INSTITUTOPOLITÉCNICO

NACIONALESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E

INDUSTRIAS EXTRACTIVASFUNDAMENTOS DE FENÓMENOS DE

TRANSPORTEPROF. LINO GARCÍA DEMEDICES

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN PRIMER DEPARTAMENTAL

“MODELACIÓN MATEMÁTICA DE FLUJOS REALES Y SIMULACIÓN ”

GRUPO 2IM36ALUMNA: ANDREA SERRANO TORRES

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Índice

Índice .............................................................................................................................................2

Objetivos .....................................................................................................................................3

Introducción ..............................................................................................................................4

Marco Teórico ...........................................................................................................................5

Simulación Numérica de Fluidos de Tipo Bingham. ......................................18

Conclusiones ...........................................................................................................................21

Bibliografía ...............................................................................................................................22

Videos consultados .............................................................................................................23

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Objetivos

Analizar y entender los conceptos básicos para la modelación de matemática.

Reconocer algunos de los modelos matemáticos del flujo. Servir de introducción a la mecánica de fluidos computacional

(CFD) Familiarización con los software para simulación matemática.

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Introducción

Un sistema representa una unidad separada para su estudio donde se hacen tratamientos físicos o químicos de materiales que puede ser representado con un modelo que muestre una descripción matemática del sistema real.

La disposición de varios sistemas unidos entre sí por flujos comunes de materiales y/o información constituye un proceso.

La modelación matemática de procesos es una herramienta de gran utilidad para el ingeniero ya que le permite conocer, entender e interpretar el mundo físico en el proceso de toma de decisiones.

El estudio de un proceso, mediante la manipulación de su representación matemática o de su modelo físico, constituye una simulación.

El análisis de sistemas se refiere al reconocimiento y definición de problemas, su planteamiento o modelamiento mediante la aplicación de principios científicos y el desarrollo de procedimientos de solución con cuyos resultados se adquiera una total comprensión de la situación.

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El tipo de modelo matemático más aplicado por el ingeniero químico es el que modela los fenómenos de transporte de masa, energía y cantidad de movimiento a través de un sistema, pero en algunos casos se hace necesario el planteamiento de un modelo del tipo balance de población o el ajuste de una información conocida a un modelo matemático que empíricamente permita su análisis.

En este trabajo de investigación nos enfocaremos en los modelos de los fenómenos de transporte a través de un sistema, específicamente al modelado para flujos reales.

Marco Teórico

1. Tipos de Flujo

1.1 Compresible e incompresible

Un fluido se considera incompresible si su densidad experimenta cambios despreciables frente a cambios apreciables de temperatura y presión.

En general el caso de flujo compresible es reservado para gases a alta velocidad, próxima o superior a las del sonido en donde los fenómenos ondulatorios son muy apreciables.

La división entre compresible e incompresible debe ser analizada en término del flujo que produce y no del fluido que lo experimenta.

1.2 Laminar y turbulento

La clasificación de flujos en laminar o turbulento se determina a partir del número de Reynolds.

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Donde:

ρ es la densidad del fluido. v su velocidad media. η la viscosidad. D el diámetro del tubo.

El número de Reynolds es una cantidad sin dimensiones y tiene el mismo valor numérico en cualquier sistema coherente de unidades. Diversos experimentos han demostrado que para:

NR menor 2000 el régimen es laminar NR mayor 3000 el régimen es turbulento.

En la zona entre 2000 y 3000 el régimen es inestable y puede cambiar de laminar a turbulento o viceversa.

1.2.1 Flujo Turbulento

Es aquel en el que las partículas del fluido tienen desplazamiento en sentidos diferentes al del movimiento principal del fluido.

En este fluido al moverse las partículas con movimiento errático se presentan colisiones entre ellas y esto genera cambios en la cantidad de movimiento, que se manifiestan como una pérdida de energía.

1.2.2 Flujo Laminar

Es aquel en el que el movimiento de las partículas tiene solamente el sentido y la dirección del movimiento principal del fluido.

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1.3 Estacionario y transiente.

En el caso laminar la diferencia entre un flujo estacionario y otro transiente es obvia, en el primero las variables de interés son independientes del tiempo mientras que en el último p = p(t) y v = v(t).

Si el flujo es turbulento, por ser este siempre transiente, la diferencia debe establecerse sobre los valores medios, o sea implica que el flujo es estacionario, siendo el promedio temporal de la presión en un periodo de duración T.

1.4 Unidimensional y multidimensional

Supongamos que las variables dependientes, la presión y la velocidad por ejemplo, sólo dependen de una de las coordenadas espaciales. En ese caso el movimiento es unidimensional siendo esta situación muy ventajosa a la hora de un tratamiento analítico. Lamentablemente estas situaciones difícilmente se encuentren en la realidad, siendo al menos 2D la clase de problemas que merecen atención. En estos casos como en el 3D los problemas deben ser generalmente abordados en forma numérica.

2. Propiedades de los fluidos

Para el caso de flujo incompresible a una fase solo se requiere conocer la densidad y la viscosidad si el fluido es newtoniano. En el caso que el fluido sea no newtoniano o si los efectos compresibles son importantes existen otras magnitudes a tener en cuenta.

2.1 Compresibilidad

Con dos coeficientes tendremos en cuenta el efecto de la presi´on y la temperatura sobre la densidad. El primero se define como:

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Mientras que el coeficiente de expansión β se define como:

2.2 Viscosidad

Los fluidos no soportan determinados esfuerzos y se deforman continuamente. Esto muchas veces está asociado a la fluidez del medio.Una de las teorías más citadas es la de considerar al fluido como Newtoniano, con eso queremos decir que la viscosidad es independiente del estado de deformación del fluido.

Tensión superficial

Esta aparece en general cuando existen interfaces entre dos o más fluidos o un fluido y un sólido y a veces suelen ser tan importantes que su omisión en las ecuaciones pone en peligro el realismo de la solución.

3. Modelos Matemáticos

Un modelo matemático de un proceso se define como un conjunto de ecuaciones que expresan las características esenciales del fenómeno o proceso en términos matemáticos. Estos modelos se caracterizan por su universalidad, empleo de un lenguaje preciso, sin ambigüedades y facilidades de manipulación analítica Así, por ejemplo, un gráfico, una función o una ecuación pueden ser modelos matemáticos de una situación específica.

Todo modelo posee estructura y parámetros. La estructura es la descripción cualitativa del proceso mediante ciertas ecuaciones y los parámetros son valores constantes que modifican la estructura.

En términos generales, en todo modelo matemático se puede determinar 3 fases:

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• Construcción del modelo. Transformación del objeto no-matemático en lenguaje matemático.

• Análisis del modelo. Estudio del modelo matemático.

• Interpretación del análisis matemático. Aplicación de los resultados del estudio matemático al objeto inicial no-matemático.

3.1 Modelos de fenómenos de transporte e implementación computacional.

Los modelos de fenómenos de transporte son representaciones matemáticas de los procesos reales en distintos niveles de descripción que se relacionan con la complejidad del detalle físico interno.

3.1.1 Tipos de Modelos de Fenómenos de Transporte

Una clasificación, en orden descendente, de acuerdo al grado de detalle de la descripción fisicoquímica es:

3.1.2 Descripción Atómica y Molecular: Se caracteriza porque trata un sistema arbitrario como si estuviese compuesto de entidades individuales, cada una de las cuales sigue ciertas leyes. En consecuencia, las propiedades y las variables de estado del sistema se obtienen como suma de todas las entidades.

La mecánica cuántica, la mecánica estadística de equilibrio y no equilibrio, así como la mecánica clásica constituirían métodos típicos de análisis mediante los cuales se podrían calcular teóricamente todas las propiedades y formas de respuesta de un sistema.

3.1.2 Descripción Microscópica: Corresponde a un tratamiento fenomenológico del problema y admite que el sistema puede considerarse como continúo. Se ignoran las interacciones moleculares detalladas y se plantean ciertas ecuaciones de balance diferencial para materia, energía y cantidad de movimiento. Cada balance, a través del sistema, puede expresarse en la siguiente forma:

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Al construir el modelo se reemplaza cada uno de los términos anteriores por expresiones matemáticas que sean tan rigurosas y a la vez contengan tan pocos parámetros desconocidos como sea posible. Cada balance se plantea para cada una de las direcciones en el espacio en que se considera el sistema y, por lo tanto, el modelo lo constituye una ecuación diferencial parcial. Se aplica, por ejemplo, a fenómenos de transporte laminar y teorías estadísticas de la turbulencia.

3.1.3 Descripción de Gradiente Múltiple: En este nivel se incorpora menos información detallada acerca de las características internas del sistema. Las formas de las ecuaciones matemáticas están sugeridas y corresponden a las ecuaciones de transporte microscópico pero con coeficientes modificados. El modelo de gradiente múltiple se aplica en procesos con flujo turbulento o en el flujo con pasos muy complicados como el que tiene lugar en lechos de relleno o medios porosos, procesos en los que no se puede medir ni calcular el campo de velocidad local.

3.1.4 Descripción de Gradiente Máximo: Es una forma menos detallada de descripción que se puede considerar como un modelo simplificado de gradiente múltiple en el que se suprimen los términos de dispersión y solamente se conserva una derivada en términos del flujo global. En el modelo de gradiente máximo se desprecia toda la dispersión y solamente el mayor componente (unidimensional) del gradiente de la variable independiente se considera en cada balance. Los modelos de gradiente máximo son los generalmente considerados en los libros elementales para los procesos continuos y se pueden generalizar a un balance con los siguientes términos:

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3.1.5 Descripción Macroscópica: En este nivel se ignora todo detalle dentro del subsistema especificado y, en consecuencia, en el planteamiento matemático no intervienen gradientes espaciales. En los balances generales, solamente el tiempo permanece como una variable diferencial independiente. Las variables dependientes, tales como concentración y temperatura, no son funciones de la posición y, por tanto, representan valores medios para todo el volumen del subsistema. Esta pérdida de detalle simplifica grandemente la descripción matemática, pero como contrapartida, lleva consigo una pérdida de información concerniente a las características del comportamiento del sistema.

4. Reología

La reología estudia la relación entre el esfuerzo de corte y la deformación que experimentan los fluidos. Esta incluye el estudio de sólidos no hookeanos y líquidos no newtonianos.

Modelos de comportamiento ideal:

Sólido elástico de Hooke

Algunos materiales, cuando son sometidos a esfuerzos pequeños, se comportan como sólidos de Hooke. Ejemplo: el chicle.

Fluido viscoso newtoniano

La principal característica de los fluidos newtonianos es que la relación entre el esfuerzo de corte y la velocidad de deformación es lineal. Ejemplo: aceite de coco

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Otros ejemplos de fluidos newtonianos son todos los gases, los líquidos con pesos moleculares inferiores a 500, soluciones poliméricas diluidas, y soluciones y emulsiones diluidas.

Fluidos reológicamente complejos: Su viscosidad ya no es una característica suficiente para diferenciarlos.

Ejemplos: geles, pinturas, suspensiones y emulsiones (no diluidas), adhesivos, crema dental, salsas.

Los fluidos no newtonianos se diferencian según su tipo de comportamiento: viscoelástico, viscoplástico, tixotrópico (dependiente del tiempo), reofluidizante (pseudoplástico), reoespesante (dilatante).

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4.1.1. Comportamiento dilatante (shear thickening):

Lo presentan aquellos fluidos que ven aumentada su viscosidad al incrementar la velocidad de cizalla aplicada, causado por reorganizaciones en su microestructura. Los fluidos que siguen este comportamiento son poco numerosos, podríamos citar suspensiones de almidón en agua, y ciertas suspensiones de PVC.

4.1.2. Comportamiento plástico:

La plasticidad es un fenómeno que muestran ciertos materiales que se comportan como sólidos elásticos, almacenando una cierta cantidad de energía, cuando estos materiales son sometidos a esfuerzos menores que cierto valor umbral (esfuerzo de rendimiento); mientras que con un esfuerzo superior al umbral se deforman continuamente como un fluido, siendo el esfuerzo una función, lineal o no, de la velocidad de deformación. Ejemplos típicos de este tipo de materiales son la pasta dentífrica, mayonesa, mermelada, clara de huevo y nata batidos.

4.1.3. Comportamiento pseudoplástico (shear thinning):

Son materiales que ven reducida su viscosidad al aumentar la velocidad de deformación. Muchos materiales muestran este tipo de comportamiento en mayor o menor grado y es el comportamiento más común. Así por ejemplo, numerosas sustancias que se encuentran en emulsiones, suspensiones, o dispersiones son ejemplos de este tipo de fluidos.

4.2 Modelos reológicos

Ley de potencia (pseudoplásticos y dilatantes):

Modelo de Bingham (viscoplásticos):

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Viscoplástico (fluido de Bingham): estas sustancias presentan un comportamiento sólido mientras el esfuerzo de corte no supere un valor de fluencia; una vez superado este valor, pueden adoptar un comportamiento newtoniano (Plástico de Bingham)

Modelo de Herschel-Bulkley (viscoplásticos):

Pueden aplicarse a datos tomados a bajas tasas de corte.

Modelo de Casson (viscoplásticos):

Modelo de Ellis:

Se aplica cuando las desviaciones de la ley de la potencia son significativas a bajos valores de

En este modelo, es la viscosidad extrapolada a bajos valores de velocidad de corte, y los dos parámetros restantes, y son empíricos.

mide el grado de comportamiento pseudoplástico y representa el valor de esfuerzo de corte en el que la viscosidad aparente vale la

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mitad del valor . Predice comportamiento newtoniano cuando tiende a infinito.

5. Mecánica de Fluidos Computacional

MECÁNICA: Estudio del movimiento y las fuerzas que lo originan. FLUIDOS: Toda materia no sólida, esto es: líquidos y gases. Una

característica es su incapacidad de soportar esfuerzos cortantes. COMPUTACIONAL: Uso de ordenadores para resolver los

problemas de la Mecánica de Fluidos.

La Mecánica de Fluidos Computacional (CFD) es la ciencia encargada de hallar una solución numérica de las ecuaciones que gobiernan el flujo de fluido en un dominio espacial y temporal.

5.1 Aplicaciones

AERODINÁMICA: Flujos de aire en torno a edificios, aeronaves, vehículos terrestres, etc. MEDIO AMBIENTE: Dispersión atmosférica de contaminantes, etc.

CLIMATIZACIÓN: Calefacción y renovación del aire en el interior de locales públicos.

EQUIPOS GENERADORES DE POTENCIA: Motores de combustión interna, turbomáquinas.

INSTALACIONES HIDRÁULICAS: Flujos a través de bombas, turbinas, difusores, válvulas, tuberías, etc.

ANÁLISIS TÉRMICOS: Flujos en intercambiadores de calor, radiadores de vehículos.

MEDICINA: flujo sanguíneo en venas, corazones artificiales, flujo respiratorio, etc.

INDUSTRIA QUÍMICA: Reactores, columnas, slurries, nanotecnología, etc.

Flujo en una tubería

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5.2 Etapas del Proceso de Simulación

PREPROCESO. Definir el problema Dominio computacional y discretización (50%). Propiedades del fluido. Establecimiento condiciones de contorno y/o iniciales. Parámetros numéricos.

Tipos de Condiciones de Contorno

Contorno Condición

Entrada

Flujo másico, vector velocidad o presión) (estática o total).Temperatura.Pasivo escalar.Intensidad y escala turbulenta.

SalidaPresión (total o estática) o condición de von Neumann.

Pared fijaFlujo de calor o temperatura.Rugosidad.

Pared predefinidaVelocidad linear o angular.Temperatura o flujo de calor.Rugosidad.

Condiciones Iniciales y Termodinámicas

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Propiedades del Fluido:

o Tipo de fluido: densidad, viscosidad, calor específico, etc.o Relaciones termodinámicas, por ejemplo comportamiento

isentrópico.

Condiciones iniciales:

o Presión y temperatura inicial.o Intensidad y escala turbulenta.o intensidad: estimada como el cuadrado entre el 1 y 10% de

la velocidad del flujo.o Escala: estimada entre el 5 y el 10% del tamaño

característico del volumen.

RESOLUCIÓN. Generación de la solución al sistema de ecuaciones que gobiernan el proceso. Esquema numérico:

Discretizar ecuaciones (CFD) Discretizar el fluido (DFD)

POSTPROCESO. Visualización y análisis de los resultados con objeto de validar el comportamiento del flujo y/u obtener conclusiones respecto a su fiabilidad o identificación de posibles errores cometidos.

5.3 Simuladores

Un simulador de procesos es un programa de computador utilizado para modelar el comportamiento de un proceso, mediante la determinación de las presiones, temperaturas y velocidades de flujo.

Existen varios software para la simulación algunos de ellos son :

Solidwork Fluent

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Comsol

Simulación Numérica de Fluidos de Tipo Bingham.

Fluidos de Bingham Materiales que presentan un valor umbral de esfuerzo (g), el cual es necesario sobrepasar para que el fluido se ponga en movimiento. Aplicaciones:

Pasta de dientes Sedimentos de aguas residuales Pinturas a base de aceites Suspensiones acuosas de cenizas Asfaltos y lavas

Flujo Laminar en Reservorios, Cavidades y Canales

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Resultados de la Investigación

Análisis de existencia, unicidad y regularidad de soluciones para (Sγ,p).

Estudio de las ventajas cualitativas de la regularización de tipo Tychonov.

Análisis de espacios de elementos finitos estables y adecuados para la discretización de sistemas que involucran un modelo de Stokes: sistema (Sγ,p).

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Construcción de un algoritmo primal-dual basado en Métodos semismooth de Newton.

Análisis de convergencia del algoritmo: algoritmo globalmente convergente y convergencia local superlineal.

Experimentos numéricos que confirman la eficiencia del algoritmo: constatación experimental del bajo costo computacional del algoritmo propuesto.

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Conclusiones

Lamentablemente el tema no puede ser abarcado con la profundidad merecida ya que se carece de algunos conocimientos base para el correcto de modelado. Pero la CFD se ha convertido en una herramienta básica de diseño en ingeniería y es muy importante empezar a tener conocimiento sobre cómo desarrollarla, ya que con los modelos y la simulación se pueden tomar decisiones acertadas a problemas de la vida ingenieril.

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Bibliografía

Bequette W.B. Process Dynamics. Modeling, Analysis and Simulation. Prentice Hall

International Series. 1998 Edgar T.F., Himmelblau D.M. Optimization of Chemical Processes.

McGraw-Hill International Editions. 1989 Himmelblau D.M., Bischoff K.B. Análisis y Simulación de Procesos.

Editorial Reverte S.A. 1976 Luyben W.L. Process Modeling, Simulation and Control for

Chemical Engineers. Second Edition. McGraw-Hill International Editions. 1990 Introducción a la mecánica de fluidos y transferencia de calor con

COMSOL Multiphysics, Ricardo Torres Cámara, Joan Grau Barceló, Addlink Software Científico, 2007

Métodos Numéricos en Fenómenos de Transporte. Norberto Nigro Mario Storti Centro Internacional de métodos Computacionales en Ingeniería. http://www.mmc.geofisica.unam.mx/Bibliografia/Matematicas/EDP/MetodosNumericosParaFenomenosDeTransporte.pdf

Introducción a la Mecánica de Fluidos Computacional disponible en https://alojamientos.uva.es/guia_docente/uploads/2012/442/41837/1/Documento5.pdf

Ribas-García, Mauricio, Hurtado-Vargas, Rafael, Garrido-Carralero, Norge, Domenech-López, Fidel, Sabadí-Díaz, Raúl. Metodología para la modelación matemática de procesos. Caso de estudio, fermentación alcohólica ICIDCA. Sobre los Derivados de la Caña de Azúcar Disponible en: <http://oai.redalyc.org/articulo.oa?id=223122251005>  

Fenómenos De Transporte I – Reología disponible en http://www.academia.edu/8871152/FEN%C3%93MENOS_DE_TRANSPORTE_I_REOLOG%C3%8DA

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Videos consultados

https://www.youtube.com/watch?v=Zyy2jG1DwdY https://www.youtube.com/watch?v=4FuO_BY6utI https://www.youtube.com/watch?v=f4EoCvhEc6s

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