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Unidad 1: Funciones, Límite y Continuidad

Definición de límite

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¡Razonemos juntos!

El gerente de una Compañía determina que cuando se está

utilizando x porcentaje de la capacidad de la planta el costo total

es C(x) cientos miles de dólares.

La compañía tiene una

política de rotar el

mantenimiento de tal forma

que nunca se utilice más del

80% de su capacidad.

¿Qué costo esperaría el

gerente cuando la planta esta

operando a toda la capacidad

permitida?

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Ejemplo 1

Sea la función:

¿qué ocurre con el valor de f (x) cuando x se aproxima a 3?

3

4

4

Vemos que f (x) tiende a 4.

Cuando x se aproxima a 3 por medio de valores

mayores que el 3, se dice que x se aproxima a 3 por la

derecha

3

4

x

Esto se simboliza por:

4)(lim3

xfx

5

3

4

Cuando x se aproxima a 3 por medio de valores

menores que el 3, se dice que x se aproxima a 3 por la

izquierda

x

Vemos que f (x) tiende a 4.

Esto se simboliza por:

4)(lim3

xfx

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Si realizamos ambas aproximaciones al mismo tiempo,

obtenemos:

3

4

x x

Vemos que f (x) tiende a 4.

Esto se simboliza por:

4)(lim3

xfx

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Ejemplo 2

Sea la función:

¿qué ocurre con el valor

de f (x) cuando x 3 ?

3

4

5

x x

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Conclusión:

En el Ejemplo 2 se aprecia que cuando x 3 por la

izquierda, f (x)4 y cuando x3 por la derecha, f (x) 5

¿En cuál de los ejemplos (1 o 2) existe el límite

de f (x) cuando x tiende a 3?

En el Ejemplo 1, se aprecia que cuando x 3 ya sea por

la izquierda o por la derecha, f (x) 4

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¡Observación !

Note que para que el límite exista, cuando la variable

tiende a un número “a” (en nuestro ejemplo a = 3) tanto

por la izquierda como por la derecha, la función tiende

a adoptar un único valor “L” (en nuestro ejemplo L = 4)

Para que el límite de una función en un valor de “x”

exista, no es necesario que la función esté definida en

ese valor de “x”

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Definición

Si f (x) se acerca más y más al número L cuando x se

aproxima cada vez más a a, por ambos lados, entonces L

es el límite f (x) cuando x tiende a a.

Este comportamiento se expresa:

Este límite existe si

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Geométricamente, el enunciado

de límite

lim ( )x a

f x L

Significa que la altura de la

gráfica y = f (x) tiende a L

cuando x tiende a a, tal como se

muestra en la figura. x→ a ←x

L

f (x)

↓

↑

f (x)

x

y

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Analicemos

¿A qué valor tienden los valores de f (x), g (x) y h(x)

cuando x tiende a 1?

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Ejemplos: En los ejercicios del a) al f), en caso

existan, calcular los siguientes límites

a) 4

lim 4x

x

e) lim lnx e

x

f ) 0

lim x

xe

b) 2

1lim 1 2x

x

c) 2

1

1lim

1x

x

x

d) 2

3

3lim

9x

x

x

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1 2 3 4 5 x

1

2

3

4

5

−1 −2 −3 −4 −5 −6

−1

−2

−3

−4

y

f

Ejemplo. De la gráfica

de la función f,

determine, en

caso exista, el

límite de f (x)

cuando x

tiende a:

−4, − 3, − 2, 0,

2, 3, 4, 5

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Ejemplo: Trace la gráfica de una función f que cumpla con las siguientes

condiciones:

a) dom(f) = R – {-2}

b) y

c) , f(0) = 3

d) , y f(3) = 1

1)(2

xflímx

1)(2

xflímx

1)(0

xflímx

2)(3

xflímx

1)(3

xflímx

Resuelva ejercicios del texto recomendados en la guía del alumno.