, simple,

suave a trozos y orientada positivamente. Sea D

la región acotada por C. Si P y Q son campos

escalares que tienen derivadas parciales

continuas en una región que contiene a D,

entonces vale que:

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dAy

P

x

Qdy)y,x(Qdx)y,x(P

DC

Observación

Se puede pensar el Teorema de Green como el

análogo de la Regla de Barrow para las

integrales dobles.

El uso de este teorema puede facilitar el cálculo

de integrales curvilíneas.

Veremos en un ejemplo como los valores de la

integral curvilínea y la integral doble

correspondiente coinciden.

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Ejemplo

Queremos calcular

Donde C es la curva triangular que consiste en ir

a través de los segmentos de recta que van de

(0,0) a (1,0), de (1,0) a (0,1) y de (0,1) a (0,0)

como muestra el dibujo:

15

C

4 dyxydxx

Calculemos la integral curvilínea

Necesitamos la parametrización de los tres

segmentos orientados de recta para pensar a la

curva cerrada como

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1t0

0y

tx

C1

1t0

ty

t1x

C2

1t0

t1y

0x

C3

321 CCCC

17

5

1dttxydydxx

1

05t

1

0

4

C

4 5

1

1

0

4

C

4 dtt)t1(t1xydydxx

2

30

151

31

21

1

03t

2t

5

)t1( 325

0dt0xydydxx

1

0C

4

3

Si unimos los cálculos realizados

De esta forma la integral curvilínea sobre la

curva cerrada vale

18

321 C

4

C

4

C

4

C

4 xydydxxxydydxxxydydxxxydydxx

6

10

30

1

5

1xydydxx

C

4

6

1

Calculemos ahora la integral utilizando integrales

dobles. La región D quedará definida por:

Como:

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x1y0;1x0/R)y,x(D 2

dx)dyy(dA)0y(dAy

P

x

Q

D

1

0

x1

0D

6

1

6

3)x1(dx

2

x1dx

2

2y1

0

1

0

21

0

x1

0

4x)y,x(P xy)y,x(Q

Con los resultados obtenidos en las diapositivas

34 y 35 pudimos verificar que la integral

curvilínea propuesta y la integral doble generada

por el teorema de Green tienen el mismo valor.

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