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2. Señales y Espectro
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2.1. Analisis en Frecuencia
La transformada de Fourier y las series de Fourier son una de muchas
herramientas matemáticas utilizadas en el análisis y diseño de sistemas
líneales e invariantes en el tiempo (LTI).
Estos procedimientos involucran la descomposición de las señales en
términos de sus componentes senoidales o exponenciales complejas.
Mediante tal descomposición la señal puede entonces ser transladada al
dominio de la frecuencia.
Se mostrará que la mayoría de las señales de interés práctico pueden
descomponerse en senoides. Se tiene entonces que:
• La descomposición de señales periódicas se denomina Serie de Fourier.
• La descomposición de señales de energía finita se denomina
Transformada de Fourier.
Debido a que la respuesta de un sistema LTI a una señal de entrada
senoidal es también una salida senoidal de frecuencia igual pero diferente
amplitud y fase, este tipo de descomposición es de suma importancia.
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2.1. Analisis en Frecuencia
Adicionalmente la propiedad de linealidad de los sistemas LTI implica que
la suma lineal de componentes senoidales a la entrada produce una suma
lineal de componentes senoidales a la salida pero de diferente amplitud y
fase.
Es bien sabido que un prisma puede ser usado para descomponer luz
blanca en los colores del arcoiris. En un paper sometido en 1672 a la Royal
Society, Isaac Newton utilizó el término de espectro para describir las
bandas continuas de colores producidas por su aparato. Para entender el
fenómeno de la descomposición Newton colocó otro prisma invertido con
respecto al primero y mostro que la mezcla de los colores producía
nuevamente luz blanca.
Haz de luz
Luz Blanca
Espectro
Violeta
Azul
Verde
Amarillo
Naranja
Rojo
Espectro
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2.1. Analisis en Frecuencia
Desde el punto de vista físico cada color representa una frecuencia
específica dentro del espectro visible.
Por tanto, el análisis en frecuencia de las señales involucra su resolución
en sus componentes de frecuencia. En nuestro caso estamos interesados en
señales que son función del tiempo, el papel de los prismas será tomado
por las herramientas del análisis de Fourier.
La motivación del desarrollo de las herramientas del análisis en frecuencia
es proveer una representación matemática y gráfica de las componentes
frecuenciales contenidas en una señal. Nótese qué el contenido frecuencial
o espectro de cada señal es como su identidad.
Es importante diferenciar entre el proceso para determinar el contenido
espectral de una señal, análisis frecuencial o espectral y el proceso para
determinar de forma práctica el espectro de la misma, denominado
estimación espectral.
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2.1.1. Las Series de Fourier
Series de Fourier
En esta sección presentaremos el análisis en frecuencia de señales
periódicas y continuas en el tiempo. Ejemplos prácticos de ellas son las
ondas cuadradas, rectangulares, triangulares, senoidales y exponenciales
complejas.
Suponga una señal x(t) real o compleja en un intervalo dado (t1,t2). Bajo
ciertas condiciones, es posible descomponer tal señal en una suma
ponderada infinita de funciones exponenciales complejas:
donde F0=(t2-t1)-1 es la frecuencia fundamental y kF0 representa la k-ésima
armónica de la frecuancia fundamental F0. Las funciones forman
un conjunto ortogonal en el intervalo (t2-t1) en tanto que satisfacen la
siguiente relación:
02
k
tkFj
kectx
tkFje 02
ki
kittdtee
t
t
tkFjtiFj
0
12222
1
00
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2.1.1. Las Series de Fourier
Para encontrar el coeficiente ck multiplicamos ambos lados de la ecuación
de la sumatoria por e integramos en el intervalo (t2-t1):
Este tipo particular de representación de señales como una combinación
lineal de funciones exponeneciales se conoce como series
complejas de Fourier. Estas exponenciales son peródicas con periodo
Tp=(t2-t1) o algún submúltiplo del mismo. Por lo tanto una función
periódica con periodo fundamental Tp puede representarse en todo el
intervalo real (-,)por la siguiente serie de Fourier, donde F0 =1/ Tp.
tlFje 02
dtetxtt
c
tdeecdtetx
t
t
tkFj
k
k
t
t
tkFjtlFj
k
t
t
tlFj
2
1
0
2
1
00
2
1
0
2
12
222
1
tkFje 02
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2.1.1. Las Series de Fourier
La frecuencia F0 está dada en unidades de ciclos por segundo o Hertz (Hz);
también es común designar la frecuencia mediante la variable 0, en
unidades de radianes por segundo (rad/s), donde:
Y entonces las series de Fourier pueden escribirse como:
dtetxtt
c
ectx
t
t
tkFj
k
k
tkFj
k
2
1
0
0
2
12
2
1
pTF 22 00
dtetxT
c
ectx
p
p
T
T
tjk
P
k
k
tjk
k
2
2
0
0
1
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2.1.1. Las Series de Fourier
Ejercicio: Aplicando la definición anterior encuentre la representación
compleja de la función cos(wt).
Ck=1/2[sinc((w-w0k)+sinc((w+w0k)]
Tarea clase: Obtener la representación en serie compleja de Fourier de la
onda seno sen(wt).
Tarea 2: Obtener la representación en serie compleja de Fourier de la onda
seno rectificado.
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2.1.1. Las Series de Fourier
Las ecuaciones anteriores pueden verse como una transformación
reversible: los coeficientes ck pueden determinarse conociendo x(t); y x(t)
puede reconstruirse conociendo los coeficientes ck. Así x(t) y ck son dos
formas diferentes de representar la misma señal.
Cada coeficiente ck está asociado a una función exponencial compleja con
una frecuencia distinta y su magnitud indica la contribución de la función
componente respectiva en la reconstrucción de la señal.
A fin de que la integral anterior converja y la serie de Fourier exista, la
señal x(t) debe cumplir con ciertas condiciones conocidas como
condiciones de Dirichlet:
a) En un intervalo equivalente a un periodo, la señal x(t) tenga un número
finito de discontinuidades
b) En un intervalo equivalente a un periodo, la señal x(t) tenga un número
finito de máximos y mínimos
c) y que sea absolutamente integrable, esto es:
dttx
p
p
T
T
2
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2.1.1. Las Series de Fourier
Las condiciones de Dirichlet garantizan que la serie de Fourier infinita
será igual a x(t), excepto para los valores de t para los cuales la señal es
discontinua. Por ejemplo, si x(t) es discontinua en t=t0, en ese punto la serie
converge al valor medio (valor promedio) de la discontinuidad; pero en la
vecindad de t0 la representación de las series de Fourier oscila rápidamente
alrededor del valor verdadero, con una amplitud de oscilación
prácticamente independiente del número de términos que se incluyan en la
serie, a este comportamiento se le conoce comoel fenómeno de Gibbs.
Todas las señales periódicas de interés práctico satisfacen estas
condiciones.
Propiedades de Simetría de las Series de Fourier
a) Si x(t) es simétrica conjugada, x(-t) = x*(t) entonces ck es puramente
real.
b) Si x(t) es antisimétrica, x(-t) = -x*(t) entonces ck es puramente
imaginario.
c) Si x(t) es una función real, entonces c-k= c*k es simétrico.
d) Si x(t) es una función real y par, entonces ck es real y par.
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2.1.1. Las Series de Fourier
e) Si x(t) es una función real e impar, entonces ck es imaginario e impar.
En general los coeficientes ck toman valores complejos. Sin embargo si la
señal es periódica y real, ck y c-k es complejo conjugado:
En consecuencia las series pueden ser representadas como:
donde c0 toma un valor real cuando x(t) es real. En la expresión anterior es
posible expandir:
Tarea : Comprobar las 5propiedades de simetría de las series de Fourier.
kj
kk
k
kk ecctkFcctx
para 2cos21
00
k
k
j
kk
j
kk
ecc
ecc
kkk tkFtkFtkF sen2sencos2cos2cos 000
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2.1.1. Las Series de Fourier
0
0
1
00
0
0
0
00
0
000
0
2
0
0
2
0
0
2
0
2
1
00
22cos2
22cos
22cos
para 2cos2
0
000
kk
kk
k
kk
kk
kk
kk
kk
kk
kkk
kk
tkFj
k
kk
tkFjj
k
kk
tkFj
k
k
tkFj
k
j
kk
k
kk
tkFsencjtkFcctx
tkFsencjtkFcctx
tkFjsentkFccecctx
eecceccectx
ecctkFcctx
k
k
k
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0
2.1.1. Las Series de Fourier
En consecuencia tendremos una tercera equivalencia de las series de
Fourier:
donde:
Densidad Espectral de Potencia de Señales Periódicas
Como recordaremos una señal periódica tiene energía infinita y potencia
promedio finita dada por:
1
000 2sen2cosk
kk tkFbtkFaatx
kkk
kkk
cb
ca
ca
sen 2
cos2
00
1
2
2
2
p
p
T
Tp
x dttxT
P
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2.1.1.1. Densidad Espectral de Potencia
Consideraremos la identidad y sustituyamos en la
expresión anterior:
Por lo tanto podemos establecer la relación:
2* txtxtx
k
k
k
kkx
T
T
tkFj
k
k
p
T
T k
tkFj
k
p
x
T
Tp
T
Tp
x
cccP
dtetxcT
dtectxT
P
dttxtxT
dttxT
P
p
p
p
p
p
p
p
p
2*
2
2
2*
2
2
2*
2
2
*
2
2
2
1
1
11
00
1 2
2
2
2
k
k
T
Tp
x cdttxT
P
p
p
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2.1.1.1. Densidad Espectral de Potencia
Conocida como fórmula de Parseval para señales de potencia.
Si la señal periódica toma valores reales, los coeficientes de las series de
Fourier {ck}satisfacen la condición de simetrá conjugada:
En consecuencia . Por lo tanto el espectro de potencia es una
función simétrica de la frecuencia. Esta condición también significa que la
magnitud del espectro es una función pare en torno al origen y la fase una
función impar. A consecuencia de la periodicidad se verá que las señales
poseen un espectro de líneas equidistantes, donde el espacio entre ellas es
igual a la frecuencia fundamental, la cual es igual al inverso del periódo
fundamental de la señal.
Podrémos ver entonces al periódo fundamental como el que provee el
número de líneas por unidad de frecuencia (densidad de líneas).
*
kk cc
2
*2
kk cc
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