Funciones de una sola variable. Límite y continuidad

7/30/2019 Funciones de una sola variable. Lmite y continuidad

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UNIVERSIDADNACIONAL DE GENERAL SARMIENTOMarzo de 2001ISBN: 987-9300-39-41 Edicin, 750 ejemplares.

Impreso en Argentina


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Notas deMatemtica

para el Primer Ciclo Universitario

1- Funciones.Lmite y continuidad

Claudio G. Schifini

Coleccin Universidad y Educacin

Serie Material Didctico N 8.I

INSTITUTO DE CIENCIAS

UniversidadNacional deGeneralSarmiento


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UNIVERSIDADNACIONAL DE GENERAL SARMIENTOAUTORIDADES

RectorProf. Jos Luis Coraggio

Vicerrectora

Ma. Susana HintzeDirector del Instituto de Ciencias

Lic. Adolfo Vispo

Directora del Instituto del Conurbano

Dra. Mara Di Pace

Director del Instituto de Industria

Ing. Roberto Lattanzi

Director del Instituto del Desarrollo Humano

Dr. Roberto Nol Domecq

Secretaria de Investigacin

Dra. Estela Grassi

Secretaria AcadmicaLic. Claudia Danani

Secretario General

Prof. Jos Mara Beltrame

SECRETARIAADMINISTRATIVA

DRA.DANIELAGUARDADO


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CONTENIDO

Funciones .................................................................................................................... 7

Lmite y continuidad.................................................................................................. 49


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Funciones


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Funciones de una variable. Lmite y continuidad

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FUNCIONES

1 IntroduccinEl estudio del Clculo Infinitesimal consiste, en esencia, en el estudio de los nmerosreales.Es necesario, por lo tanto, para abordar el tema, tener claro quienes son los nmerosreales y sobre todo sus propiedades bsicas.A manera de recordatorio, sin pretender ser muy precisos, repasemos los distintosconjuntos numricos que dan lugar al conjunto de los nmeros reales.Los nmeros naturales son los primeros nmeros que aparecen en nuestra vida1 (uncaramelo, dos rboles, etc.), son aquellos nmeros que se usan para contar( L,4,3,2,1 ). El conjunto de los nmeros naturales es notado con la letra N.

{ }L,7,6,5,4,3,2,1=N .

Si al conjunto de nmeros naturales se le agregan sus opuestos (los nmerosnegativos: L,4,3,2.1 ) y el 0 se consigue un conjunto ms grande, el conjuntode los nmeros enteros que se nota con la letra Z.

{ }LL ,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5, =Z .

Si a Z le agregamos los cocientes de nmeros enteros (los nmeros fraccionarios:L,,, 7

543

21 ), obtenemos un conjunto numrico ms grande todava denominado

conjunto de los nmeros racionales que se nota con la letra Q .

{ }NnZmQ nm = ,: .

Es claro que todo nmero natural es entero y que todo nmero entero es racional( Zmm m = ,1 ). O sea, QZN .Es sabido que, dividiendo el numerador por el denominador, todo nmero racional puedeescribirse mediante una expresin decimal. Por ejemplo: L;;; 25,675,05,0 4

2543

21 === ;

etc. En algunos casos su expresin decimal puede ser peridica (a partir de un ciertomomento un subconjunto de dgitos de su mantisa se repite infinitamente). Por ejemplo:

L)

33333,03,031 == , L

)2111111,012,090

19 == , etc.

Puede probarse que todo nmero racional posee un desarrollo decimal finito (su mantisaconsta de un nmero finito de dgitos) o bien peridico.

1 "Dios cre los nmeros naturales, el resto lo hizo el hombre". Leopold Kronecker, 21/9/1886.


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Instituto de Ciencias - UNGS

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Recprocamente, todo nmero que posee un desarrollo decimal finito o peridico es unnmero racional. Por ejemplo: 4

11002525,0 == ; 90

1990

22112,0 == )

; etc.

Sin embargo, si consideramos el nmero L100001000001010010001,0 , ste poseeun desarrollo decimal infinito. Es claro que podemos construir infinitos de estos nmerosque, por lo observado, no sern racionales. Estos nmeros se denominan nmeros

irracionales. Son ejemplos de nmeros irracionales: , 2 , 3 , 5 , en general p con p un nmero natural primo, etc.

Finalmente, si al conjunto de nmeros racionales le agregamos todos los nmerosirracionales obtenemos el conjunto de los nmeros reales que se nota con la letra R .

{ } { }esirracionalQxQxxR == irracionaleso: .Luego, RQZN .

Existe una manera sencilla de demostrar que Q2 y es la siguiente.

Supongamos que Q2 , por lo tanto (como 02 > ) deben existir Nnm , tales

quenm=2 .

Sin prdida de generalidad podemos suponer que la fraccinnm es irreducible (no

podemos simplificar una parte de m con una parte de n ). Esto es, podemos suponer queno existen Npnm ,, tales que pmm = y pnn = .Luego,

( ) 2222

==n

mnm .

Por lo tanto,22 2 nm = 1.

Luego, 2m es par y, por lo tanto,m es par2.

Que m sea par significa que existe Nh tal que hm = 2 3.Reemplazando3 en1 resulta que

222222 24)2(2 hnhhmn ==== 4.

Luego, 2n es par y, por lo tanto,n es par5.

Luego, de 2 y 5 concluimos, contra lo supuesto, quenm no es irreducible (podemos

simplificar por 2 ). Esto es un absurdo (contradiccin) que provino de suponer que

nm=2 . Luego Q2 .


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De manera similar puede probarse que pQp , primo positivo.

El conjunto de nmeros reales R puede representarse geomtricamente sobre una recta(llamada recta real) de manera tal que a cada nmero real le corresponde un nico puntode le recta y a cada punto de la recta le corresponde un nico nmero real.

A manera de ejemplo veamos como podemos representar el nmero irracional 2 .

Desde el punto correspondiente al nmero real 1 se traza un segmento a1 de longitud 1

perpendicular a la recta real. Trazamos luego el segmento a0 que une el puntocorrespondiente al nmero 0 con el punto a marcado.Nos queda determinado un tringulo rectngulo de vrtices 0 , 1 y a . Por el teorema de

Pitgoras, ( ) ( ) 21122 1010 =+=+= aa . Por ltimo trazamos la circunferencia de

centro 0 y radio 20 =a . El punto de interseccin de esta circunferencia con la rectareal es la representacin del nmero real 2 .

Es sabido que podemos operar con los nmeros reales. Se tienen dos operacionesbsicas, la suma ( + ) y el producto () de nmeros reales.

RbaRbaRba + y:, .Dichas operaciones verifican las siguientes propiedades bsicas:

S1) Asociatividad de la sumaRcbacbacba ++=++ ,,;)()( .

S2) Conmutatividad de la suma

Rbaabba +=+ ,; .

0 1 2 3(+)

-1-2-3(-)

a

-1 0 1 2

2


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S3) Existencia de elemento neutro para la sumaRaaa =+ ;0 .

S4) Existencia de inverso aditivo0quetal, =+ baRbRa .

(Puede probarse que b es nico. Luego se lo denomina inverso aditivo de a y selo nota a ).

P1) Asociatividad del productoRcbacbacba = ,,;)()( .

P2) Conmutatividad del productoRbaabba = ,; .

P3) Existencia de elemento neutro para el productoRaaa = ;1 .

P4) Existencia de inverso multiplicativo1quetal,0, = daRdaRa .

(Puede probarse que d es nico. Luego se lo denomina inverso multiplicativo de

a y se lo nota 1a ).

SP) DistributividadRcbacabacba +=+ ,,;)( .

Sabemos tambin que podemos comparar dos nmeros reales. Es decir est definidasobre R una relacin de orden (total), llamada menor que y notada < , que verifica:

O1) TricotomaRba , se verifica una y slo una de las siguientes posibilidades:ba < , ba = , ab < .

O2) TransitividadRcbacacbba


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A partir de estas 13 propiedades bsicas o axiomas pueden deducirse nuevas

propiedades. Por ejemplo: Rxx ,02 ; 0,; < cRccbcaba ; etc.En particular la relacin de orden nos permite definir ciertos subconjuntos particularesde R , los intervalos.Dados Rba , , se denomina:

1. Intervalo abierto con extremos a y b al conjunto{ }bxaRxba


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Que A sea acotado superiormente significa que, por lo menos, posee una cota superior,esto es, existe Rb tal que Aaab , (b se denomina una cota superior de A ).Que tiene un supremo significa que si consideramos el conjunto de todas las cotassuperiores de A , dicho conjunto tiene un primer elemento o mnimo (existe una cotasuperior ms chica que todas).Consideremos un par de ejemplos:

1) Sea { }10:]1,0[ == xRxA .Es claro que A (por ejemplo, A2

1 ) y tambin que es acotado superiormente

(por ejemplo por 3 ).Si consideramos el conjunto de todas las cotas superiores de A resulta que 1 es unacota superior de A (pues Aaa ,1 ) y que no existe ningn nmero menor que1 que sea cota superior de A . Luego 1 es el supremo del conjunto A .En este caso AA = )sup(1 .

2) Sea { }10:)1,0(


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2 DefinicinSean BA y dos conjuntos. Una funcin f de A en B es una correspondencia orelacin que asigna a cada elemento de A un nico elemento de B .Es costumbre notar BAf : y para cada Aa indicar con )(af (imagen de a porf ) al nico elemento de B que le corresponde por la funcin.

El conjunto A se denomina dominio de la funcin f y se nota )( fDom .El conjunto B se denomina codominio de la funcin f y se nota )( fCodom .

3 DefinicinSea BAf : una funcin.Llamamos imagen de f al subconjunto de B :

{ } { }bafAaBbAaaffIm === )(quetal::)()( .

4 EjemplosSean { }dcbaA ,,,= y { }3,2,1,0=B .1) Sea BAf : la correspondencia definida por:

2)( =af , 0)( =bf , 1)( =cf y 3)( =df .Luego, esta correspondencia es una funcin de A en B pues a cada elemento de A le corresponde un nico elemento de B . En este caso { }3,2,1,0)( == BfIm .Podemos representar esta situacin recurriendo a los Diagramas de Venn:

2) Sea BAf : la correspondencia definida por:1)( =af , 0)( =bf , 0)( =cf y 2)( =df .

f

A

a

b

c

d

B

0

1

2

3


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Esta correspondencia tambin es una funcin de A en B pues a cada elemento deA le corresponde un nico elemento de B . Observar que no importa que a doselementos de A ( cb y ) le correspondan el mismo elemento de B ( 0 ), ni tampocoque haya un elemento de B ( 3 ) que no es correspondiente de ningn elementode A . En este caso { }2,1,0)( =fIm .

3) Sea BAf : la correspondencia definida por:1)( =af , 2)( =af , 0)( =bf , 3)( =cf y 2)( =df .

Esta correspondencia no es una funcin de A en B pues al elemento a de A le

corresponden dos elementos de B ( 2y1 ).

4) Sea BAf : la correspondencia definida por:1)( =af , 0)( =bf y 2)( =cf .

Esta correspondencia tampoco es una funcin de en B pues al elemento d de A no le corresponde ningn elemento de B .

fA

a

b

c

d

B

0

1

2

3

fA

a

b

c

d

B

0

1

2

3

fA

a

b

c

d

B

0

1

2

3


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5 ComentarioRecordemos (1) que se nota con la letra R al conjunto de los nmeros reales.Nos interesar estudiar las funciones de R en R ( RBA == ), denominadas funcionesreales de variable real.Por ejemplo, la correspondencia RRf : definida por xxf =)( (a cada nmero

real x le corresponde el mismo nmero real ) es funcin.Sin embargo, la correspondencia RRf : definida por xxf =)( no es funcinpuesto que a los nmeros reales negativos no le corresponde ningn nmero real (noexiste la raz cuadrada de un numero negativo).Podemos corregir esto ltimo considerando la misma correspondencia pero cambiando eldominio.Ms especficamente, si consideramos RRf

0: ( { }0:0 == xRxRA ) la

correspondencia definida por xxf =)( , entonces ahora s es funcin.

Observemos que hemos podido corregir el hecho de que la correspondencia xxf =)( no era funcin achicando el conjunto de salida, tomando como nuevo conjunto el

mayor subconjunto de R donde la expresin tiene sentido (la cuenta se puedehacer).Observemos tambin que la expresin considerada no ofreca problemas de ambigedaden cuanto a la correspondencia de un elemento (a ningn elemento le corresponde msde un elemento), propiedad esencial para que una correspondencia pueda ser funcin.Es comn, en estos casos, hablar de la funcin RRf : sobreentendiendo que enrealidad estamos hablando de la funcin RRAf : , siendo A el mayorsubconjunto de R que verifica que f es funcin en el sentido de la definicin 2 (el

mayor dominio posible para f ).

Cuando se diga sea RRf : la funcin ... o simplemente sea RRf : ... yhablemos del dominio de la funcin f nos estaremos refiriendo al mayor dominioposible en el sentido antes mencionado.

6 Ejemplos1) Sea RRf : , definida por xxf =)( .

Luego, { } [ )+===

,00:)( 0 xRxRfDom .

2) Sea RRf : , definida porx

xf1

)( = .

Luego, { } ( ) ( )+===

,00,0:)( 0 xRxRfDom .


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3) Sea RRf : , definida por23

1)(

2+

+=

x

xxf .

En este caso existen dos condiciones simultneas para poder calcular la expresin:1. 01 +x (no se puede calcular la raz cuadrada de un nmero negativo).2. 0232 + xx (no se puede dividir por cero).O sea, { }02301:)( 2 ++= xxxRxfDom .Observemos que

101 + xx 1,y que

210232 ===+ xxxx o sea

210232 + xxxx 2.Luego, de1 y2 resulta

{ } [ ) ( ) ( )+== ,22,11,121,1:)( xxxRxfDom .

7 DefinicionesSea BAf : una funcin.1. Diremos que f es inyectiva sii aaafafAaa == )()(:, .2. Diremos que f es suryectiva o sobreyectiva sii BfIm =)( .3. Diremos que f es biyectiva sii f es inyectiva y sobreyectiva.

8 Observaciones1) La definicin 1 de 7 puede reescribirse de la siguiente forma equivalente:

f es inyectiva sii )()(:, afafaaAaa .Leda de esta manera nos dice que f es inyectiva sii a valores distintos de A le

corresponden valores distintos de B .Por lo tanto, f no es inyectiva si existen aaAaa ,, tales que

)()( afaf = .Observemos que la funcin del ejemplo 1) de 4 es inyectiva y que la funcin delejemplo 2) de 4 no es inyectiva.

2) La definicin 2 de 7 dice que f es suryectiva o sobreyectiva sii BfIm =)( , esdecir (ver3), si bafAaBb = )(quetal: . Dicho en palabras, una funcin

es suryectiva si todo elemento de B es correspondido de algn elemento de A (viene, por lo menos, de algn elemento de A ).


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Por lo tanto, f no es suryectiva si existe Bb tal que )( fImb .Observemos que la funcin del ejemplo 1) de 4 es suryectiva y que la funcin delejemplo 2) de 4 no es suryectiva.

3) Las propiedades de inyectividad y suryectividad son propiedades independientes.Existen funciones inyectivas pero no suryectivas, existen funciones suryectivas pero

no inyectivas, existen funciones inyectivas y suryectivas (biyectivas) y existenfunciones que no son ni inyectivas ni suryectivas.

4) Sea BAf : biyectiva.Por ser funcin: a cada elemento de A le corresponde un nico elemento de B (todo elemento de A va a parar a un nico elemento de B ).Por ser suryectiva: cada elemento de B es correspondido, por lo menos, de algnelemento de A (todo elemento de B viene, por lo menos, de algn elemento deA ).Por ser inyectiva a valores distintos de A le corresponden valores distintos de B .Luego, BAf : biyectiva cada elemento de B es correspondido por un nico

elemento de A (todo elemento de B viene de un nico elemento de A ).

9 ComentarioConsideremos el conjunto { }RyxyxRRR == ,:),(2 , o sea el conjunto de paresordenados de nmeros reales (no es lo mismo )2,1( que )1,2( ).

A partir de la representacin geomtrica de R (1) el conjunto 2R puede serrepresentado sobre un plano considerando dos rectas perpendiculares, una horizontal yuna vertical. En cada una de ellas representamos a R colocando el nmero real 0 , decada copia de R , en el punto de interseccin de ambas rectas, los nmeros reales

positivos correspondientes a la representacin horizontal de R hacia la derecha y losnmeros reales positivos correspondientes a la representacin vertical de R hacia arribade la siguiente manera:

+(-)

(+)

(-)

R

R1 2 3 4-4 -3 -2 -1

1

2

-2


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Luego, para representar un par ordenado 2),( Rba hacemos lo siguiente:1) Ubicamos el nmero real a (su primera coordenada) en la copia horizontal de R .2) Ubicamos el nmero real b (su segunda coordenada) en la copia vertical de R .3) Trazamos una recta vertical que pase por a .4) Trazamos una recta horizontal que pase por b .5)

Representamos el par ordenado ),( ba como el punto de interseccin de estas rectas.A la recta horizontal se la suele denominar eje x o eje de las abscisas y a la recta

vertical eje y o eje de las ordenadas.

Esta representacin de 2R se denomina sistema decoordenadas cartesianas.

10 DefinicinSea RRf : . Llamaremos grfico de f al subconjunto de 2R

( ){ } 2)(:)(,)( RfDomxxfxfGr = .

11 ObservacinSea RRf : . El grfico de f nos permite de una manera intuitiva y rpida deducirpropiedades de la funcin.Mencionemos algunas propiedades que se pueden deducir del grfico de f .

1. f es funcin si toda recta vertical corta al )( fGr a lo sumo una vez.En efecto: Es claro que si una recta vertical, a= , corta al )( fGr ms de una vezsignifica que f asigna a a ms de un valor y por lo tanto (2) f no es funcin.

a

b ),( ba

x

y

0


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2. )( fImb si la recta horizontal by = corta al )( fGr por lo menos una vez.En efecto: Si la recta horizontal by = corta al )( fGr por lo menos una vezsignifica que existe, por lo menos, un )( fDoma tal que baf =)( .

3. f es inyectiva si toda recta horizontal corta al )( fGr a lo sumo una vez.En efecto: Si alguna recta horizontal, by = , corta al )( fGr ms de una vezsignifica que existen por lo menos dos valores distintos )(, fDomaa tales que

bafaf == )()( y por lo tanto f no es inyectiva.

4. f es suryectiva si toda recta horizontal corta al )( fGr por lo menos una vez.En efecto: Si alguna recta horizontal, by = , no corta al )( fGr significa que existe

Rb tal que )( fImb y por lo tanto f no es suryectiva.

5. f es biyectiva si toda recta horizontal corta al )( fGr exactamente una vez.En efecto: Por 2. Y 3.

Queremos hacer notar que, desde un punto de vista estricto, cualquier argumentacin querealicemos observando el grfico de una funcin tenemos que tomarla como unaconjetura que indefectiblemente deberemos probar usando las definiciones analticas.Es decir podemos, por ejemplo, argumentar que una funcin es inyectiva observando sugrfico y utilizando 3, pero la nica manera que tenemos de probarlo es usando ladefinicin 1 de 7.Sin embargo queremos enfatizar que es sumamente importante mantener siemprepresente la idea geomtrica de una funcin, realizar argumentaciones a partir de laobservacin de su grfico y posteriormente tratar de formalizar la argumentacin

realizada intentando una demostracin analtica.


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12 Ejemplos1) Sea RRf : definida por 12)( = xxf .

Luego la representacin del )( fGr en un sistema de coordenadas cartesianas es unarecta de pendiente 2 y ordenada al origen 1 .

Es claro del grfico (ver11) que f resulta ser una funcin biyectiva.

Veamos como podemos probar esto analticamente.1. f es inyectiva.

Sean Rxx , tales que )()( xfxf = . Por 1 de 7 deberemos probar quexx = .

En efecto:xxxxxxxfxf ==== 221212)()( .

Luego f es inyectiva.

2. f es suryectiva.Sea Ry . Por 2 de 7 deberemos probar que existe Rx tal que yxf =)( .

O sea, deberemos probar que existe Rx tal que yx =12 .Ahora bien,

2

11212

+=+==

yxyxyx .

Luego, tomando2

1+=

yx resulta que

yyyy

fxf =+=

+=

+= 1)1(1

2

12

2

1)( .

Luego f es suryectiva.

Luego, de 1. y 2. f es biyectiva.

)( fGr1

0 1 2

-1


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2) Sea RRf : definida por 2)( xxf = .Su grfico es una parbola.

Es claro del grfico que esta funcin no es inyectiva ni suryectiva.En efecto:Sean Rxx , tales que )()( xfxf = .Luego,

( ) ( )

.00

0)()(0)()( 2222

xxxxxxxx

xxxxxxxxxfxf

===+=

=+===

Nos damos cuenta entonces que no podemos deducir en general que xx = . Msan el razonamiento anterior nos muestra que si tomamos cualquier 0Rx y

xx = resultar xx y )()( xfxf = .Por ejemplo, 11 y 1)1()1( == ff .Luego, por 1) de 8 resulta que f no es inyectiva.

Veamos que f no es suryectiva.

Sea Ry . Debemos ver si existe o no Rx tal que yxxf == 2)( .Pero como Rxx ,02 , entonces debera ser 0y .

Esto nos muestra que si 0


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13 ObservacinEl ejemplo 1) de 12 nos mostr que la funcin 12)( = xxf es biyectiva. Cuandoprobamos la suryectividad, dado Ry hemos encontrado el nico Rx tal que

yxf =)( .

Nos queda definida entonces una nueva funcin RRg : dada por

2

1)(

+=

yyg

o bien, lo que es lo mismo (cambiando el nombre de la variable),

2

1)(

+=

xxg .

La funcin g tiene la propiedad de que si a Rx le aplicamos f y a lo que nos da le

aplicamos el resultado vuelve a serx . Lo mismo ocurre si primero aplicamos g y

luego f . Ms precisamente,

=

=

xxgf

xxfgRx

))((

))((, .

En efecto:

xxxx

xgxfg ==+

=+

==2

2

2

112

2

1)12()12())((

xxxx

fxgf =+=

+=

+= 1)1(1

2

12

2

1))(( .

La funcin g nos permiti desandar el camino que realiz f . Nos permiti resolver

elproblema inverso que nos plante f . Se dice entonces que f es inversible y que

es (en principio una) funcin inversa de f . Ms precisamente:

14 DefinicinSea BAf : . Se dice que f es inversible sii existe ABg : tal que

=

=

Bbbbgf

Aaaafg

,))((

,))((.

En este caso, g se denomina (una) inversa de f .


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15 ProposicinSea BAf : inversible. Entonces existe una nica ABg : inversa de f .Es decir, si ABgg :, son inversas de f , entonces gg = ( Bbbgbg = ),()( ).

Dem.:Por serg inversa de f resulta que (14)

=

=

)2(

)1(

,))((

,))((

Bbbbgf

Aaaafg.

Por serg inversa de f resulta que (14)

=

=

)4(

)3(

,))((

,))((

Bbbbgf

Aaaafg.

Luego,ggbgbgfgbgBb === )()))((()(:

)2()3(.

16 DefinicinSea BAf : inversible. Por14 y 15 a la nica inversa de f se la denomina la

funcin inversa de f . En este caso, se nota ABf :1 a la nica inversa de f . O

sea, 1f es la nica funcin que verifica

=

=

Bbbbff

Aaaaff

,))((

,))((1

1

.

17 ProposicinSea BAf : . Entonces:

f es biyectiva f es inversibleDem.:) Por ser f biyectiva, para cada Bb existe ( f es suryectiva) un nico ( f es

inyectiva) Aa tal que baf =)( . Luego, sea ABg : definida por abg =)( .Afirmamos que g es inversa de f .En efecto:Sea Aa . Luego, aafg =))(( 1 ( a es el nico elemento de A que por f va aparar a )(af ).


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Sea Bb . Sea Aa el nico elemento de A tal que baf =)( . Luego,bafbgf == )())(( 2.

Luego, de1 y2g es inversa de f .

) Por ser f inversible, existe ABf :1 tal que

=

=

)2(

)1(

,))((

,))((1

1

Bbbbff

Aaaaff

.

Sean Aaa , tales que )()( afaf = . Luego,

aaffaffaafaf ==== ))(())(()()( 11)1(

.

Luego f es inyectiva3.

Sea Bb . Luego, por )2( , bbff = ))(( 1 . Luego, existe )(1 bfa = tal quebaf =)( . Luego f es suryectiva4.

De3 y4 f es biyectiva.

18 ObservacinSea RRf : biyectiva. Luego, existe RRf :1 .

Como )()( 1 yfxyxf == , resulta que )(),()(),( 1 fGrxyfGryx .

Luego, el grfico de 1f y el grfico de f son simtricos respecto de la recta y = .

19 Observaciones1) Es importante notar que en la definicin del concepto de funcin (2) intervienen tres

elementos: el dominio ( A ), el codominio (B ) y la relacin funcional (la ley que

relaciona los elementos de A con los elementos de B ).

y =

)( fGr

)( 1fGr


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Por lo tanto, si se modificara alguno de estos tres elementos entonces se obtendrauna nueva funcin (distinta a la anterior).En el caso que se modifique el dominio o el codominio de una funcin pero no larelacin funcional (en esencia no cambiamos la correspondencia), mientras no existapeligro de confusin, seguiremos notando a la nueva funcin de la misma maneraque notbamos la original pero debemos recordar siempre que hemos cambiado la

funcin.

2) Sea RRf : definida por 2)( xxf = .Vimos (2) de 12) que esta funcin no es ni inyectiva ni suryectiva. Sin embargo,podemos elegir adecuadamente nuevos dominio y codominio para esta relacinfuncional de manera tal que resulte biyectiva.En efecto:Como ),0[)( +=fIm , para que resulte suryectiva, elegimos como nuevocodominio el conjunto ),0[ + (su imagen).Segn lo analizado en 2) de 12, xxxxxfxf === )()( . Luego, paraque resulte inyectiva, como nuevo dominio podemos optar entre los conjuntos

),0[ + y ]0,( .Elijamos ),0[ + como su nuevo dominio.Teniendo en cuenta la observacin 1), si consideramos ),0[),0[: ++f resulta que ahora f es biyectiva.

Luego, por17 y 16 existe ),0[),0[:1 ++f tal que

=

=

0,))((

0,))((1

1

yyyff

xxxff1.

Esta funcin ( 1f ) recibe el nombre de raz cuadrada y se nota xxf = )(1 .

Observemos entonces que slo podemos calcular la raz cuadrada de nmerospositivos o cero y que su resultado es un nmero positivo o cero.

)( fGr

0 1 2

1

2

3

4


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Si 0a , a es el nico nmero no negativo b tal que ab =2 2.En este caso1 dice que

( )

=

=

0,

0,2

2

xxx

xxx.

Observemos, por2, que si Rx entonces

xx =2 .

20 DefinicinSean BAf : y DCg : tales que CfIm )( .Se denomina composicin de y f a la funcin

DAfg :o

definida por Aaafgafg = )),(())(( o .

21 Observaciones1) Sean BAf : y DCg : tales que CfIm )( .

De la definicin 20, es claro que )()( fDomfgDomA == o .

2) Sean RRf : y RRg : .En este caso, teniendo en cuenta 5, la condicin CfIm )( debe reemplazarse por

)()( gDomfIm .

f

A

B C

D

g

)( fIm

)(afa ))(( afg


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29

3) Dado un conjunto A , la funcin AAf : dada por aaf =)( recibe el nombrede funcin identidad sobre el conjunto A y se nota Aidf = .

Con esta notacin, teniendo en cuenta 14, 16 y 20, si BAf : es inversible, su

inversa es la nica funcin ABf :1 que verifica

=

=

B

A

idff

idff

1

1

o

o

.

22 Ejemplos1) Sean RRgf :, dadas por 2)( xxf = y 3)( += xxg .

Luego, como )()( gDomRfIm = , podemos calcular (20) RRfg :o y(21) RfDomfgDom == )()( o .Luego, si Rx

3)())(())(( 22 +=== xxgxfgxfgo .O sea,

Rxxxfg += ,3))(( 2o 1.Como )()( fDomRgIm = , tambin podemos calcular RRgf :o , ytambin RgDomgfDom == )()( o .

Luego, si Rx

( )23)3())(())(( +=+== xxfxgfxgf o .O sea,

( ) Rxxxgf += ,3))(( 2o 2.

Es claro que ( ) 9633 222 ++=++ xxxx .Por lo tanto, de1 y2 concluimos que gffg oo .Es decir, concluimos que en general la composicin no es conmutativa.

2) Sean RRgf :, dadas por 1)( += xxf y 3)( += xxg .Luego, )()( gDomRfIm = . Podemos calcular entonces RRfg :o y

),1[)()( +== fDomfgDom o .


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30

Luego, si 1x

31)1())(())(( ++=+== xxgxfgxfgo .O sea,

1,31))(( ++= xxxfgo 1.

Intentemos calcular RRgf :o .Como )(),1[)( fDomRgIm =+= , en principio (20), no podemos calcular

gf o . Deberamos entonces achicar el )(gDom para que se verifique lacondicin )()( fDomgIm .Sin embargo, si operamos formalmente, resulta que

41)3()3())(())(( +=++=+== xxxfxgfxgf o .O sea,

4))(( += xxgf o .Nos damos cuenta que ),4[)( +=fgDom o .Luego, bastar considerar ),4[)( +=gDom , o sea Rg + ),4[: , para quese verifique )()( fDomgIm y poder calcular gf o . En este caso

4,4))(( += xxxgf o 2.Luego, sin preocuparnos quin debera ser el )(gDom , pudimos calcular gf o .De1 y2, es claro que tambin en este ejemplo result gffg oo .

23 DefinicionesSean RRgf :, . Las operaciones de R permiten definir nuevas funciones a partirde f y .

1. Se denomina funcin suma de f y g a la funcin RRgf + : definida por)()())(( xgxfxgf +=+ .

En este caso, )()()( gDomfDomgfDom =+ .

2. Se denomina funcin resta de f y g a la funcin RRgf : definida por)()())(( xgxfxgf = .

En este caso, )()()( gDomfDomgfDom = .

3. Se denomina funcin producto de f y g a la funcin RRgf : definida por)()())(( xgxfxgf = .

En este caso, )()()( gDomfDomgfDom = .


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31

4. Se denomina funcin cociente de f y g a la funcin RRg

f: definida por

)(

)()(

xg

xfx

g

f=

.

En este caso, { }0)(:)()( =

xggDomxfDom

g

fDom .

24 DefinicionesSea RRf : tal que RfDom =)( .1. Se dice que f es par sii Rxxfxf = ),()( .2. Se dice que f es impar sii Rxxfxf = ),()( .

25 ObservacionesSea RRf : tal que RfDom =)( .1. Si f es par su grfico es simtrico respecto de la recta 0=x (eje y ).

Son ejemplos de funciones pares: 2)( xxf = , 4)( xxf = , en general nxxf =)(

con Nn par, 123)( 246 += xxxxf .

2. Si f es impar su grfico es simtrico respecto del origen de coordenadas.Son ejemplos de funciones impares: xxf =)( , 3)( xxf = , en general nxxf =)(

con Nn impar, xxxxf += 35 32)( .

26 DefinicionesSea RRf : .1. )( fDomr se denomina una raz o cero de f sii 0)( =rf .

El conjunto de todas las races de f se denomina conjunto de ceros ode races y senota

{ }0)(:)()(0 == xffDomxfC .

Desde un punto de vista geomtrico )(0 fC es la interseccin del grfico de f con

la recta 0=y (eje ).


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32

2. Se denomina conjunto de positividad de f al conjunto{ }0)(:)()( >=

+xffDomxfC .

Desde un punto de vista geomtrico )( fC+

es el conjunto de puntos donde el

grfico de f se mantiene por arriba del eje .

3. Se denomina conjunto de negatividad de f al conjunto{ }0)(:)()(


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33

28 Ejemplo 2FUNCIONES POLINMICAS

RRf : se dice que es una funcin polinmica o simplemente un polinomio sii f tiene la forma

f x a x a x a x a x ann

n

n

( ) = + + + + +

1

1

2

2

1 0LL ,para ciertos Raaaaa nn 0121 ,,,,, LL . RfDom =)( .Las funciones lineales son un caso particular de funciones polinmicas. Las funciones

cuadrticas , cbxaxxf ++= 2)( con 0a , tambin son funciones polinmicas.

Otros ejemplos de funciones polinmicas son 2)( xxf = , 3)( xxf = ,

3224)( 2345 ++= xxxxxxf , 12)1()( 22 +== xxxxf , etc.

29 Ejemplo 3FUNCIONES RACIONALES

RRf : se dice que es una funcin racional sii f es un cociente de dos funcionespolinmicas. Es decir, si f tiene la forma

)(

)()(

xQ

xPxf = ,

para ciertos polinomios P y Q . { }0)(:)( = xQRxfDom .Son ejemplos de funciones racionales:

0)(,1

)(

== RfDomx

xf ; { }3:)(,3

)( =+

= xRxfDomx

xxf ;

{ }21:)(,236234

)( 2

23

=+

++

= xxRxfDomx

xxxxf .


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34

30 Ejemplo 4FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

Recordemos que construyendo un tringulo rectngulo a partir de un ngulo agudo (mayor que 0 y menor que un recto),

se definen las relaciones trigonomtricas del ngulo por:

HIP

OPsen =)( (seno de ),

)(

1)(

senOP

HIPcosec == (cosecante de ),

HIP

ADYcos =)( (coseno de ),

)(

1)(

cosADY

HIPsec == (secante de ),

ADY

OPtg =)( (tangente de ),

)(

1)(

tgHIP

ADYcotg == (cotangente de ).

Hemos notado: =OP cateto opuesto a , =ADY cateto adyacente a e =HIP hipotenusa del tringulo rectngulo construido.Por propiedades relativas a tringulos semejantes, estas relaciones dependen slo delngulo y no del tringulo rectngulo construido a partir de l.Podemos extender estas relaciones definiendo, geomtricamente, funciones de R en R .Para ello hacemos lo siguiente:

Consideramos la circunferencia de centro 0 y radio 1 de ecuacin 122 =+ yx .

AB

C

OP.

ADY.

HIP.

0 1-1

1

-1


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35

1) Enrollamos la semirrecta positiva de nmeros reales sobre la circunferencia ensentido contrario a las agujas del reloj haciendo coincidir el nmero real 0 con elpunto )0,1( de la circunferencia.

2) Enrollamos la semirrecta negativa de nmeros reales sobre la circunferencia ensentido de las agujas del reloj.

Luego, todo Rx queda representado en la circunferencia de centro 0 y radio 1.Es claro que, como la longitud de la circunferencia es 2 , cualquiera sea Rx , losnmeros Zkkx + ,2 quedan representados sobre el mismo punto de lacircunferencia. Por ejemplo, los nmeros reales ,...4,2,...,4,2,0 , quedantodos representados sobre la circunferencia como el punto del plano )0,1( .Luego, cada Rx , pensado sobre la circunferencia de centro 0 y radio 1, es un puntodel plano ),( ba .Se definen entonces funciones RRsen : (seno) y RRcos : (coseno) por

=

=

.)sen(

,)(

bx

axcos

Esta definicin extiende a todo R las relaciones trigonomtricas definidas para ngulos tales que (medido en radianes) 20


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36

Los grficos de las funciones RRsen : y RRcos : son los siguientes:

A partir de estas definiciones geomtricas de las funciones seno y coseno se puedenverificar rpidamente (entre otras) las siguientes propiedades:

a) RcosDomsenDom == )()( .b)

sen y cos son funciones peridicas de perodo 2 . O sea, Rx

y Zk

)()2( xsenkxsen =+ y )()2( xcoskxcos =+ .

c) RRsen : es impar. O sea (2 de 24), Rxxsenxsen = ),()( .d) RRcos : es par. O sea (1 de 24), Rxxcosxcos = ),()( .e) Rxxcosxsen =+ ,1)()( 22 .f) Ryxxcosysenycosxsenyxsen = ,);()()()()( .g) )()()()()( ysenxsenxcosxcosyxcos = m .h) )()(: 2 xcosxsenRx =+ y )()( 2 xsenxcos = .

-1

1

02

23

25 2

23

25

2 3--2

)(xsen

-3

-1

1

02

23

25 2

23

25

2 3--2

)(xcos

-3


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37

i) sen es positiva en el primer y segundo cuadrantes y negativa en el tercer y cuartocuadrantes.

j) cos es positiva en el primer y cuarto cuadrantes y negativa en el segundo y tercercuadrantes.

k) 1)(y1)(: xcosxsenRx .l) { } { }ZkkxRxxsenRxsenC ==== ,:0)(:)(0 .m) { } { }ZkkxRxxcosRxcosC +==== ,:0)(:)( 20 .A partir de las funciones sen y cos se definen las otras funciones trigonomtricas:

RRtg : (tangente),)(

)()(

xcos

xsenxtg = ,

{ } { }ZkkxRxxcosRxtgDom +== ,:0)(:)( 2 ;

RRcosec : (cosecante),)(

1)(xsen

xcosec = ,

{ } { }ZkkxRxxsenRxcosecDom == ,:0)(:)( ;

RRsec : (secante),)(

1)(

xcosxsec = ,

{ } { }ZkkxRxxcosRxsecDom +== ,:0)(:)( 2 ;

RRcotg : (cotangente),

)(

)()(

xsen

xcosxcotg = ,

{ } { }ZkkxRxxsenRxcotgDom == ,:0)(:)( .

++

)(xsen

+

)(xcos

+


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38

El grfico de la funcin tangente es el siguiente:

Puede observarse de los grficos que las funciones seno, coseno y tangente no son

biyectivas. Sin embargo, como hicimos en 2) de 19, podemos restringir los dominios ycodominios de cada una de ellas para que resulten biyectivas.Como ]1,1[)()( == cosImsenIm e RtgIm =)( , deberemos considerar los siguientesnuevos codominios:

]1,1[)( =senCodom , ]1,1[)( =cosCodom y RtgCodom =)( .Ahora bien, en el caso de los dominios observamos que existen, para las tres funciones,varias elecciones posibles.Para el seno podemos elegir cualquier intervalo de la forma ])1(,[ 22

+++ kk con

Zk , o sea ],[ 22 , ],[ 22

3 , ],[ 23

2 , etc.

Para el coseno podemos elegir cualquier intervalo de la forma ])1(,[ +kk conZk , o sea ],0[ , ]0,[ , ]2,[ , etc.

Para la tangente, teniendo en cuenta que no est definida si 0)( =xcos , podemos elegir

cualquier intervalo de la forma ))1(,( 22 +++ kk con Zk , o sea ),( 22

,

),( 223 , ),( 2

32

, etc.

Las elecciones naturales (las que usan las calculadoras) son ],[ 22 para el seno, ],0[

para el coseno y ),( 22 para la tangente.

)(xtg

23

25

2

2

32

5 2--2

02


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39

Luego, restringiendo las tres funciones mencionadas resulta que

]1,1[],[: 22 sen , ]1,1[],0[: cos y Rtg ),(: 22

son biyectivas. Por lo tanto, existen sus funciones inversas

],[]1,1[:(sen) 221= arcsen (arcoseno),

],0[]1,1[:)( 1 = arccoscos (arcocoseno) y

),(:)( 221 =

Rarctgtg (arcotangente),

que, por16, deben verificar las relaciones

=

=

],[,))((

]1,1[,))((

22xxxsenarcsen

xxxarcsensen,

==

],[,))((]1,1[,))((xxxcosarccos

xxxarccoscos ,

=

=

),(,))((

,))((

22xxxtgarctg

Rxxxarctgtg.

31 Ejemplo 5FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS

Recordemos que dado Ra , para cada Nn , se define

43421 Lvecesn

n aaaa = .

Esta operacin, denominada potenciacin, verifica las siguientes propiedades:

=

=

+

)()(

)(

2

1

mnmn

mnmn

aa

aaa,

NmnRa ,; .

La potenciacin se extiende a potencias enteras definiendo 0 Ra y Nn :

==

=

)(1

)(

)(1

4

3

1

0

n

nn

aaa

a

,


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40

Es fcil verificar que con las definiciones )(3 y )(4 las propiedades )(1 y )(2 siguensiendo vlidas Zmn , .Para poder extender la potenciacin a potencias racionales es necesario restringir losvalores de a .Si 0>Ra y Qq n

m = ( ZmNn , ) se define

n mq aaa nm

== )( ,

donde n ma indica el nico nmero positivo b tal que mn ab = .Puede verificarse tambin que siguen siendo vlidas las propiedades )(1 y )(2 .

Ahora bien, la extensin de la potenciacin a potencias reales ya no es tan sencilla. Sebasa en el Axioma de Completitud de los nmeros reales (1).

[Para realizar dicha extensin, utilizando el Axioma de Completitud se desprende que todo Rx puede

aproximarse por nmeros racionales, es decir existe una sucesin de nmeros racionales )( Nnqn

tales que, a medida que tomamos n cada vez ms grande, los nmeros nq estn cada vez ms cerca de x

(el lmite de la sucesin Nnnq )( es x ). Una vez elegida esta sucesin Nnnq )( , se considera la nueva

sucesin Nnqna

)( y se comprueba que a medida que tomamos n cada vez ms grande, los nmeros nqa

estn cada vez ms cerca de un nmero real (la sucesin Nnqna

)( converge) que notaremos xa . Se

puede verificar que esta definicin dex

a depende slo de x y no de la sucesin Nnnq )( elegida y que

adems siguen siendo vlidas las propiedades )(1 y )(2 ].

En definitiva: para cada 1,0, > aaRa queda definida una funcin quedenominamos exponencial en base a y notamos

RRExpa

: dada porxa axExp =)( .

Hemos excluido el caso 1=a pues, como Rxx = ,11 , obtendramos la funcinconstante 1)( =xf .

Las funciones exponenciales verifican las siguientes propiedades:

a) 0)(: >= xa axExpRx .b) yxyx aaaRyx = +:, .c) ( )yxyx aaRyx = :, .


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41

d) 1)0( 0 == aExpa .e)

x

x

aaRx

1: = .

f)

y

xyx

a

a

aRyx=

:, .

g) Si 1>a , yx aayxRyx a xa

0

1

10


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42

Su funcin inversa se denomina logaritmo en base a y se la nota aa logExp =1)( .

O sea,Rloga +),0(:

es la nica funcin que verifica

>=

=0,))((

,))((xxxlogExp

RxxxExplog

aa

aa(#).

Recordando que xa axExp =)( , podemos reescribir (#) de la forma siguiente:

>=

=

0,

,)()(

xxa

Rxxalog

xlog

x

a

a

.

Observemos que, dado que hemos definido el alog como la funcin inversa de la

)(xExpa , no existe una expresin que describa al alog . Todo lo que sabemos es que

xayxlogRx ya == > )(:0 ,

es decir, el )(xloga es el nico nmero real y que verifica que xay

= .Las funciones logartmicas verifican las siguientes propiedades:

a) )()()(:, 0 ylogxlogyxlogRyx aaa += > .b) )()(:, 0 ylogxloglogRyx aayxa = > .c) ( ) )(:,0 xlogyxlogRyRx aya = > .d) 0)1( =alog .e) 1)( =aloga .f) { }1)(0 =alogC .g) Si 1>a : ),1()( +=

+ alogC y )1,0()( = alogC .

h) Si 10 a , )()(:, ylogxlogyxRyx aa


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43

Los tipos de grficos posibles para una funcin logartmica son los siguientes:

Recordemos que existe un nmero real (irracional) muy especial, el nmero e .[Para definir el nmero e se considera la sucesin de nmeros reales

( ) Nnnan

n += ,11

y se prueba que la sucesin, que es creciente ( Nnaa nn < + ,1 ) y acotada superiormente

( Nnan < ,3 ), converge (a medida que se toma Nn cada vez ms grande los nmeros na se

aproximan cada vez ms a un nmero real). El nmero real al cual converge la sucesin se denomina nmeroe ].

Se sabe que 32 e y que, aproximadamente (es irracional)7182818,2e .

En particular tenemos las funciones xe exExp =)( y su inversa elog . La funcin elog

se denomina logaritmo natural y se la nota ln . O sea ,

xeyxlnRx y ==>

)(:0 .

Si consideramos 10=a obtenemos las funciones xxExp 10)(10 = y su inversa 10log .

La funcin 10log se la nota simplemente log. O sea,

xyxlogRx y ==>

10)(:0 .

La propiedad k) de las funciones logartmicas nos permite calcular el valor del logaritmoen una base dada en funcin del logaritmo en otra base. Es por esta razn que en lascalculadoras generalmente aparecen nicamente ln y log.

0 1

1>a )(xloga

10


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32 Ejemplo 6FUNCIN MDULO

Dado Rx se puede definir, desde un punto de vista geomtrico, el mdulo o valorabsoluto de x como la distancia entre x y 0 . Desde un punto de vista analtico estadefinicin da lugar a una funcin definida a trozos (o por partes) denominada mdulo

RRf : , dada por

.f) ),(:0, aaxaxaaxaRx > aaxaxaxaxaRx .i) yxRyx :, mide la distancia entre x e y .

1

1-1

x

0


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45

Las propiedades e) a i) nos permiten describir el conjunto de todos los nmeros realescuya distancia a un nmero real fijo es menor o menor o igual que una distanciaprefijada.Ms precisamente. Si Rx 0 y 0> , queremos describir el conjunto

{ }quemenoresyentredistanciala: 0xxRxA = .

Teniendo en cuenta e) a i) resulta que

).,(

quemenoresyentredistanciala

00

00

0

0

0

+

+


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46

33 Ejemplo 7FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

La funcin mdulo (32) es un ejemplo de lo que denominamos funciones definidas atrozos o simplemente funciones partidas.

Otro ejemplo de este tipo de funciones es la funcin signo que notamos sg. Sudefinicin es la siguiente:

RRsg :

=

01

00

01

)(

xsi

xsi

xsi

xsg

Su grfico es el siguiente:

Pueden definirse funciones partidas a partir de funciones conocidas. Por ejemplo siRRf : es la funcin dada por

, existe 0> ( )( = ) tal que si RR tal que

0> , )(0 0


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55

3) Teniendo en cuenta la dificultad de la nocin de lmite (que en esencia se basa en elaxioma de Completitud de los nmeros reales), la observacin 1) y que el objetivode estas notas es slo introducir al alumno en el Clculo, aceptaremos muchas de laspropiedades que posee el lmite de funciones intentando su comprensin de maneraintuitiva.

4) No toda funcin posee lmite.Por ejemplo, sea RRf : definida por

=

xsenxf

1)( . Luego,

0)( = RfDom . Su grfico aproximado es el siguiente:

Observando el grfico, nos damos cuenta que a medida que nos acercamos a 0=x )(xf va tomando todos los valores posibles entre 1 y 1 infinitas veces. O sea, no

es cierto que )(xf se acerca a un nmero cuando se acerca 0 (todo lo que

podemos observar es que el grfico se acerca al eje y pero no a un nmero).

1

-1

( )xsen1

l

+l

0x +0x +0x0x

+l

l

l

0x


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56

Por lo tanto,

/

xsenlm

x

10

.

Probar que esto es efectivamente as equivale a demostrar que no se verifica la

definicin 2 para ningn Rl . Esto es, se debera demostrar (cosa no demasiadosencilla) que cualquiera sea Rl no se verifica la definicin de lmite. O sea,

existe un 0> de manera tal que cualquiera sea 0> , existe un x que verifica


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4 Proposicin (Unicidad del lmite)Sea ),(0 bax y sea RRf : una funcin definida en ),( ba salvo quizs en 0x .

Sean Rll, .

Si l=

)(0

xflmxx

y l=

)(0

xflmxx

, entonces ll = .

(En caso de existir, el lmite de una funcin es nico).

5 Ejemplos1) Sea Rc y sea RRf : dada por cxf =)( , Rx (funcin constante).

Entonces cclmxflmxxxx

== 00

)( , Rx 0 .

Dem:Teniendo en cuenta la definicin de lmite (2) y las observaciones 1) y 2) de 3debemos considerar 0> y tratar de encontrar un 0> de manera tal que severifique la propiedad ().

Ahora bien, como en este caso particular es

0)( == cccxf ,

nos damos cuenta que eligiendo cualquier 0> la propiedad (), que en este casoes


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58

2) Sea RRf : dada por xxf =)( , Rx (funcin identidad). Entonces0

00

)( xxlmxflmxxxx

==

, Rx 0 .

Dem:

Sea 0> .Luego, como 00)( xxxxf = nos damos cuenta entonces que eligiendo

= la propiedad (), que en este caso es


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59

a) bxfb > )(l , cerca de 0x .c) bxf )( , cerca de 0x b l .Donde por cerca de 0x significa que 0> tal que la propiedad es vlida para

valores ( ) 000 ,, xxxxx + .

8 Proposicin (Propiedades del lmite)Sea ),(0 bax . Sean R21 ,ll . Sean RRgf :, definidas en ),( ba salvo quizs

en 0x tales que 1)(0

l=

xflmxx

y 2)(0

l=

xglmxx

. Entonces:

a)

( ) ( ))()()( 00 xgxflmxgflm xxxx+=+

, y adems( ) 21)()(

0

ll +=+

xgxflmxx

.

El lmite de la suma es la suma de los lmites (siempre y cuando ambos lmitesexistan y sean finitos3).

b) ( ) ( ) 21)()()(00

ll ==

xgxflmxgflmxxxx

, y adems

( ) 21)()(0

ll =

xgxflmxx

.

El lmite de la resta es la resta de los lmites (siempre y cuando ambos lmitesexistan y sean finitos

).

c) ( ) ( ))()()(00

xgxflmxgflmxxxx

=

, y adems

( ) 21)()(0

ll =

xgxflmxx

.

El lmite del producto es el producto de los lmites (siempre y cuando amboslmites existan y sean finitos

).

3 O sea, que el lmite sea un nmero. Ms adelante introduciremos la nocin de lmite infinito.


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60

d) Si 02 l ,

=

)(

)()(

00 xg

xflmx

g

flm

xxxx, y adems

2

1

)(

)(0 l

l=

xg

xflm

xx.

El lmite del cociente es el cociente de los lmites (siempre y cuando amboslmites existan, sean finitos y el lmite del denominador no sea nulo).

e) ( ) ( )1)(0

llnxflnlmxx

=

.

f) 10

)( leelm xfxx

=

.

g) Si 01 >l , ( ) ( )( ))()()(00

xg

xx

g

xxxflmxflm

= , y adems

( )( ) ( ) 20

1)()( ll=

xg

xxxflm .

El lmite de una potencia es la potencia de los lmites (siempre y cuando amboslmites existan, sean finitos y el lmite de la base sea positivo.

9 ProposicinSea ),(0 bax , sea Rl y sea RRf : una funcin definida en ),( ba salvo

quizs en 0x tal que l=

)(0

xflmxx

. Entonces

Raaxfalmxx

=

,)(0

l .

Dem:

Sea Ra .Por 1) de 5, aalm

xx=

0

.

Luego, aplicando c) de 8,

l=

=

axflmalmxfalmxxxxxx

)()(000

.

10 ProposicinSea Nn . Sea RRf : dada por nxxf =)( . Sea Rx 0 . Entonces

( )n

nxx xxlm 00 = .


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61

Dem:Probemos primero el resultado para 2=n .Por 2) de 5, 0

0

xxlmxx

=

.

Luego, aplicando c) de 8,

( )20002

0000

xxxxlmxlmxxlmxlmxxxxxxxx

==

==

.

Observando que Nnxxx nn =+ ,1 ( xxx = 23 , xxx = 34 , etc.), el resultadogeneral se sigue aplicando recurrentemente c) de 8.

11 ProposicinSea Rx 0 . Sea RRf : una funcin polinmica, o sea,

012

21

1)( axaxaxaxaxfn

n

n

n +++++=

LL ,

para Nn y ciertos Raaaaann

0121

,,,,, LL . Entonces

( ) ( ) ( ) 0012

021

010)(0

axaxaxaxaxflmn

n

n

nxx

+++++=

LL .

Dem:El resultado se sigue aplicando a) y c) de 8, 9 y 10.

12 ObservacionesAceptaremos como vlidos los siguientes resultados:

1) ( )n mn mxx

xxlmNmn 00

:, =

( n mxDomx 0 ).

2) 00

:1,0xx

xx

aalmaRa =

>.

3) )()(:0,1, 0000

xlogxloglmxaRa aaxx

=>

>.

4) )()( 00

xsenxsenlmxx

=

.

5) )()( 00

xcosxcoslmxx

=

.

6) )()( 00

xtgxtglmxx

=

, )(0 tgDomx .

7) ( )aaxx

xxlmxRa 000

:0, =>

.

8) Sean ),(0 bax , ),(0 dcy y Rl . Sea RRg : una funcin definida en),( ba salvo quizs en

0x tal que

00,)( xxyxg y

0)(

0

yxglmxx

=

.


62/106


62

Sea RRf : una funcin definida en ),( dc salvo quizs en 0y tal que

l=

)(0

yflmyy

. Entonces

( ) lo =

)(0

xgflmxx

.

(Si )(0 fDomy y )()( 00

yfyflmyy

=

la condicin 00 ,)( xxyxg puede

quitarse).

13 EjemplosLos siguientes ejemplos mostrarn cmo se puede calcular el lmite de una funcinutilizando las propiedades ya mencionadas.

1) Calcular ( )653 22

+

xxlmx

.

Utilizando 11

( ) 86252365322

2=+=+

xxlmx .

2) Calcular 2121

++

xlmx

.

( ) 22222112121 2)812,11,51

2

1)8

2

1=+=++=++=++

xxax

lmxlmxlm

.

3) Calcular ( ) ( )( )3225

++

xxlmx

.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 5435253232 2115

2

5)8

2

5=++=++=++

xlmxlmxxlm

xxcx.

4) Calcular1

12

1

x

xlm

x.

( )

( )( )

02

0

11

11

1

1

1

1 2

111

2

1

)8

2

1=

=

=

=

xlm

xlm

x

xlm

x

x

dx.

Observar que hemos podido utilizar d) de 8 en virtud de que ( ) 0211

=

xlmx

.


63/106


63

5) Calcular1

12

1

x

xlmx

.

En este caso no podemos utilizar d) de 8, dado que ( ) 011

=

xlmx

.

Sin embargo, como 1x es

( ) ( ) 1111

1

12

+=

+=

x

x

xx

x

x

y no nos importa lo que pasa en 1=x )( , resulta que

( ) ( )2111

1

11

1

1111)(1

2

1=+=+=

+=

xlmx

xxlm

x

xlm

xxx.

6) Calcular34

232

2

1 +

+

xx

xxlmx

.

En este caso tampoco podemos utilizar d) de 8, dado que ( ) 03421

=+

xxlmx

.


( ) ( )( ) ( )

( )( )3

23121

3423

2

2

=

=

+

+

x

x

xx

xx

xx

xx


( )( ) 2

1

31

21

3

2

34

231)(2

2

1=

=

=

+

+

x

xlm

xx

xxlm

xx.

7) Calcular3

33

x

xlmx

.

Tampoco podemos utilizar d) de 8, dado que ( ) 033

=

xlmx

.


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 3

1

33

3

33

3

3

3

3

3

3

322

+=

+

=

+

=

+

+

=

xxx

x

xx

x

x

x

x

x

x

x


32

1

33

1

3

1

3

33)(3

=+

=+

=

xlm

x

xlm

xx.


64/106


64

14 DefinicinSea RRf : y sea )( fDomA . Se dice que f es acotada en A sii existen

RMm , tales que AxMxfm ,)( .

15 Observaciones1) Sea RRf : y sea )( fDomA . Entonces

f es acotada en A 0> RM tal que AxMxf ,)( .

2) Las funciones )(xsen y )(xcos son acotadas en R .(Recordar que 1)( xsen y 1)( xcos , Rx ).

16 Proposicin4Sea RRf : tal que 0)(

0

=

xflmxx

. Sea RRg : acotada en un entorno de 0x .

Entonces0)()(

0

=

xgxflmxx

. ( cero por acotada es cero)

17 Observaciones1) Si 0)(

0

xflmxx

, o bien si g no es acotada la proposicin 16 no puede aplicarse.

Por ejemplo:a) ( ) ( ) ( ) 1)0(10)(1)(1

000=+=+=+

cosxcoslmxlmxcosxlm

xxx.

Sin embargo, si hubisemos aplicado 16, hubisemos concluido errneamenteque ( ) 0)(1

0=+

xcosxlm

x.

En este caso )(xcos es acotada pero ( ) 0110

=+

xlmx

.

4 Esta propiedad sigue siendo vlida reemplazando 0x por , nociones que introduciremos luego.


65/106


65

b) 21

12

1=

x

xlmx

(ver13-5)).

Sin embargo, si hubisemos aplicado 16, hubisemos concluido errneamente

que ( ) 01

11

1

1 21

2

1=

=

xxlm

x

xlm

xx.

En este caso ( ) 0121

=

xlmx

pero1

1x

no es una funcin acotada en ningn

entorno de 10 =x .

2) Un ejemplo de aplicacin correcta de la proposicin 16 es el siguiente.0

10

=

xsenxlm

x.

Observar que 00

=

xlmx

y

xsen

1es una funcin acotada en 0R .

18 ComentarioRecordemos la funcin signo definida en 33 del captulo Funciones. RRsg :

=

01

00

01

)(

xsi

xsi

xsi

xsg

Sea 00 >x .

Es claro que x cerca de 0x 1)( =xsg .Luego,

1)(0

=

xsglmxx

.

Sea 00


66/106


66

Ahora bien, )(0

xsglmx

?

Si consideramos valores x cerca de 0 , por ms cerca que los tomemos, )(xsg tomael valor 1 y el valor1.Luego, es claro que

)(0

xsglmx

/ .

Sin embargo, nos damos cuenta que, si slo consideramos valores cerca de 0 peromayores que 0 (geomtricamente por la derecha del 0 ), entonces )(xsg es lafuncin constante 1.Diremos entonces que, el lmite de )(xsg cuando x tiende a 0 por la derecha vale 1, yescribiremos

1)(0

=+

xsglmx

.

Anlogamente, si slo consideramos valores x cerca de 0 pero menores que 0 (geomtricamente por la izquierda del 0 ), entonces )(xsg es la funcin constante

1 .Diremos entonces que, el lmite de )(xsg cuando x tiende a 0 por la izquierda vale

1 , y escribiremos1)(

0=

xsglmx

.

Estos lmites se denominan lmites laterales (por la derecha y por la izquierda). Susdefiniciones precisas son las siguientes.

19 DefinicinSea Rx 0 y sea RRf : una funcin definida en ),( 0 bx . Sea Rl .

Se dice que )(xf tiene lmite l cuando tiende a 0x por la derecha sii

Cualquiera sea 0> , existe 0> ( )( = ) tal que si


67/106


67

20 DefinicinSea Rx 0 y sea RRf : una funcin definida en ),( 0xa . Sea Rl .

Se dice que )(xf tiene lmite l cuando tiende a 0x por la izquierda sii

Cualquiera sea 0> , existe 0> ( )( = ) tal que si


68/106


68

2) Sea RRf : dada por

x y cada vez ms grandes en valor absoluto pero negativos si

0> l)(:0,0 xfNxN .

2) l=

)(xflmx

sii l)(:0,0 xfNxN .

3) +=

)(0

xflmxx

sii MxfxxM > )(0:0,0 0 .

4) =

)(0

xflmxx

sii MxfxxM )(0:0,0 0 .

6) +=+

)(xflmx

sii MxfNxNM >>>> )(:0,0 .

7) =

+ )(xflmx sii MxfNxNM>>

)(:0,0 .


72/106


72

8) =+

)(xflmx

sii MxfNxNM >>>> )(:0,0 .

9) +=

)(xflmx

sii MxfNxNM >> )(:0,0 .

10) =

)(xflmx

sii MxfNxNM )(:0,0 .

11) =

)(xflmx

sii MxfNxNM >> )(:0,0 .

12)Definiciones anlogas a 3), 4) y 5) para lmites laterales.26 Ejemplos

1) =+

)(0

xlnlmx

.

2) +=+

)(xlnlmx

.

3) +=+

x

xelm .

4) 0=

x

xelm .

5) 1>a : =+

)(0

xloglm ax

, +=+

)(xloglm ax

, +=+

x

xalm y 0=

x

xalm .

6) 10


73/106


73

0)(0

=

xflmxx

, significa que los valores )(xf son cada vez ms chicos.

0)(0

= Raxflmxx

, significa que los valores )(xf son prcticamente a .

La siguiente proposicin hace mencin, en forma no exhaustiva, de alguna de esas leyes.

28 ProposicinLas siguientes propiedades son vlidas considerando Rx 0 o tambin reemplazando

0x por + o . Asimismo son vlidas (en los casos que corresponda) para lmites

laterales.Por otra parte, se deja a cargo del lector analizar propiedades anlogas en funcin delsigno del infinito cuando correspondiere.Entre parntesis colocamos reglas mnemotcnicas, entendiendo que en ellas slo se tratade valores de lmites de funciones y no nmeros. Bajo ningn punto de vista deben serconsideradas igualdades numricas.

a) =

)(0

xflmxx

, Raxglmxx

=

)(0

( ) =

)()(0

xgxflmxx

.

( = a ).

b) =

)(0

xflmxx

, =

)(0

xglmxx

( ) =

)()(0

xgxflmxx

.

( = ).

c) =

)(0

xflmxx

, 0)(0

= Raxglmxx

=

)()(0

xgxflmxx

.

( 0a , = a ).

d)

= )(0 xflmxx , Raxglmxx = )(0 =

)(

)(

0 xg

xf

lmxx y 0)(

)(

0

= xf

xg

lmxx .

=

=

0,

a

a.

e) 0)(0

= Raxflmxx

, 0)(0

=

xglmxx

= )(

)(

0 xg

xflm

xx.

=

0,0

aa .


74/106


74

f) Si 0)( xf , 0xx cerca de 0x , entonces: == )(

10)(

00 xflmxflm

xxxx.

=

= 0

1,

0

1.

g) 1, > aRa : axflmxx

=

)(0

, +=

)(0

xglmxx

( ) +=

)()(0

xg

xxxflm .

( )+=> +aa ,1 .

h) 1, > aRa : axflmxx

=

)(0

, =

)(0

xglmxx

( ) 0)( )(0

=

xg

xxxflm .

( )0,1 => aa .

i) 10,


75/106


75

29 Comentario (Indeterminaciones)Existen algunos casos de lmites donde ninguna propiedad (de lmites finitos o infinitos)nos permiten calcularlos (ejemplos distintos del mismo tipo dan resultados distintos).Diremos que estamos en presencia de un lmite indeterminado, o simplemente de unaindeterminacin.

Para poder calcular este tipo de lmites debemos recurrir a algn tipo de manipuleoalgebraico para salvar la indeterminacin y poder luego aplicar alguna propiedadconocida.En lo que sigue 0x es un nmero real, + o .

Los casos de indeterminacin son los siguientes:

1) Caso

0

0. Ms precisamente.

Si 0)(0

=

xflmxx

y 0)(0

=

xglmxx

, entonces el)(

)(

0 xg

xflm

xxes indeterminado.

Por ejemplo.

a)

Sean xxf =)( y xxg =)( .Luego, 0)(0

=

xflmx

y 0)(0

=

xglmx

.

En este caso, dado que 0x es 1=x

x, resulta

1100

== xx

lmx

xlm .

b) Sean xxf =)( y 2)( xxg = .Luego, 0)(

0=

xflmx

y 0)(0

=

xglmx

.

En este caso, dado que 0x esxx

x 1

2

= , resulta

== x

lmx

xlm

xx

1020

.

c) Sean 2)( xxf = y xxg =)( .Luego, 0)(

0=

xflmx

y 0)(0

=

xglmx

.

En este caso, dado que 0x es xx

x=

2

, resulta

00

2

0

==

xlm

x

xlm

xx

.


76/106


76

2) Caso

. Ms precisamente.

Si =

)(0

xflmxx

y =

)(0

xglmxx

, entonces el)(

)(

0 xg

xflm

xxes indeterminado.

Por ejemplo.

a) Sean xxf =)( y xxg =)( .Luego, =

+

)(xflmx

y =+

)(xglmx

.

En este caso, dado que para 0x es 1=x

x, resulta

11 ==++ xx

lmx

lm .

b) Sean xxf =)( y 2)( xxg = .Luego, =

+

)(xflmx

y =+

)(xglmx

.

En este caso, dado que 0x esxx

x 12

= , resulta

01

2==

++ xlm

x

xlm

xx.

c) Sean 2)( xxf = y xxg =)( .Luego, =

+

)(xflmx

y =+

)(xglmx

.

En este caso, dado que 0x es xx

x=

2

, resulta

+==++

xlmx

xlmxx

2 .

3) Caso .Ms precisamente.Si =

)(

0

xflmxx

y =

)(0

xglmxx

, entonces el ( ))()(0

xgxflmxx

es

indeterminado.

4) Caso 0 .Ms precisamente.

Si 0)(0 = xflmxx y = )(0 xglmxx , entonces el ( ))()(0 xgxflmxx es indeterminado.


77/106


77


Si 0)(0

=

xflmxx

y 0)(0

=

xglmxx

, entonces el ( ) )()(0

xg

xxxflm

es indeterminado.


Si +=

)(0

xflmxx

y 0)(0

=

xglmxx


xg

xxxflm

es indeterminado.


Si 1)(0

=

xflmxx

y =

)(0

xglmxx


xg

xxxflm

es indeterminado.

Resumiendo. Son indeterminaciones los casos

1y,0,,0,,

00 00 .

30 ObservacinCuando se quiere calcular un lmite de la forma ( ) )()(

0

xg

xxxflm

muchas veces puede

llegar a dudarse (porque no se los recuerda con precisin) si se est o no en un caso deindeterminacin.El siguiente mtodo permite por un lado intentar el clculo del lmite y por otro ladodecidir si el lmite es indeterminado o no.

Supongamos que ( ) l=

)()(0

xg

xxxflm (eventualmente + o ).

Teniendo en cuenta que las funciones )(xln y xe conmutan en todos los casos (finito oinfinito) con el lmite, resulta que

( ) ( )( ) ( ))()()()()(000

)()(xflnxglmxflnlmxflmlnlnL

xx

xg

xx

xg

xx==

==

l .

Luego, si ( ))()(0

xflnxglmxx

es indeterminado ( 0 o 0 ) entonces es

indeterminado el lmite ( ) )()(0

xg

xxxflm

.

Por otra parte, si ( ) Lxflnxglmxx = )()(0 , entonces ( )Lxg

xx exflm == )(

)(0l .


78/106


78

Tener en cuenta que en el caso en que ( ) =

)()(0

xflnxglmxx

es necesario precisar si

es + o dado que (ver 3) y 4) de 26) +=+e y en cambio 0=e .

31 Ejemplos1) Calcular 23 xxlm

x

+

.

Dado que +=+

3xlmx

y +=+

2xlmx

estamos en presencia de una

indeterminacin del tipo .Ahora bien, 0x es

=

xxxx

11323 1.

Y como 01

=+

x

lmx

, resulta que 11

1 =

+

x

lmx

.2.

Teniendo en cuenta que +=+

3xlmx

,1 y2, resulta que

( ) ( ) +=+=

=

=

++++

""3323 11

11

1x

lmxlmx

xlmxxlmxxxx

.

2) En general. Si )(xf es una funcin polinmica0)( ,01

22

11 +++++=

n

n

n

n

n aaxaxaxaxaxf LL ,

entonces

( ) ( )

n

nx

n

n

n

nxxalmaxaxaxaxalm

+

+

=+++++01

2

2

1

1LL .

O sea,

( )

+=+++++

+ 0

001

22

11

n

nn

n

n

nx asi

asiaxaxaxaxalm LL

y

( )

=+++++

imparesy0

paresy0

imparesy0

paresy0

012

21

1

nasi

nasi

nasi

nasi

axaxaxaxalm

n

n

n

n

n

n

n

nx

LL .

En efecto:0x ,


79/106


79

++++=++++

nnnn

nn

n

n

nx

ax

ax

aaxaxaxaxa111

0111011

1 LLLL

1.

Luego, como 01

:, =+

kxalmNkRa resulta que

nnnnnxa

xa

xa

xaalm =

++++

+

1110111

LL 2.


n

xxlm ,1 y2, resulta que

( )

( )

( ) .0

0

111

111

""

0111

0111

011

1

+=+=

===

=

++++=

=

++++=

=++++

++

++

+

+

n

n

n

nn

x

n

xn

nnnnx

n

x

nnnn

n

x

n

n

n

nx

asi

asia

xalmxlma

xa

xa

xaalmxlm

xa

xa

xaaxlm

axaxaxalm

LL

LL

LL

Anlogamente si x , teniendo en cuenta que +=

n

xxlm si n es par y

=

n

xxlm si n es impar.

3) Calcular43

1222

23

++

+ x

xxxlm

x.

Por 2), sabemos que ( ) +=+++

122 23 xxxlmx

y ( ) +=+

43 2 xxlmx

.

Estamos en presencia de una indeterminacin del tipo

.

Ahora bien, 0x es

++

=

++

=

++

2

32

22

323

2

23

413

1212

413

1212

43

122

xx

xxxx

xxx

xxxx

xx

xxx1.

Como 0

1

:,=

+ kx almNkRa resulta que


80/106


80

2121

232

=

++

+ xxxlm

x2.

y

341

32

=

+ xxlm

x3.


xlmx

,1,2 y3, resulta que

( )

( )+=

+=

=

++

=

++

=

=

++

=

++

+

++

+

+

++

""

2

32

2

32

2

32

2

23

3

2

413

1212

413

1212

413

1212

43

122

xx

lm

xxxlmxlm

xx

lm

xxxxlm

xx

xxxx

lmxx

xxxlm

x

xx

x

x

xx

4) Calcular122

4323

2

++

+

xxlm

x.

Como en 3), es una indeterminacin del tipo

.

Un anlisis similar al ejemplo 3) (observar que hemos invertido los polinomios delnumerador y del denominador) nos muestra que 0x es

++

=++

32

2

23

2

1212

413

122

43

xxxx

xx

xxx

xx.


xlmx

, resulta que


81/106


81

( )

( )0

2

3

1212

413

1212

413

1212

413

122

43

""

32

2

32

2

32

2

23

2

=+

=

=

++

=

++

=

=

++

=++

++

+

+

+

++

xxxlmxlm

xxlm

xxxxlm

xxlm

xxxx

xxlm

xxx

xxlm

xx

x

x

x

xx

5) Calcular43

1223

23

++

+ x

xxxlm

x.

Tambin es una indeterminacin del tipo

.0x es

++

=

++

=

++

2

32

23

323

3

23

413

1212

413

1212

43

122

xx

xxx

xxx

xxxx

xx

xxx.

Luego,

3

2

413

1212

413

1212

43

122

2

32

2

32

3

23

=

++

=

=

++

=

++

+

+

++

xxlm

xxxlm

xx

xxxlm

xx

xxxlm

x

x

xx

Observemos que el valor del lmite es el cociente de los coeficientes principales(coeficientes que acompaan a la potencia de mayor grado).

6) En general. Si )(xf y )(xg son funciones polinmicas0)( ,01

22

11 +++++=

n

n

n

n

n aaxaxaxaxaxf LL ,


82/106


82

0)( ,012

21

1 +++++=

m

m

m

m

m bbxbxbxbxbxg LL ,

entonces

=

>

>

=

mnsib

a

nmsi

mnsi

xg

xflm

m

n

x

0)(

)(.

En el caso mn > el signo del depende de los signos de na y mb . Si el

signo del depende adems de la paridad de n y m .

7) Los ejemplos 5), 6) y 7) de 13 son indeterminaciones del tipo0

0.

32 Proposicin1

)(0

= x

xsenlmx

.

Dem:

Estamos en un caso de indeterminacin del tipo0

0.

Probaremos primero que 1)(

0=

+ x

xsenlm

x.

Ahora bien, como estamos calculando el lmite cuando + 0x (y slo nos interesan

valores de cerca de 0 ), podemos considerar que 20


83/106


83

Observando la figura es claro que 20:


84/106


84

33 Ejemplos1) 1)(

0=

x

xtglmx

.

En efecto:

Estamos en un caso de indeterminacin del tipo 0

0.

Dado que

)(

1)(

)(

)()(

)(

)(

xcosx

xsen

xcosx

xsen

x

xcos

xsen

x

xtg=

==

resulta por32 que

111)(

1)(

)(

1)()(0000

==

=

=

xcoslm

x

xsenlm

xcosx

xsenlm

x

xtglm

xxxx.

2) 11 =+ xsenxlmx .En efecto:

Dado que 01 =+ x

lmx

, estamos en un caso de indeterminacin del tipo 0 .

Realizando el cambio de variablex

y 1= y teniendo en cuenta que 0y (pues

+x ). Resulta por32 que

1)(

)(11

00===

+ y

ysenlmysen

ylm

xsenxlm

yyx.

3) Calcularx

xsenlmx 3

)2(0

.


0.

Ahora bien,

x

xsenlm

x

xsenlm

x

xsenlm

xxx 2

)2(

3

2

32

)2(2

3

)2(000

=

= .

Realizando el cambio de variable xy 2= en el ltimo lmite y teniendo en cuentaque 0y (pues 0x ) resulta por32 que

32132)(322 )2(323 )2( 000====

yysenlm

xxsenlm

xxsenlm

yxx.


85/106


85

4) Calcular22

)1(1

xsenlmx

.


0.

Ahora bien,

( ) ( )1)1(

2

1

12

)1(

22

)1(111

=

=

x

xsenlm

x

xsenlm

x

xsenlm

xxx.

Realizando el cambio de variable 1= xy en el ltimo lmite y teniendo en cuentaque 0y (pues 1x ) resulta por32 que

( ) ( ) 21

12

1)(

2

1

1

)1(

2

1

22

)1(011

===

=

y

ysenlm

x

xsenlm

x

xsenlm

yxx.

La siguiente proposicin generaliza la proposicin 32 y nos evitar tener que realizarcambios de variable en este tipo de casos.

34 ProposicinSea RRf : tal que 0)(

0

=

xflmxx

. Entonces

1)(

))((

0

= xf

xfsenlm

xx.

(El resultado sigue siendo vlido reemplazando 0x por+

0x ,

0x , + o ).

35 Observaciones1) Observar que en 34, 0x no tiene por que ser 0 como en 32, pero es esencial la

condicin de que 0)(0

=

xflmxx

.

2) Los ejemplos 2), 3) y 4) de 33 pueden resolverse utilizando 34.Por ejemplo, para calcular

22

)1(1

x

xsenlmx

basta observar como antes que

( ) ( )1)1(

2

1

12

)1(

22

)1(

=

=

x

xsen

x

xsen

x

xsen.


86/106


86

Luego, si se considera 1)( = xxf , resulta que 0)(1

=

xflmx

.

Utilizando 34 se concluye que 11

)1(1

=

x

xsenlmx

.

Por ltimo, aplicando la propiedad del lmite de un producto (c) de 8) se obtiene que

( ) 211

21

1)1(

21

22)1(

11==

=

x

xsenlmx

xsenlmxx

.

36 Proposicin

a) ex

lm

x

x=

+

+

11 .

b) Si =

)(0

xflmxx

, entonces exf

lm

xf

xx=

+

)(

)(

11

0

.

(El resultado sigue siendo vlido reemplazando 0x por+

0x ,

0x , + o ).

37 Ejemplos

1) Calcularx

x xlm

+

+ 2

11 .

Estamos en un caso de indeterminacin del tipo 1 .Es claro que

2

1

22

1

2

211

211

211

+=

+=

+

xxx

xxx.

Luego, utilizando b) de 36 y g) de 8

.2

11

2

11

2

11

2

12

12

2

12

ex

lm

xlm

xlm

xlm

x

x

x

x

x

x

=

+=

=

+=

+

+

+

++


87/106


87

2) Calcularx

x x

xlm

+

+ 1

1.

Estamos en un caso de indeterminacin del tipo 1 .Ahora bien, operando algebraicamente, resulta que

( ) ( )

.

2

111

2

111

2

1

11

2

1

11

1

21

11111

111

11

1

2

2

11

2

2

1

1

2

2

1

+

+

+

+

+

+

++=

++=

=

++=

++=

+

+=

=

+

++=

+

+=

+

x

x

xxx

x

xx

xx

x

xxx

xx

xxx

x

xx

x

x

x

x

Como =

+

+ 2

1xlm

x, aplicando b) de 36 con

2

1)(

+=

xxf se obtiene que

ex

lm

x

x=

++

+

+

2

1

2

1

11 .


88/106


88

Luego, como por 6) de 31 es 21

2=

+

+ x

xlm

x, por g) de 8 resulta que

.

2

1

11

2

111

11

2

1

2

2

1

1

2

2

1

+

+

+

+

+

++

=

++=

=

++=

+

+

ex

lm

xlm

xxlm

x

xlm

x

x

x

x

x

x

x

x

x

3) ( ) exlm xx

=+

1

10

.

En efecto:

Estamos en un caso de indeterminacin del tipo 1 .Operando

( )

+=+

x

x

xx

1

1

111

1

Como = x

lmx

10

, aplicando b) de 36 conx

xf1

)( = resulta que

( ) e

x

lmxlm

x

xx

x

=

+=+

1

00 1

111

1

.


89/106


89

4) ( ) 110

=+

x

xlnlmx

.

En efecto:


0.

Operando( )

( ) ( )

+=+=

+

x

xlnxlnxx

xln1

1111

.

Luego, como ln conmuta con el lmite, por el ejemplo 3) resulta que

( )( ) ( ) 1)(11

111

000==

+=

+=

+

elnxlmlnxlnlmx

xlnlm

xx

xxx.

5) 110

=

x

elm

x

x.

En efecto:


0.

Realizamos el cambio de variables 1= xet .Luego,

)1(11 +=+== tlnxteet xx .

Teniendo en cuenta que 0t (pues 0x ) y utilizando d) de 8 y el ejemplo 4),resulta que

1

1

1

)1(

1

)1(

1

)1(

1

0

0

000

==

+

=

+

=

+

=

ttlnlm

lm

ttln

lm

tln

tlm

x

elm

t

t

tt

x

x

.

38 ProposicinSean 0>R y )(xP un polinomio. Entonces,

a) =+

x

elm

x

x. Ms an, =

+ )(xP

elm

x

x.

b) 0=+

xx

e

xlm

. Ms an, 0)(

=+

xx

e

xPlm .

(Cuando + , la exponencial tiende ms rpido a que los polinomios).


90/106


90

c) 0)( =+

x

xlnlm

x. Ms an, 0

)(

)(=

+ xP

xlnlm

x.

d) =+ )(xln

xlm

x

. Ms an, =+ )(

)(

xln

xPlm

x.

(Cuando +x , el logaritmo natural tiende ms despacio a que los polinomios).

39 ComentarioConsideremos la funcin RRf : definida por

=

Qxsi

Qxsixf

0

1)( .

Dado que entre dos nmeros reales cualesquiera siempre existe un nmero racional ytambin un nmero irracional, es claro que es imposible graficar esta funcin.

Este ejemplo muestra que no toda funcin es graficable.Por esta razn, muchas nociones intuitivas que surgen geomtricamente a partir de laobservacin del grfico de una funcin (como por ejemplo la de lmite) deben serdefinidas analticamente con la rigurosidad matemtica necesaria.Sin embargo, podemos coincidir en que funciones como la definida no son demasiadonormales. Las funciones intuitivamente normales son las que llamaremos continuas.Desde un punto de vista histrico y geomtrico las funciones continuas son aquellasfunciones cuyo grfico puede realizarse con un trazo continuo, es decir, que puedengraficarse sin levantar el lpiz. Esto es, aquellas funciones f cuyo grfico no pegasaltos ni tiene agujeros. Es claro que este tipo de cosas (repasar ejemplos anteriores)slo suceden en aquellos puntos 0x que verifican alguna de las siguientes tres

condiciones: )(0 fDomx , )(

0

xflmxx

/ o bien =

)(0

xflmxx

,

Rxflmxx

)(0

pero )()( 00

xfxflmxx

.

Estamos en condiciones de pasar a definir el concepto de continuidad.


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91

40 DefinicinSea RRf : definida en un intervalo abierto ( )ba, y sea ( )bax ,0 .

Se dice que f es continua en 0x sii se verifican simultneamente las siguientes tres

condiciones:a) )(0 fDomx ( ))( 0xf .b) )(

0

xflmxx

y es fini

Funciones de una sola variable. Límite y continuidad

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