Post on 30-Jan-2018
LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
Definición de límite
Cuando f(x) está arbitrariamente cerca de un número real L, para toda x lo suficientemente cerca,
pero diferente de a, se dice que: límx→a
f ( x )=L.
Ejemplo: f ( x )= x2−4
x−2 . Observamos que f (2) no existe, ya que no se puede dividir entre cero.x<2 x>2
x f ( x ) x f ( x )1.9 3.9 2.1 4.11.95 3.95 2.05 4.051.99 3.99 2.01 4.011.995 3.995 2.005 4.0051.999 3.999 2.001 4.001
Podemos concluir que: límx→2
f ( x )= límx→ 2
x2−4x−2
=4, como puede verse con toda claridad en la gráfica.
En las siguientes gráficas se puede analizar si el límite de la función que representan existe o no, cuando x se acerca a un valor determinado:
, f (1)=2 límx→−3
f ( x )=6, f (−3 )=3 ,
límx→2
f ( x ) no existe límx→0
f ( x ) no existe, f (−1 )=1
f (2) no existe f(0) no existe
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4-3-2-1
1234
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4
-4-3-2-1
1234567
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4
-7-6-5-4-3-2-1
12345
x
y
-2 -1 1 2 3 4 5 6-1
123456789
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4
-5-4-3-2-1
1234
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3-2-1
12345
x
y
Propiedades de los límites
1límx→a
c=c, es decir: el límite de una constante es la misma constante.
2límx→a
xn=an
3límx→a
[cf ( x ) ]=c límx→a
f ( x )
4límx→a
[ f (x )±g( x )]= límx→a
f ( x )±límx→a
g ( x )
5 Si f ( x )=c0 xn+c1 xn−1+c2 xn−2+c3 xn−3+.. . .. .. .+cn−2 x2+cn−1 x+cn (función polinomio),
entonces: límx→a
f ( x )= f (a )
6límx→a
[ f (x )g( x ) ]=límx→a
f ( x ) límx→a
g( x )
7límx→a
f ( x )g ( x )
=límx→a
f ( x )
límx→a
g ( x ), siempre y cuando lím
x→ag( x )≠0
8límx→a
n√ f ( x )=n√ límx→a
f ( x )
Ejemplos
1lím
x→−27=7
; Teorema 1
2límx→3
3 x2=3 límx→3
x2=3(32 )=3( 9)=27; Teoremas 3 y 2
3límx→1
( 4−3 x5 )= límx→1
4−límx→1
(3x5 )= límx→1
4−3 límx→1
x5=4−3(15 )=4−3=1; Teoremas 4, 3, 1 y 2
4lím
x→−1(5 x3−3 x2+3 x−2 )=5(−1)3−3(−1)2+3(−1 )−2=−5−3−3−2=−13
; Teorema 5
5límx→2
[ (6−2 x3 ) ( x2+8 ) ]=límx→ 2
(6−2 x3) límx→2
( x2+8 )=[6−2(8) ] [4+8 ] (−10)(12 )=−120; Teoremas 6 y 5
6límx→4
2x2−3 x+4x3+2
=límx→ 4
(2 x2−3x+4)
límx→ 4
( x3+2)=
2(16)−3(4 )+464+2
=2466
=4
11; Teoremas 7 y 5
7lím
x→−2√10−3 x=√ lím
x→−2(10−3 x )=√10+6=√16=4
; Teoremas 8 y 5
8límx→3
x3−8x−3
=240
→ no existe; Teoremas 7 y 5
Cálculo de límites que implican la indeterminación 00
1límx→2
x3−8x−2
=límx→2
( x−2 ) ( x2+2 x+4 )x−2
=límx→2
( x2+2 x+4 )=12
2límx→0
( x+3 )2−9x
=límx→0
x2+6 x+9−9x
= límx→ 0
x ( x+6 )x
=límx→ 0
( x+6 )=6
1
3
límx→−5
√4−x−3x+5
= límx→−5
(√4−x−3 ) (√4−x+3 )( x+5 ) (√4−x+3 )
= límx→−5
4−x−9( x+5 ) (√4−x+3 )
= límx→−5
−( x+5 )( x+5 ) (√4−x+3 )
=−16
4límx→3
x4−81x2−x−6
=límx→3
( x2−9 ) ( x2+9 )( x−3 ) ( x+2 )
=límx→3
(x−3 ) (x+3 ) ( x2+9 )( x−3 ) ( x+2 )
=límx→3
(x+3 ) ( x2+9 )x+2
=(6 )(18 )
5=108
5
5 Sif ( x )=2+x−x2 encontrar: lím
h→0
f ( 4+h )−f (4 )h
f (4+h)=2+(4+h )−(4+h )2=2+4+h−16−8 h−h2=−10−7 h−h2; f (4 )=2+4+16=−10
límh→0
f ( 4+h )− f (4 )h
=límh→ 0
−10−7 h−h2+10h
=límh→0
(−7−h )=−7
6 Si f ( x )=x2−9 encontrar: lím
h→0
f ( x+h)− f ( x )h ; f ( x+h)= (x+h )2−9=x2+2 xh+h2−9
límh→0
f ( x+h )− f ( x )h
=límh →0
x2+2 xh+h2−9−x2+9h
=límh →0
h (2 x+h )h
=límh→0
(2x+h )=2 x
Límites unilaterales
límx→a+
f ( x )=A → Acercamiento por la derecha de a ¿}¿¿ límx→a
f ( x ) existe ⇔ A=B ¿
Ejemplos
y=f ( x ) y=f ( x ) y=√x+2
límx→1−
f ( x )=3 ; límx→ 1+
f ( x )=5 límx→0−
f ( x )=1 ; límx→ 0+
f ( x )=1
límx→−2−
√x+2 no existe
límx→1
f ( x ) no existe límx→0
f ( x )=1
límx→−2+
√x+2=0 ; límx→−2
√ x+2 n.e .
Límites infinitos
Si límx→a
f ( x )≠0 y límx→ a
g( x )=0 → límx→a
f ( x )g( x )
=±∞, dependiendo del signo del cociente.
Ejemplos
-3 -2 -1 1 2 3 4
-7-6-5-4-3-2-1
12345
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4-3-2-1
1234
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
4
x
y
2
1límx→2
3( x−2 )2
=∞ , puesto que +/+ = + .Ver gráfica en la siguiente hoja, a la izquierda.
2lím
x→−1−
−2( x+1 )
=∞ , puesto que - / - = + ;
límx→−1+
−2( x+1 )
=−∞ , puesto que - / + = -
límx→−1
f ( x ) no existe. Ver gráfica en la siguiente hoja, en el centro.
3f ( x )=¿ {x−2 si x<1¿ ¿¿¿
límx→1−
f ( x )= límx →1−
(x−2 ) =−1;
límx→1+
f ( x )= límx →1+
1x−1
=∞
límx→1
f ( x ) no existe . Ver gráfica abajo a la derecha.
f ( x )= 3( x−2 )2 f ( x )= −2
x+1 f ( x )=¿ {x−2 si x<1 ¿ ¿¿¿
4
límx→3
x+3x2−9
→ ¿ { límx→3−
x+3x2−9
=−∞¿ ¿¿
Ver gráfica a la derecha. Observar que el punto (-3, -1/6) f ( x )= x+3
x2−9
no existe, puesto que: f ( x )= x+3
x2−9= 1
x−3si x≠−3
Límites al infinito
límx→±∞
f ( x )=L o
límx→±∞
f ( x )=±∞ . La x puede tender al infinito positivo o al infinito negativo y el
resultado del límite, en el segundo caso, puede ser infinito positivo o infinito negativo, dependiendo de la función.
Ejemplos
1límx→∞
3x+1
=0. Cuando x crece al infinito, la función tiende a cero a través de valores positivos.
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7-1
1
2
3
4
5
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-5-4-3-2-1
1234
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-5-4-3-2-1
1234
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-4-3-2-1
1234
x
y
3
límx→−∞
3x+1
=0. Cuando x crece al infinito, la función tiende a cero a través de valores negativos.
Ver la gráfica de la función en la siguiente hoja, a la izquierda.
2
límx→∞
5( x−4 )2
=0¿ }¿¿¿ En ambos casos, la función tiende a cero a través de valores positivos.
Ver gráfica en la siguiente hoja, en el centro.
3límx→∞
√x+7=∞ . Ver gráfica abajo a la derecha.
límx→−∞
√x+7 no existe, porque la función no está definida para valores de x≤−7
f ( x )= 3
x+1 f ( x )= 5
( x−4 )2 f ( x )=√ x+7
Todas las propiedades vistas para límites normales, también son válidas para límites al infinito.
Propiedad particular: Si p > 0
→ ¿{límx→∞
1x p =0 ¿¿¿
Cálculo de límites que implican la forma indeterminada ∞∞
1
límx→∞
2−5 x2
3 x2+x−1= lím
x→∞
2x2
−5
3+ 1x− 1
x2
= 0−53+0−0
=−53
=−53
2
límx→−∞
4 x2+xx3−3 x2+2
= límx→−∞
2x3
+ 1x2
1− 3x2 + 2
x3
= 0+01−0+0
=0
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-4-3-2-1
1234
x
y
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
3
4
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112
-2
-1
1
2
3
4
x
y
4
3
límx→∞
2−x−4 x3
x2+x+1= lím
x→∞
2x3
− 1x2
−4
1x+ 1
x2 + 1x3
=0−0−40+0+0
=−∞
Límites al infinito de funciones racionales (Reglas prácticas)
Si f ( x ) es una función racional (el cociente de dos funciones polinomio) y si an xn es el término con la
mayor potencia de x en el numerador y bm xm es el término con la mayor potencia de x en el denominador
→ límx→∞
f ( x )= límx→∞
an xn
bm xm y límx→−∞
f ( x )= límx→−∞
an xn
bm xm.
Ejemplos
1límx→∞
2−5 x2
3 x2+x−1=lím
x→∞
−5 x2
3 x2 =−53
=−53
2lím
x→−∞
4 x2+xx3−3x2+2
= límx→−∞
4 x2
x3 = límx→−∞
4x=0
3límx→∞
2−x−4 x3
x2+x+1=lím
x→∞
−4 x3
x2 = límx→∞
(−4 x )=−∞
Si f ( x ) es una función polinomio y an xn es el término con la mayor potencia de x
→ límx→±∞
f (x )= límx→±∞
(an xn )
Ejemplo
límx→∞
(−2 x3−3 x2+4 x+5 )= límx→∞
(−2 x3 )=−∞ ; límx→−∞
(−2 x3−3 x2+4 x+5 )= límx→−∞
(−2 x3 )=∞
Límite de una función definida por partes o intervalos
Ejemplos
1 f ( x )=¿ {2−x2 si x≤1¿ ¿¿¿ , encontrar límx→1
f ( x ) ; límx→∞
f ( x ) ; límx→−∞
f (x )
Como f ( x ) cambia de estructura en x=1 , se requiere evaluar límitesunilaterales.límx→1−
f ( x )= límx →1−
( 2−x2 )=1 ; límx →1+
f ( x )= límx→ 1+
(4 )=4 → límx→1
f ( x ) no existe
límx→∞
f ( x )= límx→∞
(4 )=4 ; límx→∞
f ( x )= límx→∞
(2−x2 )= límx→∞
(−x2 )=−∞
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5-4-3-2-1
1234
x
y
5
2f ( x )=¿ {x−1 si x<4 ¿ ¿¿¿
, encontrar límx→4
f ( x ) ; límx→∞
f ( x ) ; límx→−∞
f ( x )
límx→4−
f ( x )= límx→4−
( x−1 ) =3 ; límx→4+
f ( x )= límx →4+
(7−x ) =3 → límx→4
f ( x )=3
límx→∞
f ( x )=límx→∞
(7−x )=límx→∞
(−x )=−∞
límx→−∞
f ( x )= límx→−∞
( x−1 )= límx→−∞
( x )=−∞
Problemas
1 Si el costo total de producción de q artículos en una industria está dado por c=7 ,000+10 q , encontrar el costo promedio, cuando el nivel de producción crece continuamente.
c̄= cq=7 ,000
q+10 → lím
q→∞(7 ,000q
+10)=0+10=10, es decir, el costo promedio se
aproxima a un nivel estable de $10 / artículo.
2 La población p de una ciudad en t años está dada por p=50 ,000+18 , 000
(t+3 )2 . Encontrar la
población a largo plazo: límt →∞
p=límt→∞ [50 ,000+
18 , 000( t+3 )2 ]=50 , 000
habitantes3 Para una relación particular de huésped-parásito, si x representa la densidad de huéspedes,
es decir el número de huéspedes por unidad de área y y representa el número de parásitos
en un determinado período, entonces y= 1 , 000 x
12+40 x . Encontrar a qué valor se aproximaría el número de parásitos, si la densidad de huéspedes aumentara sin cota.
límx→∞
y= límx→∞
1,000 x12+50 x
= límx→∞
1 ,000 x50 x
= límx→∞
(20 )=20parásitos.
Continuidad de una función en un punto
Definición:
f ( x ) es continua en x=a⇔¿ {1 . f (a ) existe ¿ {2 . límx→a
f ( x ) existe ¿ ¿¿
Ejemplos
1
f ( x )=¿{13
x2 si x<3 ¿¿¿¿ Determinar si la función es continua en x=−1 , x=3 , x=5 :
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5-4-3-2-1
1234
x
y
6
1 . f (−1 )=13(−1 )2=1
3; 2 . lím
x→−1f ( x )= lím
x→−1 (13
x2)=13
; 3 . límx→−1
f (x )=f (−1 )
Por lo tanto f ( x ) es continua en x=−1 .
1.f (3)=3−1=2; 2. lím
x→3−f ( x )= lím
x→3−( 13
x2)=3 , límx →3+
f ( x )= límx→3+
(x−1)=2 →
límx→3
f ( x ) no existe. Por lo tanto la función es discontinua en x=3 .
1. 1 . f (5 )=5−1=4 ; 2 . lím
x→5f ( x )=lím
x→5( x−1 )=4 →
es continua en x=5 .
2f ( x )=¿ {4 si x≤−2 ¿ ¿¿¿
Determinar si la función es continua en x=−2 :1 . f (−2 )=4 ; 2 . lím
x→−2−f ( x )= lím
x →−2−(4 )=4 , lím
x →−2+f ( x )= lím
x→−2+(6+x )=4 → lím
x →−2f ( x )=4
3.lím
x→−2f (x )=f (−2 )=4 →
la función es continua en x=−2 .
Continuidad de una función en un intervalo
Definición: f ( x ) es continua en ( a ,b ) ⇔ f ( x ) es continua para toda a< x<b
Propiedades de continuidad
1 La función polinomio es continua para todo número real, es decir es continua en el intervalo (−∞ ,∞).
2 La función racional (cociente de dos funciones polinomio), es discontinua sólo para aquellos valores de x en donde el denominador es cero.
Ejemplos
1f ( x )= x2−4
x2+2 x−15= x2−4
(x+5 ) ( x−3 )→ f ( x )
es discontinua en x=−5 y x=3
o dicho de otra forma, es continua en los intervalos (−∞ ,−5 ), (−5,3 ) y (3 ,∞)
2g( x )= x+2
x2+9 Como no existe ningún valor de x tal que el denominador sea cero, la función no tiene discontinuidades. Es decir, es continua en el intervalo (−∞ ,∞) .
3h( x )= 4−x−3 x2
x3−16 x2+63 x= 4− x−3 x2
x ( x2−16 x+63 )= 4−x−3 x2
x (x−9 ) ( x−7 )→
es discontinua en x=0 ,x=7 y x=9 . Es decir es continua en los intervalos (−∞ ,0 ) , (0,7 ) , (7,9 ) y (9 ,∞) .
7
Problemas
1 El costo c, en pesos, por enviar un paquete es de 50 pesos si pesa hasta 5 kilogramos, de 80 pesos si su peso es mayor de 5 y hasta 10 kilogramos, y de (x + 70) pesos si pesa más de 10 y hasta 50 kilogramos. Expresar la función del costo, analizar en qué puntos tiene discontinuidades y trazar su gráfica.
c ( x )=¿ {50 si 0<x≤5 ¿ {80 si 5<x≤10 ¿ ¿¿¿Los únicos puntos de probable discontinuidad son el 5 y el 10:
c (5 )=50 ; límx→5−
c ( x )=50 , límx →5+
c( x )=80 → límx→5
c ( x ) no existe.
Por lo tanto la función es discontinua en x=5 .
c (10 )=80 ; límx→10−
c( x )=80 , límx→10+
c (x )=80 → límx→ 10
c ( x )=80
Por lo tanto la función es continua en x=10 .
Su representación gráfica se encuentra abajo a la izquierda.
2 La tarifa telefónica de larga distancia entre las ciudades de Guadalajara y Ensenada es de $15 los primeros 3 minutos y de $(x + 20), para las llamadas de más de tres minutos. Expresar la función de la tarifa telefónica, analizar si hay puntos de discontinuidad y trazar su gráfica.
c ( t )=¿ {15 si t≤3 ¿ ¿¿¿. El único punto de probable discontinuidad está en t=3 :
c (3 )=15 ; límx→3−
c ( x )=límx→ 3−
(15)=15 , límx→3+
c ( x )= límx→ 3+
( t+20 )=23 → límx→3
c ( x ) no existe.
Por lo tanto la función es discontinua en t=3 .
Su gráfica se representa abajo a la derecha.
10 20 30 40 50 60
20
40
60
80
100
120
140
x
c
2 4 6 8 10 12 14
5
10
15
20
25
30
t
c
8
Gráfica del problema 1 Gráfica del problema 2
10 20 30 40 50 60
20
40
60
80
100
120
140
x
c
2 4 6 8 10 12 14
5
10
15
20
25
30
t
c
9