Guía 1 Límite y Continuidad

5/21/2018 Gua 1 Lmite y Continuidad

1/30

Unidad de Aprendizaje N 1: Lmite y continuidad de funciones de una variable real.

Aprendizajes Esperados

Resuelve problemas de lmites y comportamiento grfico a partir de la teora de lmites y el empleo de

sus teoremas, integrando diversas variables, a travs de soluciones de ejercicios y problemas.

Gua N1 de trabajo en Aula

Tema: Lmite de funciones de una variable real.Docente:

Luis Orellana

Objetivo:

Calcula lmites, aplicando teoremas y propiedades que permitan salvarlas indeterminaciones.

Interpreta grficamente el clculo algebraico de una funcin en un punto. Asocia asntotas verticales, horizontales y oblicuas , de funciones en

forma analtica y comprueba su respuesta dibujando la curva y susasntotas.

Determina continuidad de una funcin en un punto y/o en un intervalo

Material especfico Calculadora; Software Graficador


2/30

REA ELECTRICIDAD, ELECTRNICA Y AUTOMATIZACIN

Asignatura: MATEMTICA APLICADA II

Cdigo: EEMA01

2

Lmites de funciones:

NOCIN INTUITIVA DE LMITE.

Situacin 1. Considera un resorte colgado por uno de sus extremos en una barra y con un pesopen el

otro extremo. Se sabe que el resorte se rompe si el peso p es igual o mayor que 5 kilos. Supongamos

que deseamos determinar la longitud mximalque se estira el resorte sin romperse. Para resolver esta

cuestin realizaremos el experimento de cambiar el peso p colocado en el extremo libre del resorte de

manera creciente y medir la longitud l que se estira con cada peso, como se observa en la figura.

Cuando el peso colocado en el resorte se acerca a los 5 kilos, tendremos que colocar pesos cada vez ms

pequeos para no llegar al mximo de los 5 kilos y que no se rompa el resorte. Registrando las

longitudes sucesivas del resorte, debemos de poder determinar la longitud mxima L a la cual se

aproxima l cuando el peso p se aproxima a su valor mximo de 5 kilos. Simblicamente escribimos:

l L, cuandop 5

Situacin 2. Considera la funcin 2 1f x x , Qu ocurre con f x cuando x se acerca a 3?

Recuerda:

Acercarse a un valor, esto se hace desde la izquierda y desde derecha, es decir:

Desde la izquierda desde la derecha


3/30



Cdigo: EEMA01

3

Si los valores que toma la variable x, seacercan a 3 por la derecha, se observa que los

valores de f(x) se acercan a 7. Del mismo

modo si x se acerca a 3 por la izquierda, los

valores de f(x) se acercan tambin a 7.

La respuesta a la pregunta es: f(x) se acerca a 7

cuando x se acerca a 3. Esto se expresa diciendo

que el lmite de f(x) es 7 cuando x se acerca a 3

Lo anterior se refuerza con la siguiente tabla de valores para la funcin 2 1f x x

Situacin 3 Se tiene la funcin 2 3 2

2

x xf x

x

A qu valor se aproxima f x :

a) cuando x e acerca a 3 (completa las tablas, usa calculadora)

X se acerca a 3 desde la izquierda

X 2,80 2,88 2,91 2,92 2.93 2,94 2,95 2,98 2,99

f(x)

X se acerca a 3 desde la derecha

X 3,01 3,02 3,03 3,04 3.05 3,06 3,07 3,08 3,1

f(x)

X 0 1 2 2,5 2,6 2,8 2,9 2,95 2,99

f(x) 1 3 5 6 6,2 6,6 6,8 6,9 6,98


X 3,01 3,05 3,1 3,2 3,4 3,8 4 5 6

f(x) 7,02 7,1 7,2 7,4 7,8 8,6 9 11 13

X se acerca a 3 desde l a derecha


4/30



Cdigo: EEMA01

4

Podemos observar que f(x) se aproxima a 2 desde la izquierda y desde la derecha, lo que se expresa

diciendo que el lmite de f(x) es 2 cuando x se acerca a 3. Sin embargo este resultado se puede obtener

reemplazando directamente en la funcin el valor al cual se acerca x, es decir, para x=3 tenemos

2

2

3 2

2

3 3 3 2 23 2

3 2 1

x xf x

x

f ( )

b) Cuando x se acerca a 2 (completa las tablas, usa calculadora)


X 1,8 1,81 1,85 1,87 1,89 1,93 1,95 1,97 1,99

f(x)

X se acerca a 2 desde la derecha

X 2,01 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,1

f(x)

Podemos observar que f(x) se aproxima a 1 desde la izquierda y desde la derecha, lo que se expresa

diciendo: que el lmite de f(x) es 1 cuando x se acerca a 2

Lo anterior se puede expresar diciendo:

El lmite de la funcin f(x) es 1 cuando x tiende a 2.

Tambin podemos escribir 1 x 2f ( x ) ,cuando (Se lee: f(x) tiende a 1 cuando x tiende a 2).

21

xlim f ( x )

(esto se lee: El lmite cuando x tiende a 2 de f(x) es 1)


5/30



Cdigo: EEMA01

5

Pero si queremos reemplazar el valor de x directamente en la funcin (como el caso anterior), esto no es

posible, no podemos obtener un valor para f(x) cuando x = 2, la funcin no est definida para el valor 2,

observa:

2 23 2 2 3 2 2 0

2 22 2 2 0

x xf x f ( ) f ( )

x

El resultado0

0se conoce como indeterminado, para salvar la indeterminacin en expresiones

racionales aplicaremos teoremas de lmites de funciones junto con algebra bsica.

Recuerda los siguientes teoremas:

1)0x x

Si lim f ( x )

, entonces es nico

2)0

0 0,x xlim x x x

3)0

0,

x x

lim k k k , x

4) 0 0

0x x x xlim k f ( x ) k lim f ( x ) con k

5) 0 0 0x x x x x x

lim f ( x ) g( x ) lim f ( x ) lim g( x )

siempre y cuando no aparezca la

indeterminacin -

6) 0 0 0x x x x x xlim f ( x ) g( x ) lim f ( x ) lim g( x ) siempre y cuando no aparezca la

indeterminacin 0

7) 0

0

0

x x

x x

x x

lim f ( x )f ( x )

limg( x ) lim g( x )

siempre y cuando no aparezca la indeterminacin

0o

0


6/30



Cdigo: EEMA01

6

8) 0 0

nn

x x x xlim f ( x ) lim f ( x ) con n 0

siempre y cuando tenga sentido las potencias

que aparecen

9)n n

x a x alim f ( x ) lim f ( x )

siempre y cuando tenga sentido las potencias que aparecen

10) x x

0

0 0

lim g( x )g( x )

x x x xlim f ( x ) lim f ( x )

siempre y cuando tenga sentido las potencias que

aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos 0 0, 0 o 1

11)0 0x x x x

lim f ( x ) lim f ( x )

Lmites de las funciones trigonomtricas y sus inversas.

Si y = f(x) representa a una funcin trigonomtrica o a una funcin trigonomtrica inversa, con las

restricciones adecuadas se verifica:0

0x xlim f ( x ) f ( x )

Recuerde que el dominio de las funciones senx y cosxes todo , el dominio de tanx y secx es

n / n2

el dominio de cotx y cscx es n / n

A partir de las grficas de las funciones trigonomtricas podemos deducir que ellas son continuas en

todo su dominio, de manera que si x0 pertenece al dominio de la funcincorrespondiente, entonces

se tiene:

00x xlim senx sen x

0 0x xlim cosx cos x

0

0x xlim tanx tan x

0

0x xlim cotx cot x


7/30



Cdigo: EEMA01

7

0

0x xlim secx sec x

0

0x xlim cscx csc x

Por otra parte, si x0no pertenece al dominio de la funcin entonces el lmite no existe.

Como una aplicacin de lo anterior tenemos, por ejemplo, que

0xlim sen x sen

4

24x

lim cos x cos

3

33x

lim tan x tan

6

36x

lim cot x cot

4

24x

lim s ec x sec

3

2

31

2xlim csc x csc

Por otra parte,

2x

lim tan x

no existe (vea la grfica dey= tanx) pero s podemos decir que

2 2x x

lim tan x y lim tan x

Tambin tenemos que:

x x

lim csc x y lim csc x

Teorema:0

1x

sen xlim

x


8/30



Cdigo: EEMA01

8

Lmites de las funciones logartmicas y exponenciales.

Funcin logartmica y su inversa

Lafuncin logartmica, naci del estudio de la relacin entre las progresiones aritmtica y geomtrica,

durante el siglo XVII fue analizada a partir de la serie obtenida por la integracin de:1

1 x

John Wallis, Isaac Newton, Gottfried Leibniz y Jean Bernoulli mostraron que la funcin logartmica es

la inversa de la funcin exponencial. Ya en el ao de 1742 el matemtico William Jones (1675--1749)

haba dado una sistemtica descripcin en estos trminos.

Euler defini las dos funciones as:

1

1 1

n

x n

n n

xe lim y log x lim n x

n

Esto fue presentado as en el libroIntroduction in Analysis Infinitorumpublicado en1748.

-2

-1

0

1

2

-4 -2 2 4x

y = ex

y = lnx

y = x


9/30



Cdigo: EEMA01

9

De las grficas de estas funciones podemos deducir que ellas son continuas en todo su dominio, de

manera que si x0pertenece al dominio de la funcin correspondiente, entonces se tiene:

0

0

0

0x x

xx

x x

lim ln x ln x

lim e e

y en general:

0

0

0

0a ax x

xx

x x

lim log x log x

lim a a

Basado en lo anterior tenemos:

Teorema Si y = f(x) representa a una funcin logartmica o a una funcin exponencial, con las

restricciones adecuadas se verifica:0

0x xlim f ( x ) f ( x )

.

Otros dos teoremas importantes son:

Teorema:0

1x

x

alim ln a

x

Teorema:0

1

x

ln( a x ) ln alim

x a

Para encontrar el valor de un lmite es necesario tener presente:

a) Evaluar el lmite en su valor de tendencia, si es posible encontrar un resultado, de ser as, este es

el valor del lmite

b) Si al evaluar el lmite se obtiene alguna de las formas indeterminadas como:

0 00 ; ; 0 ; - ; 1 ; 0 ;0

entonces debemos aplicar el siguiente teorema:

Teorema:Si f y g son dos funciones definidas en un intervalo abierto que contiene a 0x y si

f ( x ) g( x ) en la vecindad de x0excepto en x = 0x

0x xSi lim f ( x )

0x xentonces lim g( x )

En otras palabras, lo que est diciendo el teorema es que no importa lo que pase en 0x , si las

funciones coinciden para valores cercanos a 0x los lmites indicados son iguales.


10/30



Cdigo: EEMA01

10

Propiedades de los lmites al infinito

1. Si k es una constante entonces lim

x

k ky. lim

x

k k

2. Si n es un nmero natural par entonces lim

nx

x y lim

nx

x

3. Si n es un nmero natural impar entonces lim

nx

x y lim

nx

x

4. Si m es un nmero natural par entonces lim

mx

x

5. Si m es un nmero natural impar entonces lim

mx

x y lim

mx

x

6. Si k es un nmero racional positivo y res un nmero real arbitrario entonces lim 0

kx

r

x y

lim 0

kx

r

xsiempre que x k est definido.

Todo lo referente a las propiedades de los lmites vistas anteriormente es vlido si escribimos

+ o - en lugar de x0. Hay casos que parecen indeterminaciones y no lo son realmente.

Lmites al infinito de funciones polinomiales

El procedimiento usado es bastante general y podemos deducir de l las dos reglas siguientes.

Regla 1: Si tenemos un polinomio p(x) = an xn + an-1 x

n-1 + + a1 x + a0 (con andiferente de 0)

entonces

n n-1 nn n-1 1 0 nlim a x + a x + + a x + a = lim a x x x

y tambin

n n-1 nn n-1 1 0 nlim a x + a x + + a x + a = lim a x x x

Regla 2: Si tenemos dos polinomios p(x) = an xn + an-1 x

n-1 + + a1x + a0(con andistinto de 0) y q(x)

= bm xm + bm-1 x

m-1 + + b1x + b0(con bmdistinto de 0) entonces


11/30



Cdigo: EEMA01

11

n n-1 n

n n-1 1 0 n

n n-1 n

n n-1 1 0 n

a x + a x + + a x + a a xlim = lim

x + b x + + b x + b x x x

b b

y adems

n n-1 n

n n-1 1 0 n

n n-1 n

n n-1 1 0 n

a x + a x + + a x + a a xlim = lim

x + b x + + b x + b x x xb b

Simplemente lo que dicen las dos reglas anteriores es que al calcular los lmites al infinito de un

polinomio basta considerar solo el trmino de mayor grado. Del mismo modo, al calcular los

lmites al infinito de un cociente de polinomios basta considerar solamente el cociente de los

trminos de mayor grado de ambos polinomios.

Ejercicios resueltos:

1)2

21

7 4 11lim ?

5 2 3x

x x

x x

Solucin: Evaluando nuestro lmite, tenemos:

2 2

2 21

7 4 11 7(1) 4(1) 11 0lim

5 2 3 5(1) 2(1) 3 0x

x x

x x

; En este caso tenemos un lmite de la forma0

0,

debemos buscar un arreglo para la funcin utilizando: factorizacin, simplificacin y trabajo

algebraico. Es decir:

Sabemos que2

2

( 1)7 4 11

5 2 3

xx x

x x

(7 11)

( 1)

x

x

7 11

5 3(5 3)

x

xx

Siempre quex sea distinto de3

5

De esta manera, segn el teorema visto en el punto b)

2

21 1

7 4 11 7 11 7 1 11 18 9lim lim

5 2 3 5 3 5 1 3 8 4x x

x x x

x x x


12/30



Cdigo: EEMA01

12

2)3 2

24

3 3 4lim ?

4x

x x x

x x

Solucin:

Tenemos un lmite de la forma0

0, luego arreglamos:

3 2 2 2

2

3 3 4 ( 4)( 1) 1

4 ( 4)

x x x x x x x x

x x x x x

3 2 2 2

24 4

3 3 4 1 4 4 1 21lim lim4 4 4x x

x x x x x

x x x

Luego:3 2

24

3 3 4 21lim

4 4x

x x x

x x

3)2

3 5 1lim ?

2x

x x

x

Solucin:

Tenemos un lmite de la forma 00

, luego arreglamos:

2 2

3 5 1 3 5 1 3 5 1

2 2 3 5 1

3 5 1

( 2) 3 5 1

x x x x x x

x x x x

x x

x x x


13/30



Cdigo: EEMA01

13

3 5 1

( 2) 3 5 1

2 4( 2) 3 5 1

2( 2)

( 2) 3 5 1

2

3 5 1

x x

x x x

xx x x

x

x x x

x x

2 2

3 5 1 2lim lim

2 3 5 1

2

3(2) 5 (2) 1

21

1 1

x x

x x

x x x

4)2

31

1lim ?

1x

x

x

Solucin:

Tenemos un lmite de la forma0

0, luego arreglamos:

2

3 2 2

1 ( 1)( 1) ( 1)

1 ( 1)( 1) ( 1)

x x x x

x x x x x x

2

3 2 21 1

1 1 1 1 2 2lim lim

1 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 1 3x x

x x

x x x

Luego2

31

1 2lim

1 3x

x

x

5)364

8lim ?

4x

x

x

Solucin:


14/30



Cdigo: EEMA01

14

6 3 6 23

2 2 23

2

2 2 2 2

;

2 2 4 2 4 2 2 2 48lim lim lim lim 3

4 2 2 2 2 2u u u u

u x x u u x x u

u u u u uu

u u u u

Luego364

8lim 3

4x

x

x

6) 0

lim ?x

x

sen x

00

lim0x

x

sen x ; es una indeterminacin

Solucin:

0 0

0

1 1lim lim 1

limx x

x

x

sen x sen xsen x

x x

0

( )aplica propiedad: lim 1

x

sen xse

x

Luego 0

lim 1x

x

sen x

7)

0

5lim ?

2x

sen x

x

Solucin:

0 0 0

(5 ) 5 (5 ) 5 ( ) 5lim lim lim2 2 5 2 2x x y

sen x sen x sen y

x x y Luego 0(5 ) 5

lim 2 2x

sen x

x

8)0

( )lim ?x

tg x

x

Solucin:

0 0 0 0

0 0 0

( )

( ) 0 ( ) ( ) 1cos( )lim lim lim lim

0 cos( )

( ) 1 ( ) 1lim lim lim 1cos( ) cos( )

x x x x

x x x

sen x

tg x tg x sen xx

x x x x x

sen x sen xx x x x

Luego0

( )lim 1x

tg x

x


15/30



Cdigo: EEMA01

15

9)0

(3 )lim ?

(2 )x

x sen x

x sen x

Solucin:

0

0

(3 ) (3 ) (3 )1 1 3 1 3(3 ) 0 (3 ) 3 3lim ( )

(5 )(5 ) (5 )(5 ) 0 (5 )1 51 1 5

55

(3 )1 3

1 3 2 13lim(5 ) 1 5 6 3

1 55

x

x

sen x sen x sen xx xx sen x x sen x x x xf x

sen xsen x sen xx sen x x sen xx x

xx x

sen x

xsen x

x

Luego0

(3 ) 1lim

(5 ) 3xx sen x

x sen x

10)( ) ( )

lim ?x a

sen x sen a

x a

Solucin:

2 cos 2 cos( ) ( ) 2 2 2 2lim lim lim cos( )

12 2

2 2

x a x a x a

x a x a x a x a

sen sensen x sen aa

x a x ax a

Se aplica

Luego( ) ( )

lim cos( )x a

sen x sen aa

x a


16/30



Cdigo: EEMA01

16

Ejercicios propuestos.

1.22

1lim

1x

x

x

R:1

3 2.2

22

4lim

5 6x

x

x x

R:1

2

3.2

21

3 2lim

4 3x

x x

x x

R:1

2 4. 20

2lim

4x

x

x

R:1

2

5.20

2lim

2x

x

x

R: 0 6.3

4 12lim

3x

x

x

R: 4

7.3

1

1lim

1x

x

x

R: 3 8.

2

22

4lim

3 2x

x

x x

R: 4

9.2

25

11 30lim

2 35x

x x

x x

R:

1

12 10.2

22

5 13 6lim

4 9 2x

x x

x x

R: 1

11.0

lim1 1x

x

x

R: 2 12.2

0

1 1limx

x

x

R:

13.3

3lim4 13x

xx

R: -8 14.0

5lim1 1x

xx

R: 10

15.0

4 2lim

9 3x

x

x

R:3

2 16.2

1

1 1lim

1x

x x

x

R:1

2

17.3 2

3 2

8 4 6lim

2 3 3x

x x x

x x

R: 4 18.3 2

3 2

4 5 6lim

6 2x

x x

x x x

R:2

3

19.

4 2

25

4 45

lim 5x

x x

x

R: 14 20.

3 2

53

21 38 29 40

lim 3 5y

y y y

y

R:

232

9

21.

2 2

23

4 4 9lim

2 3x

x x x

x x

R: 6 22.

22

2lim

4x

x

x

R: 0

23.1

lim 1 3xx

R: 2 24.

1

lim 5tt

e

R: 6


17/30



Cdigo: EEMA01

17

25. lim 2xx

R: 0 26.1

0

2lim

x

xx

e

e

R: 0

27. cos

0lim 1 sen

ecx

xx

R: e 28.

3lim 1

x

x x

R: 4e

29.2

23

9lim

6x

x

x x

R:5

6 30.

1

2

1lim

1

x

x

x

x

R: 0

31.0

lim 1 2xx

x

R:2

e

1 32. 2

1lim ln 2

xx x x

R: -2

33. 1

0lim 1 senxx

tgx

R: e-1 34.2

0lim 1 3 xx

x

R: e-6

35.

2

2

2

1lim

2

x

x

x

x

R: e3 36.

1

0

1

1

senx

x

tgxlim

senx

R: 1

37. lim

x

x

x a

x a

R: e2a 38.2

2

4 5lim

2 5 1x

x x

x x

R:1

2

39.

2

4

3lim

3x

x x

x x x

R: 0 40.0

lim3x

tgx senx

sen x

R:1

2

41. lim secx

x x

R: - 42.0

2lim

3x

sen x

sen x R:

2

3


18/30



Cdigo: EEMA01

18

Asntotas de funciones de una variable real

Uno de los temas ms interesantes del estudio del anlisis de funciones, es la representacin de

funciones de una variable. Y entre los clculos que se entienden necesario para recopilar datos

suficientes para la representacin se encuentra el clculo de las asntotasde la funcin

Definicin

Se denomina asntota de la grfica de una funcin, a una recta a la que se aproximacontinuamente la grfica de tal funcin; es decir que la distancia entre las dos tiende a cero, amedida que se extienden indefinidamente.

Existen tres tipos de asntotas: Vertical; Horizontal y Oblicuas, como se muestran en las grficas

anteriores

Clculo de asntotas:

1) Asntota Vertical. Una recta x = a es una asntota vertical de la grfica de la funcin y f ( x ) si

Se cumple alguno de los siguientes postulados.

x a x alim f ( x ) lim f ( x )


19/30



Cdigo: EEMA01

19

2) Asntota Horizontal. Una recta y b es una asntota horizontal de la grfica de la funcin

y f ( x ) si

Se cumple alguno de los siguientes postulados.

x xlim f ( x ) b lim f ( x ) b

Ejemplo1. Encontrar las asntotas vertical y horizontal de la grfica2

1

xf ( x )

x

Solucin:

En general, las asntotas verticales de una funcin son los puntos donde el denominador escero, y en esta funcin es en el puntox = 1. Entonces:

1

2 2 1 2

1 1 1 0x

x

limx

luego enx = 1 tenemos asntota vertical

Asntota Horizontal.

1

1

2 2 22

11 1 0

1

xx x

x

xlim lim

x

x

luego eny = 2 tenemos asntota horizontal
http://www.google.es/imgres?imgurl=http://us.cdn3.123rf.com/168nwm/bruno1998/bruno19981007/bruno1998100700022/7420065-ilustracion-animada-de-una-cara-feliz-con-manos-y-piernas-mostrando-un-signo-de-pulgar-arriba.jpg&imgrefurl=http://es.123rf.com/imagenes-de-archivo/cara_sonriente.html&h=168&w=168&tbnid=VJ6mi3eUbz3rvM:&zoom=1&docid=ctldrWo9j1_LFM&ei=oEuBU_v9H8ShogTkx4HgCQ&tbm=isch&ved=0CC0QMyglMCU4yAE&iact=rc&uact=3&dur=210261&page=15&start=237&ndsp=19


20/30



Cdigo: EEMA01

20

Ejemplo 2. Encontrar las asntotas vertical y horizontal de la grfica2

8

4f ( x )

x

Solucin:

a) Asntota Vertical.

Veamos para que valores el denominador es cero.

2 24 0 4 4 2x x x x

Entonces en 2 2yx x tenemos posibles asntotas verticales, aplicando definicin

tenemos:

Para 2x tenemos.

2 22

8 8 8

4 2 4 0xlim

x

Para 2x tenemos.

2 22

8 8 8

4 2 4 0xlim

x ( )

luego en 2x tenemosasntota vertical

luego en 2x tenemosasntota vertical

b) Asntota Horizontal.

Debemos analizar que ocurre cuando la variable se va alinfinito, luego

2 2

8 8 80

4 4xlim

x ( )

luego en 0x

tenemos

asntota horizontal

2

8

4f ( x )

x


21/30



Cdigo: EEMA01

21

3) Asntota Oblicua.

La recta de ecuaciny= mx+ b(m 0) ser una asntota oblicua si:

0xlim f ( x ) ( mx b )

Los valores de my de bse calculan con las

frmulas: ;

Si el grado del numerador de una funcin racional difiere delgrado del denominador en 1, la

grfica tiene una Asntota Oblicua o Inclinada

Ejercicios resueltos

Ejemplo 1 Hallar la asntota oblicua a la grfica de la funcin22

3

xf ( x )

x

Solucin: Debemos encontrar los valores de m y b, aplicando definicin se tiene:

2

2

2

12

21

22 2 23 2

33 1 01

x

x x xx

xxxlim lim lim

x x xx

; luego m=2

Por otro lado.

2 2 2 2 1

1

2 2 2 3 2 2 6 6 6 62 6

33 3 3 3 1 01

x

x x x x xx

x x x( x ) x x x xlim x lim lim lim lim

x x x x

x

Luego b=-6

De donde la ecuacin de la asntota ser 2 6y x , como se muestra en la grfica siguiente


22/30



Cdigo: EEMA01

22

Ejemplo 2. Hallar la asntota oblicua a la grfica de la funcin2 2 2

1

x xf ( x )

x

Solucin: Buscamos m y b, aplicando definicin:

2

2

2

12 2

2 1

2 2 2 21

2 2 1 0 01 11 1 0

1

x

x x xx

x xx xx x xlim lim lim

x x x

x

entonces m=1

Luego.

2 2 2 1

1

21

2 2 2 2 2 1 01 1

11 1 1 1 01

x

x x x xx

x x x x x x x xlim x lim lim limx x x

x

de donde. 1b La ecuacin de la asntota oblicua es 1y x , como se muestra en la grfica

22

3

xf ( x )

x

2 6y x


23/30



Cdigo: EEMA01

23

Ejercicios propuestos

Determinar las asntotas de las siguientes funciones:

1)23 2

2

x xf ( x )

x

2)

2

4 2

2

xf ( x )

x x

3)

3

1

xf ( x )

x

4)

2 1xf ( x )

x

5)

2 1

3

xf ( x )

x

6)2

2

2 3

1

xf ( x )

x

7)2

4

4

xf ( x )

x

8)2 5

2 4

xf ( x )

x

9)2

2

xf ( x )

x x

10)

2

2

1

1

( x )f ( x )

x

2 2 2

1

x xf ( x )

x

1y x


24/30



Cdigo: EEMA01

24

Soluciones.

Ejercicio Asntotas Verticales Asntotas Horizontales Asntotas Oblicuas1 2x No Tiene 3 8y x 2 0x ; 2x 0y No Tiene3 1x No Tiene No Tiene4 0x No Tiene y x 5 3x No Tiene 3y x 6 No Tiene 2y No Tiene

7 2x ; 2x 0y No Tiene

8 2x No Tiene 12 1y x 9 1x ; En 0x No Tiene 1y No Tiene

10 No Tiene 2y No Tiene


25/30



Cdigo: EEMA01

25

Continuidad de Funciones de una Variable Real.

Observa las siguientes grficas:

1)

f ( a ) no est

definida, sin

embargo

x alim f ( x ) L

, si

existe

2)

f ( a ) est definida,

sin embargo

x alim f ( x )

no existe,

3)

Elx alim f ( x ) L

, si

existe, f ( a ) est

definida, sin

embargo

x alim f ( x ) f ( a )

4)

f ( a ) est definida, y

existe elx alim f ( x ) L

y adems ambos son

iguales.

x alim f ( x) f ( a )

Podemos darnos cuenta que en las tres primeras grficas la funcin no es continua, sin embargo la

grfica 4 representa una funcin continua.

Se dice que una funcin es continua si su grfica se puede dibujar sin levantar el lpiz del papel


26/30



Cdigo: EEMA01

26

Ejercicios resueltos

Ejemplo 1. Considere la funcin2 2

2

x xf ( x )

x

, estudiar la continuidad en: 3x y 2x

Solucin.

Para 3x tenemos.

1) Existe 3f ( )? Evaluando23 3 2 4

3 43 2 1

f ( )

, vemos que est definido y su valor es 4

2) Existe l3x

lim f ( x )

?Debemos calcular el lmite2

3

2

2x

x xlim

x

2 2

3

2 3 3 2 44

2 3 2 1x

x xlim

x

, de donde

34

xlim f ( x )

Definicin

Una funcin f ( x )es continua en un punto x a de su dominio si y solo si cumple las siguientes

tres condiciones

1)Existe f ( a ); f ( x )est definida para x a

2)Existe elx alim f ( x )

3)Entoncesx alim f ( x ) f ( a )

Si una de las condiciones anteriores no se cumple, diremos que la funcin es discontinua


27/30



Cdigo: EEMA01

27

3) Tenemos que 3 4f ( ) y3

4xlim f ( x )

, luego

33

xf ( ) lim f ( x )

, luego se cumple la tercera

condicin, por lo que la funcin es continua en 3x

Para 2x tenemos.

1) Existe 2f ( )? Evaluando22 2 2 0

22 2 0

f ( )

, esto es indeterminado, luego 2f ( )no existe

Como no cumple con el punto 1 de la definicin, entonces la funcin es discontinua en 2x

Ejemplo 2. Considere la siguiente funcin:

2 2 3

1

x x

f ( x ) x

si x 1

3 si x=1

estudiar la continuidad en 1x

Solucin: Aplicando definicin.

1) Existe 1f ( ) ? Si 1 3f ( ) (cumple la primera condicin)

2) Existe l1x

lim f ( x )

?Debemos calcular el lmite

2

1 1 1

2 3 1 33 4

1 1x x x

x x ( x )( x )lim lim lim( x )

x x

, Existe el lmite (cumple con la

segunda condicin)

3) De lo anterior se tiene que 1 3f ( ) y1

4xlim f ( x )

, luego

11

xf ( ) lim f ( x )

( no se

cumple la tercera condicin), por lo que f ( x )es discontinua en 1x .

Este tipo de discontinuidad se llama Evitable o Reparable, ya que podemos redefinir la

funcin de la siguiente manera.

2 2 3

1

x x

g( x ) x

si x 1

4 si x=1

Tomando 1 4f ( ) se cumple la tercera condicin


28/30



Cdigo: EEMA01

28

11 4

xf ( ) lim f ( x )

, por lo que f ( x ) es continua en 1x

Ejemplo 3Sea la funcin definida por partes3

2x+2 si -3 x -1h ( x )2x-1 si 0 x

Es la funcin h ( x ) continua en todo su dominio?

Solucin:

En este caso el dominio de la funcin est formado por la unin de dos intervalos [-3, -1][0, 3], no hay

un valor que corte este dominio. La funcin est compuesta por dos segmentos de recta y las rectas son

continuas en su dominio (ver grfica ms abajo). Por lo tanto la funcinh ( x )

es continua en todo sudominio.

Luego:

Definicin: Una funcin es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es para todos los valores de

x a,b , es decir para todos los valores del intervalo. Una funcin es continua en unintervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b) y adems,

x a x alim f ( x ) f ( a ) lim f ( x ) f ( b )

y

Es decir, es continua por la derecha en a, y continua por la izquierda en b.

2 2y x

2 1y x


29/30



Cdigo: EEMA01

29

Ejercicios Propuestos.

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones

1.1

f ( x )x

2.

2

2

2 3

4 3

x xf ( x )

x x

3.

2

2

3 2

4 4

x xf ( x )

x x

4.

29

1

x si x 1f ( x )

x si x >1

5.

2

2

3 1

2

x +2 si x


30/30



Cdigo: EEMA01

30

Respuesta ejercicios propuestos.

1) Discontinua en x=0 no evitable de salto infinito

2) Para x=1 presenta discontinuidad evitable ya que existe el lmite

Para x=3 presenta discontinuidad no evitable de salto infinito

3) Discontinua en x=2 no evitable de salto infinito

4) Discontinua en x=1 no evitable de salto finito

5) Para x=1 presenta discontinuidad evitable ya que existe el lmite

Para x=-3 presenta discontinuidad no evitable de salto finito

6)

Para x=0 presenta discontinuidad no evitable de salto finitoPara x=3 la funcin es continua

7) 1a

8) 2a ; b=-1

Bibliografa

Clculo Trascendentes Tempranas. James Stewart

Cuarta edicin. THOMSON LEARNING

ISBN 970-686-127-0

Clculo 1 de una variable. Ron Larson

Novena edicin McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.

ISBN 978-607-15-0273-5

Guía 1 Límite y Continuidad

Documents

Transcript of Guía 1 Límite y Continuidad