Post on 04-Jul-2020
Coordinación de Matemática y Estadística ME-003 Cálculo I
Integrales por sustitución
Trigonométrica
Los ejercicios que se presentarán en este materialpretenden aclarar las dudas sobre integración por elmétodo de sustitución trigonométrica.
Para hacer uso de este método es necesario hacer uncambio en la expresión algebraica por su equivalenteen una expresión trigonométrica.
Presentación
2
Tema: Integrales por sustitución Trigonométrica | Unidad XII
Índice
Presentación 2
A manera de inicio 4Ejercicio 1 6Ejercicio 2 13Ejercicio 3 21Cierre 27Créditos 28
3
Tema: Integrales por sustitución Trigonométrica | Unidad XII
Al calcular integrales de la forma ∫ "# − %# &% esnecesario recordar las identidades trigonométricaspitagóricas:
'()# * + ,-'# * = 1'(,# * = 1 + *")# *
Las cuales nos permiten eliminar la raíz delintegrando.
Además es importante recordar el teorema dePitágoras:
"#+0# = ,#
A manera de inicio
4
Tema: Integrales por sustitución Trigonométrica | Unidad XII
De la siguiente forma se hacen las sustituciones:
1. Si tenemos la integral
∫ "# − %# &% % = ( )*+ ,
2. Si tenemos la integral
∫ %# − "# &% % = ( )*- ,
3. Si tenemos la integral
∫ %# + "# &% % = ( ,(+ ,
A manera de inicio
5
Tema: Integrales por sustitución Trigonométrica | Unidad XII
Calcule la siguiente integral
! "# − %&% '%
Paso 1 Se hace la sustitución para el caso ∫ )* − +* ,+,para lo que se usa + = ) ./0 1
+ = 4 ./0 1,+ = 4 34. 1 ,1
! 16 − +*+ ,+ = !
16 − 4./0 1 *
4 ./0 1 434. 1 ,1
Ejercicio 1
Recuerde:) = 16 ⇒ ) = 4
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Tema: Integrales por sustitución Trigonométrica | Unidad XII
Paso 2 Simplificando la expresión
!16 − 4&'( ) *
4 &'( ) 4+,& ) -)
= ! 16 − 16 &'(* )4 &'( ) 4+,& ) -)
= !16 1 − &'(* )
4 &'( ) 4+,& ) -)
= !4 +,&* )&'( ) +,& ) -)
= !4+,& )&'( ) +,& ) -) = !4+,&* )
&'( ) -)
Ejercicio 1
Se sustituye+,&* ) = 1 − &'(* )
7
Tema: Integrales por sustitución Trigonométrica | Unidad XII
Paso 3 Se cambia la expresión
!"#$ % = 1 − #)*$ %
+4 1 − #)*$ %
#)* % -%
Paso 4 Se separan las fracciones y simplifica
= 4+ 1#)* % − #)*
$ %#)* % -%
= 4+!#! % − #)* % -%
Ejercicio 1
Se sustituye
!#! % = 1#)* %
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Tema: Integrales por sustitución Trigonométrica | Unidad XII
Paso 5 Se separan las integrales por términos
4"#$# % − $'( % )% = 4"#$# % )% − 4"$'( % )%
Paso 6 Se resuelve las integrales
4"#$# % )% − 4"$'( % )%
4+( #$# % − #,% % + 4#,$ % + .
Ejercicio 1
Recuerde:
"#$# % )% = +( #$# % − #,% % + .
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Tema: Integrales por sustitución Trigonométrica | Unidad XII
Paso 7 Ahora para hacer el cambio de la variable a lostérminos originales tomamos ! = 4$%& ' ydespejamos el $%& '
! = 4$%& '$%& ' = (
)
Paso 8Con $%& ' = (
) se construye un triángulorectángulo y el cateto faltante se calcula conPitágoras
Ejercicio 1
Recuerde:
$%& ' = *+'%', -./%$',01.,'%&/$+
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Tema: Integrales por sustitución Trigonométrica | Unidad XII
Paso 9Según el triángulo se sustituyen los valores de lasrazones trigonométricas
4"# $%$ & − $(& & + 4$(% & + *
Ejercicio 1
Recuerde:$%$ & = ,-./012345
65010/ 7.3140/ $(& & = 65010/ 89:5;120165010/ 7.3140/
$(% & = *<&=&( >?@<$=#&=ABC(&=#D%<
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Tema: Integrales por sustitución Trigonométrica | Unidad XII
Continúa el paso 9
4"# $%$ & − $(& & + 4$(% & + *
4"# +4 −
16 − +.+ + 4 / 16 − +.
4 + *
Paso 10Respuesta
Ejercicio 1
4"# +4 −
16 − +.+ + 16 − +. + *
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Tema: Integrales por sustitución Trigonométrica | Unidad XII
Calcule la siguiente integral
! "#$ #$ + $&
'#
Paso 1 Se hace la sustitución para el caso ∫ )* + +* ,),para lo que se usa
) = + .+/ .) = 5 .+/ .
,) = 5 123* . ,.! 1)* )* + 25
,)
= ! 1
5 .+/ . * 25 − 5.+/ . *5123* . ,.
Ejercicio 2
Recuerde:+ = 25 ⇒ + = 5
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Paso 2 Simplificando la expresión
! 1
5 $%& $ ' 25 + 5$%& $ '5*+,' $ -$
= ! 5*+,' $ -$25 $%&' $ 25 + 25 $%&' $
= ! 5*+,' $ -$
25 $%&' $ 25 1 + $%&' $
= ! *+,' $ -$5 $%&' $ 5 1 + $%&' $
= ! *+,' $ -$25 $%&' $ *+,' $
= ! *+,' $ -$25 $%&' $ *+, $
Ejercicio 2
Se sustituye*+,' $ = 1 + $%&' $
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Continúa paso 2
! "#$ % &%25 %)*+ % = 1
25!"#$ % &%%)*+ % =
Paso 3Se sustituyen las expresiones
%)*+ % = ./01 234.1 2
"#$ % = 1$5" %
125!
"#$ % &%%)*+ % = 1
25!1
$5" %"#*+ %$5"+ %
&%
125!
$5"+ %$5" % "#*+ % &% = 1
25!$5" %"#*+ % &%
Ejercicio 2
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Tema: Integrales por sustitución Trigonométrica | Unidad XII
Paso 4 Se sustituye
! = #$% &'! = ()# & '&
125-
()# &#$%. & '& = 1
25-1!. '! =
125-!
/. '!
Paso 5 Se resuelve la integral por sustitución
125-!
/. '!
= 125 0
!/.12−2 + 1 + 5
= 125 0
!/2−1 + 5
Ejercicio 2
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Tema: Integrales por sustitución Trigonométrica | Unidad XII
Paso 6 Se cambia ! = #$% &
125 *
!+,−1 + /
= 125 *
#$%+, &−1 + /
= 125 *
−1#$% & + /
= 125 * −0#0 & + /
Ejercicio 2
Recuerde:
0#0 & = 1#$% &
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Tema: Integrales por sustitución Trigonométrica | Unidad XII
Paso 7Ahora para hacer el cambio de la variable a lostérminos originales tomamos ! = 5 $%& $ ydespejamos el $%& $
! = 5 $%& $$%& $ = '
(Paso 8Con$%& $ = '
( se construye un triángulo rectánguloy la hipotenusa faltante se calcula con Pitágoras
Ejercicio 2
Recuerde:
$%& $ = )%$*$+ ,-.*/$+)%$*$+ 012%3*&$*
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Tema: Integrales por sustitución Trigonométrica | Unidad XII
Paso 9 Según el triángulo se sustituyen los valores de lasrazones trigonométricas
125 $ −&'& ( + *
Ejercicio 2
Recuerde:
&'& ( = ,-./(012'3*3(0(/ 4.20'(/
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Continuación paso 9 125 $ −&'& ( + *
125 $ −
+, + 25+ + *
− +, + 2525+ + *
Paso 10Respuesta
Ejercicio 2
− +, + 2525+ + *
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Tema: Integrales por sustitución Trigonométrica | Unidad XII
Calcule la siguiente integral
! "#$ #$ − &
'#
Paso 1 Se hace la sustitución para el caso ∫ )* − +* ,),para lo que se usa ) = + ./0 1
) = 7 ./0 1,) = 7 ./0 1 1+3 1 ,1
! 1)* )* − 7
,) = ! 7 ./0 1 1+3 1 ,1
7 ./0 1*
7 ./0 1*− 7
Ejercicio 3
Recuerde:+ = 7
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Tema: Integrales por sustitución Trigonométrica | Unidad XII
Paso 2 Simplificando la expresión
! 7 #$% & &'( & )&
7 #$% &*
7 #$% &*− 7
= ! 7 #$% & &'( & )&7 #$%* & 7#$%* & − 7
= ! 7 #$% & &'( & )&7 #$%* & 7 #$%* & − 1
= ! 7 #$% & &'( & )&7 #$%* & 7 #$%* & − 1
= ! 7 #$% & &'( & )&7 #$%* & 7 &'(* &
= ! &'( & )&7 #$% & &'( &
Ejercicio 3
Se sustituye#$%* & − 1 = &'(* &
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Tema: Integrales por sustitución Trigonométrica | Unidad XII
Continúa Paso 2
! 1#$7 &'( $ = 1
7!1#$&'( $
Paso 3Se sustituye la expresión (*& $ = +
,-. /
17!
1#$&'( $ =
17!(*& $ #$
Paso 4Se calcula la integral
17!(*& $ #$ =
17 &'0 $ + 2
Ejercicio 3
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Tema: Integrales por sustitución Trigonométrica | Unidad XII
Paso 5Ahora para hacer el cambio de la variable a lostérminos originales tomamos ! = 7 $%& ' ydespejamos el $%& '
! = 7 $%& '$%& ' = (
)
Paso 6Con$%& ' = (
)se construye un triángulo rectánguloy el cateto faltante se calcula con Pitágoras
Ejercicio 3
Recuerde:
$%* ' = +,'%'- ./0%$'-12/-'%*0$,
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Tema: Integrales por sustitución Trigonométrica | Unidad XII
Paso 7 Según el triángulo se sustituyen los valores de lasrazones trigonométricas
17 #$% & + (
Ejercicio 3
Recuerde:
#$% & = (*&$&+ ,-.$#&+/0-+&$%.#*
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Tema: Integrales por sustitución Trigonométrica | Unidad XII
Continuación paso 7 17 #$% & + (
17 )
*+ − 7* + (
*+ − 77* + (
Paso 8Respuesta
Ejercicio 3
*+ − 77* + (
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Tema: Integrales por sustitución Trigonométrica | Unidad XII
Espero que estos ejercicios le sean de utilidadpara resolver problemas de Integración porsustitución trigonométrica, con los cuáles puedaconstruir los nuevos conocimientos que vendránen Cálculo I.
A manera de cierre
«Las matemáticas no conocen razas o límites geográficos.
Para las matemáticas, el mundo cultural es un país».
David Hilbert.
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Tema: Integrales por sustitución Trigonométrica | Unidad XII
CréditosUniversidad Técnica Nacional
Coordinación de Matemáticas y Estadística
ContenidoAutor: Gerardo Arroyo Brenes
Producción del recurso didáctico:Productora académica: Guadalupe Zúñiga Camacho
Diseño Gráfico y multimedia: Karol González Ugalde
Derecho de AutorQueda prohibida la reproducción, transformación,distribución y comunicación pública de la obramultimedia [Sustitución Trigonométrica], porcualquier medio o procedimiento, conocido o porconocerse, sin el consentimiento previo de los titularesde los derechos, así como de las obras literarias,artísticas o científicas particulares que contiene.
Tema: Sustitución Trigonométrica Unidad XII
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