Post on 20-Feb-2016
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PROBLEMAS
B.11.2.Considere el sistema siguiente:
y+6 y+11 y+6 y=6u
Obtenga una representación en el espacio de estados de este sistema en la forma canónica.
Solución:
La representación de la función de transferencia de este sistema es:
Y (S)U (S)
= 6S3+6 S2+11 S+6
= 6(S+1)(S+2)(S+3)
El desarrollo de la fracción parcial de Y (S)U (S)
es
Y (S)U (S)
= 3S+1
+ −6S+2
+ 3S+3
Entonces, una forma canónica diagonal del sistema es:
[ X1X2X3] =[−1 0 00 −2 00 0 −3][X 1X 2X3]+[111]u
y=[3 −6 3 [X1X2X3]]
B.11.4. Considere el sistema definido mediante
X=Ax+Bu
y=Cx
Donde
A=[−1 0 11 −2 00 0 −3] , B=[001] , C=[1 1 0 ]
Obtenga la función de transferencia Y(S) /U(S)
Solución:
G (s )=C ( sI−A )−1B
¿ [1 1 0 ] [s+1 0 −1−1 s+2 00 0 s+3 ]
−1
[001]¿ [1 1 0 ] 1
(s+1)(s+2)(s+3)¿
¿ s+3(s+1)(s+2)(s+3)
= s+3s3+6 s2+11 s+6
Usando MATLAB:
Editor Script:
Run:
B.11.5. Sea la matriz A siguiente:
A=[00011000
0100
0010]
Obtenga los valores propios ℷ 1 , ℷ 2 , ℷ3 y ℷ4 de la matriz A. Después obtenga una matriz de transformación P tal que
P−1 AP=diag (ℷ1 , ℷ2 , ℷ3 , ℷ4)
Solución:
ℷ 1=1 , ℷ2=−1 , ℷ3= j , ℷ4=− j
P=[ 1ℷ1ℷ12ℷ131ℷ 2ℷ22
ℷ23
1ℷ 3ℷ32
ℷ33
1ℷ 4ℷ42
ℷ43]=[1111
1−11
−1
1j
−1− j
1− j−1j ]
P−1= 14 [1111
1−1− jj
11
−1−1
1−1j
− j ]P−1 AP=1
4 [11111
−1− jj
11
−1−1
1−1j
− j ][0001
1000
0100
0010] [1111
1−11
−1
1j
−1− j
1− j−1j ]
¿ [10000
−100
00j0
000
− j]
B.11.6. Considere la matriz A siguiente:
A=[ 0 1−2 −3]
Calcule e At mediante tres métodos.
Solución:
METODO 1:
e At=¿ l−1 [ (SI−A )−1 ]=l−1 {[ s −12 s+3]
−1}
= l−1[ 2s+1− 1s+2
1s+1
− 1s+2
−2s+1
+ 2s+2
−1s+1
+ 2s+2 ]
¿ [ 2e−t−e−2t e−t−e−2 t
−2e−t+2e−2 t −e−t+2e−2 t]METODO 2:
e At=PeDt P−1=P[eℷ1t 00 eℷ2 t]P−1
ℷ 1=−1 y ℷ2=−2
e At=[ 1 1−1 −2] [e
−t 00 e−2 t ][ 2 1
−1 −1]¿ [ 2e−t−e−2t e−t−e−2 t
−2e−t+2e−2 t −e−t+2e−2 t]METODO 3:
|1 ℷ 1 eℷ1 t
1 ℷ 2 eℷ2 t
I A eAt|=0|1 −1 e−t
1 −2 e−2 t
I A e At |=0−e At+( A+2 I )e−t−e−2 t I=Ae−2 t
e At= (A+2 I ) e−t−e−2t I−e−2 t A
=[ 2 1−2 −1]e−t−[1 0
0 1] e−2 t−[ 0 1−2 −3]e−2 t
¿ [ 2e−t−e−2t e−t−e−2 t
−2e−t+2e−2 t −e−t+2e−2 t]
B.11.7. Dada la ecuación del sistema
[ x1x2x3]=[2 1 00 2 10 0 2] [x1x2x3]
Encuentre la solución a partir de las condiciones iniciales x1 (0 ) , x2 (0 ) y x3(0).
Solución:
ℷ 1=2 ,ℷ 2=2,ℷ 3=2
e At=[e2t t e2 t 12t2 e2 t
0 e2t t e2t
0 0 e2 t]
x (t )=eAt x (0)
[ x1(t )x2( t )x3( t )]=[e2 t t e2 t 1
2t 2 e2 t
0 e2 t t e2t
0 0 e2 t][ x1(0)x2(0)x3(0)]
B.11. 9. Considere la ecuación de estado y la ecuación de salida siguientes:
[ x1x2x3]=[ −6 1 0−11 0 1−6 0 0][x1x2x3]+[262]u
y= [1 0 0 ][ x1x2x3]Demuestre que la ecuación de estado se transforma en la forma siguiente si se usa una matriz de transformación adecuada:
[ Z1Z2Z3]=[0 0 −61 0 −110 1 −6 ][Z1Z2Z3]+[100]u
Después obtenga la salida y en términos de Z1 , Z2 y Z3
Solución:
A= [ −6 1 0−11 0 1−6 0 0 ] ,B=[262] ,C=[1 0 0 ]
X= Pz
X =Pz= [P11 P12 P13P21 P22 P23P31 P32 P33] [
Z1Z2Z3]
x=Ax+Bu
y=Cx
z=P−1 APz+P−1Bu
y=CPz
P−1 AP=[0 0 −61 0 −110 1 −6 ] P−1B=[100 ]
B= P [100]=[P11 P12 P13P21 P22 P23P31 P32 P33][
100]=[P11P21P31]=[262]
P=[2 P12 P136 P22 P232 P32 P33 ]
AP=P[0 0 −61 0 −110 1 −6 ]
[ −6 1 0−11 0 1−6 0 0 ][2 P12 P13
6 P22 P232 P32 P33 ]=[2 P12 P13
6 P22 P232 P32 P33][
0 0 −61 0 −110 1 −6 ]
[−12+6 −6 P12+P22 −6P13+P33−22+2 −11P12+P32 −11P13+P33−12 −6 P12 −6P13 ]=[P12 P13 −12−11P12−6 P13
P22 P23 −36−11P22−6 P23P32 P33 −12−11P32−6 P33]
P12=−6 , P22=−20 , P33=−12
-6P12+P22 = P13
-6P13+P33=-12-11P12-6P13
-11P12+P32 =P33
-11P13+P33 = -36 -11P22-6P23
-6 P12=P33
-6P13= -12-11P32-6P33
P13=16 , P23=54 ,P33=36
P=[2 −6 166 −20 542 −12 36 ]
y=CPz=[2 −6 16 ][Z1Z2Z3]|SI−A|=|S+6 −1 0
11 S −16 0 S |=S3+6 S2+11 S+6¿ S3+a1S
2+a2S+a3
a1=6 , a2=11 ,a3=6
M=[B AB A2B ]=[2 −6 166 −20 542 −12 36 ]
M−1=[ 9 −3 0.513.5 −5 1.54 −1.5 0.5]
M−1 AM=[0 0 −a31 0 −a20 1 −a1]=[0 0 −6
1 0 −110 1 −6 ] M−1B=[100]
CM= [1 0 0 ][2 −6 166 −20 542 −12 36 ]=[2 −6 16 ]
x=Mz=[2 −6 166 −20 542 −12 36 ][Z1Z2Z3]x=Ax+Bu
y=Cx
z=M−1 AMz+M−1Bu
y=CMx
[ Z1Z2Z3]=[0 0 −61 0 −110 1 −6 ][Z1Z2Z3]+[100]u
y= [2 −6 16 ] [Z1Z2Z3]B.11.10. Obtenga con MATLAB una representación en el espacio de estados del sistema siguiente.
Y (s)U (s)
=10.4 x2+47 x+160
x3+14 x2+56+160
Solución:
Usando MATLAB:
Editor Script:
Run:
[ x1x2x3]=[−14 −56 −1601 0 00 1 0 ] [ x1x2x3]+[100]u
Y= [10.4 47 160 ] [ x1x2x3]+0uB.11.11. Obtenga con MATLAB una representación mediante la función de transferencia del sistema siguiente:
[ x1x2x3]=[ 0 1 0−1 −1 01 0 0 ][ x1x2x3]+[010]uy= [0 0 1 ] [x1x2x3]
Solución:
Usando MATLAB:
Editor Script:
Run:
Y (s)U (s)
= 1s3+s2+s
B.11.12. Obtenga el sistema definido mediante
[ x1x2x3]=[2 1 00 2 00 1 3 ][ x1x2x3]+[010
101 ][u1u2]
y= [1 0 0 ] [x1x2x3]Solución:
Usando MATLAB:
Editor Script:
Run:
Y (s)U1(s )
= s−3s3−7 s2+16 s−12
Y (s)U 2(s )
= s2−5 s+6s3−7 s2+16 s−12