Repartido de ejercicios sobre funciones reales:Límite, continuidad, análisis de gráficos, derivada. Problemas de optimización.

1) Observa los siguientes gráficos correspondientes a funciones reales e indica su dominio y recorrido. Realiza un esquema de signo.

2) A partir del gráfico de la función f, correspondiente a cada caso, representa gráficamente |f|y−f (valor absoluto de f y la opuesta de f)

−26

−2 3−12

0

1

3

11,5 2,5 −5−4−3 0 2 3 4 0 1

000 ,51 2

4

3

−5

−3−2−5

0−2 2 41

01

2

0

−3 0.5−1

450

−10−2−4

0−2

1

xxx

xxx

xxx

x x x

xxx

y y y

y y y

y y y

yy y

yy y

3) Escribe el dominio de las siguientes funciones:

4) Dadas las siguientes funciones: a) Escribe su dominio b) Escribe su descomposición factorial c) Esquema de signo

d) Bosqueja

5) Dadas las siguientes funciones graficar en un mismo sistema de ejes cartesianos:

a) 1) f:D →A/f(x)=x2) g:D →A/g(x)=x+13) h:D→A/h(x)=x-3

b) 1) f:D→A/f(x)=x²2) g:D→A/g(x)=x²+13) h:D→A/h(x)=x²-3

c) 1) f:D→A/f(x)=x²2) g:D→A/g(x)=(x+1)²3) h:D→A/h(x)=(x-3)²

6) Escribe el dominio, realiza esquema de signo y representa gráficamente las siguientes funciones reales:

a) f : f ( x )={2 x+6 si x≤−1−x+3 si x>−1

b) f : f ( x )={−2x−4 si x<22 x−8 si x ≥2

c) f : f ( x )={x+3 si x<1x−5 si x>1

d) f : f ( x )={ x+7 si x≤−2−x+3 si−2<x ≤1x+1 si x>1

e) f : f ( x ) :{ 2x+4 si x←1x+1 si−1≤x<3−x+5 si x>3

f) f : f ( x )={−x−6 si x←24 si−2≤ x<3x+1 si x≥3

g) f : f ( x )={−x−1 si x<0x2−1 si x ≥0

7) Una compañía de electricidad cobra $3 el KWh para un consumo de hasta 100KWh, Para los siguientes 200KWh el costo del KWh es de $4. De ahí en adelante el costo del KWh será de $7 (para simplificar este problema no tendremos en cuenta en esta oportunidad el costo fijo y demás cargos) Encuentra una expresión que permita calcular de forma sencilla la tarifa a pagar (T) en función del consumo (x) de KWh.Representa gráficamente dicha función.

8) Una empresa de transporte de pasajeros lanza la siguiente promoción para viaje de egresados: Para grupos de hasta 10 personas el costo del pasaje es de $100 por persona, para grupos de hasta 25 persona el costo por persona es de $90, y para grupos de hasta 40 personas el costo por persona es de $80. a) Escribe la expresión analítica de la función, que permite calcular el costo total de la

excursión en función de la cantidad de pasajeros. b) Si además del pasaje se debiera abonar una suma de 200 en concepto de peajes,

reuniendo el dinero entre todos y por fuera del costo del peaje. Escribe ahora la nueva función que permita obtener la tarifa total a pagar.

9) El costo de producción de un medicamento es de $20 por unidad para las primeras 1000 unidades, a partir de las 1000 y hasta las 5000 el costo por unidad es de $15. De las 5000 unidades en adelante el costo por unidad es de $10. Escribe la expresión de la función costo dependiente del número de unidades.

10) El siguiente bosquejo gráfico muestra la tarifa de agua en función de la cantidad de metros cúbicos consumidos. Escribe la expresión que le corresponde. Explica brevemente con tus palabras tu interpretación de dicho gráfico.

11) Calcular los siguientes límites:

i ¿ 2 x2−5x+1x→3Lím ii¿¿x→4

lím 2 x−4−3x+1 iii¿¿x→1

lím 3 x2−2 x+1x−3

iv ¿¿x→−2lím −x+3

2 x−1

v¿¿x→0lím 3 x2−5 x+6

−2 x2−3 x+2 vi¿¿x→−1

lím 2 x3−3 x2+5 x−12 x+1

vii ¿¿x→nlím 2 x−5

viii¿¿x→ plím 2 x+ p

p

ix ¿¿x→2lím x2−4

x2+x−6 x¿¿x→−3

lím x2+4 x+3x2−9

xi ¿¿x→2lím x2−x−2

x−2

xii ¿¿x→1lím 2x3−5x2+2 x+1

x2−3 x+2

xiii¿¿x→0lím 3x2+6 x

x2−3 x xiv ¿¿x→3

lím x2−6 x+9x2−x−6

xv ¿¿x→−1lím 3x3−2 x2+x+6

x2+3 x+2

xvi ¿¿x→ 2lím ex−2

xvii¿¿x→3lím e2x−6−1

x−3 xviii ¿¿x→3

lím x−3x2−9

xix ¿¿x→−4lím x2+5 x+4

x+4

xx ¿¿x→1lím x2−2x+1

x2−3 x+2

12) Calcular:

i ¿¿x→1¿ 2x−1

x−1¿ ii¿¿

x→2¿ x+22 x−4

¿ iii¿¿x→2¿ x−1

−3x+6¿

iv ¿¿x→−3¿ x+5

x2−9¿

v¿¿x→−1¿ 3x +1

x2+3 x+2¿ vi¿¿

x→0¿ 2 x+2x2−2x

¿ vii¿¿x→1¿ 3 x+2

−2x +2¿

viii¿¿x→ 2¿ x 2−4

x2−4x +4¿

ix ¿¿x→−1¿ x2+5 x+4

x2+2 x+1¿

x¿¿x→−2¿ 3x+6

2x2+4 x¿ xi ¿¿

x→5¿ 2 x− x2+25

¿ xii ¿¿x→ p¿ 2

x−p¿

x iii ¿¿x→1¿ ln (2 x+4x−1 )¿

xiv ¿¿x→2¿ ex−2

x2−4¿ xv ¿¿

x→o¿ ex+2x ¿

xvi ¿¿x→o¿e

x+2x ¿

13) Calcula los siguientes límites:

i ¿¿x→+∞lím 3 x−2 ii¿¿x→−∞

lím x2+5 iii¿¿x→+∞lím 3 x−1

x+5 iv ¿¿x→−∞lím x+4

2x+1

v¿¿x→+∞lím 2 x2+x+3

x2−3 x+1 vi¿¿x→+∞

lím 2 x2+5 x−3−2 x2+3 x−1

vii¿¿x→−∞lím 2 x2+3 x−1

x+3

viii¿¿x→+∞lím 2 x3+x2+x−3

x2+3 x+5

ix ¿¿x→+∞lím 4 x−5

2x2+3 x+6 x¿¿x→−∞

lím 2x3+4 x2−x+42x2−5 x

xi ¿¿x→+∞lím ex+2x−1

x2+3 x+2

xii ¿¿x→+∞lím x2+2x−3

ex+3 x

xiii¿¿x→−∞lím ex+2 x2−x+4

x−1 xiv ¿¿x→+∞

lím ln( 2x+3x−1 ) xv ¿¿x→−∞lím ln( 3 x−13 x+2 )

xvi ¿¿x→+∞lím ex+2x−1

ln x

xvii¿¿x→+∞lím ex

2+3x+3

e2x−1 xviii ¿¿x→+∞

lím (ln (3 x+2 )−ln ( x−5 ) ) xix ¿¿x→−∞lím ex

2−2x+1

xx ¿¿x→+∞lím x+2

x2+6 x−1

14) Observa el siguiente bosquejo gráfico y responde lo que se pide a continuación:

D ( f )=¿ ℑ ( f )=¿ Sg f ¿

15) Observa el siguiente bosquejo gráfico y responde lo que se pide a continuación:

D ( f )=¿ ℑ ( f )=¿ Sg f ¿

16) El siguiente bosquejo gráfico muestra las temperaturas máxima y mínima alcanzada en cada mes del año 2010.

Realiza una descripción de la información que se aporta. Las siguientes preguntas te servirán como guía. ¿A qué hemisferio corresponde? ¿Cuál es la temperatura máxima alcanzada? ¿Es constante la variación de temperatura a lo largo del año?

17) Investiga si las siguientes funciones son continuas en R:a) f ( x )=2x2−3 x+1

b) f ( x )= x+1x−2

c) f ( x )=2 x+5x2−9

d) f ( x )=3 x−1x2+4

e) f ( x )={ x+5 si x ≤−1−2 x+2 si x>−1

f) f ( x )={3 x+6 si x<12 x+7 si x>1

g) f ( x )={−2 x−6 si x ≤23 x−5 si x>2

h) f ( x )={ −x−5 si x≤−23 x+3 si−2< x≤1−2 x+8 s i x>1

T (°C)

i) f ( x )={ 2 x+4 si x≤−3−x−5 si−3<x ≤1x+3 si x>1

18) Halla el valor de a para que f sea continua en -1 :

f : f ( x )={ 3 x+a si x ≤−1−2x+4 si x>−1

19) Hallar el valor de a para que la función f sea continua en 2:

f : f ( x )={2x−1 si x<2ax+5 si x≥2

20) Hallar el valor de a para que la función f sea continua en 1:

f ( x )={2x2−2x−1

si x≠1

3 x−asi x=1

21) Hallar a y b para que f sea continua en R:

f : f ( x )={ 2x+a si x ≤−2−3x−6 si−2< x<3x+2b si x ≥3

22) Hallar en cada caso el valor de k para que las siguientes funciones sean continuas en R:

a) f : f ( x )={x+1 si x≤2k−x si x>2

b) f : f ( x )={ x+k si x ≤0x2−1 si x>0

c) f : f ( x )={ ekx si x≤0x+2k si x>0

d) f : f ( x )={x2−9x−3

si x≠3

k si x=323) El precio de venta de un determinado artículo viene dado por la siguiente función:

P ( x )={ 5 x si0<x≤10√ax2+500 si x>10 Siendo x la cantidad de unidades vendidas.

a) Hallar a para que el precio varíe de forma continua.b) ¿A cuánto tiende el precio por unidad si se vende una enorme cantidad de

unidades? (tener en cuenta que el precio por unidad se obtiene de: P (x)x

24) Justifica cuáles de las siguientes funciones tienen extremos absolutos en el intervalo correspondiente:a) f ( x )=x2−1en [−1 ,1 ]b) f ( x )=x2 en [−3 ,4 ]

c) f ( x )= 1(x−1)

en [2 ,5 ]

d) f ( x )= 1(x−1)

en [0 ,2 ]

e) f ( x )= 1(1+ x2)

en [−5 ,10 ]

25) Probar que las siguientes funciones tienen alguna raíz en el intervalo que se indica:a) f ( x )=x2−x−5en [1 ,4 ]b) f ( x )=x3−2en [1 ,2 ]

c) f ( x )= ex−5x+2

en [1 ,2 ]

Encuentra las raíces con una aproximación de hasta 1100

26) Dada la función polinómica f ( x )=2x4−14 x2+14 x−1. ¿Podemos afirmar que en el intervalo [−4 ,3 ] la función no tiene raíces reales?

27) Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en los intervalos que se indican a continuación:a) f ( x )=x2−3 x+1en [−1,2 ] y [0 ,3 ]b) f ( x )=x3+1en [−3 ,−1 ] y [1 ,4 ]c) f ( x )=−x2+3en [−2 ,0 ] y [1 ,3 ]

28) Escribe la ecuación de la tangente al gráfico de la función que aparece a continuación en el punto de abscisa indicado:a) f ( x )=x2−1en x=2b) f ( x )=x2−3 x en x=1c) f ( x )=2x2+2enx=−1d) f ( x )=x3 en x=1e) f ( x )=−x2+4en x=3f) f ( x )=x2+6 x+5en x=−3

29) Halla la derivada de las siguientes funciones:

¿ f ( x )=x2 ¿ ii¿ f ( x )=3 x2¿ iii¿ f ( x )=x3 ¿¿ f ( x )=−2 x3 ¿v ¿ f ( x )=x2+2x ¿vi ¿ f ( x )=2x−6 ¿

¿ f ( x )=3 x4−2x3+x2−3 x−4¿viii ¿ f ( x )=ex . ( x2+3 x−1 )¿ ix ¿ f ( x )= x2+3 x−1x2−2

¿

x¿ f ( x )= x2+3 xx−2

30) Estudia crecimiento y clasifica extremos de las siguientes funciones reales:a) f : f ( x )=x2−4 x+3b) f ( f : x )=x3−6 x2

c) f : f ( x )=x3+3 x2−24 x−10d) f : f ( x )=ex .(x2+1)

e) f : f ( x )= x2+3 xx−1

f) f : f ( x )=x3−6 x2+9x

g) f : f ( x )= x2+1x2−1

h) f : f ( x )=2 x2−3 x2−x

31) Se cuenta con una plancha de cartón de 1m2 para confeccionar una caja sin tapa, recortando dicha plancha como se muestra en la figura y doblando las lenguas hasta unirlas. ¿Cuál debería ser el valor de x para que la caja tenga el mayor volumen?

32) La cantidad de personas afectadas por una epidemia de gripe viene dada por la función: P ( t )=−t 2+38 t+80 siendo t el tiempo transcurrido desde que se descubre la epidemia.a) ¿Cuántas personas afectadas hay al momento de su descubrimiento? b) ¿Cuál es el número máximo de afectados?c) ¿Qué día desaparece la epidemia?

33) Una fábrica tiene una capacidad de producción de hasta 3000 unidades por mes. La función utilidad, que resulta de producir y vender x unidades al mes, viene dada por la función:U ( x )=−x3+2955 x2+180000 x−300000. ¿Cuántas unidades es conveniente producir para maximizar las ganancias? ¿Cuál es la utilidad máxima que se puede alcanzar?

34) Halla la media del largo y el ancho de una cartulina de forma rectangular, que tiene 60cm de perímetro, para que al unir dos de sus lados forme un cilindro (sin tapas) cuyo volumen sea máximo.

xx