I.U. Politécnico Santiago MariñoMinisterio de Educación Superior

Republica Bolivariana de Venezuela

Límite y Continuidad de Funciones de Varias Variables

Profesor: integrante:Pedro Beltrán santiago barberi c.i. 26.000.465

Límite y Continuidad de Funciones de Varias Variables

Sea   una función de dos variables definida en un disco abierto centrado en  ,

excepto quizás en el punto  , y sea L un número real. Entonces,

si para cada   existe un   tal que

 siempre que 

Gráficamente, esta definición de límite implica que para cualquier

punto   en el disco de radio  , el valor de   esta entre   y  .

Para funciones de una sola variable, cuando dejamos que x se aproxime a a, sólo hay

dos posibles direcciones de acercamiento, por la izquierda o por la derecha. Que

podemos ver por aquí Límite de una función de una variable. Para funciones de dos

variables, la situación no es tan sencilla, puesto que podemos dejar que (x, y) se

aproxime a   desde un número infinito de direcciones y de cualesquiera formas.

La definición anterior se refiere sólo a la distancia entre (x, y) y  . No habla a la

dirección de aproximación. Por eso, si el límite existe, entonces   debe

aproximarse a mismo límite, sin importar la forma en que (x, y) se aproxime a  .

Así pues, si podemos encontrar dos diferentes trayectorias de acercamiento a lo largo

de las cuales   tiene distintos límites, entonces se concluye que el límite no existe.

Si   conforme   a lo largo de una trayectoria   

y   conforme   a lo largo de una trayectoria   

,donde  , entonces el límite no existe.

EJEMPLO #1:

, Existe?

Proponemos:   

 

Ahora proponemos:   

 

El limite no existe.

EJEMPLO #2:

En este caso probamos con la ecuación de la recta, ya que con esta ecuación podemos

ver de forma general si existe o no el límite, ya que la ecuación de la recta es todos los

puntos por donde pasa la recta en una circunferencia.

 Existe?

Proponemos:   

 

Proponemos:   

 

Proponemos:

m puedes ser cualquier número que pertenece alos reales, por lo tanto

 

 El limite no existe.

Continuidad de Funciones de Varias VariablesUna función f de dos variables se denomina continua en (a, b) siLim f(x,y) = f (a, b)(x,y) -> (a,b) Decimos que f es continua en D si f es continua en todo punto (a, b) de DEl significado intuitivo de continuidad es que si el punto (x,y) cambia en una pequeña cantidad, entonces el valor de f(x,y) cambia en una pequeña cantidad. Esto significa que si una superficie es la grafica de una función continua entonces no tiene ni huecos ni rupturas.Con el uso de las propiedades de los limites, es posible ver que las sumas, diferencias, productos y cocientes de funciones continuas son continuas en sus dominios.Una función polinomial de dos variables (o, para abreviar, un polinomio), es una suma de términos de la forma cx “y”, donde c es una constante y m y n son enteros no negativos. Una función racional es la razón de dos polinomios. Por ejemplo, 

F (x,y)=

es un polinomio mientras que 

G (x,y)=

Los limites muestran que las funciones f (x,y)=x, g (x,y)= y, y h (x,y) = c son continuas.

Como cualquier polinomio puede ser obtenido a parten de las funciones simples f, g y h

por multiplicación y suma, llegamos a que todos los polinomios son continuas en R. Del

mismo modo, cualquier función racional es continua en su dominio porque es cociente

de funciones continuas.

EJEMPLO #3:

Evalué 

Solución, Como   es un polinomio, es continuo en todas partes, de modo que podemos hallar el limite por sustitución

Sustitución directa: 

 

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES:

B1)   siempre que no aparezca la indeterminación  .

B2)   con  .

B3)   siempre y cuando no aparezca la indeterminación  .

B4)   siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones   e 

B5)   con  , siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen.

B6)   siempre y cuando tengan sentido las potencias

que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos  .

Ejemplos de continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables

#1:

Estudiar la continuidad de la función:

Solución: Planteamos el estudio del límite en el origen realizando un cambio a coordenadas polares:

Así :

de donde se sigue que la función dada es continua en el origen, ya que

#2

Estudiar la continuidad de la función:

SOLUCIÓN Planteamos el estudio del límite en el origen realizando un cambio a coordenadas polares:

Así

Por tanto, el límite depende de θ , de donde se sigue que no existe límite doble y que la función dada no es continua en el origen.

#3

Estudiar la continuidad de la función:

SOLUCIÓN El origen es el punto en el que la definición de la función cambia, por tanto, es en ese punto donde debemos estudiar si se pierde la continuidad o no. Para ello, estudiamos la existencia del límite doble de f(x,y) en dicho punto. Si construimos la curva paramétrica

Por ello,

Nos encontramos con la duda sobre el valor del límite l cuando h(t) es una función tal

que Para solventar este problema estudiamos algún caso particular de función h(t), por ejemplo, tomando h(t)=(1-t). En tal caso,

Del resultado obtenido deducimos que no existe el límite doble de f(x,y) en el origen y, por tanto, la función dada no es continua en (0,0)

Bibliografías

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Limites_y_continuidad_de_funciones_de_dos_variables

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/39-1-u-continuidad.html

http://www2.ulpgc.es/hege/almacen/download/13/13599/Soluciones1.pdf

https://telecoumh.files.wordpress.com/2009/11/tema3.pdf